MATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS

MATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS

1. IDEA DE POTÈNCIA I DE RADICAL Al llarg de la història, han aparegut molts avenços matemàtics com a solucions a problemes concrets de la vida quotidiana. Així, per exemple, és probable que el càlcul de potències i arrels aparegués davant de la necessitat de distribuir parcel les de terra entre diferents persones. Si tenim una parcel la quadrada de 25 m 2 i volem saber quant mesura cada costat, hem de cercar un nombre que elevat al quadrat doni 25. En aquest cas: 5 5 = 25. Quan seguim aquest procediment, estem calculant una arrel quadrada. Si, en lloc de 25 m 2, la parcel la mesurés 24 m 2, igualment es podria cercar quant mesura el costat: x 2 = 24. Es pot comprovar que cada costat hauria de mesurar, aproximadament, 4,9 m, ja que 4,9 4,9 = 24,01. Per tant, 4,9 és una aproximació a l arrel quadrada de 24. De manera semblant, podem preguntar-nos quin nombre elevat a la tercera, a la quarta, a la cinquena, o a la potència que vulguem, dóna com a resultat un altre nombre. En general, s anomena arrel d ordre n d un nombre aquell altre nombre que, elevat a n, dóna el primer. 2. RADICALS QUADRATS Ja entre els segles VI i V ac es coneixia un tipus de nombres enters positius particular, els nombres quadrats. Els nombres quadrats sorgeixen multiplicant els nombres enters per ells mateixos. De manera recíproca, els nombres enters positius són l arrel quadrada dels nombres quadrats o quadrats perfectes. n2 = m n: arrel quadrada de m. m: quadrat de n. És a dir, que a cada enter positiu (n) li correspon un quadrat perfecte (m). El nombre enter positiu (n) que correspon a cadascun dels quadrats perfectes (m) és la seva arrel quadrada: Aquesta correspondència és molt interessant. Però ja se sap que no només existeixen nombres enters positius; n hi ha més, i tots poden elevar-se al quadrat. Per començar, pot elevar-se al quadrat el 0: 0 2 = 0. Es podria dir, per tant, que 0 és l arrel quadrada de 0. També poden elevar-se al quadrat la resta de nombres reals. Potències i radicals 1

2.1. Radicals no exactes Si s eleva al quadrat un nombre positiu qualsevol, s obté un altre nombre positiu. Com més gran sigui la base, més gran serà el seu quadrat, i viceversa. Per tant, no hi ha dos nombres positius que tinguin el mateix quadrat. Dit d una altra manera, un nombre positiu té una única arrel positiva. Per tant, si a i b són nombres positius, trobarem aquesta correspondència: Les arrels que corresponen als nombres quadrats perfectes són nombres enters positius. Per això s anomenen arrels exactes. 2.2. Radicals quadrats Les arrels quadrades de la resta dels nombres enters positius, en canvi, no poden ser nombres enters. Podrem aproximar tant com volguem aquestes arrels per mitjà de nombres decimals, però mai no podrem escriure-les exactament d aquesta manera, perquè els radicals no exactes són nombres irracionals. Quan el nombre enter no és quadrat perfecte, la seva arrel positiva és un nombre irracional; això vol dir que no pot escriure s, de manera exacta, com a fracció ni com a nombre decimal. Per escriure l, doncs, es pren l opció més econòmica: s utilitza l operació corresponent com a símbol pel nombre. Així, escrivim simplement per ell mateix, dóna 2. per referir-nos a l únic nombre real positiu que, multiplicat Sempre que el radicand no sigui un quadrat perfecte, se segueix el mateix procediment; és a dir, s utilitza un radical per referir-se al nombre corresponent. Índex del radical: indica que l arrel és d ordre 2 símbol de radical radicand En els radicals quadrats no cal escriure l índex. Si un radical no porta un índex explícit, se sobreentén que aquest és igual a 2. Potències i radicals 2

2.3. Arrel entera d un nombre natural Quan el radicand no és un quadrat perfecte, la seva arrel quadrada és un nombre irracional. Tot i això, es pot provar d aproximar-la amb nombres enters, d obtenir-ne l arrel entera. El procediment consisteix a prendre els nombres enters i calcular-ne els quadrats, per tal de comparar-los amb el radicand. L arrel entera d un nombre natural qualsevol és el nombre enter el quadrat del qual s aproxima més al radicand, sense ser més gran que aquest. 2.3.1. Arrels per tempteig Quan el radicand és un nombre gran, seria massa laboriós calcular el quadrat de tots els nombres naturals anteriors a la seva arrel. Per resoldre el problema més ràpidament, es pot seguir el procediment que es proposa en l exemple següent: Volem trobar, per tempteig, aquesta arrel quadrada,. Busquem, per tempteig, l ordre de magnitud de l arrel: Per tant, 10 2 = 100 < 2.000 100 2 = 10.000 > 2.000 Busquem, per tempteig, el valor de les desenes: 20 2 = 400 < 2.000 30 2 = 900 < 2.000 40 2 = 1.600 < 2.000 50 2 = 2.500 > 2.000 Per tant, Finalment, busquem, per tempteig, el valor de les unitats: 41 2 = 1.681 < 2.000 42 2 = 1.764 < 2.000 43 2 = 1.849 < 2.000 44 2 = 1.936 < 2.000 45 2 = 2.025 > 2.000 Potències i radicals 3

Per tant, Òbviament, aquest raonament serveix tant per calcular arrels aproximades com per calcular-ne d exactes. 2.4. Signe del radicand Qualsevol nombre pot ser un radicand? Què representaria? Seria un nombre que, multiplicat per ell mateix, donaria 4. Si el busquem, veiem que no pot ser un nombre positiu, atès que, en multiplicar-lo per ell mateix, s obtindria un altre nombre positiu. 2 2 = 2 2 = 4 Seguim buscant i veiem que tampoc no pot ser un nombre negatiu, perquè, de nou, el seu quadrat seria positiu. ( 2) 2 = ( 2) ( 2) = 4 Per descomptat, no pot ser 0, perquè el quadrat de 0 també és 0. En conseqüència: 0 2 = 0 0 = 0 Cap radical quadrat amb radicand negatiu no pot ser un nombre real. Per tant, sempre que es consideren radicals quadrats, el radicand haurà de ser positiu. 2.5. Arrel positiva i arrel negativa Quan s eleva al quadrat un nombre negatiu, s obté el mateix que en elevar el seu oposat (positiu) al quadrat. ( 2) ( 2) = 4 = 2 2 Per tant, donat un nombre positiu (a), trobarem dues bases (b i b) que, elevades al quadrat, són iguals a aquest nombre: a = b 2 = ( b) 2 Aquestes bases b i b són les arrels quadrades del nombre positiu a; és a dir, tots els nombres positius tenen dues arrels quadrades, sent una d elles el nombre oposat a l altra. Potències i radicals 4

2.6. Radical: operació o nombre Com ja hem dit abans, la manera més precisa d escriure alguns nombres irracionals és utilitzar un radical, ja que no existeix una representació decimal exacta dels mateixos. Per tant, els radicals no han d interpretar-se automàticament com a operacions, sinó que han d esdevenir uns símbols per representar determinats nombres. Com que aquests símbols no porten, inicialment, cap referència al signe del nombre que representen, cal assumir seguint amb el criteri habitual que aquest és positiu. Així doncs, els radicals quadrats han d entendre s com a símbols que representen les arrels quadrades positives dels nombres. Per tant, per referir-nos a l altre nombre que té el mateix quadrat, a l arrel quadrada negativa, que és el nombre oposat a l arrel quadrada positiva, indicarem el seu signe explícitament, talment com faríem amb qualsevol altre nombre. D aquesta manera, sempre que ens trobem davant d un radical, considerarem que representa un nombre del mateix signe que precedeixi explícitament el radical: 2.7. Múltiples d un radical Aquesta notació és important ja que, si no s usa, podrien produir-se confusions força greus. El fet d escriure l oposat d un radical posant el signe al davant equival, de fet, a multiplicar el nombre per 1. Com és obvi, ja que els radicals no deixen de ser nombres reals, es pot multiplicar un radical per un nombre qualsevol. D aquesta manera, s obté un nou radical. En general, un radical d índex 2 té la forma:. El coeficient c pot ser qualsevol nombre real: Si c = 1, no se sol escriure. Si c = 1, s escriu només el signe. Potències i radicals 5

3. OPERACIONS AMB RADICALS D ORDRE 2 3.1. Suma de radicals Sumar radicals és similar a sumar monomis: si els radicals dels sumands són iguals, se sumen els coeficients i es deixa el mateix radical; si els radicals dels sumands no són iguals, es deixa indicada la suma: Exemple: 3.2. Multiplicació i divisió de radicals El producte de dos radicals quadrats és igual a un nou radical del mateix ordre, el radicand del qual és el producte dels dos radicands inicials. Per comprovar si aquesta identitat es compleix, podem elevar al quadrat els dos termes i veure quins resultats obtenim. La divisió de dos radicals quadrats és igual a un nou radical del mateix ordre, el radicand del qual és el quocient dels dos radicands inicials. Potències i radicals 6

De manera anàloga a com hem fet amb la multiplicació, per comprovar si aquesta identitat es compleix, podem elevar al quadrat els dos termes i veure quins resultats obtenim. 3.3. Potència d un radical Un cop sabem multiplicar radicals, podem calcular la potència d un radical. Es fa de la manera següent: En general, per tant, la potència d un radical s obté en elevar el radicand a l exponent que toqui. 3.4. Introducció i extracció de potències Al principi del tema hem vist que quan el radicand és un quadrat perfecte, el resultat és un nombre enter. En aquest cas, direm que 7 i són expressions equivalents. En ambdós casos ens referim al mateix nombre; només els expressem de maneres diferents. És el mateix que succeeix en el cas de les fraccions equivalents. Aquestes equivalències permeten realitzar algunes operacions molt útils quan es tracta amb radicals complicats. Es pot expressar el producte d un nombre per un radical simplement amb un radical equivalent. Sovint es diu que «s introdueix el 3 en el radical». Potències i radicals 7

Es pot extreure del radical un factor que sigui quadrat perfecte. Sovint es diu que «s extreu el 2 del radical». D aquesta manera és possible resoldre expressions aparentment complicades. Especialment, poden efectuar-se sumes que, altrament, només podrien deixar-se indicades: només cal extreure factors del radicand, si és possible. Aleshores, de vegades, s obtenen nous radicals iguals a alguns de presents a l expressió, i es pot procedir a sumar els termes respectius. Exemple: 3.5. Racionalització La divisió entre radicals és una operació que ja hem après a resoldre i que no té, aparentment, cap complicació. Presenta, no obstant, una dificultat força seriosa quan el divisor és un radical no exacte. Aleshores, es complica enormement el control de la precisió de les aproximacions al quocient, quan no es disposa d'una màquina de calcular que resolgui els problemes per nosaltres. La solució a aquesta dificultat s anomena racionalització, i consisteix a esquivar-la de manera intel ligent: La racionalització consisteix a transformar una divisió que té un radical per divisor, en una altra expressió equivalent en què no apareixen radicals en el divisor. En tots els casos, la racionalització es porta a terme mitjançant la multiplicació de l'expressió per la unitat, escrita d'una forma prou intel ligent. Llavors, s'aplica la multiplicació de divisions: dividend per dividend i divisor per divisor. Si s'ha escollit apropiadament la manera d'escriure la unitat, el resultat d'aquesta operació ja no té cap radical al divisor. Potències i radicals 8

3.5.1. Racionalitzar un radical quadrat Si en el divisor hi ha, senzillament, un radical quadrat, només hem de multiplicar el dividend i el divisor per aquest radical, per racionalitzar l expressió. 3.5.2. Racionalitzar una suma Si en el divisor tenim una suma de radicals, s ha de seguir una estratègia una mica més treballada: El factor que s ha d emprar per racionalitzar és la suma del primer radical i de l oposat del segon. Aquest factor s anomena conjugat del divisor. 4. RADICALS D ORDRE SUPERIOR Hi ha problemes, però, que requereixen radicals una mica més complexos. Sabent el volum d un cub, podem calcular quant val la seva aresta seguint un procediment similar a l usat anteriorment: haurem de buscar un nombre que, elevat a 3, doni el volum; és a dir, haurem de calcular l arrel cúbica (tercera) d aquest últim. Exemple: El volum d un cub és de 64 m 3. Llavors, com que: l aresta val: Per tant, s ha de trobar un nombre que, elevat a la tercera potència, sigui igual a 64. El mateix que és possible de portar a terme amb el nombre 3, pot fer-se amb qualsevol altre nombre enter n. Una arrel n-èsima d un nombre és un altre nombre que, elevat a la n-èsima potència, dóna com a resultat el primer. Per representar una arrel n-èsima també s utilitza el símbol de radical. Amb l índex s indica l ordre. Potències i radicals 9

Aquestes arrels s anomenen cúbica (índex = 3), quarta (índex = 4), cinquena (índex = 5), sisena (índex = 6) 4.1. Arrels exactes Si es busca una arrel n-èsima i el radicand és potència n-èsima d un nombre enter, llavors l arrel és exacta. En canvi, si el radicand és un nombre enter que no compleix aquesta propietat, llavors la seva arrel n-èsima és un nombre irracional. 4.2. Radicands negatius Existeixen més diferències entre les arrels quadrades i algunes d ordre superior. Existeix, per exemple, un nombre que elevat al cub és igual a 8. Aquest nombre és 2. Per tant, alguns radicals d ordre superior sí que estan definits per a radicands negatius. 4.3. Radicals d índex parell i senar Quan s eleva un nombre a una potència parella, el resultat sempre és positiu: ( 2) 6 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 64 Així doncs, mai no podrem trobar un valor real per a l arrel sisena de 64: En canvi, si s eleva a una potència senar, el resultat té el mateix signe que tenia el nombre: ( 2) 5 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 32 Per tant, l arrel cinquena de 32 sí que té una resposta real, i ben senzilla: En conclusió: Els radicals d índex parell han de tenir radicands positius. Els radicals d índex senar poden tenir radicands positius i negatius. Potències i radicals 10

Per altra banda: 4.4. Radicals semblants Hi ha dos nombres reals, oposats, que elevats a una potència parella donen un determinat nombre. Per tant, cal escriure explícitament el signe dels radicals d índex parell, com ja indicàrem anteriorment. En canvi, només hi ha un nombre real que elevat a una potència senar doni un determinat nombre. Per tant, el signe dels radicals d índex senar ja està determinat: és el mateix que el del seu radicand. Diem que dos radicals són semblants quan tenen el mateix índex i el mateix radicand 5. OPERACIONS AMB RADICALS 5.1. Operacions amb radicals semblants 5.1.1. Arrels d arrels De la mateixa manera que elevar a la quarta és equivalent a elevar dues vegades al quadrat, una arrel quarta és equivalent a realitzar dues vegades una arrel quadrada. La potència d una potència es calcula multiplicant entre si els exponents. El mateix passa amb les arrels: Calcular l arrel m-èsima de l arrel n-èsima d un nombre és el mateix que calcular l arrel d índex m n del nombre: Pel que fa a la resta d operacions bàsiques entre radicals semblants, són totes tan senzilles com en el cas dels radicals quadrats. Potències i radicals 11

5.1.2. Resum d operacions amb radicals semblants Suma: Producte: Potència: Arrel: 5.2. Operacions amb radicals del mateix ordre Novament, les operacions bàsiques funcionen com abans. En aquest cas, a més, cal tenir present que només poden sumar-se els radicals semblants. En resum: Suma: no pot sumar-se. Excepte si b = d n a. En aquest cas: Producte: En les simplificacions, cal tenir en compte que: 5.3. Operacions amb radicals d ordre diferent Abans de resoldre operacions d aquest tipus cal donar resposta a alguns interrogants: Quan operem amb radicals d índexs diferents, quin és l índex del resultat? Els radicands d arrels d índexs diferents es poden multiplicar directament? Per resoldre ls, un canvi de plantejament serà molt útil. Potències i radicals 12

6. EXPONENTS FRACCIONARIS Si s eleva al quadrat obtenim el següent: és un nombre positiu que elevat al quadrat dóna com a resultat 2. Aquest nombre, doncs, és l arrel quadrada de 2. Així doncs, Aquesta correspondència és totalment general i vàlida per a radicals de qualsevol ordre. Per tant: Un radical d índex n es correspon amb una potència d exponent fraccionari amb denominador igual a n: Per tant, un radical el radicand del qual està elevat a una determinada potència, es pot expressar en forma de potència d exponent fraccionari: Sempre que trobem un exponent fraccionari, interpretarem que es tracta d un radical l índex del qual és igual al denominador, i el radicand del qual està elevat a una potència igual al numerador. Exemple: 6.1. Operacions amb radicals a partir dels exponents fraccionaris 6.1.1. Arrel d un radical Amb la representació de radicals per mitjà de potències d exponent fraccionari, es poden verificar algunes de les propietats treballades anteriorment. L arrel d índex k d una arrel d índex n és igual a una arrel d índex k n: Potències i radicals 13

6.1.2. Introducció i extracció de factors Si llegim l expressió següent d esquerra a dreta veurem com es demostra l expressió de l extracció d un factor d una arrel. Per veure la demostració de la validesa de l expressió de la introducció d un factor cal llegir-la de dreta a esquerra. De les demostracions anteriors ha d aprendre s que els radicals poden modificar-se igual que les fraccions. Aquesta mena de manipulacions permeten portar a terme operacions amb radicals d índexs diferents. 6.1.3. Multiplicació de radicals d ordre diferent Per multiplicar dos radicals d ordre diferent s han de transformar en altres d equivalents, ambdós amb el mateix índex, i aplicar llavors la regla del producte de radicals del mateix ordre. La millor opció és fer que aquest índex comú sigui el mínim comú múltiple dels índexs inicials, tal com passa amb els denominadors de les fraccions. Exemple: Per resoldre expressions complicades, convé expressar tots els radicals com a potències d exponent fraccionari. D aquesta manera, es poden utilitzar totes les propietats del càlcul de potències. La divisió de dos radicals d ordre diferent funciona de manera anàloga. 7. RESUM En aquest tema hem après: Com s usen i què signifiquen els radicals quadrats. A realitzar operacions entre radicals. Com s usen i què signifiquen els radicals d ordre superior. A usar exponents fraccionaris i relacionar-los amb les potències enteres i els radicals. Potències i radicals 14