Teoria de la Relatividad especial

Teoria de la Relatividad especial Fernando Barreiro Universidad Autónoma de Madrid Fundamentos Fisica III Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 1 / 59

Principio de Relatividad en Galileo t = t x = x ut y = y; z = z v x = v x u ; v y = v y ; v z = v z a x = a x ; a y = a y ; a z = a z F = m a : leyes mecánica son independientes sistema referencia: P.R.G. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 2 / 59

Ejemplo Un nadador es capaz de nadar a velocidad c. Calcular el tiempo que tardaria en nadar una distancia L a favor de la corriente, de velocidad u, y volver al punto de partida. Comparar con el tiempo que tardaria en hacer este camino de ida y vuelta en sentido perpendicular a la corriente. Contra: v x = c v x = v x + u = u c v x = c u Favor : v x = c v x = v x + u = c + u t = L c+u + L c u = 2Lc c 2 u 2 = 2L c 1 1 u 2 /c 2 0 = v x = v x + u v x = u ; v y = v y c = v v y = c 2 v x 2 = c 2 u 2 t = c 2L = 2L 1 2 u 2 c 1 u 2 /c 2 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 3 / 59

Perplejidad ante constancia de la velocidad de la luz Primeras medidas de la velocidad de la luz debidas astrónomo danés O. Roemer en 1675 al observar retraso en las ocultaciones de las lunas de Júpiter de 16 min cuando la Tierra se encuentra en T1 y T2 que atribuyó al mayor tiempo que tarda la luz en llegar a esta última posición i.e. L 0/c siendo L 0 el diámetro de la órbita terrestre π 0 γγ con τ 0 = 10 16 s, tiempo de vuelo mide velocidad de los fotones Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 4 / 59

Perplejidad ante constancia de la velocidad de la luz Finales s. XIX Maxwell unifica electricidad y magnetismo ondas e.m. se propagan con velocidad c 2 E 1 c 2 2 E t 2 = 0 E = E 0sin(kz ωt) ; c = ω k (1) 2 B 1 2 B c 2 t = 0 B = B 0sin(kz ωt) ; c = ω (2) 2 k Nuestra intuición nos dice velocidad propagación de onda depende del medio, ej. sonido Hipótesis: Eter medio a través del cual se propagan ondas e.m. Propiedades eter conspicuas : muy denso porque c es grande, al mismo tiempo ligero para minimizar fricciones en movimiento planetario Puede medirse la velocidad del sistema solar en este medio? Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 5 / 59

Pre Michelson-Morley Periodo de Jupiter 12 veces mayor que el de la Tierra. Maxwell propone medir retraso eclipse lunas Jupiter en A y B. t A = L 0 L 0 c u c (1 + β) t B = L 0 c+u L 0 c (1 β) t = t A t B = 2L 0 c β Como L 0/c 16 min y β 10 4 resulta t 0.1 s demasiado para la época Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 6 / 59

El experimento de Michelson-Morley t 1 = L 1 + L 1 = 2L 1/c ; t c u c+u 1 β 2 2 = 2L 2/c ; Siβ << 1 2 1 β t 0 = t 1 t 2 = 2L 1 (1 + c β2 ) 2L 2 (1 + c 0.5β2 ) ; t 90 = 2L 1 (1 + c 0.5β2 ) 2L 2 (1 + c β2 ) t 0 t 90 = (L 1+L 2 )u 2 ==> δ = c( t c 3 0 t 90)/λ = 2β2 λ/l L = L 1 = L 2 = 1.2m; β 10 4 ; λ/l = 5 10 7 ==> δ = 0.04 δ exp = 0.005 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 7 / 59

Postulados de Einstein (1905) Leyes de la Fisica son las mismas en todos los sistemas inerciales La velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas inerciales : c Einstein introduce concepto pragmático de la idea de tiempo asociada a la idea de simultaneidad. Consideremos definición velocidad móvil : v = r B r A t B t A t A : lectura reloj en A simultánea con llegada móvil a A t B : lectura reloj en B simultánea con llegada móvil a B Pero que entendemos por mismo tiempo en lugares distintos cuando velocidad máxima propagacion es c Si rayo luz parte a t = 0 de A, es reflejado en espejo en B y vuelve a A a tiempo t A = t 0 el reloj en B deberá marcar t B = 0.5t 0 cuando rayo llega a B : sincronización de relojes simultaneidad no es absoluta. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 8 / 59

Relatividad de la simultaneidad Tres observadores (A,B,C) equidistantes y en reposo en S. A t = 0, B emite haz luminoso en ambos sentidos de OX: x = x B + ct y x = x B ct. Estas señales serán recibidas por A y C en tiempos (t C = t A ) que resultan de hacer la intersección: x C = x B + ct C t C = x C x B c x A = x B ct A t A = x B x A c Tres observadores en plataforma que se mueve con velocidad v respecto a S, repiten experimento: recepción simultánea de las señales en S Sin embargo : recepción no es simultánea en S, de hecho t A < t C : x C + vt C = x B + ct C t C = x C x B c v x A + vt A = x B ct A t A = x B x A c+v Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 9 / 59

Transformaciones de Lorentz S se mueve con velocidad u respecto a S según eje común OX = OX. Origenes coinciden a t = t = 0. El eje t, linea universo O, es en S: x = ut. x = ax + bt x = ax bt Origen de S visto en S se obtiene haciendo x = 0 x = b a t Origen de S visto en S se obtiene haciendo x = 0 x = b a t Luego u = b/a. Pero ecuación rayo de luz tanto en S o S es x = ct, x = ct. ct = act + bt = (ac + b)t ; ct = act bt = (ac b)t (3) c 2 tt = (a 2 c 2 b 2 )tt c 2 = a 2 (c 2 b 2 /a 2 ) = a 2 (c 2 u 2 ) a = γ = 1 1 β 2 Nótese γ > 1 y γ = 1 + 0.5 β 2 ; si β << 1 L.N.R. (4) Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 10 / 59

Transformaciones de Lorentz: continuación Hemos obtenido que: x = ax + bt = a(x + ut ) = γ(x + ut ) x = ax bt = a(x ut) = γ(x ut) Leyes de transformación lineales aseguran que movimiento lineal uniforme en S lo es en S. Pero 1 γ 2 = 1 1 1 β 2 = β2 1 β 2 = β 2 γ 2 Luego x = γx + γut = γγx γγut + γut γut = (1 γ 2 )x + γ 2 ut = β 2 γ 2 x + γ 2 ut t = γt β2 γ β2 x = γ(t x) = γ(t β x) u u c Análogamente t = γ(t + β c x ) Nótese que β = En el limite relativista i.e. γ 1 1 γ 2 (5) β 1 1 2γ 2 (6) Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 11 / 59

Transformaciones de Lorentz: resumen Sean dos sistemas inerciales S y S, S se mueve respecto a S con velocidad u a lo largo de OX OX : x = γ[x ut] y = y ; z = z t = γ[t (β/c)x] t = γ[t (β 2 /u)x] t = γ[t (u/c 2 )x] A la inversa : x = γ[x + ut ] t = γ[t + (β/c)x ] t = γ[t + (β 2 /u)x ] t = γ[t + (u/c 2 )x ] Observaciones: Coordenadas normales a la dirección movimiento relativo son invariantes Si β << 1 γ = 1 + 0.5β 2 1 + O(β 2 ) y Lorentz se reduce a Galileo i.e. x = x ut t = t Notación matricial: transformaciones Lorentz estructura rotaciones [ ] [ ] [ ] x γ iγβ x ict = iγβ γ ict Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 12 / 59

Invariantes Lorentz Si un suceso en S viene dado por las coordenadas (ct,x,y,z) y en S por (ct,x,y,z ) resulta Restando resulta es decir x = γ[x + ut ] x 2 = γ 2 [x 2 + u 2 t 2 + 2ux t ] (7) t = γ[t + u/c 2 x ] c 2 t 2 = γ 2 [c 2 t 2 + u 2 /c 2 x 2 + 2ux t ] (8) x 2 c 2 t 2 = γ 2 [x 2 c 2 t 2 + u 2 t 2 β 2 x 2 ] (9) x 2 c 2 t 2 = γ 2 [(1 β 2 )x 2 (1 β 2 )c 2 t 2 ] = γ 2 (1 β 2 )[x 2 c 2 t 2 ] = [x 2 c 2 t 2 ] (10) Es decir si O emite rayo luminoso al cabo de t segundos onda luminosa habrá alcanzado esfera r 2 = c 2 t 2. En S lo mismo : r 2 = c 2 t 2. Análogamente puede demostrarse que la ecuación de una onda electromagnética es invariante Lorentz y no Galileo. 2 E 1 c 2 2 E t 2 = 0 (11) Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 13 / 59

Transformaciones Lorentz : ejemplos Dos sistemas inerciales S y S están en movimiento relativo con velocidad β = 0.5 a lo largo de OX=OX. Representar en S los sucesos (x 1, ct 1) = (1, 1) y (x 2, ct 2) = (0, 2). Representar en S los sucesos (x 3, ct 3) = (1, 1) y (x 4, ct 4) = (2, 0). Sol. γ = 1 = 1 1 2 3 = 1.15 4 x 1 = γ(x 1 ut 1) = γ(x 1 u ct1) = 1.15(1 1 ) = 0.58 c 2 ct 1 = γ(ct 1 u c x1) = 1.15(1 1 2 ) = 0.58! x 2 = 1.15(0 0.5 2) = 1.15 ct 2 = 1.15(2 0.5 0) = 2.3 x 3 = γ(x 3 + u c ct 3) = 1.15(1 + 0.5) = 1.73 ct 3 = γ(ct 3 + u x3) = 1.15(1 + 0.5) = 1.73! c x 4 = 1.15(2) = 2.30 ct 4 = 1.15(0.5 2) = 1.15 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 14 / 59

Diagramas de Minkowski (1908) Suceso viene representado por coordenadas espacio-temporales. Hipérbola de calibración x 2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2 = 1 (12) muestra que longitud unidad en S no es la misma que en S. Separacion espacio temporal : s 2 = (ct) 2 x 2 = (ct ) 2 x 2 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 15 / 59

Causalidad : pasado y futuro Separación espacio temporal entre dos sucesos: s 2 = (ct) 2 x 2 = (ct ) 2 x 2 puede ser s 2 = 0 sucesos conectados por haz luminoso s 2 > 0 S ambos ocurren mismo lugar intervalo temporal s 2 < 0 intervalo espacial Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 16 / 59

Consecuencias: dilatación temporal Reloj en reposo en x = x 0 en sistema S Sean dos sucesos registrados en S : (x 0, t 1) ; (x 0, t 2) t = τ 0 = t 2 t 1 Para un observalor ligado a S estos dos sucesos ocurren a tiempos t 1 = γ(t 1 u c 2 x 0 ) t 2 = γ(t 2 u c 2 x 0 ) Luego : t = t 2 t 1 = γ(t 2 t 1) = γ t τ = γτ 0 La diferencia de tiempos entre dos sucesos es minima en el sistema en el que el reloj está en reposo: tiempo propio. En ese sistema ambos sucesos ocurren en el mismo sitio. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 17 / 59

Consecuencias: dilatación tiempos Sincronización relojes de acuerdo con figura adjunta: t 0 = 2L 0/c En sistema reloj está en reposo, su tic tac viene dado por t 0 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 18 / 59

Consecuencias: dilatación tiempos Supongamos reloj comienza moverse respecto a O con velocidad u según OX Tiempos medidos por O: t = 2L/c = 2 L 2 0 +(u t/2)2 2 (c t 0 /2) 2 +(u t/2) 2 (c t) 2 = (c t c 0) 2 + (u t) 2 t = t 0 = 1 u 2 /c 2 γ t0 t > t0 c = Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 19 / 59

Ejemplo dilatación temporal Los muones tienen una vida media propia, i.e. medida en el sistema en que ellos están en reposo, de 2.2 µs. Se producen como consecuencia de la interacción de los rayos cósmicos con las capas superiores de la atmósfera. La altura de esta es L 0 = 100 km para un observador terrestre. Cual será la velocidad minima que han de tener los muones para llegar a la superficie de la tierra? Solución: Si el muón se mueve con velocidad próxima a la de la luz, para un observador ligado a la tierra el tiempo necesario para atravesar 100 km será: t = L0 c = 100 km = 333 µs (13) 3 10 5 km/s Luego teniendo en cuenta la relación entre intervalos temporales medidos en la tierra y en el sistema del muón: 333 µs = γ 2.2 µs γ = 151 >> 1 i.e. altamente relativista (14) β = 1 1 γ 1 1 2 2γ = 1 1 = 0.999978 2 45602 (15) Si no fuera por la dilatación temporal nunca observariamos muones en la superficie terrestre. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 20 / 59

Consecuencias: contracción espacial Sea barra longitud L 0 en reposo en sistema S. Denotemos por x 1 y x 2 las posiciones de sus extremos izdo. y dcho. En un instante dado t en S los extremos de la barra estarán en (x 1, t ) ; (x 2, t ) de modo que su longitud en S será L = x 2 x 1, Pero en S las coordenadas espaciales de estos sucesos vienen dadas por: x 1 = γ(x 1 + ut ) x 2 = γ(x 2 + ut ) Luego x 2 x 1 = γ(x 2 x 1) L 0 = γl La longitud de un objeto es máxima en el sistema en que se encuentra en reposo. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 21 / 59

Consecuencias: contracción espacial c t 1 = L + u t 1 t 1 = L c t 2 = L u t 2 t 2 = t = t 1 + t 2 = t = γ t 0 = 2L 0 c c u L c+u L + L = 2L 1 c u c+u c 1 u 2 /c 2 1 1 u = 2L 1 2 /c 2 c 1 u 2 /c 2 L = L 0 1 u2 /c 2 = L 0/γ Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 22 / 59

Ejemplo contracción espacial Volvamos al ejemplo del muón. Para un observador ligado a él, cual será el espesor de la atmósfera terrestre. Para un observador que viaja con el muón, la tierra se le acerca con una velocidad β y por tanto para él, el espesor de la atmósfera será: L = L 0 1 β2 = 100km 1 0.999978 2 = 0.66 km = 660 m (16) El tiempo que necesitaria el muón para atravesar este espesor atmosférico será t 0 = 660 m 3 10 8 m/s = 2.2 10 6 s τ 0 (17) que es comparable a su vida propia, luego los muones atmosféricos pueden alcanzar la superficie terrestre. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 23 / 59

Ejemplo contracción espacial Una varilla de longitud propia L 0 se mueve con velocidad β = 3/4 respecto a un observador O en una dirección que forma 37 con la varilla. Que longitud tendrá la varilla para O? Sol. β = 3/4 γ = 4/ 7 L x = L 0cos37 ; L y = L 0sin37 L x = 7L 0cos37 /4 ; L y = L y = L 0sin37 L = (L 2 x + L 2 7+9sin y ) = L 2 37 0 4 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 24 / 59

Ejemplo contracción espacial o dilatación temporal, depende Un astronauta a 500 km de la tierra presiente que su vida durará no más de 2 ms por haberse irradiado inadvertidamente. Que velocidad deberia tener su nave espacial a fin de aterrizar y recibir atención médica? Sol. Punto de vista de un observador terrestre : vida del astronauta se alarga τ = γτ 0 = (2 10 3 s)γ u = D τ = D = 1 β γτ 2 500km 0 2 10 3 s = 2.5 10 5 km/s 1 β 2 = β 3 10 5 km/s 6.25(1 β 2 ) = 9β 2 β = 0.6 Punto de vista del astronauta : distancia a la tierra se acorta 500 km D = = 2 10 γ 3 βc 250.000(1 β 2 ) = 360.000β 2 25 = 61β 2 β = 5/ 61 = 0.6 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 25 / 59

Ley de adición de velocidades Sean dos sistemas, S y S, el segundo se mueve con velocidad u respecto al primero a lo largo de OX. x = γ [x + ut ] dx = γ[dx + udt ] = γ[v x + u] dt y = y dy = dy t = γ [t + (u/c 2 )x ] dt = γ[1 + u v x/c 2 ] dt Dividiendo las dos primeras ecuaciones por la tercera resulta v x = v x +u 1+uv x /c2 v y = Y a la inversa v x = v y = Resumiendo v y γ(1+uv x /c2 ) vx u 1 uv x /c 2 v y γ(1 uv x /c 2 ) β S = β S + β S S 1 + β S β S S 1 β S = 1 β S + β S S 1 + β S β S S = (1 β S )(1 β S S) 1 + β S β S S < 1 (18) Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 26 / 59

Ley de adición de velocidades: ejemplos Un núcleo radioactivo se mueve con velocidad 0.5c en el laboratorio y emite un electrón en su misma dirección de vuelo con velocidad relativa 0.9c. Determinar la velocidad del electrón en el laboratorio. Sol. u e/l = u e/n +u N/L 1+u e/n u N/L = 0.5+0.9 1+0.5 0.9 = 0.966 S se mueve respecto a S con β = 0.6 a lo largo de OX = OX. En t 1 = 10 7 s una particula situada en x 1 = 10 m comienza a moverse con velocidad constante c/3. En t 2 = 3 10 7 se frena súbitamente. Determinar en S la velocidad de la particula y la distancia recorrida. Sol. γ S S = 1 0.8 = 1.25 = 1 3 β = β 1+β 2 1+β 1 β 2 = 0.6 1 3 1 0.6 3 En S x = v t = c 2 3 10 7 = 20m x 2 = 10 m x 1 = γ SS (x 1 + ut 1) = 1.25(10 + 0.6 3 10 8 m/s 10 7 s) = 1.25 28 x 2 = γ SS (x 2 +ut 2) = 1.25( 10+0.6 3 10 8 m/s 3 10 7 s) = 1.25 44 x = x 2 x 1 = 20m en S. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 27 / 59

Recordatorio: efecto Doppler clásico o acústico Fuente emisora acústica en movimiento relativo receptor R velocidad de la fuente F: u 1 velocidad onda sonora P: ω velocidad del receptor R: u 2 Fuente emite pulso P 1 en t = 0 y un segundo pulso P 2 en t = τ. La frecuencia de la señal será :ν = 1/τ y su longitud de onda λ = ω. ν En τ el pulso se ha movido ωτ y la fuente u 1τ. La longitud de onda efectiva para R será : λ = (ω u 1)τ = ω u 1. ν R se ha movido u 2 τ y velocidad relativa de pulsos respecto a R: ω u 2. τ = λ = ω u1 ω u 2 ν(ω u 2) ν = ν 1 u2/ω (19) 1 u 1/ω Casos particulares: u 1 = 0, u 2 = u ν = ν(1 β) ; u 1 = u, u 2 = 0 ν = ν (20) 1 + β Observación : Pasar de un caso a otro no se traduce en simplemente cambiar el signo de β como deberia. Además el efecto es lineal. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 28 / 59

Efecto Doppler relativista Fuente emisora luminosa O en origen sistema inercial S Observador ligado a S se mueve respecto a O con velocidad u A t = 0 comienzan pulsos frecuencia ν en S cuando observador en x = x 0 x 1 = ct 1 = x 0 + ut 1 ; x 2 = c(t 2 τ) = x 0 + ut 2 ; t 2 t 1 = cτ c u x 2 x 1 = u(t 2 t 1) = τ = γ[ t u cτ x] = γ[ c2 c u u c 2 ucτ c u ] = ucτ c u (21) (22) γcτ c u (1 β2 ) = γτ(1+β) (23) Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 29 / 59

Resumen: Efecto Doppler relativista τ = τ( 1+β 1 β ) 1 2 ν = ν( 1 β 1+β ) 1 2 λ = λ( 1+β 1 β ) 1 2 β = r 2 1 r 2 +1 con r = λ λ Efecto es simétrico en β y en el L.N.R. tiene un término cuadrático : λ = λ 1+β 1 β 2 λ(1 + β + 1 2 β2 ) Ejemplo: La linea correspondiente al Ca en el espectro de la estrella α-centauro posee una longitud de onda de λ = 3968, 20Å. La misma linea en el espectro solar se encuentra a λ = 3968, 49Å. Determinar la velocidad con que se aleja la α-centauro del sistema solar. Sol: r 2 = 1.00014 β = 0.00014/2 = 7 10 5 u = 21km/s. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 30 / 59

Efecto Doppler relativista: un par de ejemplos más El quasar 3C 9 cuando emitió luz que acaba de llegar a la tierra se alejaba de nosotros con velocidad 0.8c. Una de las lineas de su espectro se observa a una longitud de onda de 1200Å con una fuente estacionaria. A que longitud de onda debe aparecer en el espectro observado del quasar. Si la vida propia del quasar es 10 6 años, durante que intervalo de tiempo se recibira radiación de él. Sol. λ = 1+β τ = γτ 0 = 1 β λ = 1.0+0.8 1.0 0.8 1200 Å = 3600 Å 1 1.0 0.64 10 6 años 2 10 6 años Un astronauta se aleja de la tierra con una aceleración de 10 m/s 2. Determinar el tiempo que ha de pasar para que el resplandor del distrito rojo de Amsterdam se le haga invisible. Tomemos λ rojo = 6000 Å. Sol.: Supongamos que λ = 7000 Å es ya invisible. Entonces r = λ /λ rojo = 7/6 r 2 = 1.35 β = r 2 1 r 2 +1 = 0.35 2.35 = 0.15 n 24 3.600s 10m/s 2 = 0.15 3 10 8 m/s n = 50dias Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 31 / 59

Espectro visible Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 32 / 59

Confirmación experimental efecto Doppler relativista Ives y Stilwell, 1938, miden longitud onda emisión átomos de hidrogeno en reposo y en movimiento, ver figura adjunta McArthur et al., 1986: Absorción de luz laser ultravioleta por átomos hidrógeno en reposo y con energia cinética de 800 MeV, β = 0.84, confirman efecto Doppler relativista con precisión 3 10 4 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 33 / 59

La paradoja de los gemelos Gaspar queda en tierra mientras su hermana gemela Amelia parte con velocidad β = 0.6 hacia un planeta que para Gaspar se encuentra a 6 años luz de la Tierra. Gaspar estima que Amelia tardará 10 + 10 = 20 años en volver. Para Amelia la distancia al planeta se verá contraida por un factor γ 1 = 1 β 2 = 0.8, i. e. 4.8 años luz i.e. 8 años a una velocidad 0.6c Amelia verá que tarda en hacer el viaje de ida y vuelta 16 años Gaspar habrá envejecido 20 años Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 34 / 59

Resolución paradoja de los gemelos mediante efecto Doppler Amelia podria pensar que es Gaspar el que se aleja para luego volver y por tanto seria ella la más vieja. Paradoja? No. Amelia tiene que cambiar de sistema de referencia para su viaje de vuelta. La situación no es simétrica. Gaspar envia a Amelia una señal luminosa cada dia que él cumple años La frecuencia de esta señal, vista por Amelia se verá desplazada Doppler Durante su viaje de ida Amelia recibirá noticias de Gaspar con una 1 β frecuencia = 0.4 = 0.5 señales por año 4 señales 1+β 1.6 Durante su viaje de vuelta Amelia recibirá noticias de Gaspar con una 1+β frecuencia = 1.6 = 2.0 señales por año 16 señales 1 β 0.4 Amelia recibirá 20 señales y sabrá que Gaspar ha envejecido cuatro años más que ella Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 35 / 59

Resolución paradoja de los gemelos mediante efecto Doppler Supongamos ahora que es Amelia quien, con un reloj idéntico al de Gaspar, quiere enviarle un mensaje anual a su hermano. Amelia enviará 8 mensajes en su viaje de ida y otros 8 en su viaje de vuelta. Como en la discusión anterior, Gaspar recibirá estos mensajes con una frecuencia de 0.5/año en la ida y 2/año en la vuelta debido a su desplazamiento Doppler. Gaspar estimará que el viaje de ida de Amelia ha durado 16 años terrestres pues los ocho primeros mensajes de Amelia le llegarán a Gaspar con la frecuencia de 0.5/año i.e. un mensaje por cada dos años terrestres Los ocho mensajes del viaje de vuelta de Amelia, Gaspar los recibirá a razón de 2/año, luego Gaspar pensará que el viaje de vuelta duró solo cuatro años terrestres Resumiendo, Gaspar comprueba que el viaje de ida y vuelta ha durado 20 años terrestres Pero Gaspar ha recibido 16 mensajes y concluye por tanto que su hermana ha envejecido 16 años Prueba experimental : J.C. Hafele - R. Keating 1971 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 36 / 59

Resolución paradoja de los gemelos mediante efecto Doppler La figura adjunta ilustra en Minkowski los mensajes de Amelia a su hermano. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 37 / 59

Equivalencia masa y energia Gedanken Experiment : pared izquierda caja en reposo aislada y de masa M emite flash de luz portador de un momento E/c La luz es absorbida por la pared derecha, luego para conservar momento la caja deberia retroceder con v = E/Mc Como t = L/c x = v t = EL/Mc 2 Como caja está aislada y no pensamos que retroceda postulamos que la radiación es portadora masa m tal que ml + M x = 0 De aqui se deduce E = mc 2 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 38 / 59

Dinámica relativista Fotones E = hν y E = c p de acuerdo con multitud datos experimentales Equivalencia masa y energia : p + D 3 He + γ M = 9.8 10 30 kg E = M c 2 = 9.8 10 30 kg 9 10 16 m 2 /s 2 = 8.8 10 13 J = 5.5 MeV Cantidades que transforman bajo Lorentz como (ct, r) cuadrivector Cuadrivector energia-momento particula en reposo (m 0c 2 ; 0, 0, 0) Cuadrivector energia-momento particulas masa reposo m 0 y velocidad v: (γm 0c 2 ; γm 0 v) β = c p y γ = E E m 0 c 2 en unidades naturales : β = p E y γ = E m 0 Cuadrivector energia-momento para particulas masa en reposo nula: (cp; p) el cuadrimomento transforma como un cuadrivector bajo Lorentz y la cantidad E 2 c 2 p 2 = m 2 0c 4 es invariante. En unidades naturales, i.e. c = 1, [E] = GeV, [p] = GeV /c.[m] = GeV /c 2 y se tiene E 2 = p 2 + m 2 0 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 39 / 59

Dinámica relativista : continuación Si (E, p) es cuadrivector energia-impulso en S y S se mueve con respecto a S con u según OX OX E = γ[e up x] p x = γ[p x u c 2 E] p y = p y ; p z = p z A la inversa E = γ[e + up x] p x = γ[p x + u c 2 E ] Ejemplo: Supongamos que una particula se mueve respecto a S con velocidad u según OX, determinar su cuadrivector energia-momento en S. En S, sistema en que la particula está en reposo, su cuadrivector será p = (m 0c 2 ; 0, 0, 0). Luego en S aplicando ecuaciones anteriores E = γ[e + up x] = γm 0c 2 p x = γ[p x + (u/c 2 )E ] = γm 0u cp x = γβm 0c 2 p y = 0 ; p z = 0 p 2 = E 2 (c p) 2 = γ 2 m 2 0c 2 (c 2 u 2 ) = γ 2 m 2 0c 4 (1 β 2 ) = m 2 0c 4 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 40 / 59

Dinámica relativista : tests experimentales Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 41 / 59

Dinámica relativista: ejemplo Dos fotones de energias 200 MeV y 100 MeV se mueven según los ejes OX y OY respectivamente. Determinar: i) la energia total del sistema ii) la cantidad de movimiento iii) su masa invariante iv) su velocidad en magnitud y dirección. Solución: Escribimos los cuadrivectores de ambos fotones y sumamos para obtener el cuadrimomento total en unidades naturales: p 1 = (200; 200, 0, 0); p 2 = (100; 0, 100, 0) p 1 + p 2 = (300; 200, 100, 0) (24) E = 300 MeV p = (200, 100, 0) p = 5 10 2 MeV /c = 224 MeV /c m 2 0 = (9 4 1) 10 4 MeV 2 /c 4 m 0 = 200 MeV /c 2 tan θ = 100/200 = 0.5 θ = arc tan 0.5 β = p E = 224 300 = 0.745 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 42 / 59

Dinámica relativista: ejemplos Un electrón de masa en reposo m e = 0.511 MeV /c 2 se mueve con velocidad v = 0.8 c. Determinar en el laboratorio su energia total, cinética y p Solución: Utilizamos unidades naturales: γ = (1 β 2 ) 1/2 = (1. 0.64) 1/2 = 1 0.511 MeV E = γm e = = 0.852 MeV 0.6 E kin = (0.852 0.511) MeV p = βe = 0.8 0.852 = 0.680 MeV /c O tambien: p = E 2 m 2 = 0.852 2 0.511 2 = 0.680 MeV /c Un rayo-x de energia 0.3 MeV colisiona con un electrón en reposo. El fotón sale rebotado hacia atrás. Determinar la velocidad y dirección del electrón después del choque. Tomar m e = 0.5 MeV /c 2. Sol.: Utilizamos unidades naturales Antes de la colisión :p γ = (0.3; 0, 0, 0.3) ; p e = (0.5; 0, 0, 0) Después de la colisión : p γ = (E γ; 0, 0, E γ) ; p e = (E e; 0, 0, E e 2 0.25) Conservación energia : 0.8 = E γ + E e Conservación impulso en OZ :0.3 = E γ + E e 2 0.25 Sumando: 1.1 = E e + E e 2 m 2 e E e = 0.66 MeV Entonces γ e = 0.66 0.5 = 1.32 = (1 β2 e ) 1/2 β e = 0.65 0.6 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 43 / 59

Dinámica relativista: dispersión Compton γe γe Energia: Q 0 + m 0c 2 = E + Q ; Impulso: n 0Q 0/c = nq/c + p (Q 0 Q) + m 0c 2 = E (Q 0 Q) 2 + m 2 0c 4 + 2(Q 0 Q)m 0c 2 = E 2 n 0Q 0 nq = c p Q 2 0 + Q 2 2QQ 0cosθ = c 2 p 2 (restando) 2QQ 0 + 2(Q 0 Q)m 0c 2 + m 2 0c 4 + 2QQ 0cosθ = m 2 0c 4 2QQ 0(1 cosθ) = 2(Q 0 Q)m 0c 2 1 cosθ = 1 1 m 0 c 2 Q Q 0 Q = hν = hc/λ f ; Q 0 = hc/λ i λ f λ i = h m 0 (1 cosθ) c h m 0 c = 2.43 10 12 m longitud de onda Compton del electrón. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 44 / 59

Ejercicio: cálculo umbral energia creación π + en p + p p + n + π + Consideremos el problema en el sistema centro de masas (CM) en el que los protones iniciales tienen impulsos iguales pero en sentidos opuestos según OZ. El umbral ocurrirá en la situación en que los protones y el π 0 en el estado final se encuentran en reposo. Datos m p = 0.94GeV /c 2 m n, m π + = 0.14 GeV /c 2 p 1 = (γ CM m p; 0, 0, γ CM β CM m p) p 2 = (γ CM m p; 0, 0, γ CM β CM m p) Suma cuadrimomentos estado final p final = (2m p + m π 0; 0, 0, 0) Conservación energia : 2m p + m π 0 = 2γ CM m p γ CM = 1 + m π 0 2m p = 1.074 γ CM = 1.074 = 1 1 β 2 CM β CM = 0.37 β beam CM = 0.37 ; β target CM = 0.37 En el laboratorio (LAB) uno de los protones se encuentra en reposo, blanco, el otro, proyectil, tendrá energia cinética no nula, β CM,LAB = β CM. Si β beam LAB = velocidad protón proyectil en el LAB: βlab beam = βbeam CM +β CM,LAB = 2β 1+β CM beam CM (β CM,LAB ) 1+β CM 2 1 γ LAB = = 1 β 2 LAB = 2 0.37 1+0.37 2 = 0.65 1 1 0.65 2 = 1.31 E kin = 0.31m p = 290 MeV La velocidad del protón blanco será : β target LAB = β CM +(β CM,LAB ) 1 β CM (β CM,LAB ) = 0 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 45 / 59

Ejemplo creación π + y π ± µ ± e ± + ν s Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 46 / 59

Ejercicio: cálculo umbral energia creación p en p + p p + p + p + p Consideremos el problema de nuevo en el sistema centro de masas (CM). Como en el caso anterior el umbral ocurrirá en la situación en que los tres p s y el p en el estado final se encuentran en reposo. Dato m p = 0.94GeV /c 2. p 1 = (γ CM m p; 0, 0, γ CM β CM m p) p 2 = (γ CM m p; 0, 0, γ CM β CM m p) Suma cuadrimomentos estado final p final = (4m p; 0, 0, 0) Conservación energia : 4m p = 2γ CM m p γ CM = 2 γ CM = 2.0 = 1 1 β 2 CM En el laboratorio (LAB) β beam LAB γ LAB = β CM = 0.865 β beam CM = 2β CM 1+β 2 CM = 0.865 ; β target CM = 0.865 = 2 0.865 1+0.865 2 = 0.9885 1 1 = 1 β 2 LAB 1 0.9885 = 7.0 E 2 kin = 6.0m p = 5.64 GeV El Bevatrón en LBL fué construido con el requisito de descubrir el p. Emilio Segre y Owen Chamberlain, 1955 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 47 / 59

Cuando el sistema LABoratorio y el centro de masas CM coinciden Denotemos por s la energia en el c.m. al cuadrado de una colisión En el laboratorio : s = (p beam + p target) 2 = 2E beam m target en L.R. Si CM LAB : s = (p beam + p target) 2 = (2E beam ; 0, 0, 0) 2 = 4E 2 beam ya que p beam = (E beam ; 0, 0, p beam ) y p target = (E beam ; 0, 0, p beam ) Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 48 / 59

Conservación energia-momento en e + e q q y e + e q qg Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 49 / 59

La importancia del boost de Lorentz El π 0 γγ con τ 0 = 10 16 s. Consideremos el caso en que los dos fotones tuvieran la misma energia. Determinar el ángulo entre ellos como función de la energia del π 0. Supongamos que el π 0 vuela en la dirección del eje OZ con velocidad β. El cuadrimomento del π 0 sera: (γm π; 0, 0, βγm π) El del primer fotón será : (0.5γm π; 0, 0.5γm πsinθ, 0.5γm πcosθ) El del segundo fotón será : (0.5γm π; 0, 0.5γm πsinθ, 0.5γm πcosθ) Conservación impulso OZ: βγm π = γm πcosθ cosθ = β L.N.R. : β 0 θ π/2 γ = (1 β 2 ) 1 2 = 1 sinθ L.R. :γ >> 1 θ 1/γ 0 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 50 / 59

La importancia del boost de Lorentz Un modo de desintegración del bosón de Higgs es H 0 γγ. Como m H 1000m π 0, los Higgses producidos en el LHC no son muy energéticos y el ángulo entre los dos fotones del Higgs es grande pero el fondo de π 0 γγ importante. Figura adjunta muestra un suceso candidato a H 0 γγ, izda, asi como la distribución en la masa invariante de los dos fotones, dcha. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 51 / 59

Del sistema c.m. al laboratorio una vez más (1) Consideremos otra vez la desintegración del π 0 γγ de modo que en el c.m. los fotones tienen la misma linea de vuelo que el π 0 en el laboratorio. Tomemos esta según OZ. Recordemos que si β es la velocidad del π 0 en el laboratorio y por tanto γ = (1 β 2 ) 1/2 E LAB = γ[e CM + βp CM ] ; p LAB = γ[p CM + βe CM] ; p LAB = p CM (25) Sistema c.m. p π 0 = (m π 0 ; 0, 0, 0) p γ1 = (0.5m π 0 ; 0, 0, +0.5m π 0 ) p γ2 = (0.5m π 0 ; 0, 0, 0.5m π 0 ) Sistema laboratorio : transformamos Lorentz E π 0 = γm π 0 ; p π 0 = γβm π 0 p π 0 = (γm π 0 ; 0, 0, γβm π 0 ) E γ1 = γ[0.5m π 0 + β 0.5m π 0 ]; p γ1 = γ[+0.5m π 0 + β 0.5m π 0 ] p γ1 = γ(1 + β) m π 0 2 (1; 0, 0, +1) = 1+β m π 0 (1; 0, 0, +1) 1 β 2 E γ2 = γ[0.5m π 0 β 0.5m π 0 ]; p γ2 = γ[ 0.5m π 0 + β 0.5m π 0 ] p γ2 = γ(1 β) m π 0 2 (1; 0, 0, 1) = 1 β m π 0 (1; 0, 0, 1) 1+β 2 El primer fotón es mucho más energético que el segundo en el laboratorio Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 52 / 59

Del sistema c.m. al laboratorio una vez más (2) Consideremos una variación al ejercicio anterior de modo que en el c.m. los fotones sean emitidos en la dirección normal a la linea de vuelo del π 0 en el laboratorio. Tomemos esta según OZ. Recordemos que : E LAB = γ[e CM + βp CM ] ; p LAB = γ[p CM + βe CM] ; p LAB = p CM (26) Sistema c.m. p π 0 = (m π 0 ; 0, 0, 0) p γ1 = (0.5m π 0 ; +0.5m π 0, 0, 0) p γ2 = (0.5m π 0 ; 0.5m π 0, 0, 0) Sistema laboratorio : transformamos Lorentz E π 0 = γm π 0 ; p π 0 = γβm π 0 p π 0 = m π 0 (γ; 0, 0, γβ) E γ1 = γ[0.5m π 0 ] ; p γ 1 = γ[β 0.5m π 0 ] p γ1 = m π 0 (γ; +1, 0, γβ) 2 E γ2 = γ[0.5m π 0 ] ; p γ 2 = γ[β 0.5m π 0 ] p γ2 = m π 0 (γ; 1, 0, γβ) 2 p π 0 es buen cuadrimomento porque γ 2 γ 2 β 2 = γ 2 (1 β 2 ) = 1 p γi con i = 1, 2 son buenos cuadrimomentos para fotones porque γ 2 1 γ 2 β 2 = γ 2 (1 β 2 ) 1 = 1 1 = 0 Los dos fotones son igual de energéticos en el laboratorio. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 53 / 59

Ejercicio desintegración a tres cuerpos Una particula de masa en reposo M 0 se desintegra en tres idénticas de masa en reposo m 0. La primera se mueve según -OX con velocidad β 1 = 4/5, la segunda según -OY con velocidad β 2 = 3/5. Determinar la velocidad y dirección de la tercera. Determinar M 0. Cuadrimomento inicial p i = (M 0; 0, 0, 0) γ 1 = (1 (16/25)) 1/2 = 5/3 p 1 = (γ 1m 0; γ 1β 1m 0, 0, 0) = [(5/3)m 0; (4/3)m 0, 0, 0] γ 2 = (1 (9/25)) 1/2 = 5/4 p 2 = (γ 2m 0; 0, γ 2β 2m 0, 0) = [(5/4)m 0; 0, (3/4)m 0, 0] p 3 = (γ 3m 0; γ 3β 3m 0cos θ, γ 3β 3m 0sin θ, 0) Conservación impulso según OX : (4/3)m 0 = γ 3β 3m 0cos θ Conservación impulso según OY : (3/4)m 0 = γ 3β 3m 0sin θ Dividiendo dos últimas ecuaciones : tan θ = 3/4 = 9 θ = 4/3 16 tan 1 (9/16) Sumando cuadrados: γ3β 2 3 2 = β2 3 = (16/9) + (9/16) = 337 = 2.34 1 β3 2 β3 = 0.836 ; γ3 = 1.8 144 Conservación energia: M 0 = (5/3)m 0 + (5/4)m 0 + 1.8m 0 = 4.71m 0 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 54 / 59

Transformaciones Lorentz para campos electromagnéticos Las componentes del cuadripotencial vector A µ = (A 0, A) = (Φ, A) transforman como: Φ = γ(φ ua ) A = γ(a u c 2 Φ) A = A De donde se deducen las siguientes leyes de transformación para los campos E y B: E = E B = B E = γ( E + u B) B = γ( B 1 c 2 u E) Es fácil probar que E B = E B E 2 B 2 = E 2 B 2 NOTA : Por ( ) denotamos las componentes de un vector, A E B, en una dirección paralela (resp. normal) a la dirección del movimiento relativo entre los dos sistemas referencia. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 55 / 59

Campos e.m. : ejemplo E x = E x E y = γ(e y ub z) E z = γ(e z ub y ) B x = B x B y = γ(b y + u c 2 E z) B z = γ(b z u c 2 E y ) Si B = 0 en S Si E = 0 en S B = u E E = u B Si E y B son normales en un sistema de referencia, entonces debe existir otro en que el campo sea puramente eléctrico o puramente magnético Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 56 / 59

Resumen Galileo : x = x ut ; v x = v x u ; a x = a x ; y = y ; t = t Postulados Einstein: Leyes de la Fisica iguales en cualquier sistema inercial. La velocidad de la luz es constante en todos ellos Transformación Lorentz: x = γ(x ut) ; ct = γ(ct βx) ; y = y ; z = z Dilatación temporal : τ = γτ 0 con τ 0= tiempo propio Contracción longitdes: L = L 0/γ con L 0 = longitud propia Ley adicion velocidades : v x = v x +u Efecto Doppler : ν = ν 1 β 1+β Energia en reposo E 0 = m 0 c 2 1+ v x u c 2 Masa relativista : m(v) = γm 0 p = m(v) v = γm 0 v Energia total : E = mc 2 = γm 0c 2 γ = E/E 0 Cuadrivector energia impulso : (E; c p) = (γm 0c 2 ; γm 0c v) β = c p /E Energia cinética relativista : K = E E 0 = (γ 1)m 0c 2 0.5m 0v 2 si β << 1 Invariante : m 2 0c 4 = E 2 c 2 p 2 E = c 2 p 2 + m 2 0 c4 E = pc en L.R. En un sistema aislado: impulso y energia relativista se conservan. Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 57 / 59

Transformaciones Lorentz para aceleraciones Sean dos sistemas, S y S, el segundo se mueve con velocidad u respecto al primero a lo largo de OX. x = γ [x + ut ] dx = γ[dx + udt ] = γ[v x + u] dt t = γ [t + (u/c 2 )x ] dt = γ[1 + u v x/c 2 ] dt Dividiendo las dos primeras ecuaciones: v x = v x +u dv 1+uv x x = dv x (v /c2 1+uv x x +u)dv x u = /c2 (1+uv x /c2 ) 2 c 2 Dividiendo por la expresión para dt resulta: a x = a x a γ 3 (1+uv x /c2 ) 3 x = a x si v γ 3 x = 0 dv x γ 2 (1+uv x /c2 ) 2 Si en el sistema instantáneo propio, S, tenemos a x = g entonces resulta t g dt = u 0 0 γ3 u (u)du gt = 1 u u = gt 2 /c 1+g = dx 2 2 t 2 /c 2 dt dx = gtdt 1+g 2 t 2 /c c2 x(t) = [ 1 + g 2 g 2 t 2 /c 2 1] Por ejemplo si quiero calcular el tiempo necesario para que β = 0.5 β = z z = gt 1 + z 2 c = 1 t = c = 3 107 s 7 meses (27) 3 3g 3 Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 58 / 59

Transformaciones Lorentz : Ejercicio Una nave espacial de longitud propia L 0 navega con velocidad constante, v, relativa a un sistema inercial S. El morro de la nave, A, pasa por el punto A de S en t = t = 0. En ese instante se emite una sonda luminosa desde el morro A a la cola B. Solución: Cuanto tardará la sonda en llegar a B en tiempos de S En que instante t 1 medido en S llega la sonda luminosa a la cola En que instante t 2 medido en S pasa la cola B por A t = L 0/c = τ 0 t 1 = γ(t + vx /c 2 ) = γ(l 0/c L 0v/c 2 ) = γ L 0 c (1 β) = L 0 c t 2 = L 0 γv 1 β 1+β Fernando Barreiro Fundamentos Fisica III, Relatividad especial 59 / 59