Práctica 5: Ondas electromagnéticas planas en medios dieléctricos OBJETIVO Esta práctica de laboratorio se divide en dos partes principales. El primer apartado corresponde a la comprobación experimental de las leyes que gobiernan el comportamiento de ondas electromagnéticas planas enterfases dieléctricas. (i) Se comprueban experimentalmente los aspectos geométricos de la reflexión y refracción (leyes de Snell), así como el fenómeno de la reflexión total. (ii) Se determinan experimentalmente la Reflectancia y Transmitancia enterfases, comparando el resultado con las predicciones teóricas proporcionadas por las ecuaciones de Fresnell. De este modo se estudian los aspectos energéticos de la reflexión y refracción. Además, se determina experimentalmente el desfase entre las componentes paralela y perpendicular. (iii) Se comprueba experimentalmente la ley exponencial de absorción y se determina el coeficiente de absorción para un material dieléctrico.
1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS EN INTERFASES DIELÉTRICAS A) ASPECTOS GEOMÉTRICOS Leyes de Snell En el formalismo electromagnético, describimos las ondas incidente, reflejada y transmitida, mediante ondas electromagnéticas planas: E i = E 0i e i k i r ωt E r = E 0r e i kr r ωt E t = E 0t e i k t r ωt Aplicando las condiciones de frontera a cualquier punto de la interfase de separación de los dos medios dieléctricos, alcanzado por la radiación 1, se obtienen las leyes de Snell: θ i =θ r Ley de reflexión sen θ i = n t sen θ t Ley de refracción (2) (1) donde θ i y θ t representan el ángulo de incidencia y refracción, respectivamente; y n t son los índices de refracción del medio incidente y medio de refracción. 1 E II (componente paralela a la interfase) continuo en la interfase, H II (componente paralela a la interfase) continuo en la interfase.
Fenómeno de Reflexión Total (Aspectos geométricos) Sea una onda electromagnética que atraviesa de un medio ópticamente denso a otro menos denso (n t < ). Existe un ángulo de incidencia límite, θ il, para el que se anula la onda electromagnética transmitida al segundo medio, encontrándose una reflexión pura. Este ángulo es función únicamente de la relación relativa de índices de refracción de ambos medios Si se incide con un ángulo inferior al límite, se generan dos ondas planas en la interfase, siendo el ángulo de refracción de la onda transmitida mayor que el ángulo de la incidencidente. Si se aumenta progresivamente el ángulo de incidencia (Figura 1), llega un momento en que el ángulo de refracción se hace igual a 90º. A partir de este ángulo de incidencia, ocurre reflexión total puesto que el rayo refractado desaparece y solo existe un rayo reflejado en el primer medio. Figura1 Aplicando la ley de la refracción a la situación de reflexión total, sen θ L = n t sen θ t = π 2, se obtiene: (3) sen θ L = n t
Experimental (Obtención del ángulo límite y determinación del índice de refracción del vidrio empleado) Colocar la lámina de vidrio con el inglete según se indica en la figura. Para ello actúe sobre los soportes de la lámina del disco giratorio. Hacer que el láser incida sobre el inglete y obtener incidencia normal sobre él (haciendo que el rayo reflejado se propague en la misma dirección que el rayo incidente, esto es, haciendo que el punto luminoso reflejado incida sobre el propio generador láser). En esta situación, el láser penetra en la lámina de vidrio con un ángulo de 45º sobre la cara posterior. Este ángulo es mayor que el ángulo límite, y se observará que el láser está confinado en la lámina y se refleja totalmente en las dos caras de la lámina. Para medir el ángulo límite, gire el disco hasta observar que aparecen puntos luminosos fuera de la lámina, en cuyo caso se ha pasado de reflexión total a reflexión parcial. Girar lentamente en sentido contrario hasta conseguir de nuevo la reflexión total, esto es, hasta que vuelvan a desaparecer los puntos luminoso que salían de la lámina. Cuando se tenga la situación justa en que aparecen y desaparecen los puntos luminosos, se ha conseguido el ángulo límite en la cara posterior de la lámina, dentro del vidrio. Tenga en cuenta que no está midiendo directamente el ángulo límite dentro del vidrio, sino que medirá el ángulo de incidencia sobre el inglete que hace que se incida dentro del vidrio con
ángulo límite. Realice la medida de este ángulo de incidencia que provoca reflexión total. Tratamiento de datos - El ángulo de incidencia sobre el inglete está relacionado con el ángulo límite mediante la relación trigonométrica θ L =45 º θ t (razone sobre el triángulo ABC de la figura 2). Teniendo en cuenta la expresión 3 para el ángulo límite se deduce: 2 2 sen θ i 1 n t n = 1 i 2 (4) - Determine el índice de refracción del vidrio, a partir del valor del ángulo de incidencia medido, tomando el Figura 2 del aire igual a la unidad. - Determine el ángulo límite mediante la ecuación 3. B) ASPECTOS ENERGÉTICOS Ecuaciones de Fresnell Cuando una onda plana incide sobre una interfase plana que separa dos medios dieléctricos diferentes, aparecen otras dos ondas planas: una reflejada hacia el medio incidente y otra transmitida hacia el segundo medio. La porción de energía transportada por cada una de estas ondas viene dada por el valor de los índices de refracción y por el ángulo con que se incide sobre la interfase. Esta situación viene descrita por las ecuaciones
de Fresnell, que relacionan las amplitudes de las ondas implicadas 2. Las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida están relacionadas con la amplitud de la onda plana incidente mediante los denominados coeficientes de Fresnel: incidencia Para polarización perpendicular al plano de r= E 0r E = cosθ i n t cos θ t (5) 0i cosϑ t +n t cos ϑ i t= E 0t E = 2 cos θ i (6) 0i cos θ i +n t cos θ t Para polarización paralelo al plano de incidencia = r E 0r II E 0i II = t E 0r II E 0i II = n t cos θ i cos θ t cos θ t +n t cosθ t (7) = 2 cos θ i cos θ t +n t cosθ i (8) donde θ i y θ t son los ángulos de incidencia y de refracción respectivamente. y n t son los índices de refracción del primer y segundo medio respectivamente. Teniendo en cuenta la ley de Snell, sen θ i = n t sen θ t, se obtienen nuevas expresiones que dependen únicamente del índice de refracción relativo del medio de 2 Recuerde que la intensidad de una onda es energía transportada por unidad de tiempo a través de una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación, siendo proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, I = P = 1 2 n Z 0 E 0 2, donde P es el vector de Poynting, n es el índice de refracción del medio de propagación y Z 0 es la impedancia característica del vacío.
transmisión respecto del de incidencia, n r = n t, y del ángulo de incidencia θ ι : Para polarización normal r= cosθ i n r 2 sen2 θ i cosθ i n r 2 sen 2 θ i (9) Para polarización paralela r II = n r 2cos θ i n r 2 sen2 θ i n r 2cos θ i n r 2 sen 2 θ i (10) Polarización normal t = 2 n r 2 sen2 θ cos θ+ n r 2 sen θ (11) 2 Polarización paralela t II = n r 2 sen 2 θ n r 2cos θ+ n r 2 sen θ (12) En el caso límite de ángulo de incidencia nulo, θ i 0, los coeficientes de reflexión sondependientes de la polarización y toman el valor r II = r= n t n t +. Los coeficientes de transmisión tambien soguales y toman el valor t II = t= 2 n t +. En esta práctica de laboratorio, el detector luminoso de que se dispone es un diodo, que proporciona una corriente eléctrica cuya intensidad es proporcional a la intensidad luminosa, esto es, a la potencia de luz incidente sobre el diodo. Por tanto se tiene una medida experimental que es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda plana incidente sobre el detector. Así pues, midiendo la intensidad incidente perpendicular sobre el medio dieléctrico y la intensidad reflejada por el mismo y dividiendo ambas medidas, podemos obtener la Reflectancia:
2 E oi R = P r cos θ r P = E or i cos θ i = r 2 (13) Así mismo, midiendo la intensidad incidente perpendicular sobre el medio dieléctrico y la intensidad transmitida al segundo medio y dividiendo ambas medidas, podemos obtener la Transmitancia: T = P t cos θ t P i cos θ i = n t cos θ t cos θ i E 2 ot = n t cosθ t t 2 (14) E oi cos θ i Una consecuencia directa de la conservación de la energía, es que la suma de la Reflectancia y de la Transmitancia es siempre constante e igual a la unidad, R + T = 1. Esta relación permite reducir los cálculo, ya que una vez calculada la Reflectancia mediante la ecuación 13, automaticamente se conoce la Transmitancia, sin necesidad de realizar los cálculos que aparecen en la ecuación 14. En el caso límite de ángulo de incidencia nulo, θ i 0, La Reflectancia y Transmitancia sondependientes de la polarización y toman los valores: [ R II ] =[ R] θi 0 θ i 0 = n t n t + 2 (15) [T II ] θi 0 =[T ] θ i 0 =4n t n t + 2 (16) Experimental (Medida de la Reflectancia para una interfase dieléctrica)
Reflectancia En este apartado se determinará la Refectancia en función del ángulo para una lámina de vidrio blanco, tanto encidencia paralela como perpendicular. Se propone al alumno proceder conforme al protocolo siguiente: - Comprobar que se tiene incidencia normal (como se explica en el apéndice material). Girar el láser 90º para tener polarización normal. - Registrar la intensidad reflejada para distintos ángulos (de 5 en 5 grados) y la incidente directa (que será constante en el tiempo). - Repetir las medidas para incidencia paralela al plano de incidencia. Tratamiento de datos - Representar el cuadrado de las intensidades normalizadas con la intensidad incidente (Reflectancia. Véase ecuación 13) en función del ángulo de incidencia, para incidencia paralela y perpendicular. - Obtener el valor del índice de refracción del vidrio, a partir del valor asintótico a ángulo cero, usando la ecuación 15. Para ello tome el índice de refracción del aire como la unidad. - Obtenga el índice de refracción del vidrio a partir del ángulo de Brewster, sabiendo que tg θ B = n t (17) - Conocido el índice de refracción del vidrio, calcule las curvas teóricas R (θ) y R II (θ) (ecuaciones 9, 10, 13) y represéntelas junto con los resultados experimentales.