* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *

Superficies. Llamamos superficie a una lámina, infinitamente delgada, que recubre un cuerpo o que separa dos regiones del espacio. Una superficie puede engendrarse de dos maneras distintas: a). Como lugar geométrico de las posiciones de una línea cualquiera, que se mueve en el espacio de acuerdo a una ley determinada. b). Como envolvente de otra superficie, que se mueve a su vez en el espacio con arreglo a una ley determinada. Clasificación de las superficies. Regladas: Son aquellas que se engendran por una recta. Regladas desarrollables: a). Se pueden superponer sobre un plano. b). Dos generatrices infinitamente próximas se cortan. c). El plano tangente lo es a lo largo de toda la generatriz. Regladas alabeadas: a). Dos generatrices infinitamente próximas se cruzan. b). El plano tangente lo es solo para un punto de cada generatriz y para cada generatriz existe un haz de planos tangentes. Curvas: Son aquellas que se engendran por una línea curva. Poliédricas: Son superficies limitadas por caras planas. Radiadas: Son superficies engendradas por el movimiento de una recta que se apoyan en un punto llamado vértice y en una directriz. Distinguiremos cuatro casos: Directriz Vértice Superficie Polígono Propio Pirámide Curva Propio Cono Polígono Impropio Prisma Curva Impropio Cilindro Página nº 78

Alabeadas: Cuando no es desarrollable. De tres directrices: Cuando las generatrices se apoyan en tres rectas directrices. De plano director: Cuando las generatrices s e mantienen paralelas a un plano. De cono director: Cuando las generatrices se mantienen paralelas a un cono. De revolución: Las engendradas por el giro de una línea alrededor de un eje. Cuádricas. Llamamos cuádrica a la superficie cuya expresión matemática es una ecuación de segundo grado. Geométricamente es aquella superficie cuya sección plana siempre es una cónica y una recta la corta, a lo máximo, en dos puntos. Las cuádricas son las siguientes: Regladas Cono Cilindro Hiperboloide elíptico Hiperboloide reglado o de una hoja Paraboloide hiperbólico o paraboloide reglado Curvas Esfera Elipsoide Paraboloide elíptico o de revolución Hiperboloide hiperbólico o hiperboloide de dos hojas Todas estas superficies quedan reflejadas en el cuadro siguiente, y de ellas realizaremos el estudio de las que están resaltadas en negrita, es decir: Superficies regladas, desarrollables, poliédricas, radiadas. Superficies regladas, desarrollables, poliédricas, regulares. Superficies regladas, desarrollables, radiadas. Superficies curvas, revolución. Página nº 79

Regladas Desarrollables Poliédricas Radiadas Pirámide Prisma Regulares Tetraedro Octaedro Icosaedro Exaedro Dodecaedro Irregulares Radiadas Cono de revolución Cilindro de revolución Polares De igual pendiente Rectificantes Tangenciales: Helizoide desarrollable Alabeadas De 3 directrices Hiperboloide elíptico Cuerno de vaca De plano director Paraboloide elíptico Conoide Helizoide de plano director De cono director Helizoide de cono director Curvas Revolución Esfera Elipsoide De segundo grado Paraboloide elíptico Hiperboloide hiperbólico Varias Toro Escocia Helizoide curvo Serpentín Compuestas Página nº 80

Estudio y representación de los poliedros regulares convexos. Un poliedro regular convexo es aquel cuyas caras son polígonos regulares todos iguales, en cuyos vértices concurren el mismo número de caras, sus ángulos diedros son iguales y existen dos esferas una que es tangente interiormente a las caras del poliedro y otra que pasa por los vértices del mismo. Condiciones que se han de cumplir para la existencia de estos poliedros regulares: 1. En cada vértice deben concurrir, al menos, tres caras, ya que dos planos determinan una recta y tres un vértice. 2. La suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice tiene que ser menor de 360º. Si fuese igual a 360º tendríamos un plano y si fuera mayor se solaparían. Según estos puntos y analizando los polígonos regulares podemos obtener: a). Con el triángulo equilátero: Uniendo tres caras suman 180º dando lugar al TETRAEDRO. Uniendo cuatro caras suman 240º dando lugar al OCTAEDRO. Uniendo cinco caras suman 300º dando lugar al ICOSAEDRO. b). Con el cuadrado: Uniendo tres caras suman 270º dando lugar al CUBO o EXAEDRO. c). Con el pentágono: Uniendo tres caras suman 324º dando lugar al DODECAEDRO. d). Con el resto de los polígonos regulares, o suman 360º o suman mas de 360º. Características geométricas de los poliedros regulares. Teniendo presente la fórmula de Euler 4, las características de los poliedros regulares son: Fórmula de Euler para los poliedros: VÉRTICES + CARAS = ARISTAS + 2 4 Leonhard Euler, matemático suizo nacido en Basilea (1.707-1.783). Página nº 81

POLIEDRO CARAS VÉRTICES ARISTAS TETRAEDO 4 4 6 OCTAEDRO 8 6 12 ICOSAEDRO 20 12 30 CUBO o EXAEDRO 6 8 12 DODECAEDRO 12 20 30 Vamos a representar diédricamente estos cuerpos. Poliedros conjugados. Se entiende por poliedro conjugado de otro al poliedro que se obtiene al unir los centros de las caras del primero. Los poliedros conjugados de los anteriormente enumerado son los del siguiente cuadro: POLIEDRO TETRAEDRO OCTAEDRO ICOSAEDRO CUBO O EXAEDRO DODECAEDRO CONJUGADO TETRAEDRO CUBO O EXAEDRO DODECAEDRO OCTAEDRO ICOSAEDRO Sección principal de un poliedro. Se llama sección principal de un poliedro a toda sección plana de simetría en la cual quedan definidas las siguientes magnitudes fundamentales del poliedro: Página nº 82

a). Arista. b). Radio de la esfera circunscrita. c). Radio de la esfera inscrita. d). Radio de la esfera tangente a las aristas. Consideraciones sobre la representación de figuras. Como norma general siempre que un cuerpo tenga un plano de simetría haremos su representación sobre un plano paralelo a él ya que la representación es la mas sencilla posible por coincidir en él sus elementos. TETRAEDRO. El tetraedro es el poliedro compuesto por cuatro caras triángulos equiláteros, tiene cuatro vértices y seis aristas. Figura 114. Figura 114 Antes de proceder a su representación y ya que tres vértices forman una cara, vamos a calcular la altura del cuarto vértice respecto de esta cara. Observando la figura 114 vemos que al unir el vértice 4 con el centro O de la cara 123 y este con uno de los vértices de esta cara, por ejemplo el 3, se forma un triángulo rectángulo Página nº 83

4O3 donde el ángulo en O es recto, los catetos son O4 la altura que buscamos, O3 son los dos tercios de la altura de una cara del tetraedro y la hipotenusa es el lado del tetraedro, si construimos este triángulo podemos determinar el valor de la altura del poliedro. Para ello vamos a abatir el triángulo 4O3 alrededor de O3 hasta que el vértice 4 esté en PH, obteniéndose el triángulo (4)O3 que a estar en PH está en verdadera magnitud. En la figura de la dcha. se ve el proceso de cálculo de la altura partiendo de un triángulo equilátero. La forma mas simple de representar el tetraedro es teniendo una cara apoyada en uno de los planos de proyección y que una de sus aristas sea una recta perpendicular a uno de los planos de proyección. Figura 115. En la figura 115 tenemos representado el tetraedro con la cara 123 apoyada en el PH y con la arista 12 perpendicular al PV. Para determinar la proyección vertical del vértice 4, podemos hacerlo de dos formas una es calculando la altura como hemos expuesto anteriormente y la otra es teniendo en cuenta que la arista 34 es una recta frontal, esto quiere decir que, en proyección vertical, estará en verdadera magnitud, describiendo un arco de circunferencia de centro 3' y radio el lado del tetraedro cortaremos a la perpendicular trazada por 4 a LT, Figura 115 lugar donde estará 4'. Si la cara 123 no tuviera ningún lado perpendicular a LT podemos realizar dos opciones, una de ellas es realizar un cambio de plano y poner una de las aristas de esta cara perpendicular a la nueva LT o simplemente colocar en la perpendicular por 4 a LT la altura del tetraedro. Figura 116. El estudio de las partes vistas y ocultas no representa una gran complejidad. Siempre será visto el contorno de la figura. Una vez marcado el contorno, vemos que Página nº 84

en proyección horizontal nos queda por determinar las tres aristas que concurren en el vértice 4 y no hay mas que dos opciones, o las tres son vistas o las tres son ocultas. Si miramos la proyección vertical vemos que el vértice 4' tiene mayor cota que los vértices 1',2' y 3' por tanto, el vértice 4 es visto y en proyección vertical solo tenemos una arista, la 1'4', o es vista o es oculta, examinando la proyección horizontal observamos que al mirar la figura perpendicularmente a LT la arista 14 es la primera que se ve, por tanto, en proyección vertical será vista. * * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * * Figura 116 Otra forma muy normal de construir el tetraedro es cuando nos dan una cara situada en un plano P. La construcción es fácil, abatiremos el plano P y construiremos el triángulo equilátero. Calcularemos el centro O del mismo y por él trazaremos una recta T perpendicular al plano, la giraremos para ponerla en verdadera magnitud y situaremos sobre ella el valor de la altura, previamente calculada, una vez obtenido el cuarto vértice tan solo queda unirlo con los otros tres y estudiar las partes vistas y ocultas. Vamos a realizar esta construcción. Dado el plano P y la recta R perteneciente al mismo construir un triángulo equilátero estando en R un lado, uno de los vértices que está en R no tiene altura el triángulo está en el primer cuadrante y el lado mide 5 cms. Construir el tetraedro por encima de P y estudiar las partes vistas y ocultas. Figura 117. Para abatir el plano P hemos usado el punto A y hemos aplicado el método de abatir la traza vertical P. Una vez encontrado (A) hemos abatido R, obtenida (R) hemos construido el triángulo equilátero, al decir que un vértice no tiene altura tiene que estar en la intersección de P y (R), vértice (3). Para construir el triángulo hay dos posibilidades, a la izda de (R), (que no vale por cortar a (P ) y estaría en el segundo Página nº 85

cuadrante) y a la dcha de (R) (que está en el primer cuadrante integro). Obtenido los vértices (1), (2) y (3) procedemos a desabatirlos, 3 coincide con (3) por estar en el eje de giro, 2 está sobre r y para situar el vértice 1 hemos prolongado el lado (1)(2) hasta cortar a P en x, el lado 12 también debe cortar a P en x. Obtenida la proyección horizontal determinamos la vertical. Procedemos al cálculo del centro del triángulo punto (O), lo desabatimos y obtenemos o y o. Por O trazamos una perpendicular T al plano P, por conservarse la perpendicularidad entre rectas y planos, simplemente trazamos perpendicular por o a P y por o a P, obteniendo la recta T. Fijamos un punto B en ella y mediante un giro la colocamos en frontal. Sobre o bg obtenemos el punto 4g siendo o 4g el valor de la altura del vértice buscado. Deshacemos el giro y obtenemos 4'-4 proyecciones del cuarto vértice. Una vez marcado los contornos de ambas proyecciones, nos quedan por determinar Figura 117 Página nº 86

la visibilidad en proyección vertical de las aristas 2'3' y 1'4', mirando en proyección horizontal la arista 14 se ve antes que la 23 (14 mayor distancia que 23), luego 1'4' será vista y 2'3' oculta; y en proyección horizontal las aristas 13 y 24, mirando en proyección vertical la arista 2'4' se ve antes que la 1'3' (2'4' mayor cota que 1'3'), Figura 118 luego 1'3' será oculta y 2'4' vista. En la figura 118 vemos la sección principal del tetraedro que pasa por una arista y el punto medio de la arista opuesta y el poliedro conjugado que es otro tetraedro. La sección principal es el triángulo isósceles 34m, los lados 3m y 4m son alturas de caras y el lado 34 es el lado del tetraedro. El punto C, bisectriz del ángulo en m, es el centro de la esfera inscrita y circunscrita, cuyos radios son CO y C3 respectivamente. El tetraedro dispone de seis secciones principales. OCTAEDRO. Poliedro compuesto por ocho triángulos equiláteros, seis vértices y doce aristas. Antes de proceder a su representación vamos a calcular la distancia que hay entre Página nº 87

dos vértices opuestos. Figura 119. Observando la figura vemos que al unir el vértice 5 con el centro del octaedro y este con otro vértice, como por ejemplo el 4, se forma un triángulo 5O4 rectángulo en O, cuyos lados son, el cateto O5 es la altura del octaedro, el otro cateto O4 es media diagonal del cuadrado 1234 y la hipotenusa 54 es el lado del octaedro. Si comparamos este triángulo con el 1O4, vemos que son iguales pues los ángulos en O son rectos, las hipotenusas O5 y 14 son iguales y tienen por valor el lado del octaedro y los catetos O4 Figura 119 coinciden, por tanto los triángulos 4O5 y 1O4 son iguales, en conclusión los lados O5 y O1 también son iguales y si O1 vale media diagonal del cuadrado 1234 implica que h tiene el mismo valor. Luego la separación entre dos vértices opuestos del octaedro vale la diagonal del cuadrado 1234. Vamos a representarlo con una cara apoyada en PH y una arista de esa cara perpendicular al PV. Figura 120 Puesto el octaedro de esta manera la proyección vertical es un rombo de lados la altura de una de las caras y por diagonal menor la arista del octaedro. Esta proyección es Página nº 88

precisamente la sección principal del octaedro, esta pasa por una diagonal y es perpendicular a dos aristas opuestas. Dispone de seis secciones principales. Obsérvese que en proyección horizontal, el contorno del poliedro es un exágono regular. Las partes vistas y ocultas no presentan complicaciones, en proyección vertical todo es visto y en horizontal vemos que el triángulo 1'6'4' está mas alto que el 2'3'5', este último es el oculto. Figura 121 Otra forma de representar el octaedro es teniendo la diagonal como una recta vertical o de punta. Figura 121. Obsérvese que la diagonal 5'6' y las diagonales 13 y 24 miden lo mismo y están en verdadera magnitud. Otra forma de representarlo es cuando nos dan el cuadrado 1234 situado en un plano P cualquiera. Su construcción es fácil, procederemos a abatir el plano P, construiremos el cuadrado y calcularemos las proyecciones del mismo. Determinaremos su centro O y por él trazaremos una perpendicular T al plano P. Giraremos esta recta y situaremos sobre ella la diagonal del cuadrado dándonos los dos vértices que faltan los cuales uniremos con los vértices del cuadrado. Figura 123. Figura 122 En la figura 122, vemos el poliedro conjugado del octaedro que es el cubo o exaedro. Página nº 89

Nos dan un plano P de canto y en él el segmento 12, lado de un cuadrado contenido en P y sección de un octaedro regular. Figura 123. Abatimos el plano P y determinamos el cuadrado cuyo lado es (1)(2), lo desabatimos y obtenemos las proyecciones de los puntos 1, 2, 3 y 4. Calculamos el centro O y por él trazamos la recta perpendicular al plano P, como la perpendicularidad entre recta y plano se conserva, simplemente trazamos perpendicular a P por o y a P por o. Sobre esta perpendicular hay que colocar la diagonal del cuadrado, obsérvese que la perpendicular que hemos trazado es una recta frontal y por tanto se ve en verdadera magnitud en proyección vertical, entonces a partir de o situaremos media Figura 123 diagonal hacia arriba, punto 5', y media hacia abajo, punto 6'. Una vez marcado los contornos de ambas proyecciones, vamos a estudiar los puntos 4' y 2' en proyección vertical, vemos que en proyección horizontal 4 tiene mas distancia que 2 luego 2' será oculto y 4' será visto, entonces las aristas 5'2' y 6'2' serán ocultas y las 5'4' Página nº 90

y 6'4' serán vistas. En proyección horizontal, vamos a estudiar los puntos 5 y 6 que son los vértices exteriores al cuadrado 1234. Vemos en proyección vertical que el vértice 5' es mas alto que el 6', luego las aristas que pasan por 5' serán vistas y las que pasan por 6' serán ocultas. ICOSAEDRO. Poliedro compuesto por veinte triángulos equiláteros, doce vértices y treinta aristas. Figura 124. Vamos a representarlo con una diagonal vertical, recta que une dos vértices opuestos. Figuras 125 y 126. Vamos a abatir los cinco triángulos que concurren en el vértice 12 sobre el PH. Observemos los triángulos 12(3)(1) y 12(9)(1), cuando estos triángulos estén en su posición final los vértices (1) deben de coincidir en uno solo. Girando los vértices (1) alrededor de los ejes (1)(3) y (1)(9) respectivamente, describirán arcos de circunferencias que los veremos como rectas y se cortarán en el punto 1. Teniendo en cuenta la simetría de la figura, unimos este punto con el centro y nos permite encontrar los vértices 3-5-7-9, que unidos nos dan un pentágono regular de vértices 1-3-5-7-9. Ahora vamos a construir el poliedro empezando por el vértice 11 de la diagonal. Realizando la misma construcción, obtenemos otro pentágono regular centrado con el anterior pero simétrico respecto de un eje Figura 124 perpendicular a LT y que pase por los vértices 11-12 de vértices 2-4-6-8-10. El lado del pentágono es el lado del icosaedro. Cerramos el poliedro con un decágono regular. Para determinar la proyección vertical, primeramente fijemos el vértice 12' en LT, observamos que el lado 12-1 es una arista frontal por lo que 12'-1' estará en verdadera magnitud, levantando una perpendicular por 1 donde la circunferencia de centro 12' y radio el lado del icosaedro corte a esta perpendicular, ahí tendremos Página nº 91

el vértice 1' y a la misma altura los vértices 3'-5'-7'-9'. Ahora vamos a calcular la diferencia de altura que existe entre la arista 57 y el vértice 6. En las figuras 125 y 126, se ha representado aparte el triángulo 567, el segmento m6 en realidad es la altura de una cara del icosaedro, construyendo el triángulo rectángulo de cateto m6 e hipotenusa la altura de una cara, nos dará el segmento h1, diferencia de altura entre la arista 57 y el vértice 6. Seguidamente llevamos este segmento a partir de la línea 1'-3'-5'-7'-9' y nos dará la línea de los vértices 2'-4'-6'-8'-10'. Por último el lado 6'-11' es una arista frontal y en proyección vertical veremos verdadera magnitudes, donde la circunferencia de centro 6' y radio el lado del icosaedro corte a la perpendicular trazada por 11, tendremos el vértice 11'. En proyección vertical todo es visto pues coinciden vértices y caras por ser el plano 1-6-11-12 de simetría para el icosaedro y en proyección horizontal tengamos en cuenta que el pentágono de vértices 1-3-5-7-9 y las aristas 12-1, 12-3, 12-5, 12-7 y 12-9 serán ocultas y en el otro pentágono serán vistas. Véase que el pentágono 1-3-5-7-9 tiene menor cota que el pentágono 2-4-6-8-10 por tanto, este último será el visto. Figura 125 Página nº 92

Figura 126 Otra forma de representar el icosaedro es teniendo una cara apoyada en el PH. Figura 129. Observando la figura vemos que las caras que forman parte del vértice 3 forman una pirámide de base pentagonal de vértices 1-2-5-7-4, si abatimos este pentágono sobre PH obtenemos los vértices (4), (5) y (7). Procedamos a desabatir el pentágono, el vértice (7) describirá, en proyección horizontal, una recta y en proyección vertical, un arco de circunferencia; por otro lado, la arista 37, por ser frontal, se verá en verdadera magnitud siendo 3'7' el lado del icosaedro, así tenemos fijado el punto 7' y por consiguiente los vértices 4' y 5', pues el pentágono se verá como la recta 7'1'. Obtenido el vértice 7, obtenemos el 8 y el 9. Dándole un giro de 180º a la figura obtenida, tenemos la otra mitad del icosaedro, los triángulos Página nº 93

1-2-3 y 10-11-12 quedarán centrados entre sí, lo único que falta es cerrar el poliedro. En proyección vertical tenemos los vértices 1'-2'-3', 4'-5' y 7', asociados por cotas. El 6' tiene la misma cota que los 4'-5' y el 8' y 9' la misma que el 7'. Nos faltan por determinar las cotas de los vértices 10'-11'-12'. Observando la arista 6-12 vemos que es frontal por tanto, 6'-12' se verá en verdadera magnitud, trazando con centro en 6' una circunferencia de radio el lado del icosaedro hasta cortar a la perpendicular a LT trazada por 12, tendremos el vértice 12'. Obtenido 12' quedan determinados el 10' y el 11'. Para el estudio de las partes vistas y ocultas en proyección vertical todo es visto mientras que en proyección horizontal, una vez marcado el contorno, todas las aristas que parten de los vértices de la cara 1-2-3 son ocultas y todas las que parten de la cara de vértices 10-11-12 son vistas. Obsérvese que la cara 1-2-3 es la apoyada en PH y es la mas baja mientras que la 10-11-12 es la cara mas alta. La sección principal del icosaedro es un exágono irregular pasando por dos aristas opuestas, tiene dos lados iguales a las aristas del icosaedro y los otros cuatros lados son iguales a las alturas de cada cara. El icosaedro posee quince sesiones principales. Figura 127. Figura 127 En la figura 128 está representado el poliedro conjugado del icosaedro que es el dodecaedro. Figura 128 Página nº 94

Figura 129 CUBO O EXAEDRO. El cubo es el poliedro que estar formado por seis caras cuadradas, ocho vértices y doce aristas. Las aristas son paralelas y perpendiculares dos a dos a igual que las caras. La forma mas simple de representar el cubo es teniendo una cara apoyada en PH, esta se verá en verdadera magnitud y las aristas que pasan por sus vértices serán rectas verticales y también se verán en verdadera magnitud. Figura 130. Página nº 95

Figura 130 Otra manera de representar el cubo es cuando la diagonal principal es una recta vertical. Llamamos diagonal principal a la que une dos vértices opuestos. Figura 131. Figura 131 Página nº 96

Observando la figura 131, el cubo queda inscrito en una esfera de diámetro la diagonal principal 1'-5'. Dividiendo esta diagonal en tres partes iguales obtenemos los vértices 2' y 6' que unidos con 1' y 5' nos da el contorno del poliedro, lo único que faltan son las aristas 3'-7' y 4'-8' que por ser el plano 2-1-5-8 de simetría para el cubo hace que las aristas coincidan en proyección vertical. Para determinar la proyección horizontal, el contorno de la figura será un exágono regular de lado inscrito en la circunferencia de radio o2'-6'. Las demás aristas se ven en el gráfico. En proyección vertical todo es visto, mientras que en proyección horizontal las aristas se va alternándose la visibilidad. Obsérvese que la arista 1'-2' es la más alta y será vista mientras que la 5'-6' es la mas baja y será oculta. Otra representación del cubo es teniendo una arista en uno de los planos de proyección. Consideremos un cubo que tiene una arista en el PH. Figura 132. Figura 132 Página nº 97

Sea la arista 1-2 la situada en PH, si realizamos un cambio de plano y la colocamos de punta veremos las caras que son perpendiculares a esta arista en verdadera magnitud, dibujamos el cuadrado con las condiciones que nos fije el problema y procedemos a obtener la proyección horizontal. Las caras que pasan por los vértices 1 y 2 por ser perpendiculares a la arista 1-2 serán planos verticales y se verán como líneas, obteniendo del cambio de plano la correspondencia de los vértices que forman el cubo. En proyección vertical situaremos los vértices con la misma cota que tienen en el cambio de plano. Veamos ahora la visibilidad del poliedro. En proyección horizontal la arista 1-2 es oculta pues es la mas baja y la 3-4 es vista por ser la mas alta, en proyección vertical, después de marcar el contorno nos quedan dos vértices por determinar que son el 5' y el 8', mirando en proyección horizontal vemos que el vértice 8 está mas alejado del PV que el 5 por tanto, el 5 y las tres aristas que concurren en él serán ocultas y las que concurren en el 8 vistas. La última representación que nos queda del cubo es cuando nos dan una cara situada en un plano P cualquiera. El proceso para su construcción es el mismo que el que hemos expuesto en el tetraedro y octaedro, determinaremos las proyecciones del cuadrado, trazaremos por sus vértices cuatro rectas perpendiculares al plano del cuadrado, elegiremos una de ellas y la giraremos para ponerla en verdadera magnitud, sobre esta colocaremos el valor del lado del cubo y procederemos a realizar el giro al revés, determinándose así los vértices restantes. Figura 134. La sección principal del cubo es la que pasa por dos aristas opuestas y es un rectángulo. El cubo tiene seis secciones principales. El poliedro conjugado es el octaedro. Figura 133. Figura 133 Página nº 98

Figura 134 Página nº 99

Vamos a comentar la construcción de la figura 134. El problema nos da la traza horizontal P de un plano y su abatida (P ) así como el cuadrado abatido. Una vez encontrada la traza vertical P, desabatimos el cuadrado y determinamos su proyección vertical. Para ello vemos que el vértice (2) al estar sobre (P ) su proyección vertical estará sobre P y la horizontal sobre LT, así determinamos el vértice 2. Las rectas (2)(3) y (3)(4) cortan a P en z y x respectivamente, aplicando afinidad, obtenemos los vértices 3 y 4 ya que las aristas 23 y 34 se cortarán en P en los puntos z y x respectivamente. Una vez conocida la proyección horizontal del cuadrado determinamos la proyección vertical mediante rectas del plano P. Obsérvese que la arista 2'3' está sobre la recta 2'z y la arista 3'4' sobre la recta 3'x. Para determinar la cara superior, trazamos cuatro rectas perpendiculares a P - P por cada vértice del cuadrado, como la perpendicularidad entre rectas y planos se conserva, basta con trazar perpendiculares a P y P por los vértices 1'-2'-3'-4' y 1-2-3-4 respectivamente. Elegimos la arista que pasa por el vértice 1'-1 y en ella tomamos un punto auxiliar Y, giramos este punto hasta poner la arista frontal, en la recta 1'-yg se ven verdaderas magnitudes y a partir del vértice 1' llevamos sobre ella el lado del cuadrado, obteniéndose el punto vg, deshaciendo el giro obtenemos v y v, trazando por estos puntos paralelas a las aristas del cuadrado obtenemos los vértices restantes. Para estudiar las partes vistas y ocultas, previamente marcaremos los contornos y después analizaremos los vértices que quedan dentro de estos. En proyección vertical quedan los vértices 2' y 8', los localizamos en proyección horizontal y vemos que el vértice 8 tiene mayor distancia que el 2 luego, las aristas que pasan por 8' serán vistas y las que lo hacen por 2' ocultas. En proyección horizontal vemos los vértices 4 y 7 que localizados en proyección vertical, el 7' tiene mayor cota que el 4', por tanto serán vistas las aristas que pasan por el vértice 7 y ocultas las que lo hacen por el 4. DODECAEDRO. Poliedro compuesto por doce caras pentágonos regulares, veinte vértices y treinta aristas. Figura 135. La representación mas fácil del dodecaedro es teniendo una cara apoyada en uno de los planos de proyección. Consideremos que está apoyado sobre el PH. Figura 137. Página nº 100

Sea la cara apoyada en PH la 1-2-3-4-5, consideremos las dos caras que comparten las aristas 1-5 y 1-2, abatámoslas sobre PH, tendremos los pentágonos 1-2-(10)-(15)-(6) y el 1-5-(7)-(11)-(6), observamos que los vértices (6), en cada pentágono, tienen que ser el mismo vértice cuando los pentágonos estén en su posición. Giremos los vértices (6) alrededor de los ejes 1-5 y 1-2 respectivamente, estos vértices describirán arcos de circunferencias que lo veremos como rectas perpendiculares a sus Figura 135 respectivos ejes de giros, donde estas rectas se corten tendremos el vértice 6. Por simetría obtenemos los vértices 7-8-9-10 que unidos con los vértices 5-4-3-2 nos da medio dodecaedro. Girando la figura obtenida 180º tenemos la otra mitad del poliedro, de tal manera que lo pentágonos 1-2-3-4-5 y 16-17-18-19-20 quedarán centrados entre sí. Lo único que nos queda es cerrar la figura por el contorno, aristas 6-11-7-12-8-13-9-14- 10-15-6. Todas las aristas que parten del pentágono inferior, el 1-2-3-4- 5, son ocultas y las del 16-17-18-19-20 serán vistos. Para determinar la proyección vertical vamos a situar el Figura 136 vértice 6', vemos que la arista 1-6 es frontal, por tanto, en proyección vertical se verá en verdadera magnitud, haciendo centro en 1' y con radio el lado del dodecaedro hasta cortar a la perpendicular trazada por 6 a LT, donde obtendremos el vértice 6'. Los vértices Página nº 101

Figura 137 7'-8'-9'-10' tienen la misma altura que el 6'. Vamos a determinar, ahora, las alturas de los vértices 11'-12'-13'-14'-15'. Vamos a calcular la altura del vértice 13. Ver también la figura 136. En la figura 137, hemos separado la cara 3-4-8-13-9 para un trazado mas claro. El segmento m-13en realidad es la distancia de un vértice al lado opuesto de un pentágono, si construimos el triángulo rectángulo cuyo cateto sea m- 13 y la hipotenusa la distancia antes enunciada, obtenemos la altura h del vértice 13' en el otro cateto. Fijado este tenemos determinados también los 11'-12'-14'-15'. Página nº 102

Por último vamos a fijar los vértices 16'-17'-18'-19'-20'. Observando la arista 13-19 vemos que es frontal, por tanto, en proyección vertical estará en verdadera magnitud, trazando una circunferencia de centro 13' y radio el lado del dodecaedro hasta cortar a la perpendicular a LT por el vértice 19, obtenemos la posición del vértice 19' y con él la de los 16'-17'-18'-20'. En esta proyección todo es visto ya que al ser el plano 1-6-13-19 de simetría para la figura, las aristas coincidirán unas con otras. La sección principal del dodecaedro pasa por dos aristas opuestas y es un exágono irregular con dos lados iguales a la arista del dodecaedro y los otros cuatro son la distancia que hay desde un vértice de una cara al lado que está enfrente en la misma cara. Figura 138. El poliedro conjugado del dodecaedro es el icosaedro. Figura 138. Figura 138 Determinación de secciones planas. Para determinar la sección que un plano le produce a una figura, sea cual sea la figura, si el plano que no dan es un plano oblicuo a los de proyección, procederemos a colocar el plano en un plano de canto, de esta manera, la sección que produce el plano se verá como una recta y su determinación es inmediata. En las figuras 139, 140, 141 y 143 se han planteado secciones planas producidas a poliedros. Página nº 103

Figura 139. Sección plana de un cubo por un plano de canto. Por estar el plano de canto la sección es la línea 1'-2'-3'-4' lo que tenemos que hacer es colocar cada punto en su arista en proyección horizontal. Para el estudio de las partes vistas y ocultas se ha tenido en cuenta la existencia del plano P, en proyección vertical la visibilidad es la misma que si no estuviera el plano P y en Figura 139 Página nº 104

proyección horizontal es visto desde el corte hacia arriba. Figura 140. Sección plana de un octaedro por un plano paralelo a LT. Realizamos un cambio de plano para poner el plano dado en un plano de canto, tomamos una nueva LT perpendicular a la traza horizontal P del plano, cambiamos el plano y el octaedro, el corte se ve como la línea a -b -c -d -e -f, situamos estos puntos en proyección horizontal y proyección vertical cada uno a su arista, si hay algún punto que al situarlo sea impreciso, piénsese que las alturas del diedro original Figura 140 Página nº 105

y el del cambio de plano, son iguales. Visibilidad de la figura, observando el cambio de plano, es visto desde el corte hacia arriba y hacia adelante, determinado el corte en ambas proyecciones las partes vistas serán, en proyección vertical del corte hacia arriba y en horizontal del corte hacia adelante. Figura 141. Sección plana de un icosaedro por un plano vertical. Algunas veces nos encontramos con puntos como el 3 que a la hora de determinar su proyección vertical no podemos hacerlo por estar situado en una recta de perfil, para solucionarlo hemos realizado un cambio de plano, hemos situado el punto 3' y medimos la altura que tiene, esta altura es la misma que la del punto 3'. En otras ocasiones después de calcular los distintos puntos que forman la línea de la sección nos encontramos con el problema de cómo se unen?, en que orden?. Para solucionarlo basta con mirar en la proyección donde el corte se ve como una recta, Figura 141 Página nº 106

siempre que la figura sea convexa y no tenga entrantes ni salientes, podemos usar el siguiente criterio, mirando la proyección horizontal, hay que partir del punto 1 y llegar al punto 2 por dos caminos, uno por los puntos vistos y otro por los puntos ocultos, de esta manera obtendremos el orden de unión de la proyección vertical. Figura 142. Figura 142 Figura 143. Sección plana de un cubo por un plano oblicuo a los de proyección. Para poder ver la sección que el plano P le produce al cubo hemos realizado un cambio de plano para poner el plano P de canto, en el cambio de plano vemos el corte como la recta 1' -2' -3' -4'. Situamos los puntos citados sobre sus correspondientes Página nº 107

aristas en proyección horizontal y vertical respectivamente. Obsérvese que la cara del cubo que pasa por los puntos 1 y 3 es un plano vertical y la que pasa por los puntos 2 y 4 también. El corte que el plano P le produce a estos dos planos se pueden resolver como intersecciones de planos. La intersección de P con la cara que pasa por los puntos 1 y 3 es la recta AB y de ella nos quedamos con el trozo que está dentro de la cara del cubo, asimismo una paralela trazada por el punto C nos dará la intersección con el otro plano, quedándonos con el trozo de recta que queda dentro de la cara del cubo. Para la visibilidad hemos considerado la existencia del plano P, mirando en el cambio de plano vemos que será visto en proyección vertical desde el corte hacia arriba y en proyección horizontal desde el corte hacia adelante. Intersección de una recta con un poliedro. Para calcular la intersección de una recta R con un poliedro tomaremos un plano P proyectante (vertical o de canto) que contenga a la recta y determinaremos la sección que este plano le produce al poliedro, una vez obtenida la sección, esta y la recta están en el plano P y pueden ocurrir, cuatro cosas, figura 144: a). La recta corta a la sección en dos puntos. b). La recta toca a la sección en un punto. c). La recta coincide con una linea de la sección. d). La recta es exterior a la sección. Esto quiere decir que la recta y el poliedro serán: a). Que tenga dos puntos en común con él, punto de entrada y punto de salida. b). Que toque a una arista en un punto. c). Que coincida con una cara del poliedro. d). Que sea exterior al poliedro, es decir, no lo toca. Página nº 109

Figura 144 En la figura 145 se ha resuelto la intersección de una recta R con un cubo. El plano P -P le produce al cubo la sección 1-2-4-3 y vemos que la proyección horizontal r corta a la sección en los puntos A y B, puntos de entrada y salida en el cubo. Para estudiar la visibilidad, en proyección vertical, la recta queda dividida en las siguientes zonas yendo de izda. a dcha., antes del punto 1', del 1' al a, del a al b, del b al 4' y del 4' hacia la dcha., tanto el punto a como el b son vistos (se ve en proyección horizontal que el segmento 1-2 y el segmento 2-4 están en caras vistas), entonces será visto desde la izda. hasta a y desde b hacia la dcha. La zona a -b serán oculta por estar dentro del cubo. En proyección horizontal la recta queda dividida en las siguientes zonas, desde la izda. hasta x, desde x hasta a, desde a hasta b, desde b hasta y y desde y hacia la izda. El punto a es visto mientras que el b es oculto (se ve en proyección vertical que el segmento 1'-2' esta en cara vista y el segmento 2'-4' esta en cara oculta), entonces será visto desde la izda. hasta a y oculto desde a hasta el punto y el resto hacia la dcha. es visto. Página nº 110