INDICE Introducción 1 Movimiento vibratorio armónico simple (MVAS) 1 Velocidad en el MVAS Aceleración en el MVAS Dinámica del MVAS 3 Aplicación al péndulo simple 4 Energía cinética en el MVAS 6 Energía potencial elástica 7 mgsenθ
Movimiento vibratorio armónico simple _ 1 de 9 Movimiento Vibratorio Armónico Simple Un movimiento que repite posiciones en intervalos iguales de tiempo recibe el nombre de movimiento periódico. Ejemplos de este tipo de movimiento: rotación de la Tierra, movimiento de un punto de la periferia de un CD... El tiempo que transcurre entre la repetición consecutiva de la posición recibe el nombre de periodo. Llamaremos movimiento oscilatorio aquel en el que el móvil recorre una trayectoria en la que la posición del móvil respecto al origen pasa por un valor máximo y un valor mínimo como sucede con un movimiento de vaivén, de una forma periódica (es decir repitiendo posiciones a intervalos constantes de tiempo). MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (MVAS) El movimiento vibratorio armónico simple se puede representar físicamente por el movimiento de la proyección sobre uno de los diámetros de una circunferencia de las distintas posiciones que va ocupando el móvil que la recorre con velocidad angular constante: Movemos el resorte hasta una posición inicial como la que se indica en la figura: Sobre el diámetro Y: y = A sen(ωt +φ 0) Sobre el diámetro X: x = A cos(ωt + φ 0)
Movimiento vibratorio armónico simple _ de 9 Vibración completa o ciclo es el movimiento desde un extremo (P) de la trayectoria hasta el otro (Q) y retorno al primero. Periodo (T) es el tiempo invertido en un ciclo. Frecuencia (f o ν) número de ciclos en la unidad de tiempo. Elongación (y ó x) la distancia que en cada momento separa al punto oscilante de la posición de equilibrio. Fase ángulo descrito por el móvil en un tiempo. En φ = φ 0 + ωt. ( φ 0 fase inicial). Pulsación (ω) velocidad angular que posee el móvil que teoricamente, recorre la circunferencia de radio A. Amplitud (A) elongación máxima. Hemos visto con anterioridad cuál era la ecuación de la elongación en función del tiempo. y = A sen(ωt +φ 0 ) o también x = A cos(ωt + φ 0 ) También se puede poner, teniendo en cuenta que ω = π/t : y = A sen[(πt/t) +φ 0 ] = A sen(π f t +φ 0 ) x = A cos[(πt/t) +φ 0 ] = A cos(π f t +φ 0 ) VELOCIDAD EN EL MVAS Hemos visto con anterioridad cuál era la ecuación de la elongación en función del tiempo: y = A sen(ωt +φ 0 ) o también: x = A cos(ωt + φ 0 ) De la misma forma se puede determinar el valor de la velocidad (su módulo) derivando la elongación con respecto al tiempo: dy dx v = = A ω cos( ωt + ϕ0) dt también: v = = A ω sen( ωt + ϕ0) dt ACELERACIÓN EN EL MVAS La aceleración en cada instante derivando la velocidad con respecto al tiempo o la elongación dos veces respecto al tiempo: dv d y a = = = A ω cos( ωt + ϕ0) dt dt = ω y = k y lo mismo que antes:
Movimiento vibratorio armónico simple _ 3 de 9 dv d x a = = = A ω sen( ωt + ϕ0) = ω x = k x dt dt Como se ve en este movimiento la aceleración es proporcional a la elongación y de signo opuesto a ella. Representación gráfica de la elongación (y), la velocidad (v), y la aceleración (a) frente al tiempo. DINÁMICA DEL MVAS Ya se definió anteriormente el movimiento armónico simple mediante la ecuación de la elongación: y = A cos(ωt +φ 0 ) (I) x = A cos(ωt +φ 0 ) (II) De ella se deducía la ecuación de la aceleración derivando la ecuación (I): a = dv/dt = d y / dt = A ω cos(ωt + φ 0 ) = ω y = k y Si derivamos en la ecuación (II) a = dv/dt = d x / dt = A ω cos(ωt + φ 0 ) = ω x = k x Aplicando la ecuación F = m a y sustituyendo el valor de a queda: F = m ω y = k y donde k = m ω y ω = (k/m) ½ Como se ve (*) en el movimiento armónico simple la fuerza que actúa es proporcional a la elongación y opuesta a ella, es decir, estará dirigida siempre hacia el origen o punto de equilibrio. Por tanto como en ese punto la elongación es nula (y = 0) también lo será el valor de la fuerza que actúa sobre el móvil (F= 0). Este tipo de fuerza es la que aparece cuando se deforma un cuerpo elástico (ley de Hooke). La constante K se llama constante recuperadora o elástica y sus unidades son N/m. Como se ve la constante recuperadora es igual al cuadrado de la pulsación por la masa y por tanto la pulsación es igual a la raiz cuadrada del cociente entre la constante recuperadora y la masa.
Movimiento vibratorio armónico simple _ 4 de 9 Teniendo en cuenta la relación entre el valor de la pulsación y el periodo se puede deducir cuál será el valor de este último en función de la masa y la constante recuperadora: T = π (m / k) ½ APLICACIÓN AL PÉNDULO SIMPLE Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida de un punto O por un hilo de longitud l y masa despreciable. Si la partícula se lleva hasta B de modo que forma un ángulo pequeño con la vertical y luego se suelta esta oscilará entre B y B'. Se puede explicar la dinámica del movimiento en la forma siguiente:
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Movimiento vibratorio armónico simple _ 6 de 9 La partícula se mueve en un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud de la cuerda. Las fuerzas que actúan sobre esta partícula serán F x que es anulada por la tensión de la cuerda T y F t cuyo valor será negativo ya que se opone al desplazamiento: F t = m g sen θ = m a t = m α l = m l (d θ / dt ) La aceleración responsable de la variación en el módulo de la velocidad es la aceleración tangencial que a su vez está relacionada con la aceleración angular del móvil con lo que se puede deducir que como la aceleración angular es la derivada segunda del ángulo con respecto al tiempo dos veces l (d θ / dt ) + g senθ = 0 Cuando el ángulo θ es muy pequeño (longitud l grande y pequeñas amplitudes de oscilación) senθ es aproximadamente θ por lo que: (d θ / dt ) + (g / l) θ = 0 Ecuación diferencial cuya solución lleva a establecer que el valor de la pulsación o frecuencia angular para el movimiento del péndulo simple es: ω = ( g / l ) ½ Dado que ω = π/t Se puede deducir: T = π( l / g ) ½ Como se ve el periodo del péndulo simple solo es función de la longitud del hilo y de g que en el campo gravitatorio terrestre es constante e igual a 9.81 m/s. ENERGIA CINETICA EN EL MVAS Por esta razón el valor máximo de la energía cinética será: Ec = (1/) m ω A
Movimiento vibratorio armónico simple _ 7 de 9 cuando el móvil pase por la posición de equilibrio (es decir cuando la elongación sea cero). Es entonces cuando lleva la velocidad máxima. Y el valor mínimo cero cuando el móvil se encuentre a la máxima distancia de la posición de equilibrio (x=a), es el momento en que el móvil se para un instante antes de volver a dirigirse hacia la posición de equilibrio. ENERGIA POTENCIAL ELASTICA Supongamos un resorte de constante recuperadora k, unido a una masa m, que puede deslizar sobre una superficie sin rozamientos. Aplicamos sobre esa masa una fuerza que hace que se desplace a velocidad constante desde A hasta B. El trabajo realizado para llevar m desde A hasta B vendrá dado por: W AB = Fdx Puesto que el sistema se mueve con velocidad constante F será igual y opuesta a la fuerza recuperadora del resorte, es decir, según la ley de Hooke F = Kx siendo x el desplazamiento respecto de la posición inicial de equilibrio.
Movimiento vibratorio armónico simple _ 8 de 9 Deducimos por tanto que la energía mecánica del sistema suma de la energía cinética y potencial elástica es constante sea cual sea la posición del móvil e igual a (1/) k A puesto que: E = E c + E p = (1/) k [A - x ] + (1/) k x = (1/) k A Podemos representar la energía mecánica, la energía potencial y la energía cinética del movimiento armónico simple frente a la elongación obteniendo en cada caso las gráficas siguientes: