CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS II UNIDAD 3 POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA

CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUIOS II UNIDAD 3 POENCIA EN CORRIENE ALERNA 3.1 INRODUCCIÓN 3. POENCIA INSANÁNEA 3..1 SÍMBOLO Y UNIDAD 3.. MODELO MAEMÁICO 3.3 POENCIA MEDIA 3.4 POENCIA REACIA 3.5 POENCIA APARENE 3.6 POENCIAS EN UN CIRCUIO QUE CONIENE UNA SOLA RESISENCIA 3.7 POENCIAS EN UN CIRCUIO QUE CONIENE UNA SOLA INDUCANCIA 3.8 POENCIAS EN UN CIRCUIO QUE CONIENE UNA SOLA CAPACIANCIA 3.9 RELACIONES ENRE LAS DIFERENES CLASES DE POENCIAS 3.9.1 POENCIA EN EL CIRCUIO RL EN SERIE 3.9. DIAGRAMA FASORIAL DE OLAJES 3.9.3 RELACIONES ENRE LAS DIFERENES POENCIAS 3.9.4 EJEMPLO NUMÉRICO 3.9.5 POENCIA EN EL CIRCUIO RLC EN SERIE 3.9.6 DIAGRAMA FASORIAL DE OLAJES 3.9.7 RELACIONES ENRE LAS DIFERENES POENCIAS 3.9.8 EJEMPLO RESUELO 3.10 POENCIA COMPLEJA 3.10.1 POENCIA COMPLEJA EN LOS ELEMENOS SIMPLES 3.11 DIFERENES FORMAS DE DESCRIBIR UNA CARGA ELÉCRICA 3.1 PROBLEMAS PROPUESOS 30/08/07 Página 1 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUIOS II UNIDAD 3 POENCIA EN CORRIENE ALERNA 3.1 INRODUCCIÓN Después de haber definido el voltaje instantáneo y la corriente instantánea para cada elemento que es componente de un circuito eléctrico, como también las diferentes relaciones entre el fasor voltaje y el fasor corriente en el dominio de la frecuencia, corresponde ahora incursionar en el concepto de potencia en el dominio del tiempo y después en el dominio de la frecuencia. Por lo anterior, examinaremos los conceptos de: Potencia Instantánea, Potencia Real o Promedio, Reactiva y Aparente, ransferencia de Potencia Máxima, Factor de potencia, Potencia compleja y Medición de la Potencia. 3. POENCIA INSANÁNEA Definición de Potencia: La potencia o trabajo por unidad de tiempo suministrada o absorbida por algún elemento (simple o compuesto del circuito, es igual, al producto del voltaje instantáneo a través del elemento por la corriente instantánea que circula por él. Definición de Potencia Instantánea: Se le da el nombre de Potencia Instantánea al valor de la potencia en cualquier instante de tiempo, por lo tanto, en lenguaje matemático, corresponde a una ecuación en función del tiempo, del tal manera, que cuando se desee el valor de la potencia en un instante(tiempo cualquiera, se pueda obtener, reemplazando el tiempo(instante en la ecuación. 3..1 SÍMBOLO Y UNIDAD La potencia instantánea se simboliza por una p (t y su unidad básica es el oltiamperio (A 3.. MODELO MAEMÁICO A continuación se presenta un circuito en donde un generador de corriente alterna le suministra energía a una impedancia como carga, representa la impedancia equivalente del circuito v f (t i (t v z (t El voltaje instantáneo del generador o fuente es v f(t La corriente instantánea de la fuente es i (t El voltaje instantáneo de la impedancia es v z(t La corriente instantánea de la carga es i (t El generador está produciendo mientras que la carga o impedancia está consumiendo anto el voltaje del generador v f (t, como el voltaje de la carga v z (t, se pueden expresar por m Cos(w t + θ v, y la corriente del generador como la de la carga por Im Cos(w t + θ i, esto es: v f (t = v z (t = m Cos(w t + θ v ; i (t = Im Cos(w t + θ i Los respectivos fasores en el dominio de la frecuencia serán: f = z = m θ v ; I = I m θ i De tal forma que la impedancia queda definida por: z z θ v m = = = I θ v - θi = [ ] θz, por lo tanto, el ángulo de desfasamiento entre el voltaje y la I I θi corriente está representado por: θ z = θ v - θ i Nota: Este ángulo θ z es constante a través del tiempo La potencia instantánea producida por la fuente o generador es: p (t = v f (t * i (t 30/08/07 Página de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

La potencia instantánea absorbida por la carga o impedancia es: p (t = v f (t * i (t Por lo tanto, la expresión para la potencia producida y absorbida es la misma e igual a: p (t = m Cos(w t + θ v * Im Cos(w t + θ i Expresión que se puede simplificar incluyendo el ángulo de desfasamiento θz Utilizando la identidad trigonométrica Cos(a Cos(b = ½[Cos(a - b + Cos(a + b], la expresión de potencia se puede rescribir como : m Im p(t = [ Cos( θv - θi + Cos( w t + θv + θi ] Reemplazando la expresión en función del ángulo de desfase θ z = θ v - θ i m Im p(t = [ Cos( θ + Cos( w t + θi + θ ] Simplificando la función coseno de la derecha y reagrupando nuevamente la expresión quedará: p(t = Cos( θ + Cos( θ Cos(wt + θi - Sen( θ Sen(wt + θi La expresión para la potencia instantánea está compuesta por tres términos, el primero es constante o no depende del tiempo, el segundo es función del tiempo y varía cosenoidalmente con el doble de la frecuencia del voltaje o de la corriente, el tercero es idéntico al segundo pero su variación es senoidal. Dependiendo de la clase de circuito la corriente puede estar atrasada o adelantada del voltaje, por lo tanto, θ z puede ser negativo o positivo y como se cumplen las siguientes expresiones trigonométricas Cos(±θ z = Cos(θ z ; Sen(-θ z = - Sen(θ z la expresión para la potencia instantánea puede escribirse de la forma siguiente: p = Cos(θ + Cos(θ Cos(wt + θ + Sen(θ Sen(wt + θ (t i 3.3 POENCIA MEDIA Si a la potencia instantánea le aplicamos la fórmula de potencia media presentada anteriormente, tendremos: 1 Pm = [ Cos(θ + Cos(θ Cos(wt + θi + Sen(θ Sen(wt + θi ] dt 0 Después de efectuar la integración indicada la potencia media quedará: Pm = Cos(θ = Cos(θ La potencia media también recibe los nombres siguientes: PROMEDIO, REAL, ACIA, CONSUMIDA, ABSORBIDA, y se simboliza por P Los nombres de media, promedio, real, activa, pueden hacer referencia tanto a la fuente o el generador como a la carga, mientras que los nombres de consumida y absorbida hacen referencia a la carga solamente. Con relación al circuito al que se le está calculando la potencia, podremos indicar que: P = Cos(θ es la potencia real o activa producida por el generador o la potencia real o activa absorbida por la carga. Por lo tanto, la potencia media o real o activa es la suma de las potencias consumidas o absorbidas por todas las resistencias individuales que conforman el circuito. La expresión P = Cos(θ hace referencia a los valores máximos del voltaje y de la corriente en el dominio del tiempo y al desfasamiento entre las ondas. Esta expresión se puede convertir en P = efic I efic Cos(θ, en donde hace referencia a los valores eficaces del voltaje y de la corriente en el dominio de la frecuencia y al desfasamiento entre las ondas. NOA: En la representación fasorial, también se utiliza para la magnitud del vector giratorio el valor eficaz y no el valor máximo, por la cual, al girar el vector de magnitud efic engendra una onda que es raíz de dos veces menor que la onda real. O sea que, para pasar del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo, el valor máximo se puede determinar a partir del valor eficaz, multiplicando por raíz de dos. i 30/08/07 Página 3 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

La unidad de la potencia real es el oltiamperio real o vatio (w, la cual es la misma unidad de potencia en corriente continua. Al término Cos(θ z se le denomina Factor de Potencia. Por lo tanto, el factor de potencia es el coseno del ángulo de desfase entre el voltaje y la corriente del generador o la carga. Para conocer si la fuente del circuito presentado está produciendo o absorbiendo energía, se obtiene la potencia promedio a partir de los valores eficaces y el coseno del ángulo entre los fasores de voltaje y corriente utilizando la convención de los signos para elementos activos, es decir, si la dirección de la corriente de referencia entra en el terminal negativo de la fuente y la potencia promedio es positiva, entonces la fuente está produciendo o suministrando energía. Si la respuesta es negativa, entonces la fuente está absorbiendo energía. Observe que una vez que se adopta y se usa la convención de signos, el signo para la potencia promedio será negativo solo si el desfasamiento es mayor de 90. 3.4 POENCIA REACIA Haciendo referencia al modelo matemático de la potencia instantánea, el término Sen( θ z = efic Iefic Sen( θz = Q, recibe el nombre de Potencia Reactiva y se simboliza por Q, cuando es positiva recibe el nombre de Reactiva Inductiva porque hace referencia a la potencia de las inductancias, cuando es negativa recibe el nombre de Reactiva Capacitiva porque hace referencia a las potencias de las capacitancias. La unidad de la potencia reactiva es el oltiamperio reactivo (AR. La potencia reactiva corresponde a la potencia almacenada y luego liberada por las inductancias y capacitancias. Cuando la corriente está atrasada del voltaje el circuito es inductivo y el ángulo de desfasamiento es positivo(por asignación, luego la potencia reactiva es positiva. Cuando la corriente está adelantada del voltaje el circuito es capacitivo y el ángulo de desfasamiento es negativo(por asignación, luego la potencia reactiva es negativa. Con relación al circuito al que se le está calculando la potencia, podremos indicar que: Q = efic Iefic Sen( θ es la potencia reactiva producida por el generador o la potencia reactiva absorbida por la carga. 3.5 POENCIA APARENE Al término = efic I efic, se le da el nombre de Potencia Aparente y se simboliza por la letra S. La potencia aparente corresponde al valor máximo de la potencia instantánea y es igual a la mitad de la multiplicación del valor máximo del voltaje por el valor máximo de la corriente, o resulta de la multiplicación del valor eficaz del voltaje por el valor eficaz de la corriente. La unidad de la potencia aparente es el oltiamperio (A. Con relación al circuito al que se le está calculando la potencia, podremos indicar que: m I m S = = efic I efic es la potencia aparente producida por el generador o la potencia aparente absorbida por la carga. 3.6 POENCIAS EN UN CIRCUIO QUE CONIENE UNA SOLA RESISENCIA Para un circuito resistivo puro, el desfase entre los fasores es igual a cero, luego θ z = 0 y la expresión para la potencia instantánea es: p R(t = R I R Cos(0 + R I R Cos(0 Cos(wt +θ i - R I R Sen(0 Sen(wt +θ i Por lo tanto, la potencia media o promedio es: R I R 30/08/07 Página 4 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

Potencia activa o real = P = R I R = Potencia reactiva = Q = 0 (AR R R = I R * R = R * G = I R G (w Potencia aparente = S = R I R (A 3.7 POENCIAS EN UN CIRCUIO QUE CONIENE UNA SOLA INDUCANCIA Para un circuito inductivo puro, el desfase entre los fasores es igual a 90, corriente atrasada, luego, si θ v = 0,entonces θ i = - 90 y θ z =θ v - θ i = 90 y la expresión para la potencia instantánea es: p L(t = L I L Cos(90 + L I L Cos(90 Cos(wt -180 - L I L Sen(90 Sen(wt -180 p L(t = 0 + 0 - L I L Sen(wt -180 = L I L Sen(wt Por lo tanto, la potencia media o promedio es cero, indicando con esto que una inductancia pura no consume energía, solo la almacena y luego la libera. Potencia activa o real = P = 0 (w L Potencia reactiva = Q = L I L = = IL * X L (AR inductivos X L Potencia aparente = S = L I L (A 3.8 POENCIAS EN UN CIRCUIO QUE CONIENE UNA SOLA CAPACIANCIA Para un circuito capacitivo puro, el desfase entre los fasores es igual a 90, corriente adelantada, luego, si θ v = 0,entonces θ i = +90 y θ z =θ v - θ i = - 90 y la expresión para la potencia instantánea es: p C(t = C I C Cos(-90 + C I C Cos(-90 Cos(wt +180 - C I C Sen(-90 Sen(wt +180 p C(t = 0 + 0 + C I C Sen(wt +180 = - C I C Sen(wt Por lo tanto, la potencia media o promedio es cero, indicando con esto que una capacitancia pura no consume energía, solo la almacena y luego la libera. Potencia activa o real = P = 0 (w C Potencia reactiva = Q = C I C = = IC * X C (AR capacitivos X C Potencia aparente = S = C I C (A 3.9 RELACIONES ENRE LAS DIFERENES CLASES DE POENCIAS Las potencias media y reactiva son escalares (Energía por unidad de tiempo pero como están acompañadas de funciones trigonométricas (coseno y seno se pueden establecer relaciones entre ellas similar a las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, como las relaciones vectoriales o fasoriales. Para indicar estas relaciones utilizaremos el circuito RL en serie conectado a una fuente de corriente alterna. 3.9.1 POENCIA EN EL CIRCUIO RL EN SERIE A continuación se presenta un circuito RL en serie en donde están indicados los valores de voltaje y corriente en el dominio de la frecuencia, pero utilizando el valor eficaz como fasor. m o I v (t = m Cos(wt = 0 R I R I L L I m i (t = Im Cos(wt + θ i I = θi Luego, θ z = 0 - θ i = - θ i En el dominio del tiempo la potencia instantánea para la carga del circuito RL en serie es: 30/08/07 Página 5 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

p(t = I Cos( θ + I Cos( θ Cos(wt + θi - I Sen( θ Sen(wt + θi,de donde se puede determinar: Potencia Aparente otal Suministrada por el generador es I (A Potencia Aparente otal Absorbida por la carga (circuito RL en serie es I (A Potencia Reactiva otal Suministrada por el generador es I Sen(θ z (AR Potencia Reactiva otal Absorbida por la carga (circuito RL en serie es Sen(θ z I (AR = L I L Potencia Real otal Suministrada por el generador es I Cos(θ z (AR Potencia Real otal Consumida por la carga (circuito RL en serie es Cos(θ z I (AR = R I R Con relación a la potencia absorbida por la carga, ésta se puede clasificar, teniendo en cuenta el comportamiento de los elementos simples que componen la carga, y para el caso que nos ocupa, consiste de una sola resistencia y una sola inductancia. Con el fin de analizar las potencias de los elementos individuales, consideraremos las diferentes relaciones en el dominio de la frecuencia, esto es: 1 wl 1 wl = R + (wl tan ( R, o sea que, = R + (wl y θ z = tan ( R I I = I R = I L (corriente del circuito = R + L (Suma Fasorial o vectorial, diferentes voltajes del circuito. En el dominio de la frecuencia podremos construir un diagrama vectorial o fasorial de voltajes(valor eficaz, considerando a la corriente del circuito como referencia. 3.9. DIAGRAMA FASORIAL DE OLAJES (alores Eficaces L R θ z L = Cos(θ z = Sen (θ z Ref: I = I L = I R Como las corrientes del circuito tienen igual magnitud, podremos multiplicar cada uno de los lados del triángulo de vectores por la respectiva corriente y se sigue manteniendo la relación entre los lados del triángulo, esto es: Si a la hipotenusa la multiplicamos por I, al cateto vertical lo multiplicamos por I L, y al cateto horizontal lo multiplicamos por I R, el nuevo triángulo que se forma, con la misma relación que el diagrama vectorial de voltajes, es un diagrama de potencias, aunque la potencia es un escalar. 3.9.3 RELACIONES ENRE LAS DIFERENES POENCIAS S = Potencia Aparente (A L I L I L I L = Sen(θ z I = Q = Potencia Reactiva (AR θ z Ref: I = I L = I R R I R = Cos(θ z I = P = Potencia Real o Activa (W Lo anterior significa que: S es la potencia aparente total absorbida por la carga. P es la potencia real o activa consumida por la resistencia. Q es la potencia reactiva absorbida por la inductancia 30/08/07 Página 6 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

De la suma vectorial de las potencias consumida por la resistencia y absorbida por la inductancia, resulta la potencia aparente total absorbida por la carga. Por lo tanto, aunque las potencias sean escalares se les puede relacionar vectorialmente, esto es: S = P + Q ; S = P + Q ; tan -1 Q ( = θz ; P = S Cos(θ z ; Q = S Sen(θ z P Para el caso, en donde I = I L = I R = I que es la única corriente del circuito, las fórmulas quedarán: I = ( R I + (L I Simplificando la corriente, las relaciones de las magnitudes de los voltajes quedarán: = ( + (, en donde, R = Cos(θ z y L = Sen(θ z R L Si en el circuito existen más de una resistencia y más de una inductancia, independientemente de la conexión que tengan, la potencia reactiva total es igual a la suma aritmética de las potencias reactivas individuales de todas las inductancias en el circuito y la potencia real o activa total es igual a la suma de las potencias reales individuales de todas las resistencias en el circuito. En un circuito que contiene tres resistencias y dos inductancias, independientemente de cómo estén conectadas, las potencias estarán expresadas por las fórmulas siguientes: Potencia Real P = P 1 + P + P 3 = I 1 1 + I + I 3 3 ( W Potencia Reactiva Q = Q A + Q B = I A A + I B B ( AR Potencia Aparente S = P + Q ( A NOA: Los valores de los fasores de voltaje y de corriente individuales de los elementos son eficaces. 3.9.4 EJEMPLO NUMÉRICO: Por un circuito RL en serie circula una corriente de i = Cos(t + 30 A, cuando está conectado a un generador que presenta entre sus terminales un voltaje de v = 4 Cos(t + 60 v. Determine: A La impedancia equivalente de la carga del circuito. B La magnitud de los elementos simples que conforman la carga del circuito. C El factor de potencia de la carga del circuito. D Los voltajes respectivos de cada uno de los elementos.(fasor y en el dominio del tiempo E La potencia instantánea suministrada por el generador o absorbida por la carga. F Las potencias aparente, activa y reactiva de la carga. DESARROLLO: El voltaje del generador, o el de la carga, como fasor será: =.884 60 La corriente que circula por el generador, o la carga, como fasor será: I = 1.414 30.884 60 A La impedancia equivalente = = 30 1.414 30 B = 30 = 1.73 + j 1 = R + j X L Por lo tanto, R = 1.73 Ω y X L = 1 Ω, o sea que, L = 1 / w = 1 H C θ z = tan -1 (1/1.73 = 30 ; luego, FP = Cos(30 = 0.8660 D R = I * R = 1.414 30 * 1.73 =.4494 30 [ R ] = []* Cos(θ z =.884 * Cos(30 =.4494 L = I * L = 1.414 30 * j 1 = 1.414 10 [ L ] = []* Sen(θ z =.884 * Sen(30 = 1.414 =.884 60 Las repuestas en el dominio del tiempo serán: v R (t = 3.4639 Cos( t + 30 ; v L(t = Cos( t + 10 ; v (t = 4 Cos(t + 60 30/08/07 Página 7 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

E Los ángulos planteados en las ecuaciones presentadas son: θ v = 60 ; θ i = 30 ; θ z = 30 Luego, la potencia instantánea estará representada por: p ( t = 4 Cos(30 + 4 Cos(30 Cos( t + 60 4 Sen(30 Sen( t + 60 o p ( t = 3.4641 + 3.4641 Cos( t + 60 Sen( t + 60 ; p ( t = 3.4641 + 4 Cos( t + 90 F Potencia Aparente =.884 * 1.414 = 4 A Potencia Reactiva = 4 * Sen(30 = (1.414 * 1 = AR Potencia Activa = 4 * Cos(30 = (1.414 * 1.73 = 3.4641 w 3.9.5 POENCIA EN EL CIRCUIO RLC EN SERIE A continuación se presenta un circuito RLC en serie en donde están indicados los valores de voltaje y corriente en el dominio de la frecuencia, pero utilizando el valor eficaz como fasor. I R I L v (t = m Cos(wt = m 0 o I R I C L i (t = Im Cos(wt + θ i I = θi Luego, θ z = 0 - θ i = - θ i I m C En el dominio del tiempo la potencia instantánea para la carga del circuito RL en serie es: p(t = I Cos( θ + I Cos( θ Cos(wt + θi - I Sen( θ Sen(wt + θi de donde se puede determinar: Potencia Aparente otal Suministrada por el generador es I (A Potencia Aparente otal Absorbida por la carga (circuito RLC en serie es I (A Potencia Reactiva otal Suministrada por el generador es I Sen(θ z (AR Potencia Reactiva otal Absorbida por la carga (circuito RLC en serie es I Sen(θ z (AR Potencia Real otal Suministrada por el generador es I Cos(θ z (AR Potencia Real otal Consumida por la carga (circuito RLC en serie es I Cos(θ z (AR Con relación a la potencia absorbida por la carga, ésta se puede clasificar, teniendo en cuenta el comportamiento de los elementos simples que componen la carga, y para el caso que nos ocupa, consiste de una sola resistencia, una sola inductancia y una sola capacitancia Con el fin de analizar las potencias de los elementos individuales, consideraremos las diferentes relaciones en el dominio de la frecuencia, esto es: 1 X - X L C 1 XL - XC = R + (X L - X C tan ( R, o sea que, = R + (X L - X C y θ z = tan ( R I I = I R = I L = I C (corriente del circuito = R + L + C (Suma Fasorial o vectorial, diferentes voltajes del circuito. = R + LC (Suma Fasorial o vectorial [ LC ] = [ L ] [ C ] 30/08/07 Página 8 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

En el dominio de la frecuencia podremos construir un diagrama vectorial o fasorial de voltajes(valor eficaz, considerando a la corriente del circuito como referencia. 3.9.6 DIAGRAMA FASORIAL DE OLAJES (alores Eficaces L LC C R θ z LC Ref: I = I L = I R = I C Como las corrientes del circuito tienen igual magnitud, podremos multiplicar cada uno de los lados del triángulo de vectores por la respectiva corriente y se sigue manteniendo la relación entre los lados del triángulo, esto es: Si a la hipotenusa ( la multiplicamos por I, al cateto vertical( LC lo multiplicamos por I L o I C, y al cateto horizontal( R lo multiplicamos por I R, el nuevo triángulo que se forma, con la misma relación que el diagrama vectorial de voltajes, es un diagrama de potencias, aunque la potencia sea un escalar. 3.9.7 RELACIONES ENRE LAS DIFERENES POENCIAS L I L S = Potencia Aparente (A LC I L = LC I C I LC I L = LC I C = Sen(θ z I = Q = Pot Reactiva (AR θ z Ref: I = I L = I R = I C C I C R I R = Cos(θ z I = P = Potencia Real o Activa (W Lo anterior significa que: S es la potencia aparente total absorbida por la carga. P es la potencia real o activa consumida por la resistencia. Q es la potencia reactiva absorbida por el conjunto( inductancia- capacitancia De la suma vectorial de las potencias consumida por la resistencia y absorbida por el conjunto, resulta la potencia aparente total absorbida por la carga. Por lo tanto, aunque las potencias sean escalares se les puede relacionar vectorialmente, esto es: S P + = Q ; S = P + Q ; P = S Cos(θ z ; Q = S Sen(θ z tan -1 Q ( = θ z = Cos -1 P ( = Sen -1 Q ( P S S Con relación a la potencia reactiva total, tendremos: Q = LC I L = LC I C = Sen(θ z I, Potencia Reactiva total absorbida por la carga. Q = ( L - C I L = ( L I L - C I C = ( Q L Q C Q L = L I L es la potencia reactiva inductiva (AR inductivos (AR L Q C = C I C es la potencia reactiva capacitiva (AR capacitivos (AR C 30/08/07 Página 9 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

Para el caso, en donde I = I L = I R = I C = I que es la única corriente del circuito, las fórmulas quedarán: I = ( R I + (LC I = ( R I + (LI - C I Simplificando la corriente, las relaciones de las magnitudes de los voltajes quedarán: = ( + ( -, en donde, R = Cos(θ z ; LC = Sen(θ z y L - C = Sen(θ z R L C Si en el circuito existen más de una inductancia y mas de una capacitancia, independientemente de la conexión que tengan, la potencia reactiva total es diferencia entre la potencia reactiva inductiva total en el circuito y la potencia reactiva capacitiva total en el circuito. La potencia reactiva inductiva total es igual a la suma aritmética de las potencias reactivas individuales de todas las inductancias en el circuito. La potencia reactiva capacitiva total es igual a la suma aritmética de las potencias reactivas individuales de todas las capacitancias en el circuito. Las potencia de cada elemento, es la multiplicación del fasor voltaje a través del elemento por el fasor corriente que circula por él (fasores con los valores eficaces En un circuito que contiene tres resistencias, dos inductancias y dos capacitancias, independientemente de cómo estén conectadas, las potencias estarán expresadas por las fórmulas siguientes: Potencia Real otal P = P 1 + P + P 3 = I 1 1 + I + I 3 3 ( W Potencia Reactiva Inductiva Q L = Q A + Q B = I A A + I B B ( AR L Potencia Reactiva Capacitiva Q C = Q a + Q b = I a a + I b b ( AR C Potencia Reactiva otal Q = Q L - Q C (AR Potencia Aparente S = P + Q ( A NOA: Los valores de los fasores de voltaje y de corriente individuales de los elementos son eficaces. 3.9.8 EJEMPLO RESUELO: Un circuito RLC en serie, en donde R = 3Ω, L = 18.56 mh, C = 884.1 uf, está conectado a un generador cuyo voltaje en los terminales es v = 70.7 Cos(377 t. Realice un completo análisis de impedancias, voltajes, corrientes y potencias del circuito. DESARROLLO: Sí v = 70.7 Cos(377 t. = 50 0, w = 377 rad/seg, F = 60 hertz Resistencia y Reactancias: R = 3Ω ; X L = 377 * 18.56 x 10-3 1 = 7Ω ; X C = - 6 = 3Ω 377 *18.56 x 10 Impedancias: 3 R = 3 0 Ω ; L = j 7 = 7 90 Ω ; C = = - j 3 = 3-90 j Ω Impedancia Equivalente o otal: = e = 3 + j 7 + (- j 3 = 3 + j 4 = 5 53.13 Ω ; [] = 5 ; Corriente del circuito: 50 0 I = I R = I L = I C = = 10-53.13, luego la corriente en el dominio del tiempo 5 53.13 será : i = 14.14 Cos(377 t 53.13 A. Potencia instantánea: Sí v = 70.7 Cos(377 t, e i = 14.14 Cos(377 t 53.13 A, entonces θ v = 0, θ i = - 53.13, θ z = 53.13, por lo tanto, la potencia instantánea quedará expresada por: p (t = (50(10Cos(53.13 + (50(10Cos(53.13 Cos(754 t +106.6 - (50(10Sen(53.13 Sen(754 t +106.6 p (t =500Cos(53.13 +500Cos(53.13 Cos(754 t +106.6-500Sen(53.13 Sen(754 t +106.6 en donde, la Potencia Aparente suministrada por el generador o absorbida por la carga es: S = 500 A, simplificando la expresión anterior, la potencia instantánea quedará: 30/08/07 Página 10 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

p (t = 300 +300 Cos(754 t +106.6-400 Sen(754 t +106.6 en donde, la Potencia Reactiva total suministrada por el generador o absorbida por la carga es: Q = 400 AR L, y la Potencia Media o Activa total suministrada por el generador o consumida por la carga es: P = 300 W oltajes de los Elementos: 1. Método. Utilizando el diagrama fasorial de voltajes, encontramos la magnitud de todos los fasores de voltajes individuales a partir de las impedancias y del fasor de corriente: L LC θ A θ z LC [ R ] = [I R ] * R = 10 * 3 = 30 [ L ] = [I L ] * X L = 10 * 7 = 70 [ C ] = [I C ] * X C = 10 * 3 = 30 [ LC ] = [ L ] - [ C ] = 40 [] = ( + ( = 50 R LC θ z = an - 1 LC Ref: I = I L = I R = I C ( = 53.13 C R R θ A = 90 - θ z = 36.87 A partir de la expresión en el dominio del tiempo para el voltaje que se consideró como referencia, del diagrama fasorial y de la magnitud de los fasores encontrados, podremos obtener las correspondientes expresiones en el dominio del tiempo. Sí = 50 0, entonces, v = 70.7 Cos(377 t Por lo tanto: i R = i L = i C = 14.14 Cos(377 t 53.13 A v R = 4.4 Cos(377 t 53.13 ; v L = 98.99 Cos(377 t + 36.87 v C = 4.4 Cos(377 t 143.13 ; v LC = 56.56 Cos(377 t + 36.87. Método. Relacionando el fasor de la corriente y las impedancias, o sea, calculando la magnitud y el ángulo de los fasores al mismo tiempo. R = I R * R = 10-53.13 * 3 0 = 30-53.13 L = I L * L = 10-53.13 * 7 90 = 70 36.87 C = I C * C = 10-53.13 * 3-90 = 30-143.13 LC = I L * LC = I C * LC = 10-53.13 * 4 90 = 40 36.87 A partir de estos fasores sepueden obtener las expresiones en el dominio del tiempo, determinadas en el paso inmediatamente anterior. Potencias: Potencias asociadas con el generador: Potencia Aparente: S = 50 * 10 = 500 A ; FP = Cos(53.13 = 0.6 en atraso Potencia Real: P = 500 * Cos(53.13 = 300 W Potencia Reactiva: Q = 500 * Sen(53.13 = 400 AR L Potencias asociadas con la carga: Circuito RLC en serie Potencia consumida: P = [ R ] * [I R ] = [ R ] / R = [I R ] * R = [10] * 3 = 300 W (Real, Activa, Media, Promedio, Absorbida Potencia Reactiva inductiva: Q L = [ L ] * [I L ] = [I L ] * [X L ] = [10] * 7 = 700 ARL Potencia Reactiva capacitiva: Q C = [ C ] * [I C ] = [I C ] * [X C ] = [10] * 3 = 300 ARC Potencia Reactiva total: Q = Q L - Q C = 700 300 = 400 ARL, o también: Potencia Reactiva Q = [ LC ] * [I ] = [ LC ] / [X LC ] = [I ] * [X LC ] = 100 * 4 = 400 ARL 30/08/07 Página 11 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

Factor de potencia, FP = Cos(θ z Q θ z = an -1 ( = an -1 400 ( = 53.13 luego FP = 0.6 en atraso(corriente en atraso P 300 P 300 Potencia aparente S = = = 500 A Cos( θ 0.6 Por lo tanto, la carga del circuito queda completamente descrita por : Potencia aparente: S = 500 A Potencia reactiva: Q = 400 AR L ; Potencia activa: P = 300 W 3.10 POENCIA COMPLEJA Después de haber definido y calculado todas las clases de potencia a partir de los fasores, con valores eficaces, de la corriente y el voltaje, se presenta la alternativa de expresar estas cantidades en términos de números complejos con el propósito de facilitar el cálculo numérico al desarrollar los problemas que encierran todas las clases de potencia. A continuación se presentan las gráficas de un elemento, al cual se le indica el voltaje y la corriente adquirida en el estado estable, en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia considerando como fasores los valores eficaces. i (t + v (t - ELEMENO I + - Donde: v (t = m Cos(wt + θ v ; i (t = I m Cos(wt + θ i Donde: = efic θ v ; I = I efic θ i La potencia compleja entregada al elemento se define como: S = x I *, donde: S es la potencia aparente, es el fasor de voltaje e I * es el conjugado del fasor de corriente. Reemplazando los respectivos fasores, la potencia quedará: S = efic θ v X I efic -θ i = efic X I efic (θ v - θ i = efic X I efic Cos(θ v - θ i + j efic X I efic Sen(θ v - θ i efic θv efic Por definición de impedancia : = = (θ v - θ i = θ Iefic θi Iefic O sea que la fórmula de potencia compleja quedará: S = efic X I efic Cos(θ + j efic X I efic Sen(θ En donde la parte real de S es la potencia media o promedio o potencia real P y la parte imaginaria de S es la potencia reactiva Q En resumen: S = efic X I efic Cos(θ v - θ i + j efic X I efic Sen(θ v - θ i S = efic X I efic Cos(θ + j efic X I efic Sen(θ S = P + j Q 3.10.1 POENCIA COMPLEJA EN LOS ELEMENOS SIMPLES RESISENCIA: = efic θ v ; I = I efic θ i ; en donde θ v = θ i ; θ = 0 S = efic θ v X I efic -θ i = efic X I efic 0 = P + j 0 = efic X I efic + j 0 INDUCANCIA: = efic θ v ; I = I efic θ i ; en donde θ i = θ v 90 ; θ = 90 S = efic θ v X I efic -θ i = efic X I efic 90 = 0 + j Q = 0 + j efic X I efic 30/08/07 Página 1 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

CAPACIANCIA: = efic θ v ; I = I efic θ i ; en donde θ i = θ v + 90 ; θ = - 90 S = efic θ v X I efic -θ i = efic X I efic -90 = 0 - j Q = 0 -j efic X I efic EJEMPLO: En un circuito que contiene tres resistencias R 1, R, R 3, dos inductancias L A, L B, dos capacitancias C a, C b, independientemente de cómo estén interconectadas las potencias absorbidas por la carga total se podrán expresar por las fórmulas siguientes: Potencia activa total: P = P 1 + P + P 3 = 1 * I 1 + * I + 3 * I 3 ( w Potencia reactiva inductiva total: Q L = Q A + Q B = A * I A + B * I B ( ARL Potencia reactiva capacitiva total: Q C = Q A + Q B = a * I a + b * I b ( ARC Potencia reactiva total: Q = Q L - Q C Potencia compleja total absorbida por toda la carga: S = P + j Q = P + j (Q L - Q C Características de la fuente de alimentación: = f θ v ; I = I f θ i Potencia suministrada por la fuente: S = f θ v x I f -θ i = f x I f (θ v -θ i = f x I f (θ f S = f X I f Cos(θ f + j f X I f Sen(θ f NOA: La potencia suministrada por la fuente debe ser igual a la absorbida por la carga 3.11 DIFERENES FORMAS DE DESCRIBIR UNA CARGA ELÉCRICA Con relación a la carga eléctrica del ejemplo anterior, exixten varias formas de presentar la carga eléctrica del circuito en donde se incluye la información necesaria. 1. Una carga eléctrica compuesta de R = 3Ω, L = 18.56 mh, C = 884.1 uf conectados en serie.. Una carga eléctrica, que para f = 60 hz, presenta una impedancia de = 5 53.13 Ω 3. Una carga eléctrica, que para f = 60 hz, puede componerse de R = 3Ω, L = 10.61 mh conectados en serie. 4. Una carga eléctrica, que para f = 60 hz, está compuesta de R = 3 Ω, X L = 7 Ω, X C = 3 Ω conectados en serie. 5. Una carga eléctrica, que para f = 60 hz, puede componerse de R = 3 Ω, X L = 4 Ω, conectados en serie. 6. Una carga eléctrica en donde al aplicarle un voltaje de v = 70.7 Cos(377 t, circula una corriente por ella de i = 14.14 Cos(377 t 53.13 A 7. Una carga eléctrica, que para f = 60 hz, al aplicarle un voltaje RMS de 50 0 v, circula una corriente RMS de 10-53.13 A 8 Una carga eléctrica, que para f = 60 hz, al aplicarle un voltaje RMS de 50 0 v, el voltaje RMS sobre la resistencia es 30-53.13, el voltaje RMS sobre la inductancia es 70 36.87, el voltaje RMS sobre la capacitancia es 30-143.13 y circula una corriente RMS de 10-53.13 A. 9 Una carga eléctrica en donde al aplicarle un voltaje de v = 70.7 Cos(377 t, absorbe una potencia aparente de 500 A, una potencia reactiva de 400 ARL y una potencia activa de 300 W. 10. Una carga eléctrica en donde al aplicarle un voltaje de v = 70.7 Cos(377 t, absorbe una potencia aparente de 500 A, con un factor de potencia de 0.6 en atraso. 11. Una carga eléctrica en donde al aplicarle un voltaje de v = 70.7 Cos(377 t, absorbe una potencia reactiva de 400 AR L, con un factor de potencia de 0.6 en atraso. 1. Una carga eléctrica en donde al aplicarle un voltaje de v = 70.7 Cos(377 t, absorbe una potencia activa de 300 W, con un factor de potencia de 0.6 en atraso. 13 Una carga eléctrica en donde al aplicarle un voltaje de v = 70.7 Cos(377 t, absorbe una potencia reactiva de 400 AR L y una potencia activa de 300 W. 30/08/07 Página 13 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS

NOA: En la expresiones de potencia de la carga, solo se suministra información del circuito RL equivalente del circuito inicial. 3.1 PROBLEMAS PROPUESOS 1. Una planta industrial tiene dos cargas eléctricas conectadas en paralelo a la fuente de potencia. El voltaje en el barraje de la planta está dado por v (t = 5656.8 Cos(377 t v. Una carga es de 30 Kw para calefacción y la otra carga es un conjunto de motores que cuando operan al mismo tiempo exigen una carga de 150 Kw con un factor de potencia de 0.6 en atraso. Determine la corriente total y el factor de potencia del sistema eléctrico de la planta. Rta: i (t = 4.4 Cos(377 t 45 A, FP = 0.707 en atraso. Se conectan dos cargas en paralelo y se alimenta con una fuente de v (t = 700 Cos(377 t v. La primera carga es de 50 KA con un factor de potencia de 0.9 en atraso, y la segunda carga es de 45 Kw con un factor de potencia de 0.91en atraso. Determine la potencia reactiva capacitiva necesaria y la capacitancia de un condensador en paralelo con la carga para corregir el factor de potencia a 0.97 en atraso. Rta: Q C = 19.743 KAR C ; C = 1.01 uf. 3 En la figura a continuación se presenta el circuito eléctrico trifilar doméstico desde la salida de un transformador con una derivación en el centro del bobinado secundario, el voltaje presentado en cada mitad del bobinado está dado por v (t = 10 Cos(377 t v. El motor del refrigerador absorbe una corriente nominal de 8.5 A, RMS, con un atraso de 45. Las cargas de la lámpara y la estufa son de 100 w y 1 Kw respectivamente. a Calcule las corrientes en todos los conductores, b Determine las potencias aparente, reactiva y real para todos y cada uno de los dispositivos de la carga y las totales, c si la resistencia del cable central, conectado a tierra, se incrementa a 0 Ω, debido a la corrosión y el aflojamiento, calcule el voltaje a través de la lámpara. I CS 10 0 v 10 0 v I CC Rtas: ai R = 8.5-45 ; I L = 0.833 0 I E =.50.0 0 ; I CS = 56.33-6.1 I CC = 7. 93-49. ; I CI = 50.833 0 b S L = 100A ; P L = 100w ; Q L = 0 AR S R = 100A; P R = 71w ; Q R = 71 AR S E = 1000A; P E = 1000 w ; Q E = 0 AR S = 1841A; P = 181 w ; Q =71 AR c Lámpara = 65.7 18.6 I CI 4. Un motor de 5Hp con un factor de potencia de 0.6 en atraso y una eficiencia de 9% está conectado a una fuente de 08 v,rms, 60 hz. a Determine las potencias aparente, reactiva y real del motor, b Determine la corriente demandada por el motor cuando trabaja a plena carga, c Determine la capacitancia del capacitor que habrá de conectarse en paralelo con el motor para elevar su factor de potencia a 0.9 en atraso, d Determine la corriente demanda de la fuente después de conectar el condensador. Rtas: a 6757.5 A, 5405.8 AR L, 4054.35 w, b 3.49-53.13 A, c 11 uf, d 1.65-5.84 A 5. Una pequeña planta industrial tiene una carga calorífica de 10 Kw, y una carga inductiva de 0 KA con un factor de potencia en atraso de 0.7, debido a un banco de motores de inducción, Si el voltaje de alimentación de la planta es v (t = 1000 Cos(377 t v, determine la potencia reactiva necesaria y la magnitud del condensador que habrá de conectarse en paralelo para elevar su factor de potencia a 0.95 en atraso. Rta: Q C = 6.38 KAR C ; C = 16.93 uf. 30/08/07 Página 14 de 14 Profesor: Luis Rodolfo Dávila Márquez COD 00076 UFPS