Tema: Medidas de Asociación con SPSS 1.- Introducción Una de las tareas habituales en el análisis de encuestas es la generación y análisis de tablas de contingencia, para las variables y categorías objetivo de la investigación. Una tarea inicial suele consistir en la generación de múltiples tablas para el cruce de determinadas características de interés (p.e. sexo x nivel salarial), que se suelen acompañar en el informe de la investigación en un anexo denominado Anexo de Tablas. Algunas de las tablas más relevantes se suelen analizar con más detalle, haciendo uso de las llamadas Medidas de Asociación, que son estadísticos aplicados, básicamente, a determinar si dos o más caracteres son o no dependientes entre sí (por ejemplo si las categorías salariales tienen alguna asociación con el sexo). El objetivo de este capítulo es describir cómo realizar un análisis de tablas de contingencia con SPSS, y aplicar el procedimiento correspondiente a tablas de caracteres nominales, que son los de uso común en el análisis de encuestas. No obstante, hay que decir que SPSS puede calcular estadísticos para otros tipos de tablas para datos ordinales, nominal por intervalo, índices de riesgo, etc., que, como decimos, no serán objeto de esta descripción. El procedimiento Tablas de contingencia del SPSS permite generar tablas con cualquier número de dimensiones, aunque los estadísticos que incluye sólo son útiles para analizar tablas bidimensionales (para más de dos criterios de clasificación se habrán de utilizar otros procedimientos, como por ejemplo, el procedimiento Modelos log-lineales). Si especificamos una fila, una columna y un factor de capa (variable de control), el procedimiento Tablas de contingencia crea un panel de medidas y estadísticos asociados para cada valor del factor de capa (o una combinación de valores para dos o más variables de control). Por ejemplo, si sexo es un factor de capa para una tabla de casado (sí, no) en función de vida (vida emocionante, rutinaria o aburrida), los resultados para una tabla de doble clasificación para las mujeres se calculan de forma independiente de los resultados de los hombres y se imprimen en paneles uno detrás del otro. En lo que sigue utilizaremos el fichero demo.sav para ilustrar las distintas opciones del procedimiento. Accedemos a éste en:
.- Consideraciones sobre las variables Para definir las categorías de cada variable, utilizaremos valores de una variable numérica o de cadena corta (ocho caracteres o menos). Por ejemplo, para sexo, codificaríamos los datos como 1 y o como varón y mujer. Para las tablas que consideraremos, supondremos que las variables de la tabla tienen categorías no ordenadas (datos nominales), por tanto no nos tendremos que preocupar por los códigos numéricos que representen las categorías. De no ser así, el procedimiento obtendría resultados equívocos: p.e. en una variable de cadena cuyos valores sean bajo, medio, alto, se interpreta el orden de las categorías alfabéticamente como alto, bajo, medio, orden que no sería el correcto, de tener en cuenta el orden por la magnitud. Como decimos, si se seleccionan una o más variables de capas, se generará una tabla de contingencia por cada categoría de cada variable de capas (variable de control). Por ejemplo, si emplea una variable de fila, una variable de columna y una variable de capas con dos categorías, obtendrá una tabla de doble clasificación por cada categoría de la variable de capas.
Para crear otra capa de variables de control, pulsaremos en Siguiente. Se crean subtablas para cada combinación de categorías para cada variable de la 1ª capa con cada variable de la ª capa, y así sucesivamente. Si se solicitan estadísticos y medidas de asociación, se aplicarán sólo a las tablas de doble clasificación. Veamos la tabla creada con el cuadro de diálogo anterior: Tabla de contingencia Estado civil * en miles * Género Recuento Género Hombre Mujer Estado civil Total Estado civil Total Soltero Casado Soltero Casado en miles Menos de 5$ 5$ - 49$ 50$ - 74$ 75$ o + Total 33 653 75 440 1691 88 57 73 44 1530 611 1180 548 88 31 55 575 77 46 1533 308 633 95 410 1646 563 108 57 836 3179 Podemos observar que se crea una tabla de doble entrada cuyas columnas son las categorías de ingresos y cuyas filas están formadas por el cruce de las variables estado civil y sexo, que es la variable incluida en capa. No obstante, seguidamente se muestra que los estadísticos de asociación que proporciona el programa son los correspondientes a cada una de las tablas (Hombre Mujer) de las categorías de la variable capa:
Género Hombre Mujer Chi-cuadrado de Pearson Razón de verosimilitud Asociación lineal por lineal N de casos válidos Chi-cuadrado de Pearson Razón de verosimilitud Asociación lineal por lineal Pruebas de chi-cuadrado Sig. asintótica Valor gl (bilateral) 7,44 a 3,059 7,447 3,059 3,939 1,047 31 4,636 b 3,00 4,638 3,00 4,479 1,034 N de casos válidos 3179 a. 0 casillas (,0%) tienen una frecuencia esperada inferior a 5. La frecuencia mínima esperada es 60,30. b. 0 casillas (,0%) tienen una frecuencia esperada inferior a 5. La frecuencia mínima esperada es 71,49. 3.- Estadísticos Las medidas de asociación que vamos a describir están basados en el estadístico Chicuadrado. Este estadístico, propuesto por Fisher, es una función de las diferencias entre las frecuencias observadas y las esperadas si los caracteres fuesen independientes. Se calcula como sigue: X ( o = ij e e ij ) i j ij, con e ij = R xc i n j donde o ij son las frecuencias observadas, e ij las frecuencias esperadas, R i el total de la fila i, C j el total de la columna j, y n el número total de casos. Para que las probabilidades de la distribución del estadístico constituyan una buena aproximación a la distribución Chi-cuadrado se deben cumplir algunas condiciones; entre ellas, que las frecuencias esperadas no sean demasiado pequeñas. Suele asumirse que, si existen frecuencias esperadas menores que 5, éstas no deben superar el0 por ciento del total de frecuencias esperadas, de no ser así los resultados se deben interpretar con cautela. La salida del SPSS muestra un mensaje indicando el valor de la frecuencia esperada más pequeña; si existe alguna casilla con frecuencia esperada menor que 5, la salida también muestra el porcentaje que éstas representan sobre el total de casillas de la tabla. Por otra parte, puesto que el estadístico vale 0 en el caso de independencia, es claro que cuanto mayor sea éste, mayor será la asociación entre los caracteres. Dicha asociación será significativa cuando el p-valor asociado al estadístico sea inferior al nivel de significación propuesto (usualmente 0.05). Para el caso de la tabla generada
anteriormente, no hay evidencia para rechazar la independencia entre los caracteres, tanto para hombres como para mujeres. El estadístico chi-cuadrado de Pearson permite contrastar la hipótesis de independencia en una tabla de contingencia, pero no nos dice nada sobre la intensidad de la asociación entre las variables estudiadas. Esto es debido a que su valor depende, no sólo del grado en que los datos se ajustan al modelo de independencia, sino del número de casos de que consta la muestra. Con tamaños muestrales muy grandes, diferencias relativamente pequeñas entre las frecuencias observadas y las esperadas pueden dar lugar a valores chicuadrado demasiado altos. Por esta razón, para estudiar el grado de relación existente entre dos variables se utilizan medidas de asociación que intentan cuantificar ese grado de relación eliminando el efecto del tamaño muestral. Con este objetivo, el procedimiento proporciona además los siguientes estadísticos: Chi-cuadrado de la razón de verosimilitud (Fisher, 194; Neyman y Pearson, 198), se obtiene calculando el valor: Razón = o log e ij oij i j ij Se trata de un estadístico asintóticamente equivalente al Chi-cuadrado (se distribuye e interpreta igual) y es muy utilizado para estudiar la relación entre variables categóricas, particularmente en el contexto de los modelos log-lineales. Estadísticos para tablas x: o Chi-cuadrado con corrección de Yates: el estadístico se calcula restando 0,5 puntos al valor absoluto de las diferencias del estadístico Chi-cuadrado (antes de elevarlas al cuadrado). X ( o e 0. ) ij ij 5 corr = i j eij Algunos autores sugieren que, con muestras pequeñas, esta corrección permite que e] estadístico X se ajuste mejor a las probabilidades de la distribución Chi-cuadrado, pero no existe un consenso generalizado sobre la utilización de esta corrección. o Prueba exacta de Fisher (1935) ofrece, basándose en la distribución hipergeométrica y en la hipótesis de independencia, la probabilidad exacta de obtener las frecuencias de hecho obtenidas o cualquier otra combinación más alejada de la hipótesis de independencia.
Coeficiente de contingencia. Medida de asociación basada en chi-cuadrado. El valor siempre está comprendido entre 0 y 1. El valor 0 indica que no hay asociación entre la fila y la columna y los valores cercanos a 1 indican que hay gran relación entre las variables. No obstante, el valor máximo posible depende del número de filas y columnas de la tabla: C = X X + n Phi y V de Cramer. Phi es una medida de asociación basada en chi-cuadrado que conlleva dividir el estadístico chi-cuadrado por el tamaño muestral y calcular la raíz cuadrada del resultado. V de Cramer es una medida de asociación basada en chi-cuadrado (k es el menor del número de filas o columnas). φ = X n V = X n( k 1) Lambda. Medida de asociación que refleja la reducción proporcional en el error cuando se utilizan los valores de la variable independiente para pronosticar los valores de la variable dependiente. Un valor igual a 1 significa que la variable independiente pronostica perfectamente la variable dependiente. Un valor igual a 0 significa que la variable independiente no ayuda en absoluto a pronosticar la variable dependiente. Coeficiente de incertidumbre. Medida de asociación que indica la reducción proporcional del error cuando los valores de una variable se emplean para pronosticar los valores de la otra variable. Por ejemplo, un valor de 0,83 indica que el conocimiento de una variable reduce en un 83% el error al pronosticar los valores de la otra variable. SPSS calcula tanto la versión simétrica como la asimétrica del coeficiente de incertidumbre. Siguiendo con nuestro ejemplo, los estadísticos que obtendremos para las tablas propuestas son:
Género Hombre Mujer Nominal por nominal N de casos válidos Nominal por nominal N de casos válidos Medidas simétricas Phi V de Cramer a. Asumiendo la hipótesis alternativa. Coeficiente de contingencia Phi V de Cramer Coeficiente de contingencia Sig. Valor aproximada,048,059,048,059,048,059 31,038,00,038,00,038,00 3179 b. Empleando el error típico asintótico basado en la hipótesis nula. Género Hombre Mujer Nominal por nominal Nominal por nominal Lambda Tau de Goodman y Kruskal Coeficiente de incertidumbre Lambda Tau de Goodman y Kruskal Coeficiente de incertidumbre a. Asumiendo la hipótesis alternativa. Medidas direccionales Simétrica Simétrica Simétrica Simétrica b. Empleando el error típico asintótico basado en la hipótesis nula. c. No se puede efectuar el cálculo porque el error típico asintótico es igual a cero. d. Basado en la aproximación chi-cuadrado. e. Probabilidad del chi-cuadrado de la razón de verosimilitud. Error típ. Sig. Valor asint. a T aproximada b aproximada,001,008,067,946,001,019,067,946,000,000. c. c,00,00,059 d,001,001,05 d,001,001 1,365,059 e,00,001 1,365,059 e,001,001 1,365,059 e,005,008,553,580,010,019,553,580,000,000. c. c,001,001,01 d,000,000,16 d,001,001 1,077,00 e,001,001 1,077,00 e,001,001 1,077,00 e 4.- Opciones en las casillas y gráficos Con objeto de ayudar a interpretar las tramas en los datos que contribuyen a una prueba de Chi-cuadrado significativa, el procedimiento Tablas de contingencia muestra las
frecuencias esperadas y tres tipos de residuos (desviaciones) que miden la diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas. Cada casilla de la tabla puede contener cualquier combinación de recuentos, porcentajes y residuos seleccionados. El cuadro de diálogo es: Las opciones son: Frecuencias: El número de casos realmente observados y el número de casos esperados si las variables de fila y columna son independientes entre sí. Porcentajes: Los porcentajes se pueden sumar a través de las filas o a lo largo de las columnas. También se encuentran disponibles los porcentajes del número total de casos representados en la tabla (una capa). Residuos.: Los residuos brutos no tipificados presentan la diferencia entre los valores observados y los esperados. También se encuentran disponibles los residuos tipificados y tipificados corregidos. o No tipificados. Diferencia entre un valor observado y el valor pronosticado. El valor pronosticado es el número de casos que se esperarían en la casilla si no hubiera relación entre las dos variables. Un residuo positivo indica que hay más casos en la casilla de los que habría en ella si las variables de fila y columna fueran independientes. o Tipificados. Es el residuo dividido por una estimación de su desviación típica. Los residuos tipificados, que son conocidos también como los residuos de Pearson o residuos estandarizados, tienen una media de 0 y una desviación típica de 1. o Tipificados corregidos. El residuo de una casilla (valor observado menos valor pronosticado) dividido por una estimación de su error típico. El residuo tipificado resultante viene expresado en unidades de desviación típica, por encima o por debajo de la media.
Ponderaciones no enteras. Los recuentos de las casillas suelen ser valores enteros, ya que representan el número de casos de cada casilla. Sin embargo, si el archivo de datos está ponderado en un momento determinado por una variable de ponderación con valores fraccionarios (por ejemplo, 1.5), los recuentos de las casillas pueden que también sean valores fraccionarios. Podemos truncar o redondear estos valores antes o después de calcular los recuentos de las casillas o bien utilizar recuentos de casillas fraccionarios en la presentación de las tablas y los cálculos de los estadísticos. El procedimiento muestra los gráficos de barras agrupadas por grupos de casos. Hay una agrupación de barras por cada valor de la variable especificada en el cuadro Filas. La variable que define las barras dentro de cada agrupación es la variable especificada en el cuadro Columnas. Por cada valor de esta variable hay un conjunto de barras de distinto color o trama. Si especifica más de una variable en Columnas o en Filas, se generará un gráfico de barras agrupadas por cada combinación de dos variables. En nuestro ejemplo, los gráficos asociados son: Género=Hombre Género=Mujer 700 600 Categoría de ingresos en miles Menos de 5$ 5$ - 49$ 50$ - 74$ 75$ o + 700 600 Categoría de ingresos en miles Menos de 5$ 5$ - 49$ 50$ - 74$ 75$ o + 500 500 Recuento 400 300 Recuento 400 300 00 00 100 100 0 Soltero Estado civil Casado 0 Soltero Estado civil Casado