TEMA 4.- Campo magnético

TEMA 4.- Campo magnético CUESTIONES 31.- a) Dos conductores rectos y paralelos están separados 10 cm. Por ellos circulan, respectivamente, corrientes de 10 A y 20 A en el mismo sentido. Determine a qué distancia de los conductores se anula el campo magnético. b) Una varilla de 200 g y 400 cm de longitud es recorrida por una intensidad de 2 A que circula de iz - quierda a derecha. Si la varilla se encuentra a una cierta altura sobre el suelo colocada horizontalmente, determine el campo magnético (módulo, dirección y sentido) necesario al que debe estar sometida para no caer. Considere g = 10 m s -2. a) Observar en la figura de la izquierda que la única zona del espacio en la que puede anularse el campo magnético total es la comprendida entre ambos conductores, pues en ella los campos que crean las dos corrientes tienen sentidos contrarios (recordar que el campo magnético que crea una corriente rectilínea a su alrededor circula alrededor de ella en un plano perpendicular a la misma). Para que el campo magnético total sea nulo, deberá cumplirse que: B = B 1 + B 2 = 0 B 1 = B 2 μ I 0 1 2π x = μ 0 I 2 x = 0 033 m 2π (d x) b) Observar en la figura de la derecha que la fuerza magnética que debe existir sobre la varilla debe estar dirigida en sentido contrario a su peso para que no se caiga; como la fuerza magnética es perpendicular al plano formado por el hilo y por el campo magnético, entonces éste deberá estar dirigido hacia dentro del papel. Su valor se calcula igualando las fuerzas gravitatoria y magnética: P + F m = 0 P = F m mg = ILBsen φ B = mg 0 2 10 = = 0 25 T IL 2 4 donde hemos tenido en cuenta que el ángulo formado entre la corriente y el campo magnético es φ = 90º. 32.- Una espira cuadrada está cerca de un conductor, recto e indefinido, recorrido por una corriente I. La espira y el conductor están en un mismo plano. Con ayuda de un esquema, razone en qué sentido circula la corriente inducida en la espira: a) Si se aumenta la corriente en el conductor. b) Si, dejando constante la corriente en el conductor, la espira se aleja de éste manteniéndose en el mismo plano. a) Si se aumenta la corriente en el conductor, entonces aumentará el valor del campo magnético creado por el mismo, pues éste es directamente proporcional a la intensidad de corriente: B = μ 0 I 2πd Si aumenta el valor del campo magnético, entonces también aumenta el flujo magnético (o cantidad de líneas Departamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 28

Cuestiones y problemas resueltos de Física 2º Bachillerato Curso 2013-2014 de fuerza) que atraviesa la espira: Φ = B S cos α = B S pues el ángulo formado entre el campo magnético y el vector superficie de la espira es 0, tal y como se indica en la figura de la derecha. Finalmente, y de acuerdo con la ley de Faraday, si aumenta el flujo magnético que atraviesa la espira entonces se induce una f.e.m. en la misma, la cual da lugar a una corriente eléctrica. El sentido de dicha corriente viene dado por la ley de Lenz, la cual establece que el sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético que crea se opone a la variación de flujo que la produjo. En la situación en que aumenta el flujo magnético, la corriente eléctrica inducida en la espira debe circular de manera que el campo magnético que crea se oponga a dicho aumento; así pues, el campo magnético creado por la corriente inducida debe salir del papel, por lo que la corriente inducida en la espira deberá circular en sentido antihorario. b) Si la corriente en el conductor permanece constante y la espira se aleja de éste, entonces, de acuerdo con la expresión del campo magnético indicada en el apartado anterior, el valor del campo magnético disminuye al aumentar la distancia entre ésta y la corriente. Al disminuir el campo magnético, entonces disminuye el flujo magnético que atraviesa la espira, por lo que, de acuerdo con la ley de Faraday, aparecerá una f.e.m. en ella que dará lugar a una corriente eléctrica inducida. El sentido de dicha corriente viene dado por la ley de Lenz, la cual establece que el sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético que crea se opone a la variación de flujo que la produjo. En la situación en que disminuye el flujo magnético, la corriente eléctrica inducida en la espira deberá circular de manera que el campo magnético que crea se oponga a dicha disminución; así pues, el campo magnético creado por la corriente inducida deberá entrar en el papel, por lo que la corriente inducida en la espira de berá circular en sentido horario. De esta manera, aumenta el campo magnético total y, por tanto, el flujo magnético. 33.- La figura adjunta representa un imán sobre el eje Z de un sistema de coordenadas y una espira circular en el plano XY. Explique si existe o no corriente eléctrica inducida en la espira en cada uno de los siguientes casos, razonando el sentido de circulación de la corriente en aquellos casos donde aparezca: i) posición fija de espira e imán; ii) posición fija de la espira, pero se aleja el imán; iii) posición fija del imán, pero se acerca la espira. El imán crea un campo magnético a su alrededor, el cual es siempre tangente a las líneas de fuerza, las cuales salen de su polo norte y entran por su polo sur. i) Si la espira y el imán permanecen fijos, entonces no varía la cantidad de líneas de fuerza que atraviesan la espira (o flujo magnético), por lo que, de acuerdo con la ley de Faraday, no existirá una f.e.m. inducida en ella (ni, por tanto, una corriente eléctrica). ii) Si se aleja el imán, entonces disminuye la cantidad de líneas de fuerza del campo magnético que atraviesan la espira (o flujo magnético), por lo que, de acuerdo con la ley de Faraday, aparecerá una f.e.m. inducida en la espira que dará lugar a una corriente eléctrica. El sentido de dicha corriente viene dado por la ley de Lenz, la cual establece que el sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético que crea se opone a la variación de flujo que la produjo. Así pues, la corriente eléctrica inducida deberá circular en sentido Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com) 29

horario, pues de esa manera aumenta la cantidad de líneas de fuerza que la atraviesan, oponiéndose así a la disminución provocada al alejar el imán. iii) Si se acerca la espira, entonces aumenta la cantidad de líneas de fuerza del campo magnético que atraviesan la espira (o flujo magnético), por lo que, de acuerdo con la ley de Faraday, aparecerá una f.e.m. inducida en la espira que dará lugar a una corriente eléctrica. El sentido de dicha corriente viene dado por la ley de Lenz, la cual establece que el sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético que crea se opone a la variación de flujo que la produjo. Así pues, la corriente eléctrica inducida deberá circular en sentido antihorario, pues de esa manera se genera un campo magnético que tiene sentido contrario al producido por el imán, provocando una disminución del flujo magnético y oponiéndose así al aumento provocado al acercar la espira el imán. 34.- a) Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: Si una partícula cargada se desplaza a una cierta velocidad, sin desviarse, en una cierta región del espacio entonces puede asegurarse que en esa región no existe ningún campo magnético. b) Un haz de protones atraviesa sin desviarse una zona en la que existen un campo eléctrico y uno magnético. Razone qué condiciones deben cumplir esos campos. a) Es falsa. La fuerza magnética existente sobre una carga q que se mueve a una cierta velocidad v dentro de un campo magnético B viene dada por la ley de Lorentz: F = q v B De la expresión anterior deducimos que si la partícula se mueve paralelamente al campo magnético, no se ejercerá sobre ella ninguna fuerza magnética, con lo que proseguirá su movimiento sin desviarse. b) Observar el dibujo de la derecha. Consideremos que el protón se mueve hacia la derecha; si se encuentra dentro, simultáneamente, de un campo eléctrico y de un campo magnético estará sometido a una fuerza eléctrica y a una fuerza magnética. Si el campo eléctrico apunta hacia abajo, también lo hará la fuerza eléctrica, pues ambos vectores tienen el mismo sentido si la carga es positiva: F e = q E De acuerdo con la ley de Lorentz, la fuerza magnética es perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y campo magnético, y su sentido viene dado al girar un vector sobre el otro; su expresión es la siguiente: F m = q v B De acuerdo con lo dicho, si la fuerza magnética debe ir dirigida hacia arriba para contrarrestar a la eléctrica, el campo magnético deberá entrar en el papel. Para determinar el valor de la velocidad que debe tener el protón de manera que no se desvía igualamos los valores de ambas fuerzas (pues al tener sentidos contrarios su resultante será nula si los módulos de ambos vectores son iguales): F e = F m F e = F m q E = q vb sen φ v = E B donde hemos tenido en cuenta que el ángulo que forman el vector velocidad y el campo magnético es φ = 90º. Así pues, para que un haz de protones atraviese sin desviarse una zona del espacio en la que existen un Departamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 30

Cuestiones y problemas resueltos de Física 2º Bachillerato Curso 2013-2014 campo eléctrico y otro magnético debe tener una velocidad cuyo valor es el que acabamos de calcular y cuya dirección y sentido es perpendicular a ambos campos, tal y como se muestra en la imagen anterior. Así pues, los campos eléctrico y magnético deberán ser perpendiculares entre sí. 35.- a) Si una partícula cargada en movimiento penetra en una región en la que existe un campo magnético siempre actúa sobre ella una fuerza. Verdadero o falso? b) Cómo debe situarse un disco en un campo magnético para que el flujo magnético que lo atraviese sea cero? a) La afirmación es falsa. Cuando una carga se mueve dentro de un campo magnético experimenta una fuer - za magnética que es perpendicular al plano formado por el vector velocidad y el vector campo magnético: F m = q v B F m = qvbsen ϕ Si la carga se mueve paralelamente al campo magnético, entonces sen φ = 0, de manera que no experimentará fuerza magnética. b) En la figura de la derecha se muestra un disco dentro de un campo magnético. Observar que para que sea nulo el flujo magnético que lo atraviesa el disco debe colocarse paralelamente a las líneas de fuerza del campo, o lo que es lo mismo, de manera que su vector superficie y el vector campo magnético sean perpendiculares. En efecto, entonces se cumplirá que: Φ = B S = B S cos 90º = 0 PROBLEMAS 36.- Sobre el eje Z de un sistema de coordenadas existe un hilo metálico rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente de intensidad 10 A en el sentido positivo de dicho eje. a) Dibuje las líneas de fuerza del campo magnético que crea dicha corriente a una cierta distancia de ella. Calcule el campo magnético (módulo, dirección y sentido) en un punto situado sobre el eje Y a 5 cm del hilo. b) Un protón se encuentra en un instante dado moviéndose a una velocidad v = 10 4 k m s 1 en un punto situado sobre el eje Y a 5 cm del hilo. Calcule la fuerza (módulo, dirección y sentido) que se ejerce sobre él y el periodo de su movimiento. μ 0 = 4π 10-7 T m A -1 ; e = 1 6 10-19 C; m p = 1 7 10-27 kg a) Las líneas de fuerza del campo magnético que crea la corriente rectilínea a su alrededor vienen indicadas en la figura de la derecha; observar que son perpendiculares al hilo metálico y que el campo magnético circula en sentido antihorario alrededor de él. En un punto situado sobre el eje Y a 5 cm del hilo el campo magnético irá dirigido en el sentido negativo del eje X; su valor depende de la intensidad de la corriente y de la distancia de la manera siguiente: B = μ I 0 4π 10 7 10 = 2π d 2π 0 05 = 4 10 5 T b) La fuerza magnética que existe sobre una carga q que se mueve a una cierta velocidad v dentro de un campo magnético B viene dada por la ley de Lorentz: Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com) 31

F m = q v B La fuerza magnética es perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y campo magnético, y su sentido viene dado al girar un vector sobre el otro. De acuerdo con lo dicho, la fuerza magnética irá dirigida hacia el hilo metálico, y como es siempre perpendicular a la velocidad del protón dará lugar a que éste comience a moverse describiendo una circunferencia (m.c.u.); el valor de dicha fuerza es el siguiente: F m = qvbsen φ = 1 6 10-19 10 4 4 10-5 = 1 6 10-20 N donde hemos tenido en cuenta que el ángulo que forman el vector velocidad y el campo magnético es φ = 90º. Para determinar el periodo del m.c.u. que comienza a describir el protón al estar sometido a la fuerza magné - tica partimos de la siguiente expresión: T = 2π ω = 2π R v Para determinar el radio de la trayectoria circular del protón debemos tener en cuenta que la fuerza centrípeta que lo mantiene en su trayectoria es ejercida por la fuerza magnética: F c = F m m v 2 R = qvb R = m v q B Sustituyendo esta expresión del radio en la expresión del periodo, nos queda: T = 2π m q B = 2π 1 7 10 27 1 6 10 19 4 10 = 5 1 67 10 3 s 37.- Dos hilos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos, por los que circulan corrientes de 2 A y 4 A en sentidos opuestos, están separados 60 cm. a) Determine el campo magnético (módulo, dirección y sentido) en un punto situado a 20 cm del primer hilo y a 80 cm del segundo. b) Calcule razonadamente la fuerza por unidad de longitud que se ejercen entre sí, indicando si es atractiva o repulsiva. μ 0 = 4π 10-7 T m A -1 a) Un punto situado a 20 cm del primer hilo y a 80 cm del segundo deberá estar situado 20 cm a la izquierda del primer conductor, tal y como se muestra en la figura. En dicho punto, los campos creados por ambos conductores tienen sentidos contrarios (pues el campo creado por I 1 circula en sentido antihorario y el creado por I 2 tiene sentido horario), por lo que para saber la dirección y sentido del campo magnético total debemos calcular en primer lugar los valores de ambos campos magnéticos: B 1 = μ I 0 4π 10 7 2 = 2π d 2π 0 2 = 2 10 6 T B 2 = μ 0 I 2π d = 4π 10 7 4 2π 0 8 = 10 6 T Departamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 32

Cuestiones y problemas resueltos de Física 2º Bachillerato Curso 2013-2014 Como ambos campos tienen sentidos contrarios y B 1 > B 2, entonces el campo magnético total sale del papel; su valor será: B = B 1 B 2 = 10-6 T b) Observar la figura de la izquierda; cada conductor crea un campo magnético a su alrededor, de manera que existirá una fuerza magnética sobre cada conductor debida al campo magnético que crea el otro. Las direcciones y sentidos de los campos magnéticos creados por cada hilo en el lugar donde se encuentra el otro entran en el papel, pues ambos circulan alrededor de las mismas en un plano perpendicular a ellas. Ahora bien, la fuerza magnética ejercida sobre una corriente rectilínea de longitud L y de intensidad I que se encuentra dentro de un campo magnético viene dada por la 1ª ley de Laplace: F m = I L B Así pues, las fuerzas magnéticas sobre los conductores son perpendiculares a los planos formados por ellos y por los campos magnéticos a que están sometidos, y su sentido viene determinado por el giro del vector L (sentido de la corriente) sobre el vector B. Así deducimos que las fuerzas magnéticas sobre los conductores son repulsivas; su valor se calcula a partir de la 1ª ley de Laplace: F 1 = I 1 L B 2 = I 1 L μ0 I 2 2π d F 1 L = μ I I 0 1 2 2 πd F 2 = I 2 L B 1 = I 2 L μ0 I 1 2πd F 2 L = μ I I 0 1 2 2π d Observar que la fuerza por unidad de longitud con que los conductores se repelen son iguales; su valor será: F L = μ I I 0 1 2 2 π d = 4 π 10 7 2 4 = 2 67 10 6 N m 1 2 π 0 6 38.- Una espira cuadrada de 5 cm de lado, situada en el plano XY y que se desplaza con velocidad v = 0,02 i m s -1, penetra en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme B = - 0,2 k T. a) Calcule la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira, en función del tiempo, mientras ésta penetra en el campo magnético. b) Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira y haga un esquema que indique el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica inducida, indicando en qué ley física se basa. Existe corriente eléctrica en la espira mientras ésta se mueve dentro del campo magnético? a) Mientras la espira penetra dentro del campo magnético, el flujo magnético que la atraviesa depende del campo magnético, de la superficie de la espira que es atravesada por las líneas de fuerza del campo magnético (es decir, de la superficie de la espira que se encuentra dentro del campo) y del ángulo que forman los vectores campo magnético y superficie, que en este caso (ver figura a la derecha) es de 180º: Φ = B S = B S cos α = B S = B L x donde x es la longitud de la espira que ha penetrado en el campo magnético. Como se mueve con velocidad constante, si ha tardado un tiempo t en penetrar una distancia x, tendremos que x = v t; así pues, el flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo será: Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com) 33

Φ(t) = - BLvt = - 0 2 0 05 0 02 t = - 2 10-4 t Wb b) Conforme la espira penetra en el campo magnético varía la superficie de la misma que es atravesada por las líneas de fuerza del mismo, por lo que al variar el flujo magnético que la atraviesa (aumenta progresivamente) existirá una fuerza electromotriz inducida en la misma, de acuerdo con la ley de Faraday. Dicha f.e.m. se calcula de la manera siguiente: ε = dφ dt = BLv = 2 10 4 V Observar que la f.e.m. inducida en la espira es constante, por lo que la corriente eléctrica inducida en la espira mientras ésta penetra en el campo magnético será una corriente continua. El sentido de dicha corriente viene dado por la ley de Lenz, la cual establece que el sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético que crea se opone a la variación de flujo que la produjo. Como el flujo magnético aumenta, el campo magnético que crea la corriente inducida deberá circular de tal manera que se oponga a dicho aumento, esto es, generando un campo magnético dirigido en sentido contrario al ya existente. Así pues, la corriente inducida se moverá en sentido antihorario. Por último, mientras la espira se mueve dentro del campo magnético no varía ni dicho campo magnético, ni la superficie de la espira que es atravesada por las líneas de fuerza del campo ni el ángulo que forman los vectores campo magnético y superficie. De acuerdo con la ley de Faraday, si no existe variación de flujo magnético tampoco existirá f.e.m. inducida en la espira ni, por tanto, corriente eléctrica. 39.- Un protón, tras ser acelerado por una diferencia de potencial de 10 5 V, entra en una región del espacio en la que existe un campo magnético de dirección perpendicular a su velocidad, describiendo una trayectoria circular de 30 cm de radio. a) Con ayuda de esquemas, explique las direcciones y sentidos de las fuerzas, velocidad, campo eléctrico y campo magnético implicados. Calcule la velocidad con que el protón penetra en el campo magnético. b) Calcule razonadamente la intensidad del campo magnético. Cómo variaría el radio de la trayectoria si se duplicase el campo magnético? e = 1 6 10-19 C; m p = 1 7 10-27 kg a) En el esquema de la derecha aparecen representados los campos eléctrico (entre las placas de un condensador) y magnético, las fuerzas eléctrica y magnética y la velocidad del protón tras ser acelerado por la diferencia de potencial entre las placas del condensador. Observar los siguientes aspectos: La fuerza eléctrica tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico al ser positiva la carga eléctrica que se mueve: F e = q E La fuerza magnética que existe sobre el protón tras ser acelerado por la diferencia de potencial y alcanzar una cierta velocidad v y penetrar dentro de un campo magnético B viene dada por la ley de Lorentz: F m = q v B Su dirección es perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y campo magnético, y su sentido viene dado al girar un vector sobre el otro. De acuerdo con lo dicho, la fuerza magnética irá dirigida hacia arriba. Departamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 34

Cuestiones y problemas resueltos de Física 2º Bachillerato Curso 2013-2014 Como la fuerza magnética es perpendicular en todo momento a la velocidad del protón, éste describirá una trayectoria circular (de 30 cm de radio), siendo dicha fuerza la fuerza centrípeta responsable de dicho movimiento. Para calcular la velocidad con que el protón penetra en el campo magnético debemos tener en cuenta que, mientras el protón se mueve dentro del campo eléctrico existente entre las placas del condensador, lo hace dentro de un campo conservativo, por lo que su energía mecánica permanece constante. Si consideramos A y B las placas positiva y negativa del condensador (o posiciones inicial y final del movimiento del protón) tendremos: ΔE = 0 E B E A = 0 (E cb + E pb ) (E ca + E pa ) = 0 ½ mv B 2 + qv B qv A = 0 Despejando la velocidad del protón, nos queda: 2q Δ V v B = = 2 1 6 10 19 10 5 = 4 34 10 6 m s 1 m 1 7 10 27 b) Para calcular la intensidad del campo magnético tenemos en cuenta que la fuerza magnética es la fuerza centrípeta que origina el m.c.u. del protón; así pues: F c = F m m v 2 R = qvbsen φ B = m v q R = 1 7 10 27 4 34 10 6 1 6 10 19 0 3 = 0 15 T donde hemos tenido en cuenta que el ángulo que forman el vector velocidad y el campo magnético es φ = 90º. Finalmente, de la expresión anterior podemos determinar el radio de la trayectoria del protón: R = m v q B De la expresión anterior deducimos que si se duplica el campo magnético, entonces el radio de la trayectoria se hace igual a la mitad. 40.- Una espira de 10 cm de radio se coloca en un campo magnético uniforme de 0 4 T y se la hace gi - rar con una frecuencia de 20 Hz. En el instante inicial la espira es perpendicular al campo. a) Escriba la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo y determine el valor máximo de la f.e.m. inducida. b) Explique cómo cambiarían los valores máximos del flujo magnético y de la f.e.m. inducida si se duplicase el radio de la espira. Y si se duplicara la frecuencia de giro? a) El flujo magnético que atraviesa la espira depende del campo magnético, de la superficie de la espira y del ángulo que forman ambos vectores: Φ = B S = B S cos α = B π R 2 cos 2π ft donde hemos tenido en cuenta que, al girar con m.c.u., el ángulo α que gira la espira depende del tiempo de la manera siguiente: ω = α t α = ωt = 2π T t = 2 π f t donde f = 1/T es la frecuencia de giro de la espira. Salvador Molina Burgos (salvador@iesleopoldoqueipo.com) 35

Sustituyendo, nos queda: Φ = 0 4 π 0 1 2 cos 2π 20 t = 0 0126 cos 40πt Wb Observar que el flujo magnético depende periódicamente del tiempo, lo cual significa que sus valores se van repitiendo conforme gira la espira. El valor máximo del flujo se alcanza cuando cos 40πt = 1, con lo que Φ máx = 0 0126 Wb. b) De acuerdo con la ley de Faraday, al variar el flujo magnético que atraviesa la espira entonces aparece una f.e.m. en la misma que se calcula de la manera siguiente: ε = d Φ dt = B π R 2 2π f sen 2π ft ε máx = 2π 2 f B R 2 V Tanto el valor máximo del flujo como de la f.e.m. inducida dependen del cuadrado del radio de la espira; si se duplica dicho radio, entonces ambos valores máximos se harán 4 veces mayores. Si se duplica la frecuencia de giro, entonces el valor máximo del flujo no cambia (pues no depende de la fre - cuencia) mientras que el valor máximo de la f.e.m. inducida se hará el doble. Departamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 36