PENDULO ESFERICO, FORZADO Y AMORTIGUADO CON MASA VARIABLE Camilo A. Jiménez R. 1, Diego F. Jaramillo C. 1, Miller J. Vargas B. 1. 1 Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Grupo de estudio de desarrollo de software y física teórica. (Recibido 27 de Sep.2005; Aceptado 30 de Mar. 2006; Publicado 16 de Jun. 2006) RESUMEN Se plantean las ecuaciones de movimiento a través de la mecánica lagrangiana, para un péndulo esférico, forzado y amortiguado con masa variable que consta de una barra rígida de masa despreciable pivoteada en un extremo, la posición del pivote varía armónicamente en el tiempo y la masa suspendida en el otro extremo decae exponencialmente en el tiempo, sometida bajo la acción gravitacional, se propone una rapidez de escape de la masa constante, contraría a la tendencia de movimiento del péndulo y perpendicular a la acción gravitacional. Se solucionan las ecuaciones de movimiento con el método de Adams. Se obtienen gráficas del espacio de fase y de las secciones de Poincaré para ciertas condiciones iniciales y parámetros del modelo, se calculan los exponentes de Lyapunov, encontrándose condiciones de estabilidad e inestabilidad para el movimiento del péndulo. Palabras claves: péndulo esférico, péndulo forzado, péndulo amortiguado, metodo de Adams, exponentes de Lyapunov, secciones de Poincaré. ABSTRACT The equations of motion are considered through the lagrangian mechanics, for a forced and damped spherical pendulum with changeable mass which consists of a rigid bar of neglictable mass fixed in an end, the pivot position changes harmonicly in the time and the mass suspended in the other end decays exponentially in the time, submitted under the gravitational action, the mass scape velocity is purpose like a constant, against the tendency of pendulum motion and normal to gravitational action. The equations of motion were solved with Adams method. Graphics of fase space and Poincaré s sections were gotten for certain initial conditions and model parameters, Lyapunov s exponents were computed, finding stability and instability conditions for the pendulum motion. Keywords: spherical pendulum, forced pendulum, cushioned pendulum, method of Adams, exponents of Lyapunov, sections of Poincaré. 1. Introducción Generalmente los sistemas abiertos, de masa variable y de dinámica no lineal son excluidos en los cursos de mecánica clásica, por ello en este escrito se presenta un sistema el cual combina estas dos condiciones, calculando por medio de la mecánica lagrangiana las ecuaciones de movimiento [1], determinando así la no linealidad de las mismas graficando el espacio de fase para el ángulo θ (t), y calculando los exponentes de Lyapunov [2] para dos trayectorias cuyas condiciones iniciales difieren unas de otras en un orden de magnitud de10, obteniendo un valor 15 de 962
REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 2, 2006 dicho exponente mayor que cero lo cual nos indica que el sistema es sensible al valor de las condiciones iniciales, la cual es una de las característica de los sistemas caóticos. 2. Desarrollo teórico El péndulo esférico consta de una barra inextensible de masa despreciable, pivoteada en un extremo la posición del pivote en el eje z varía armónicamente con amplitud ε y frecuencia angularω produciendo un forzamiento f r como se indica en la ecuación (1). En el otro extremo de la barra se encuentra un cuerpo cuya masa decae de forma exponencial en el tiempo expresada mediante la ecuación (2) y con una rapidez de escape constanteu con respecto al sistema de referencia y su dirección siempre perpendicular a la acción gravitacional. Tomando como sistema de referencia la posición del pivote en t = 0 y con el eje z en dirección de la fuerza gravitacional, la función lagrangiana [1] del sistema queda expresada por la ecuación (3), con una ferza generalida contraria a la tendencia de movimiento del péndulo sólo endirecciónϕ de laforma mostrada en la ecuación (4). = εcos( ωt) (1) f r ( cexp[ βt] ) m t) = mo 1+ L 1 2 2 = m( t) [ x + y + z ] 2 + m( t) gz ( (2) 2 (3) Q = u m ( t) r Sen( θ ( t)) (4) El amortiguamiento del péndulo esta expresado a través de la función de dicispación de Rayleigh [1] dada por la ecuación (5). 1 2 2 2 f = k[ x + y + z ] (5) 2 A continuación se considerarán tres casos particulares de la dinámica del péndulo esférico, primero se considera su dinámica sin forzamiento, luego sin variación de masa y por último se considera la dinámica para el péndulo esférico forzado amortiguado de masa variable, obteniendo gráficas de θ (t), el espacio de fase [2] enθ, su sección de Poincaré [2] paracos( ϕ) = 1y el exponente de Lyapunov λ [2] para cada uno de los tres casos mencionados, utilizando las siguientes condiciones iniciales, θ ( 0) = 1.57, θ (0) = 0, ϕ(0) = 1.57, ϕ(0) = 0. Para el calculo de los exponentes de Lyapunov se utilizó una segunda trayectoria cuyas condiciones iniciales aumentan con respecto a las primeras en un valor δ = 1 10 15. 3. Péndulo esférico amortiguado de masa variable En esta sección se considera el comportamiento del péndulo en ausencia de forzamiento. Las graficas que se muestran a continuación son las que se obtienen para su dinámica. 963
log δ -2 λ = 0.0175159 Figura 1. Parte superior izquierda θ (t) ω = 0, ε = 0, mo = 1, u = 2, k = 0.001, c = 19, β = 0.1, g = 9.87, r = 10. 4. Péndulo esférico amortiguado forzado En esta sección se considera el comportamiento del péndulo con masa constante. Las graficas que se muestran a continuación son las que se obtienen para su dinámica. log δ λ = 0.0353874 Figura 2. Parte superior izquierda θ (t) ω = 10, ε = 1, mo = 1, u = 0, k = 0.001, c = 0, β = 0, g = 9.87, r = 10. 5. Péndulo esférico forzado amortiguado de masa variable 964
REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 2, 2006 En esta sección se considera el comportamiento del péndulo en ausencia de forzamiento. Las graficas que se muestran a continuación son las que se obtienen para su dinámica. log δ -2 λ = 0.0550237 Figura 3. Parte superior izquierda θ (t) ω = 10, ε = 1, mo = 1, u = 2, k = 0.001, c = 19, β = 0.1, g = 9.87, r = 10. 6. Conclusiones El amortiguamiento en el sistema hace que este llegue después de pasar por el periodo de transición a un punto atractivo fijo en todos los casos considerados ya que este disipa la energía mecánica del sistema y por ello el péndulo alcanza su posición de equilibrio estable. Para el último caso considerado, el sistema después de culminar su periodo de transición llega a un ciclo límite, el cual es alcanzado debido a que la fuerza forzadora contrarresta el amortiguamiento sobre el sistema, para los tres casos mencionados anteriormente se concluye que todos ellos son sensibles a las condiciones iniciales, lo cual se refleja en el valor de los exponentes de Lyapunov calculados, los cuales siempre resultaron ser mayores que cero, esta condición es una cualidad de todos los sistemas caóticos. De igual forma para los tres casos las gráficas de resultaron ser aperiódicas lo cual también es otra evidencia del caos; De los tres casos ana- θ (t) lizados en este escrito podemos concluir que el sistema que presenta menor sensibilidad a las condiciones iniciales y menor irregularidad en sus trayectorias es aquel en el cual la fuerza forzadora tenía un valor nulo, caso contrario fue el sistema considerado con fuerza forzadora no nula amortiguado y de masa variable, esto se ve reflejado en la diferencia de los valores calculados para los exponentes de Lyapunov en cada caso. Referencias [1] Goldstein H., Poole C., Safko J.,Clasical Mechanics, Third Edition, Caps. 2, 11, Addison Wesley Publishing Company. 965
[2] Strogatz S., Nonlinear Dynamics and Chaos, Cap. 7, Addison Wesley Publishing Company, 1994. 966