Capítulo 1 Introductoria El procesamiento de señales posee una larga y rica historia. Es un conjunto de herramientas 1 que son empleadas en un inmenso abanico de disciplinas entre las que se encuentran las telecomunicaciones: Televisión digital, radio digital, telefonía celular, redes inalaámbricas, etc. El procesado de señales también puede encontarse en áreas como: el Control, la Exploración del espacio, la Medicina, la Arqueología, los sistemas de información y el entretenimiento multimedia. Es más, a medida que los sistemas de comunicación se van convirtiendo en sistemas móviles y multifunción, la importancia de un procesamiento sofisticado de señales en dichos equipos cobra relevancia. Cuando se habla de señales digitales, se hace referencia a la representación de muestras de señal mediante secuencias de números de precisión finita. Cuando se habla del procesamiento de señales digitales se está implicando la representación, manipulación y extracción del significado de tales señales, ya sean determinísticas o aleatorias. El procesado de señales digitales se realiza utilizando un computador digital. A menudo es deseable que estos sistemas funcionen en tiempo real, lo que significa que el sistema se implementa de forma que las muestras de salida se calculan a la misma velocidad a la que se muestrea la señal de entrada. Son muchas las aplicaciones que requieren esta especificación. 1.1. Elementos del procesamiento digital de señales La figura 1.1 ilustra, de manera general, un sistema digital de procesamiento de señales. Este sistema no tiene en realidad mayor propósito que el de convertir cualquier señal analógica en una señal digital, pasarla al microprocesador para 1 Se puede considerar que tales herramientas son técnicas y tecnologías, aunque en el caso de este texto se considera a las diversas formulaciones matemáticas que existen para analizar y sintetizar tales señales. 19
20 CAPÍTULO 1. INTRODUCTORIA Figura 1.1: Sistema para el procesamiento de señales digitales. Las señales digitales son provistas por un sistema ADC. que la altere y finalmente, el resultado se convierta de vuelta en otra señal analógica: 1. Para empezar, se parte de una fuente de señal, como puede ser un evento social, un fenómeno natural, un fenómeno artificial, etc. 2. La señal que proviene de la fuente debe ser convertida a una forma de onda eléctrica mediante un transductor. 3. Luego, la señal eléctrica se limita en banda con un filtro de tal forma que se reduce la potencia del ruido que agregó transductor y para que su cumpla el teorema de Nyquist. La señal que sale del filtro se conoce entonces como «señal banda base». 4. Así entonces, la señal banda base será pasada a un dispositivo que la convertirá de analógica a digital. Este dispositivo puede identificarse en la figura 1.1 como el ADC. Este dispositivo entrega, lo que a nuestro interés, son números enteros. Estos números enteros se alimentan directamente al microprocesador. 5. El microprocesador, para realizar la actividad de procesamiento, debe convertir los números enteros en números reales. Para este propósito, hay dos posibles representaciones de números reales, éstas se conocen se como «punto fijo» y «punto flotante». 6. Entonces ocurre el procesamiento de la señal, lo que arroja como resulta más números reales. El microprocesador, antes de externar algún resultado, convierte los datos a números enteros, los cuales son legibles para
1.2. CONVERSIÓN DE UNA SEÑAL ANALÓGICA A DIGITAL 21 Figura 1.2: Ejemplo de señal analógica: se trata de un segmento de una cosenoide de amplitud pico de cuatro. el convertidor digital a analógico. Este convertidor se conoce simplemente como DAC. 7. La señal que entrega el DAC es de tipo eléctrico pero también, es una señal muestreada y retenida. Así que la salida del DAC se alimenta a un filtro paso bajas, el cual, devuelve una señal «banda base». 8. La señal banda base que entrega el filtro es alimentada a un transductor de salida de manera que la señal resultante sea legible para algún destinatario. 1.2. Conversión de una señal analógica a digital La señal proveniente de la fuente puede implicar cualquier forma de energía, ya sea óptica, acústica, mecánica, electromagnética, etc. Así entonces se debe convertir la señal de la fuente de información en una señal de tipo eléctrico mediante un transductor. La señal que sale del transductor es lo que llamaremos señal analógica 2. 1.2.1. Señal analógica La señal analógica tiene tres características que la definen y que son motivo de discusión: Es aquella que es análoga a algún fenómeno natural, fenómeno artificial, evento social, etc. 2 La señal analógica también se conoce como señal «análoga a su fuente de señal»
22 CAPÍTULO 1. INTRODUCTORIA Figura 1.3: Señal muestreada. Los pulsos han sido sombreados para facilitar la visualización de la señal. Está definida para todo instante durante su tiempo de existencia. El conjunto de amplitudes que puede tomar es no numerable y acotado. En general se considera a la señal analógica como una función del tiempo, de tal suerte que se han propuesto diversas formulaciones matemáticas que permiten una descripción precisa de una señal analógica. Una de estas formulaciones se da empleando la derivada. Para ilustrar el proceso de conversión a digital se usará un segmento de una señal cosenoidal de amplitud pico de 4V. La figura 1.2 ilustra esta señal. 1.2.2. Señal muestreada De acuerdo a la figura 1.1, el paso siguiente es el muestreo de la señal analógica. Este procedimiento se puede realizar multiplicando la señal analógica con un tren de pulsos. El resultado del muestreo es una señal muestrada, la cual se conoce también como señal discreta, es decir: Solamente se define en intervalos durante su periodo de existencia. El conjunto de amplitudes que puede tomar es no numerable y acotado. La figura 1.3 ilustra como resulta la señal cosenoidal de prueba. Los pulsos han sido sombreados para facilitar la visualización de la señal.
1.2. CONVERSIÓN DE UNA SEÑAL ANALÓGICA A DIGITAL 23 Figura 1.4: Circuito retenedor y señal retenida. 1.2.3. Señal retenida La señal muestreada ahora debe ser tratada por el circuito retenedor. Este circuito consiste de un interruptor que permite a un amplificador de muy baja impedancia de salida cargar rápidamente un capacitor. Una vez cargado el capacitor, el intrruptor se abre y el capacitor se descarga lentamente a través de un segundo amplificador de muy alta impedancia de entrada. Dada la alta impedancia del segundo amplificador, el capacitor puede mantener su voltaje. La figura 1.4 ilustra la señal retenida. Una señal retenida es necesaria para permitir a las siguientes etapas realizar su trabajo. 1.2.4. Señal cuantizada El siguiente paso en el proceso de conversión analógico a digital consiste en la «cuantización»», es decir, las muestras que conforman la señal discreta se van a aproximar con un conjunto finito y acotado de niveles de amplitud. La figura 1.5 ilustra la cuantización de la señal discreta. La señal cuantizada ya puede considerarse una señal digital en la cual cada nivel de amplitud es un dígito en algún sistema de numeracón. En el caso de los ocho niveles de cuantización usados en la figura 1.5, se está usando el sistema octal. 1.2.5. Señal digital Cada muestra de la señal cuantizada es una amplitud que se va a codificar a binario, así entonces, una señal digital se puede definir como una representación numérica de una señal discreta mediante un conjunto finito de señales que
24 CAPÍTULO 1. INTRODUCTORIA Figura 1.5: Señal cuantizada. Figura 1.6: Codificación a binario de cada nivel de cuantización
1.3. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARAEL PROCESAMIENTO DE SEÑALES25 representan dígitos binarios. La figura 1.6 ilustra la asignación binaria que se hace de cada nivel de cuantización. El proceso de codificación a binario de la señal entrega un tipo de dato numérico conocido como entero binario. Algunos otros circuitos convertidores entregan enteros no negativos. 1.3. Herramientas matemáticas para el procesamiento de señales El conjunto de herramientas matemáticas que se emplean en el estudio de las señales consta de: Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Ecuaciones en diferencias ordinarias y en diferencias parciales. Transformada de Laplace. Transformada Z. Series de Fourier. Transformadas de Fourier. Existen otras herramientas matemáticas que han cobrado popularidad en estos últimos años. Tales herramientas son: Wavelets. Redes neuronales. 1.3.1. Nomenclatura Las diversas operaciones matemáticas empleadas en el análisis de señales tienen una representación simbólica, misma que se anota a continuación. Transformada de Laplace L {} Transformada Zeta Z {} Transformada de Fourier de tiempo continuo F {} Serie Trigonométrica de Fourier de tiempo continuo F T {} Serie Exponencial de Fourier de tiempo continuo F e {} Transformada de Fourier de tiempo discreto DT F {} Serie Trigonométrica de Fourier de tiempo discreto DT L {} Serie Exponencial de Fourier de tiempo discreto DT F e {}
26 CAPÍTULO 1. INTRODUCTORIA Figura 1.7: Herramientas matemáticas disponibles y su aplicación a la correspondiente señal. La figura 1.7 ilustra la aplicación de las diversas herramientas utilizadas en el estudio de señales determinísticas 3. La serie exponencial de Fourier para tiempo discreto DT F e {} es también conocida como la «Transformada Discreta de Fourier» o DF T {} 4. Esta es la transformada más empleada en el análisis de señales digitales. Debido a que su cálculo requiere de una gran cantidad de operaciones aritméticas y por tanto de mucho tiempo para su evaluación, los científicos han diseñado diversos algoritmos rápidos para su cálculo. Uno de ellos es la Fast Fourier Transform o F F T {}. 1.3.2. División del estudio Dada la información ya provista haste este punto, el estudio de las herramientas matemáticas para el procesamiento digital de señales puede ser divido en los siguientes rubros. 1. Señales y sistemas discretos. 2. Transformada Z a) Propiedades y transformadas de funciones. b) Diseño de filtros modernos analógicos. c) Muestreo de filtros analógicos. 3. Transformada Discreta de Fourier: propiedades y transformadas de funciones 3 Una señal determinìstica es aquella de la que se conoce su amplitud en cualquier instante de tiempo. 4 DFT es abreviación de «Discrete Fourier Transform»
1.4. APLICACIONES DEL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES 27 Figura 1.8: Diagrama a bloques de un ecualizador de audio. a) Análisis espectral. b) Interpolación. c) DCT y JPEG. 4. Transformada de Fourier de tiempo discreto a) propiedades y transformadas de funciones. b) diseño de filtros. 5. Aplicaciones. 1.4. Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales 1.4.1. Análisis espectral El análisis espectral de señales es la herramienta mediante la cual, los Ingenieros en Telecomunicaciones entienden las señales. El análisis espectral de una señal permite administrar la distribución de canales de información en un medio de transmisión. La figura 1.8 ilustra el diagrama a bloques de un proceso de análsis espectral. 1.4.2. Ecualización La ecualización de una señal se refiere a un proceso de alteración de las amplitudes de las componentes espectrales de una señal. Un proceso de ecualización puede ser aplicado a una señal de audio que va a ser escuchada por la audiencia durante un concierto. Otro proceso de ecualización consiste en recuperar, de una señal telefónica, las altas frecuencias que se atenuaron en el cableado. La figura 1.9 ilustra un ecualizador formado por tres filtros: paso bajas, paso banda y paso altas. 1.4.3. Transmisión de audio digital Considérese un sistema de transmisión de audio digital. La figura 1.10ilustra una versión sin pulir de este sistema. Considere ahora que se va a transmitir
28 CAPÍTULO 1. INTRODUCTORIA Figura 1.9: Diagrama a bloques de un ecualizador de audio Figura 1.10: Sistema de transmisión de audio digital. Figura 1.11: Sistema de transmisión de audio digital codificado
1.4. APLICACIONES DEL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES 29 una señal de voz a 8000 muestras por segundo y con 8 bits por muestra. En resumen la rapidez de transmisión de información es de 64kbps. La figura ilusta un sistema de comunicaciones en el cual la señal es tratada en el dominio del tiempo mediante un codificador LPC y tratada en el dominio de la frecuencia mediante un codificador DCT. De esta forma, e vez de enviar 64kbps se envían 3.2 kbps. Como ventaja adicional a esta reducción de la tasa de transferencia, es posible usar el medio de transmisión para soportar 20 canalas de comunicación multiplexados. Para el lector más interesado, mediante el codificador LPC 5, tal como se muestra en la figura 1.11 se están enviado las diferencias entre la señal original y un valor predicho mediante un filtro. En el lado del receptor, las diferencias recibidas alimentan a un decodificador LPC, el cual es un filtro con la capacidad de reconstruir la señal de voz original. Una ventaja de codificar una señal a transmitir en una sucesión de diferencias implica la reducción del ancho de banda. Mediante una tranformada de Fourier, la DCT, es posible lograr una representación de la señal original con menos bits. 1.4.4. Compresión de imágenes Debido a las limitaciones de alamcenamiento de cámaras, computadoras, buzones de correo y demás, se hace necesaria la codificación de una imagen a manera de representarla con la menor cantidad posible de información. La figura 1.12 ilustra algunos de los principios en los que se basa el JPEG. 1.4.5. Multiplexión por División de Frecuencias Ortogonales Para aumentar la capacidad de envío de información de un canal se usa la «Multiplexión por División de Frecuencias Ortogonales» 6. Es una modulación que consiste en enviar un conjunto de ondas portadoras de diferentes frecuencias, donde cada una transporta información, la cual es modulada en QAM o en PSK. Debido al problema técnico que supone la generación y la detección en tiempo continuo de los cientos, o incluso miles de portadoras equiespaciadas que forman OFDM, los procesos de multiplexión y demultiplexión se realizan en tiempo discreto mediante la IDFT y la DFT respectivamente. La figura 1.13 ilustra el sistema transmisor de OFDM. Algunos de los sistemas por cable que utilizan OFDM son: ADSL 7 and VDSL broadband access via POTS copper wiring, 5 LPC es la abreviación de «Linear Predictor Code». Este dispositivo, a partir de un segmento de señal, calcula los coeficientes de un filtro. Si se alimenta un pulso a la entrada de este filtro, a la salida se obtiene el segmento de señal. 6 Del inglés Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) 7 Línea de abonado digital asimétrica, ADSL (siglas del inglés Asymmetric Digital Subscriber Line) es un tipo de tecnología de línea DSL. Consiste en una transmisión analógica de datos digitales apoyada en el par simétrico de cobre que lleva la línea telefónica convencional
30 CAPÍTULO 1. INTRODUCTORIA Figura 1.12: Esquema de codificación JPEG. Esta es una versión simplificada para hacerla didáctica. Figura 1.13: Transmisor OFDM.
1.5. CUESTIONARIO 31 DVB-C2, an enhanced version of the DVB-C digital cable TV standard, Power Line Communication (PLC), ITU-T G.hn, a standard which provides high-speed local area networking of existing home wiring (power lines, phone lines and coaxial cables), TrailBlazer telephone line modems, Multimedia over Coax Alliance (MoCA) home networking. Algunos sistemas inalámbricos que utilizan OFDM son: The wireless LAN (WLAN) radio interfaces IEEE 802.11a, g, n and HI- PERLAN/2. The digital radio systems DAB/EUREKA 147, DAB+, Digital Radio Mondiale, HD Radio, T-DMB and ISDB-TSB. The terrestrial digital TV systems DVB-T and ISDB-T. The terrestrial mobile TV systems DVB-H, T-DMB, ISDB-T and Media- FLO forward link. The wireless personal area network (PAN) ultra-wideband (UWB) IEEE 802.15.3a implementation suggested by WiMedia Alliance. OFDM también es utilizando en la definción de los estándares pre-4g de telefonía celular. 1.5. Cuestionario 1. Anote tres aplicaciones del procesamiento digital de señales 2. Que es un transductor? 3. Anote tres ejemplos de transductores de entrada 4. Anote tres ejemplos de transductores de salida 5. Describa el proceso para conversión de señales analógicas a digitales o línea de abonado,3 siempre y cuando la longitud de línea no supere los 5,5 km medidos desde la central telefónica, o no haya otros servicios por el mismo cable que puedan interferir. Para ADSL el ancho de banda del cable se divide en tres tres subbandas: 0-4kHz, para voz, 25.875kHz a 138kHz para el flujo de subida desde el abonado y de 138kHz a 1104kHz para el flujo de bajada al abonado.