Teoría de Juegos. Ing. Eduardo Cruz Romero

Transcripción

1 Teoría de Juegos Ing. Eduardo Cruz Romero

2 Introducción a la Teoría de Juegos Los psicólogos destacan la importancia del juego en la infancia como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en sociedad, a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los juegos, de niños y de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y cooperativas en las que podemos reconocer situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real.

3 El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el desarrollo de teorías y modelos matemáticos. La estadística es una rama de las matemáticas que surgió precisamente de los cálculos para diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acuñados por la estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios.

4 Pero la teoría de juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas.

5 Teoría de Juegos La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.

6 La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad.

7 La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos.

8 Juego Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.

9 Estrategia Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.

10 Resultado de los Juegos El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.

11 Forma normal versus forma extensiva de los Juegos En juegos de forma normal, los jugadores mueven simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es discreto y finito, el juego puede ser representado por una matriz NxM (ver abajo). Un juego en forma extensiva especifica el orden completo de movimientos a través de la dirección del juego, generalmente en un árbol de juego.

12 Juegos NxM Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un jugador tiene N acciones posibles y el otro tiene M acciones posibles. En un juego así, los pares de utilidades o pagos pueden ser representados en una matriz y el juego es fácilmente analizable. Los juegos NxM dan una idea de cómo puede verse la estructura de un juego mas complejo.

13 Matriz de resultados de un Juego La matriz de resultados de un juego representa el resultado del juego en una matriz. Supongamos que dos personas, A y B, están jugando un sencillo juego. El juego consiste en lo siguiente: la persona A tiene la posibilidad de elegir arriba o abajo, mientras que B puede elegir izquierda o derecha. Los resultados del juego se representan en la matriz de resultados: Izquierda Derecha Arriba (50, 100) (0, 50) Abajo (100, 50) (50, 0)

14 Estrategia Dominante Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir abajo, mientras que la estrategia dominante para B es elegir izquierda. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.

15 Equilibrio de Nash El equilibrio de Nash fue formulado por John Nash, que es un matemático norteamericano, en Un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima dada la de B y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo que el equilibrio de estrategias óptimas. Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash. Existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash.

16 Dilema del prisionero El juego es un tipo de modelo matemático para entender la toma de decisión y la interacción entre quienes toman las decisiones. Y el mejor conocido se llama El dilema del prisionero.

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18 Dos personas son arrestadas, encarceladas y se les fija la fecha del juicio. El fiscal del caso habla con cada prisionero por separado y les presenta una oferta: Si confiesa contra el socio, todos los cargos en su contra serán retirados y la confesión será usada como evidencia para condenar al otro. La sentencia que recibirá será de 20 años. Si no confiesa y su socio lo hace, será condenado a 20 años y su socio quedará libre. Si ambos confiesan, serán condenados a 5 años de prisión. Si ninguno confiesa, serán condenados a 1 años de prisión.

19 En El dilema del prisionero el destino de cada uno depende de las acciones del otro. Individualmente, confesar sería la mejor opción, pero si ambos lo hacen el castigo es peor que si ambos callan. Cuando uno escoge algo, eso tiene un impacto en otras personas, señala Paul Schweinzer, catedrático en el departamento de Economía de la Universidad de York, Inglaterra. La teoría de juegos es tener en cuenta el impacto de mis decisiones en los otros cuando las voy a tomar.

20 El juego es la interacción entre dos o más partes, y depende de que la gente actúe racionalmente, consciente de los límites del juego y de que la otra parte también conoce las reglas. Estas interacciones estratégicas forman el punto crucial de la teoría de juegos. A veces la usamos conscientemente y otras intuitivamente, anota Cabrales. Incluso si la gente y algunos animales- no razonan conscientemente sobre las estrategias que van a usar, otras fuerzas, como la evolución o la experiencia de errores pasados, a menudo la hace comportarse de la misma manera que si fueran jugadores fríamente racionales.

21 Estrategias de Maximin Y Minimax Por lo general, para cada estrategia que adopta un jugador o empresa, existen varias estrategias (reacciones) abiertas para el otro jugador. El resultado de cada combinación de estrategias empleadas por los dos jugadores se conoce como rendimiento. Al rendimiento de todas las estrategias se le conoce como matriz de rendimiento.

22 En la teoría de los juegos, el jugador A sabe que el jugador B siempre responderá a A con la acción que minimice las ganancias de A, debido a que ésta es la estrategia que minimiza las pérdidas de B. Así, el jugador A adoptará una estrategia de maximín. Es decir, A seleccionará la estrategia que maximice su ganancia mínima, anticipándose a la reacción de B. Como es de esperarse, el jugador B adoptará una estrategia de minimax que minimice las ganancias de A, porque ésa es la estrategia que minimiza las pérdidas de B.

23 Los juegos de suma cero son aquellos en los cuales las ganancias de un jugador son iguales a las pérdidas del otro. Los juegos estrictamente determinados son aquellos en los cuales el maximín es igual al minimax. Se denomina punto de silla a la solución o el resultado de un juego estrictamente determinado.

24 Bibliografía