Introducción al álgebra conmutativa

Felipe Zaldívar Introducción al álgebra conmutativa 16 de febrero de 2011

Prefacio Desde Descartes (geometría coordenada) hasta Hilbert (variedades algebraicas y álgebras conmutativas) y Grothendieck (esquemas y anillos conmutativos), una de las ideas más fructíferas en matemáticas ha sido la de la dualidad o correspondencia entre el álgebra y la geometría. Esta correspondencia establece que para cada concepto o afirmación en el álgebra se tiene un concepto o afirmación correspondiente en geometría. La formulación precisa de esta dualidad o correspondencia es por medio de una equivalencia entre las categorías asociadas. Por ejemplo, el teorema de los ceros de Hilbert muestra que la categoría de variedades algebraicas (afines) sobre un campo algebraicamente cerrado es equivalente a la categoría (opuesta) de álgebras conmutativas finitamente generadas sin elementos nilpotentes (i.e., álgebras reducidas). Otro ejemplo es el teorema de Serre que muestra que la categoría de haces vectoriales sobre una variedad algebraica afín es equivalente a la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el álgebra de funciones regulares en la variedad. Varias de estas dualidades permean explícita o implícitamente los temas considerados en este libro que, como otros ilustres antecesores, inició como un apéndice a unas notas de geometría algebraica, y por un severo caso de apendicitis es que ahora, después de una cirugía mayor, se ha independizado sin olvidar su origen, como lo delatan los ejemplos geométricos distribuidos a lo largo del texto. Los requisitos para el libro son mínimos, usualmente adquiridos en la licenciatura: una introducción a la teoría de anillos, campos y teoría de Galois como en [17]. Los métodos homológicos se introducen al mínimo y con aplicaciones al álgebra conmutativa inmediatos. El libro hereda de los textos clásicos, principalmente Bourbaki [2], Zariski-Samuel [19], Atiyah-MacDonald [1], Matsumura [8] y Kunz [6], varias demostraciones y formas de presentar los temas. El lenguaje categórico. El lector atento ya habrá notado que del lenguaje de la teoría de categorías se asume lo esencial: categorías, funtores, transformaciones naturales. En un tiempo, ya muy pretérito, los textos de este nivel comenzaban listando el lenguaje y notación de conjuntos que se iban a usar. Quizá las líneas que siguen sean la evolución natural de lo anterior: una categoría C consiste de una familia de V

VI Prefacio objetos Ob(C ) y una familia de flechas o morfismos Fl(C ) entre (algunos) pares de objetos de C que satisfacen las condiciones mínimas siguientes: (0) Si A,B Ob(C ), denotamos a la familia de flechas entre A y B mediante Hom C (A,B) y si f Hom C (A,B) usaremos la notación f : A B y diremos que f es una flecha o morfismo de A a B. (1) Existe una composición de flechas compatibles, es decir, siempre que f : A B y g : B C sean dos flechas de C se tiene una flecha g f : A C. Es decir, se tiene una función Hom C (A,B) Hom C (B,C) Hom C (A,C) que manda al par ( f,g) a la composición g f. (2) La composición anterior es asociativa, es decir, siempre que f Hom C (A,B), g Hom C (B,C), h Hom C (C,D), se tiene que h (g f ) = (h g) f. (3) Para todo A Ob(C ) se tiene una flecha id A Hom C (A,A), llamada la flecha identidad y que satisface que para cualquier flecha f Hom C (B,C), las composiciones f id B = f y id C f = f. Ejemplo 1. La categoría de conjuntos tiene como objetos a los conjuntos y como flechas a las funciones entre conjuntos. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de funciones. Ejemplo 2. La categoría de grupos tiene como objetos a los grupos y como flechas a los homomorfismos entre grupos. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de homomorfismos. Ejemplo 3. La categoría de espacios topológicos tiene como objetos a los espacios topológicos y como flechas a las funciones continuas entre espacios. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de funciones. Ejemplo 4. La categoría de espacios vectoriales sobre un campo K tiene como objetos a los K-espacios vectoriales y como flechas a las transformaciones K-lineales entre éstos. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de transformaciones lineales. Si A y B son dos categorías, un funtor (covariante) entre A y B, denotado F : A B es un par de funciones: F : Ob(A ) Ob(B) y F : Fl(A ) Fl(B)

Prefacio VII tales que para todo f Hom A (A,B) y todo g Hom A (B,C) se tiene que F(g f ) = F(g) F( f ) Hom B (F(A),F(C)) (preserva composiciones), y para todo id A Fl(A ) se tiene que (preserva identidades). F(id A ) = id F(A) Hom B (F(A),F(A)) Ejemplo 5. La identidad id C : C C (identidad en objetos e identidad en morfismos) es un funtor. Si F : A B y G : B C son funtores, la composición G F : A C (definida en forma obvia en objetos y morfismos) también es un funtor. Ejemplo 6. Si G es la categoría de grupos y C es la categoría de conjuntos, asociando a cada grupo G Ob(G ) el conjunto subyacente, i.e., olvidando que G es un grupo, se tiene el funtor que olvida F : G C, definido en los morfismos (homomorfismos de grupos) considerando estos sólo como funciones entre conjuntos. Se tienen funtores que olvidan similares para la categoría de espacios topológicos, o para la categoría de espacios vectoriales (aquí se puede recordar que cada espacio vectorial V es un grupo abeliano (aditivo) o recordar que es un conjunto, es decir se tienen funtores que olvidan: o F : K-espacios vectoriales Grupos abelianos Es decir, hay distintos niveles de olvidos. G : K-espacios vectoriales Conjuntos. Ejemplo 7. Si C es la categoría de conjuntos y K es un campo, se tiene el funtor L : C K-espacios vectoriales que asocia a cada conjunto B el K-espacio vectorial V = B con base B. Este funtor se define para una función entre conjuntos asociando a ésta la transformación lineal determinada por su valor en las bases correspondientes. Si F,G : A B son dos funtores, una transformación natural ϕ : F G entre los funtores F y G es una función ϕ : Ob(A ) Fl(B) que asocia a cada objeto A de A una flecha ϕ A : F(A) G(A) en B de tal manera que si f : A B es una flecha de A los diagramas siguientes conmutan

VIII Prefacio F( f ) F(A) F(B) ϕ A ϕ B G(A) G( f ) G(B). Ciudad de México, Septiembre de 2010 Felipe Zaldívar.

Índice general 1. Anillos, ideales y el espectro primo............................... 1 Ideales........................................................ 1 El anillo cociente............................................... 1 Dominios de factorización única................................... 2 Operaciones con ideales.......................................... 4 El teorema chino del residuo...................................... 5 Ideales primos y máximos........................................ 6 El espectro primo de un anillo..................................... 8 Radicales y el nilradical.......................................... 9 El espectro primo como funtor contravariante........................ 11 Irreducibilidad.................................................. 12 El espectro máximo............................................. 16 Conjuntos algebraicos afines...................................... 17 Conjuntos algebraicos afines e ideales radicales..................... 18 2. Módulos y álgebras............................................. 29 Operaciones con módulos........................................ 30 Sucesiones exactas.............................................. 32 Propiedades de exactitud del Hom................................. 34 Producto tensorial de módulos.................................... 35 Propiedades de exactitud del producto tensorial...................... 38 Planitud....................................................... 39 Álgebras....................................................... 41 Producto tensorial de álgebras..................................... 42 Conjuntos algebraicos afines y K-álgebras........................... 44 Anillos de coordenadas.......................................... 44 Morfismos entre variedades afines................................. 45 Producto tensorial de álgebras y producto de variedades afines.......... 49 Producto fibrado de espectros primos............................... 51 IX

X Índice general 3. Localización, finitud y el teorema de los ceros..................... 55 Anillos de fracciones............................................ 56 Localización e ideales........................................... 60 Álgebras finitas y de tipo finito. Integridad.......................... 62 El lema de normalización de Noether............................... 67 El teorema de los ceros de Hilbert................................. 71 Los teoremas de subida y bajada de Cohen-Seidenberg................ 73 Propiedades locales.............................................. 76 4. Anillos noetherianos y artinianos................................ 87 Anillos noetherianos............................................. 87 El teorema de la base de Hilbert................................... 88 El lema de Nakayama............................................ 90 El teorema de intersección de Krull................................ 91 Ideales primarios................................................ 94 Descomposición primaria........................................ 96 El asociado de un ideal........................................... 97 Descomposición primaria en anillos noetherianos.................... 99 Anillos artinianos............................................... 101 Series de composición........................................... 103 5. Anillos de valuación discreta y de Dedekind....................... 113 Anillos de valuación............................................. 113 Valuaciones discretas............................................ 114 Anillos de valuación discreta...................................... 118 Anillos de Dedekind............................................. 120 Traza, norma y discriminante de campos de números.................. 120 La norma de un ideal............................................ 123 Factorización única de ideales..................................... 126 El grupo de clases de ideales...................................... 128 Finitud del grupo de clases de ideales............................... 130 6. Dimensión de álgebras y anillos noetherianos...................... 137 Grado de trascendencia de K-álgebras afines......................... 137 Dimensión de Krull de un anillo................................... 142 La altura de un ideal............................................. 142 El teorema del ideal principal de Krull.............................. 143 Anillos locales regulares y espacios tangentes........................ 147 7. Topologías, filtraciones y completaciones.......................... 153 Grupos topológicos.............................................. 154 Filtraciones.................................................... 155 Sucesiones y filtraciones......................................... 158 Completaciones................................................. 158 Propiedades de exactitud......................................... 164 Anillos y módulos graduados..................................... 168

Índice general XI El lema de Artin-Rees........................................... 170 Noetherianidad de una completación............................... 174 Localización y límites directos.................................... 175 El lema de Hensel............................................... 179 Anillos henselianos.............................................. 181 Algebras separables............................................. 182 8. Derivaciones y diferenciales de Kähler............................ 189 Las sucesiones fundamentales..................................... 193 Diferenciales y extensiones de campos............................. 195 Extensiones separablemente generadas............................. 197 p-bases de Teichmüller.......................................... 204 Referencias........................................................ 209

Capítulo 1 Anillos, ideales y el espectro primo Un anillo (conmutativo) con uno es un grupo abeliano (A,+) con un producto A A A que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene neutro multiplicativo. Ejemplos importantes de anillos conmutativos son el anillo de enteros Z, campos (tales como Q, R, C), el anillo de enteros módulo un entero dado, Z/nZ (éste es un campo si y sólo si n es primo), y si K es un campo el anillo de polinomios en n indeterminadas K[x 1,...,x n ]. Un morfismo de anillos es una función f : A B entre anillos que respecta la suma y producto de éstos, es decir, f (a + b) = f (a) + f (b) y f (ab) = f (a) f (b). La función identidad id A : A A es un morfismo de anillos y la composición de dos morfismos de anillos también lo es. Si B es un anillo, un subanillo de B es un subconjunto A B que es anillo con las operaciones de B restringidas a A. Así, la inclusión i : A B es un morfismo de anillos y es inyectivo. De ahora en adelante, a menos que se diga lo contrario, todos los anillos son conmutativos y los morfismos de anillos llevan el uno en el uno. Ideales. Si A es un anillo, un ideal I de A es un subgrupo aditivo I A tal que para todo a A y x I se tiene que ax I. Claramente la intersección de cualquier familia de ideales de A es de nuevo un ideal de A. Si S A es cualquier subconjunto, el ideal generado por S es la intersección de todos los ideales de A que contienen a S. Usaremos la notación S para el ideal generado por S. Así S = { i a i s i : sumas finitas con a i A,s i S }. Cuando S = {s 1,...,s n } es finito, usaremos la notación s 1,...,s n para el ideal generado por S y diremos que éste es un ideal finitamente generado. En el caso particular cuando S = {s} consta de un único elemento, diremos que s es un ideal principal. El anillo cociente. Si A es un anillo e I A es un ideal, en el grupo abeliano (aditivo) A/I de clases laterales de A módulo I se define un producto mediante (a + I)(b + I) = ab + I. Es fácil ver que este producto está bien definido, i.e., no depende de la elección de los representantes de las clases laterales dadas y hace de A/I un anillo 1

2 1 Anillos, ideales y el espectro primo conmutativo con uno al que se llama el anillo cociente de A módulo I. El cero de A/I es I y el uno es 1 + I. La función natural ρ : A A/I dada por ρ(a) := a + I es un morfismo suprayectivo de anillos al que se conoce como el epimorfismo canónico. Dominios de factorización única. En el anillo de enteros Z, todo entero no cero ni unidad se puede factorizar, en forma única, como producto de enteros primos. A continuación probaremos que lo mismo es cierto para el anillo más importante en geometría algebraica: el anillo de polinomios con coeficientes en un campo K[x 1,...,x n ]. Comenzamos recordando los conceptos pertinentes. En un dominio entero A un elemento irreducible o primo es un elemento π A no nulo ni unidad tal que siempre que π = ab con a,b A, se tiene que a o b es una unidad. Si todo elemento no nulo ni unidad de A se puede escribir en forma única (salvo unidades o el orden de los factores) como producto de irreducibles, se dice que A es un dominio de factorización única o DFU. Todo dominio de ideales principales (DIP) es un DFU, en particular todo dominio euclidiano es un DFU. Los ejemplos más importantes de dominios euclidianos son Z y K[x], con K un campo. Observe que si A es un DFU y π es un primo tal que π ab con a,b A, entonces π a o π b ya que escribiendo a y b como producto de primos, entonces la factorización en primos de ab se obtienen pegando las de a y b por lo que si π aparece como factor en ab es porque ya estaba en a o en b. Nuestro objetivo ahora es probar que, si K es un campo, el anillo de polinomios K[x 1,...,x n ] es un DFU. Note que ya sabemos que K[x 1 ] lo es (de hecho, es un dominio euclidiano y así es un DIP; sin embargo, el anillo K[x 1,x 2 ] no es un DIP ya que el ideal x 1,x 2 no es principal). La demostración será por inducción sobre el número n de variables y el paso principal es la demostración de que si A es un DFU entonces A[x] también es un DFU. Con este objetivo necesitaremos los resultados siguientes sobre la factorización de polinomios. Un polinomio f (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x] se dice que es primitivo si mcd(a 0,...,a n ) = 1 (o una unidad). El contenido de un polinomio g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m A[x] es c(g) := mcd(b 0,...,b m ), el cual está definido salvo unidades. Así g(x) A[x] es primitivo si y sólo si c(g) = 1 (o una unidad). Obsérvese que cualquier polinomio g(x) A[x] se puede escribir de la forma g(x) = d f (x) con d = c(g) y f (x) primitivo simplemente factorizando el mcd de los coeficientes de g(x). Es claro que la suma de dos polinomios primitivos en general no es primitivo, sin embargo se tiene: Lema 1.1 (Gauss) Si A es un DFU y f (x), g(x) en A[x] son primitivos, entonces su producto f (x)g(x) también es primitivo. Demostración. Si f (x) = a 0 + a 1 x + + a m x m y g(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n, a i,b j A, supongamos que f (x) g(x) = c 0 + c 1 x + + c r x r no es primitivo. Entonces, mcd(c 0,...,c r ) 1, y así existe un primo π A tal que π c k para todos los k = 0,...,r. Ahora, como f (x) es primitivo, este primo π no divide a todos los coeficientes a i. Sea pues a s el primer coeficiente de f (x) no divisible por π. Similarmente, sea b t el primer coeficiente de g(x) no divisible por π. Consideremos ahora al coeficiente c s+t de f (x) g(x):

1 Anillos, ideales y el espectro primo 3 c s+t = (a 0 b s+t + a 1 b s+t 1 + + a s 1 b t+1 ) + a s b t +(a s+1 b t 1 + a s+2 b t 2 + + a s+t b 0 ) y obsérvese que como π a i, 0 i s 1, entonces π divide al primer paréntesis en la ecuación de arriba, y similarmente π divide al segundo paréntesis. Y como por hipótesis π c s+t, entonces π debe dividir a a s b t, en contradicción con el hecho de que π no divide a a s ni a b t. Corolario 1.2 Si A es un DFU y f (x), g(x) en A[x], entonces c( f g) = c( f )c(g). Se sigue que todo factor de un polinomio primitivo en A[x] también es primitivo. Demostración. Escribamos f = c( f ) f 1, g = c(g)g 1 con f 1,g 1 primitivos. Entonces, f g = c( f )c(g) f 1 g 1, donde f 1 g 1 es primitivo por el lema anterior. Se sigue que c( f g) = c( f )c(g). Corolario 1.3 (Lema de Gauss) Sea A un DFU con campo de fracciones K. Si un polinomio f (x) A[x] es irreducible, entonces considerado como polinomio en K[x] también es irreducible. Obsérvese que como, obviamente, si f (x) es irreducible en K[x] también es irreducible en A[x], entonces el lema de Gauss de hecho dice: f (x) A[x] es irreducible en A[x] si y sólo si f (x) es irreducible en K[x]. Demostración. Supongamos primero que f (x) A[x] es primitivo. Si f (x) = p(x) q(x), con p(x), q(x) K[x], escribamos con a i /b i K, y p(x) = a 0 /b 0 + (a 1 /b 1 )x + + (a m /b m )x m, q(x) = a 0/b 0 + (a 1/b 1)x + + (a n/b n)x n con a i /b i K. Si b = b 0 b 1 b m y b = b 0 b 1 b n, entonces p(x) = (1/b)b p(x) y q(x) = (1/b )b q(x), con b p(x) y b q(x) en A[x]. Más aún, si d es el contenido de b p(x) y d es el contenido de b q(x), entonces b p(x) = d u(x) y b q(x) = d v(x) con u(x),v(x) A[x] primitivos. Se sigue que y así f (x) = p(x)q(x) = 1 b (d u(x)) 1 b (d v(x)) = dd bb u(x)v(x) = s t u(x)v(x) t f (x) = s u(x)v(x) y como f (x) es primitivo, entonces c(t f (x)) = t, y también, como u(x) y v(x) son primitivos, el producto u(x)v(x) es primitivo y así c(s u(x)v(x)) = s. Se sigue que t = c(t f (x)) = c(s u(x)v(x)) = s, i.e., s = t y por lo tanto f (x) = u(x) v(x)

4 1 Anillos, ideales y el espectro primo con u(x),v(x) A[x]. Finalmente, si f (x) A[x] no es primitivo, escribamos f (x) = d g(x) con g(x) A[x] primitivo. Si f (x) se factoriza en K[x] como f (x) = p(x)q(x), entonces d g(x) = f (x) = p(x)q(x) y así ( 1 ) g(x) = d p(x) q(x) con (1/d) p(x),q(x) K[x], y entonces por la primera parte de la demostración, como g(x) es primitivo, entonces g(x) = u(x)v(x) con u(x),v(x) A[x]. Se sigue que f (x) = d g(x) = (d u(x))v(x) con d u(x),v(x) A[x]. Teorema 1.4 Si A es un DFU, entonces A[x] también lo es. Demostración. De la factorización f = c( f ) f 1 se sigue que los elementos irreducibles de A[x] deben buscarse entre los polinomios constantes y los polinomios primitivos. Ahora, un polinomio constante c es irreducible si y sólo si c es irreducible en A y un polinomio primitivo es irreducible si y sólo si no tiene un factor primitivo de grado menor por 1.2. Por lo tanto, todo polinomio no nulo ni unidad de A[x] es un producto de elementos irreducibles. Supongamos ahora que se tienen dos factorizaciones en irreducibles de f A[x]: f = c 1 c m f 1 f r = d 1 d n g 1 g s con los c i,d j constantes y f i,g j polinomios primitivos. Entonces c( f ) = c 1 c m = d 1 d n (salvo unidades de A) y como A es un DFU se debe tener que m = n y, reordenando si hiciera falta, c i = d i salvo unidades de A. Cancelando se sigue que ( ) f 1 f r = g 1 g s (salvo unidades de A). Ahora, si K es el campo de cocientes de A, viendo a los polinomios anteriores en K[x], por el lema de Gauss los f i,g j son irreducibles en K[x], y como este anillo es un DFU, la igualdad ( ) implica que r = s y, reordenando si hiciera falta, f i = g i salvo unidades en K. Pero, si f i = (u i /v i )g i con u i /v i no cero (i.e., una unidad en K), entonces v i f i = u i g i y como f i y g i son primitivos, calculando contenidos la igualdad anterior implica que u i = v i salvo unidades en A; se sigue que u i /v i es una unidad de A. Corolario 1.5 Si K es un campo, entonces K[x 1,...,x n ] es un DFU. Operaciones con ideales. Si I,J son ideales de A, su suma es el ideal I + J = {a + b : a I,b J}

1 Anillos, ideales y el espectro primo 5 es obvio que éste es un ideal y es el menor ideal de A que contiene a I y J. En general, si {I j } j Γ es una familia de ideales, la unión de ideales no es un ideal. Se define la suma de ideales j Γ I j como el ideal generado por la unión S = j Γ I j. Por lo tanto, I j = {a i1 x i1 + + a in x in : con los a i j A y los x i j I i j }. j Γ Es decir, j Γ I j es el ideal dado por las combinaciones lineales finitas de elementos de la unión de los ideales I j. El ideal generado por los productos {ab : a I,b J} se llama el producto de los ideales I y J, y se denota por IJ. Así, IJ = { i a i b i : sumas finitas con a i I,b i J }. Es claro que IJ I e IJ J y por lo tanto IJ I J. Por recursión se define el producto de un número finito de ideales I 1,...,I n y se denota por I 1 I n. La correspondencia entre ideales inducida por un epimorfismo. Si f : A B es un morfismo de anillos, el núcleo ker f = {a A : f (a) = 0} es un ideal de A y si I A es cualquier ideal, el epimorfismo canónico ρ : A A/I tiene como núcleo a I. De hecho, ρ induce una correspondencia biunívoca entre la familia de ideales del anillo cociente A/I y la familia de ideales de A que contienen a I {ideales de A que contienen a I} ρ {ideales de A/I} dada por J ρ(j) con inversa J ρ 1 J. El teorema chino del residuo. Dos ideales I,J de A se dice que son coprimos si I + J = 1 = A. Note que si I,J son coprimos entonces IJ = I J, lo cual es parte del teorema siguiente: Teorema 1.6 (Teorema chino del residuo) Si I 1,...,I n son ideales de A coprimos por pares, i.e., I i + I j = A, para i j, entonces la función ρ 1 φ : A A/I 1 A/I n dada por a (a+i 1,...,a+I n ) es un epimorfismo con núcleo I 1 I n = I 1 I n. Demostración. Supongamos primero que n = 2. Como I 1 + I 2 = A, existen x i I i tales que 1 = x 1 + x 2. Entonces, dado el elemento (a 1 + I 1,a 2 + I 2 ) A/I 1 A/I 2, para x = a 1 x 2 + a 2 x 1 A escribiendo x 2 = 1 x 1 se tiene que x + I 1 = a 1 x 2 + a 2 x 1 + I 1 = a 1 a 1 x 1 + a 2 x 1 + I 1 = a 1 + I 1 y similarmente x + I 2 = a 2 + I 2 por lo que φ(x) = (x + I 1,x + I 2 ) = (a 1 + I 1,a 2 + I 2 ) y así φ es suprayectiva. También, en el caso n = 2, el núcleo de φ está formado

6 1 Anillos, ideales y el espectro primo por los x A tales que x + I 1 = I 1 y x + I 2 = I 2, es decir, tales que x I 1 I 2, como se quería. Resta probar que I 1 I 2 = I 1 I 2. Claramente I 1 I 2 I 1 I 2. Para la otra inclusión, como I 1 + I 2 = A escribamos 1 = x 1 + x 2 como antes. Si x I 1 I 2, entonces x = x1 = x(x 1 + x 2 ) = xx 1 + xx 2 I 1 I 2. Supongamos ahora que n > 2. Mostraremos que los ideales I 1 e I 2 I n son coprimos. En efecto, como I 1 e I i son coprimos, para i 2, existen elementos a i I 1 y b i I i tales que a i + b i = 1 para i 2 y por lo tanto el producto i 2 (a i + b i ) = 1 y además está en el ideal I 1 + I 2 I n y por lo tanto I 1 + I 2 I n = A, como se quería. Podemos entonces aplicar el caso n = 2 a estos dos ideales, en particular para el elemento (1,0) A/I 1 A/(I 2 I n ) por el caso n = 2 existe un y 1 A tal que (y 1 + I 1,y 1 + I 2 I n ) = (1 + I 1,0 + I 2 I n = (1,0) y así y 1 I 2 I n de donde se sigue que y 1 I i para todo i 2, es decir, φ(y 1 ) = (1,0,...,0). En forma análoga se encuentran elementos y 2,...,y n A tales que φ(y i ) = (0,...,1,...,0) (1 en el lugar i y 0 en las otras coordenadas). Así, dado (x 1 + I 1,...,x n + I n ), el elemento x = i x i y i A es tal que φ(x) = (x 1 + I 1,...,x n + I n ) lo cual muestra que φ es suprayectiva. Claramente el núcleo de φ es la intersección i I i y sólo resta probar que es igual a I 1 I n. Por inducción podemos suponer que i 2 I i = I 2 I n, y como mostramos antes, I 1 e I 2 I n son coprimos y así por el caso n = 2 se tiene que I 1 ( i 2 I i ) = I1 (I 2 I n ), como se quería. Ideales primos y máximos. Un ideal propio p A se dice que es primo si siempre que ab p se tiene que a p ó b p. Equivalentemente, p es primo si y sólo si A/p no es el anillo cero y es un dominio entero. En un DFU los ideales primos son los ideales principales generados por un elemento irreducible: Lema 1.7 Sean A un dominio entero y π un ideal principal no trivial de A. (1) Si π es primo, entonces π es irreducible. (2) Si A es un DFU, entonces π es primo si y sólo si π es irreducible. Demostración. Si π es primo, π 0 y π 1, entonces π no es cero ni unidad. Si π = ab, entonces ab π y como éste es un ideal primo, entonces a π o b π. Si a π escribiendo a = πc se tiene que π = ab = πcb y cancelando se tiene que 1 = cb, i.e., b sería una unidad y por lo tanto π es irreducible. Esto prueba (1) y una implicación de (2). Para la implicación faltante, si π es irreducible y ab π entonces π ab y como π es irreducible, por lo observado antes del lema se sigue que π a o π b, i.e., a π o b π y por lo tanto π es un ideal primo.

1 Anillos, ideales y el espectro primo 7 Corolario 1.8 Si K es un campo, un ideal principal f en K[x 1,...,x n ] es primo si y sólo si f es irreducible. Un ideal propio m A se dice que es máximo si para todo ideal I de A tal que m I A se tiene que m = I ó I = A. Equivalentemente, m es máximo si y sólo si A/m es un campo. Como todo campo es dominio entero, se sigue que todo ideal máximo es primo. Sin embargo, no todo ideal primo es máximo, por ejemplo el ideal cero 0 Z es primo (porque Z es dominio entero) pero no es máximo. Todo anillo no trivial tiene al menos un ideal máximo como una consecuencia directa del lema de Zorn 1 ya que si A es el conjunto de todos los ideales propios de A (i.e., distintos de A), ordenando A mediante la inclusión de ideales, como 0 A, entonces A /0 y si C A es una cadena, para cualesquiera I,J C se tiene que I J ó J I por lo que la unión M = I C I es un ideal de A. Claramente M es un ideal propio ya que si 1 M entonces 1 I para algún I C, en contradicción con el hecho de que los ideales de A son propios. Por el lema de Zorn se sigue que A tiene elementos máximos. Una forma equivalente de formular la afirmación anterior es: todo ideal propio I A está contenido en un ideal máximo de A, lo cual se sigue al considerar el anillo cociente A/I. Proposición 1.9 (1) Si I 1,...,I n son ideales de A y p es un primo que contiene a la intersección j I j, entonces p I j, para algún j. De hecho, si p I 1 I n, entonces p I j, para algún j. Más aún, si j I j = p, entonces p = I j, para algún j. (2) Si p 1,...,p n son ideales primos de A y J es un ideal contenido en i p i, entonces J p i, para algún i. (3) Si m es un ideal máximo de A, entonces para todo entero n > 0, el único ideal primo que contiene a m n es m. Demostración. (1): Supongamos que la afirmación es falsa, i.e., que p I i para todo i. Entonces, para cada i existe un x i I i p y así x 1 x n I 1 I n I 1 I n pero x 1 x n p porque éste es primo. Una contradicción, y por lo tanto p I i, para algún i. Finalmente, si p = i I i, entonces p I i para cada i y por el resultado del párrafo anterior p = I i, para algún i. (2): Por inducción sobre n para la contrapositiva: Si J no está contenido en ningún p i, entonces J no está contenido en la unión de los p i. Para n = 1 no hay nada qué probar. Supongamos ahora que n > 1 y que el resultado es válido para n 1. Entonces, fijando cualquier i se tiene que si J p j, para todo j i, entonces J j i p j, por hipótesis de inducción. Por lo tanto, para este i, existe un elemento x i J tal que x i p j para todo j i. Si sucediera que uno de estos x i también satisface que x i p i, entonces x i i p i y ya acabamos. Supongamos entonces que para todo i estos x i p i, y consideremos el elemento 1 Si (A, ) es un conjunto parcialmente ordenado en el cual toda cadena C A (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior en A (i.e., existe un c A tal que u c para todo u C), entonces A tiene al menos un elemento máximo, i.e., un elemento m A para el cual no existe x A con x m y tal que m x,

8 1 Anillos, ideales y el espectro primo x = n i=1 x 1 x i 1 ˆx i x i+1 x n (donde ˆx i quiere decir omitir x i ) y note que como cada x j J, entonces x J, pero como x j p j para j i, entonces x p j para toda j, incluyendo j = i y por lo tanto x J i p i. (3): Si un primo p m n, entonces por la parte (1) se tiene que p contiene a un factor, que debe ser m, y como m es máximo, entonces p = m. El espectro primo de un anillo. Al conjunto de ideales primos de un anillo A se le denota por SpecA = {p A : p es un ideal primo de A} y se le llama el espectro primo de A. Si f : A B es un morfismo de anillos y si q B es un ideal primo, entonces su imagen inversa f 1 (q) es un ideal primo de A, ya que si ab f 1 (q) entonces f (a) f (b) = f (ab) q y así f (a) q ó f (b) q, es decir, a f 1 (q) ó b f 1 (q). Se tiene así la función a f : SpecB SpecA dada por a f (q) = f 1 (q). A continuación mostraremos que SpecA tiene una topología natural y con esta topología la función asociada a un morfismo de anillos f : A B es continua. La definición de SpecA generaliza lo que sucede en geometría algebraica, vea la página 17 o el capítulo 1 de [17], donde para una variedad afín sus puntos corresponden a ideales máximos en su anillo de coordenadas. El cambio de ideales máximos a ideales primos se debe, principalmente, al hecho de que, dado un morfismo de anillos, la imagen inversa de un ideal máximo no siempre es máximo, el ejemplo más sencillo es para la inclusión i : Z Q donde el ideal 0 es máximo en Q, pero i 1 (0) = 0 no es máximo en Z. Sin embargo, si I A es un ideal y ρ : A A/I es el epimorfismo canónico, entonces bajo la correspondencia biunívoca entre ideales de A/I e ideales de A que contienen a I se tiene que: Corolario 1.10 Si I A es un ideal y ρ : A A/I es el epimorfismo canónico, entonces (1) p es primo en A (que contiene a I) si y sólo si ρ(p) es primo de A/I. (2) m es máximo en A (que contiene a I) si y sólo si ρ(m) es máximo en A/I. La topología de Zariski en SpecA. Se introduce una topología en SpecA asociando a cada subconjunto E de A el conjunto V (E) = {p SpecA : p E} SpecA formado por los ideales primos de A que contienen a E. Comenzamos observando que si E E son dos subconjuntos de A, entonces V (E) V (E ). En particular, si I = E es el ideal generado por los elementos de E, entonces V (E) V (I), y de hecho se tiene que V (E) = V (I) ya que para la otra inclusión, si p E entonces el

1 Anillos, ideales y el espectro primo 9 ideal primo p contiene a los generadores de I y por lo tanto contiene a I. Podemos entonces restringirnos a considerar sólo los conjuntos V (I) para I un ideal de A. Que estos conjuntos definen los cerrados en una topología de SpecA es parte del lema siguiente: Lema 1.11 Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) V (A) = /0 y V (0) = SpecA. (2) Si I, J son ideales de A, entonces V (IJ) = V (I) V (J). ( ) ( ) (3) Si I j son ideales de A, entonces V I j = V I j = V (I j ). j j j (4) Si I J son ideales de A, entonces V (I) V (J). Demostración. (2): Si p V (I) V (J) entonces p I o p J y así p IJ por ser p ideal. Recíprocamente, si p V (IJ) y si p V (J), entonces existe un b J tal que b p, y como para todo a I se tiene que ab IJ p y p es primo con b p, entonces ab p implica que a p y por lo tanto I p. (3): Note que un ideal primo p contiene a la suma j I j si y sólo si p contiene a cada I j ya que la suma j I j es el menor ideal que contiene a todos los I j. La parte (1) es obvia y (4) se probó antes del enunciado del lema. A la topología definida por los cerrados V (I) anteriores, se le llama la topología de Zariski en SpecA. Se tiene la construcción recíproca de V (I): dado un subconjunto U SpecA se define I(U) := p. Las propiedades siguientes son inmediatas: p U Lema 1.12 Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) Si U U SpecA, entonces I(U) I(U ). (2) I( iu i ) = i I(U i ). (3) I({p}) = p. Mostraremos a continuación, que bajo ciertas condiciones, las correspondencias anteriores son inversas una de la otra, y para probar ésto necesitaremos las propiedades y conceptos adicionales siguientes: Radicales y el nilradical. Si I A es un ideal, su radical es el conjunto I := {a A : a t I para algún entero t 1}. Es fácil probar que I es un ideal de A que contiene a I y el ejercicio 1 lista las propiedades básicas de esta construcción. Para el caso particular del ideal 0 A el

10 1 Anillos, ideales y el espectro primo radical 0 se llama el nilradical del anillo A y algunas veces lo denotaremos por nila. Note que 0 = nila consta de los elementos a A para los cuales existe un entero t 1 tal que a t = 0, a estos elementos se les conoce como nilpotentes y por lo tanto nila consiste de todos los elementos nilpotentes de A. Proposición 1.13 Si I A es cualquier ideal, entonces I = p I p, la intersección de todos los ideales primos de A que contienen a I. En particular, el nilradical nila es la intersección de todos los ideales primos de A. Demostración. Si a I y p I es un ideal primo que contiene a I, entonces para algún entero n 1 se tiene que a n I p y como p es primo, entonces a p y así a p I p. Recíprocamente, si a p I p y si sucediera que a I, entonces a n I para todo n 1. Así, la familia F de ideales J de A que contienen a I pero tales que a n J para todo n 1 es no vacía ya que contiene a I, y si damos a F el orden inducido por la inclusión, para cualquier cadena C de ideales J i en F, su unión J = J i pertenece a F porque si no fuera así alguna potencia de a estaría en J y por lo tanto en algún J i, una contradicción. Claramente J es una cota superior de la cadena y así, por el lema de Zorn, F contiene un elemento máximo q para el orden dado por la inclusión. Mostraremos que q es un ideal primo. En efecto, si xy q y si sucediera que x q y y q, entonces los ideales q + x y q + y contienen propiamente a q y así, por la maximalidad de q, estos ideales no están en F y por lo tanto a m q + x y a n q + y, para algunos m,n 1. Escribiendo a m = q + rx y a n = q + sy, con q,q q se tiene que a m+n = a m a n = (q + rx)(q + sy) = qq + qsy + q rx + rsxy q porque xy q. Esto contradice el hecho de q F. Así, q es primo y a q porque a n q para todo n 1, lo cual de nuevo es una contradicción con el hecho de a se escogió en la intersección de todos los primos que contienen a I. Lema 1.14 Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) V (I) = V ( I). (2) Si I, J son ideales de A, entonces V (I) V (J) si y sólo si I J. (3) Si I A, entonces I(V (I)) = I. (4) Si U SpecA, entonces V (I(U)) = U (la cerradura de U). Demostración. Para (1), como I I, de (4) se sigue que V (I) V ( I). Para la otra inclusión recuerde que I es la intersección de todos los ideales primos que contienen a I y por lo tanto si p V (I) entonces p I y así p q I q = I, i.e., p V ( I). Para la parte (2), observe primero que J J I implica que V (I) = V ( I) V ( J) = V (J). Recíprocamente, si V (I) V (J), entonces p V (I) p p V (J) y por lo tanto J I. Para (3) observe que I = p I p = p V (I) p = I(V (I)). Para (4), como V (I(U)) es un cerrado que contiene a U entonces V (I(U)) U; recíprocamente, si V (I) es

1 Anillos, ideales y el espectro primo 11 un cerrado que contiene a U, entonces para todo p U, I p y así I I(U) y por lo tanto V (I) V (I(U)). Corolario 1.15 Las correspondencias siguientes invierten inclusiones y son inversas una de la otra: {subconjuntos cerrados de SpecA} I V {ideales radicales de A}. Corolario 1.16 (1) Para todo p SpecA, la cerradura de {p} está dada por {p} = V (p). Se sigue que {p} es cerrado si y sólo si p es máximo. (2) El espacio SpecA es T 0. Demostración. Por definición, I{p} = p y así, por 1.14 (4) y 1.12 (3), {p} = V (I{p}) = V (p). Para la parte 2, si p,q SpecA son dos puntos distintos, entonces p q o q p y por la parte 1 esto quiere decir que q {p} = V (p) o p {q} = V (q). El espectro de un anillo como funtor contravariante. A cada anillo conmutativo A le hemos asociado un espacio topológico SpecA y es fácil ver que esta asociación define un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios topológicos, ya que si φ : A B es un morfismo de anillos (siempre pediremos que φ(1) = 1), sabemos que si q B es un ideal primo, su imagen inversa φ 1 (q) A también es un ideal primo de tal forma que se tiene la función asociada a φ : SpecB SpecA dada por a φ(q) := φ 1 (q) y resulta que ésta es continua en la topología de Zariski, ya que si I es un ideal de A, para V (I) SpecA se tiene que ( a φ) 1 (V (I)) = V (φ(i)). En efecto, p a φ 1 (V (I)) a φ(p) V (I) φ 1 (p) V (I) φ 1 p I p φ(i) p V (φ(i)). Lema 1.17 Sea φ : A B un morfismo de anillos tal que todo b B se puede escribir de la forma b = uφ(a) con u invertible en B (lo cual sucede, por ejemplo, si φ es suprayectiva). Entonces, a φ : SpecB SpecA es un homeomorfismo de SpecB en su imagen. Demostración. (1) Mostraremos primero que para todo subconjunto E B existe un subconjunto E A tal que V (E) = V (φ(e )). En efecto, para cada b E B por hipótesis existen u B y a A tales que b = uφ(a); sea E A el conjunto de todas esas a A obtenidas al variar b E. Note entonces que si p V (E), i.e., si p E, entonces p φ(e ) ya que todos los elementos φ(a) φ(e ) son tales que φ(a) = bu 1 con b p y u 1 B por lo que φ(a) p. La inclusión recíproca es similar. (2) Note ahora que como los espectros son espacios T 0 y como a φ 1 (V (E )) = V (φ(e )), se sigue que a φ es inyectiva.

12 1 Anillos, ideales y el espectro primo (3) Finalmente, por la parte (1) y la fórmula a φ 1 (V (E )) = V (φ(e )) = V (E), se sigue que a φ(v (E)) = V (E ) y por lo tanto a φ es cerrada y continua y así, como es inyectiva, es un homeomorfismo sobre su imagen. La consecuencia siguiente puede considerarse un ejemplo (obtener el espectro del cociente en términos del anillo dado): Corolario 1.18 Sean A un anillo e I A un ideal. Entonces, el epimorfismo canónico ρ : A A/I induce un homeomorfismo de SpecA/I en el subespacio cerrado V (I) de SpecA. Demostración. El epimorfismo canónico da una correspondencia biyectiva entre los ideales (respectivamente, ideales primos) de A/I con los ideales (respectivamente, ideales primos) de A que contienen a I. Corolario 1.19 Los espacios topológicos SpecA y Spec(A/ 0) son canónicamente homeomorfos. Demostración. El corolario anterior identifica Spec(A/ 0) con V ( 0) = V (0) = Spec A. Irreducibilidad. Si X es un espacio topológico, un subespacio no vacío Z de X se dice que es irreducible si no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos cerrados propios de Z. Lema 1.20 Sea X un espacio topológico arbitrario. Son equivalentes: (1) X es irreducible. (2) Si U 1,U 2 son subconjuntos abiertos no vacíos de X, entonces U 1 U 2 /0. (3) Todo subconjunto abierto no vacío de X es denso en X. Demostración. (1) (2): Si U 1 U 2 = /0, tomando complementos X = (X U 1 ) (X U 2 ) con X U i cerrados propios de X y así, por hipótesis, se debe tener que X = X U 1 o X = X U 2, i.e., U 1 = /0 o U 2 = /0, una contradicción. (2) (1) es similar. (1) (3) es directo de la definición de densidad. Corolario 1.21 Sea Y X un subconjunto de un espacio topológico X. Si Y es irreducible entonces su cerradura Y es irreducible. Demostración. Un abierto U intersecta a Y si y sólo si intersecta a Y. Una componente irreducible de un espacio topológico X es un subconjunto irreducible máximo de X. Por el corolario anterior, las componentes irreducibles son cerradas y así, en el caso del espectro primo, las componentes irreducibles son de la forma V (I), que por 1.18 son homeomorfas a Spec(A/I). Proposición 1.22 Sea X un espacio topológico. Entonces, (1) Cada subconjunto irreducible de X está contenido en una componente irreducible. (2) X es la unión de sus componentes irreducibles.

1 Anillos, ideales y el espectro primo 13 Demostración. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x X el conjunto {x} es irreducible y así, por (1), está contenido en una componente irreducible de X. Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W X un subconjunto irreducible y sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W. Como W F, entonces F /0, y si {X i } i Λ es una cadena en F, entonces su unión Y = i Λ X i también está en F ya que X Y y Y es irreducible porque si U 1,U 2 son abiertos de X tales que U i Y /0, entonces existen índices i 1,i 2 Λ tales que U i X ik /0 para j = 1,2, y como {X i } es una cadena podemos suponer que X i2 X i1 y por lo tanto U i X ik /0, pero como X ik son irreducibles por 1.20 se sigue que U 1 U 2 X ik /0 y por lo tanto U 1 U 2 Y /0 que por 1.20 implica que Y es irreducible, y por lo tanto Y F. Claramente Y es cota superior de esta cadena y así, por el lema de Zorn, F debe tener un elemento máximo, que es, por definición, una componente irreducible de X que contiene a W, como se quería. Corolario 1.23 El espacio topológico SpecA es irreducible si y sólo si A/ 0 es un dominio entero, o equivalentemente si el nilradical 0 es un ideal primo. Demostración. Por el corolario anterior podemos asumir que 0 = 0. Ahora, si SpecA fuera reducible existirían cerrados X 1, X 2 contenidos propiamente en SpecA tales que SpecA = X 1 X 2 y por lo tanto I(X 1 ) I(X 2 ) = I(X 1 X 2 ) = I(SpecA) = nil(a) = 0 y los ideales I(X 1 ) e I(X 2 ) no serían 0 por la correspondencia 1.15 y porque I(SpecA) = 0. Entonces se tendrían elementos no nulos f I(X 1 ) y g I(X 2 ) y su producto f g I(X 1 ) I(X 2 ) = 0, i.e., A no sería un dominio entero. Recíprocamente, si A no fuera dominio entero existirían elementos f, g distintos de cero en A tales que f g = 0. Note que como f 0 entonces V ( f ) SpecA ya que de lo contrario I(V ( f )) = I(SpecA) = 0 y por lo tanto se tendría que f = 0. Similarmente, V (g) SpecA. Ahora, como f g = 0 entonces SpecA = V (0) = V ( f g) = V ( f ) V (g) y así SpecA sería reducible. Corolario 1.24 (1) En la correspondencia entre subconjuntos cerrados de Spec A e ideales radicales de A, (ver 1.15), los subconjuntos cerrados irreducibles corresponden a los ideales primos de A. En particular, las componentes irreducibles de SpecA corresponden a ideales primos mínimos. (2) La aplicación x {x} establece una biyección entre los puntos de SpecA y los subconjuntos cerrados irreducibles de SpecA. En otras palabras, todo subconjunto cerrado irreducible de SpecA admite un único punto genérico. NOTA. Si X es cualquier espacio topológico y W X, un punto x W se dice que es un punto genérico de W si W = {x}. Observe que si W tiene un punto genérico, entonces W es irreducible ya que {x} es irreducible y así, por 1.21, {x} también lo es. Demostración. (1): Si p es ideal primo, por 1.18 V (p) = SpecA/p y como el nilradical de A/p es p = p, la última igualdad porque p es primo, entonces por 1.21, como A/p es dominio entero, se sigue que SpecA/p = V (p) es irreducible. (2) Si Y SpecA es un cerrado irreducible, entonces I(Y ) es un ideal primo p de A por la parte 1 y así, para p = I(Y ) se tiene que

14 1 Anillos, ideales y el espectro primo {p} = V (I{p}) = V (p) = Y la penúltima igualdad por 1.14(3) y la última porque p = I(Y ) y 1.14(4). Se sigue que p es un punto genérico de Y. Supongamos ahora que q es otro punto genérico de Y. Entonces, Y = {q} = V (I{q}) = V (q), la última igualdad por 1.12(3). Ahora, como I(Y ) = p, la igualdad anterior implica que p = I(Y ) = I(V (q)) = q. En ocasiones, es más fácil trabajar con una base sencilla de la topología de Zariski en SpecA y el lema siguiente nos da una tal base: Lema 1.25 Sea A un anillo conmutativo y para cualquier f A denotemos por D( f ) al abierto dado por el complemento del cerrado V ( f ). A los abiertos D( f ) := Spec A V f los llamaremos abiertos distinguidos. (1) Si f,g A, entonces D( f g) = D( f ) D(g). En particular, D( f ) = D( f n ). (2) D( f ) D(g) si y sólo si g f =: f. (3) D( f ) = D(g) si y sólo si f = g, lo cual equivale a que los ideales primos mínimos que contienen a f y g son iguales. En particular, esto sucede si f = ug con u A una unidad. (4) Los conjuntos D( f ), variando f A, forman una base para la topología de Spec A. (5) Si { f i } i Λ es una familia de elementos de A, entonces SpecA = D( f i ) si y sólo si 1 f i : i Λ, i.e., si y sólo si el ideal generado por los f i es todo A. (6) SpecA es cuasicompacto. Demostración. (1): Por 1.11(2), V ( f g) = V ( f ) V (g) y el resultado se sigue tomando complementos. Para (2), recordemos que f = f p p. Usando esta igualdad se tiene la primera equivalencia en: i Λ g f existe un ideal primo p con f p pero g p existe un ideal primo p tal que p D( f ) pero p D(g) D( f ) D(g). La parte (3) se sigue de la parte (2) o de 1.14(3) y 1.14(1). Para (4), si U = SpecA V (I) es cualquier abierto, note que p I f p para todo f I p V ( f ) para todo f I p f IV ( f ) i.e., V (I) = f I V ( f ) y por lo tanto al tomar complementos

1 Anillos, ideales y el espectro primo 15 U = SpecA V (I) = SpecA V ( f ) = ( ) SpecA V ( f ) = D( f ). f I f I f I Para (5), observe que SpecA = i D( f i ) si y sólo si todo punto p SpecA no contiene a algún f i, i.e., si y sólo si ningún ideal primo p contiene al ideal f i : i Λ, y esto sucede si y sólo si este ideal es todo A. Para (6), observe primero que basta probar que cualquier cubierta por abiertos básicos D( f ) tiene una subcubierta finita. Para probar esto último, en la demostración previa observe que 1 f i : i Λ si y sólo si existe un subconjunto finito f j1,..., f jn de los f i y escalares a 1,...,a n A tales que 1 = n i=1 a i f ji y por lo tanto 1 f ji : 1 i n, que por la parte 5 implica que SpecA = D( f j1 ) D( f jn ). Ejemplos. Los ejemplos siguientes ilustran la correspondencia funtorial: Anillos conmutativos Espectros primos. Ejemplo 1. Si K es un campo, su único ideal primo es el 0 y así SpecK = {0}. Ejemplo 2. Sea K un campo y consideremos el anillo de polinomios K[x]. Éste es un DIP y sus primos son el ideal 0 y los ideales máximos de K[x]. Es claro que V (0) = SpecK[x], es decir, la cerradura de 0 es todo el espacio SpecK[x] por lo que 0 es un punto genérico de SpecK[x]. Los otros puntos de SpecK[x], correspondientes a ideales máximos (que son todos los primos porque K[x] es DIP) m i (con m i polinomio irreducible de K[x]) son puntos cerrados, ya que, como K[x] es dominio de factorización única, para cualquier ideal I = f = 0 de K[x], se tiene que V (I) = V f = { m i SpecK[x] : m i f } es el conjunto de divisores primos de f (x) y así V (I) es un subconjunto finito de SpecK[x], en particular, si m i es irreducible, V ( m i ) = { m i }. En el caso cuando K es algebraicamente cerrado, los ideales máximos de K[x] corresponden a polinomios m i de grado 1, digamos m i = x a i con a i K y por lo tanto, los puntos cerrados de Spec K[x] corresponden biyectivamente a los elementos de K mediante x a i a i, que son los puntos de la recta (afín) K, de tal forma que SpecK[x] = K {punto genérico} : 0 a x x a 0

16 1 Anillos, ideales y el espectro primo Ejemplo 3. En el caso cuando K no es algebraicamente cerrado se tienen otros ideales primos en K[x] además de los de la forma x a. Por ejemplo, si K = R, por el teorema fundamental del álgebra hay dos tipos de ideales primos (máximos) en R[x]: De la forma x λ con λ R, como antes, y De la forma x 2 + bx + c con b,c R tales que b 2 4c < 0. Note que estos últimos ideales se pueden factorizar como x γ x γ, con γ C R. Así, los puntos cerrados de SpecR[x] corresponden a números reales o a pares conjugados de números complejos no reales. Observe también que Spec R[x] tiene un único punto no cerrado, correspondiente al ideal primo cero. El espectro máximo. Antes de tratar de generalizar el ejemplo anterior para considerar el espectro primo SpecK[x 1,...,x n ] de un anillo de polinomios en n variables con coeficientes en un campo K (algebraicamente cerrado), comenzamos observando que los ideales x 1 a 1,...,x n a n con a i K son ideales máximos de K[x 1,...,x n ] porque los cocientes K[x 1,...,x n ]/ x 1 a 1,...,x n a n K (el isomorfismo es f (x 1,...,x n ) f (a 1,...,a n )). Un tal ideal x 1 a 1,...,x n a n corresponde a una n-ada ordenada (a 1,...,a n ) K n, por lo que podemos indentificar al conjunto de ideales máximos anteriores con K n. En el capítulo 3 (3.22 página 71) probaremos el teorema de los ceros de Hilbert que afirma que éstos son todos los ideales máximos de K[x 1,...,x n ] cuando K es algebraicamente cerrado. Aceptando lo anterior, e identificando el ideal máximo x 1 a 1,...,x n a n con la n-ada ordenada (a 1,...,a n ) K n, podemos visualizar a los ideales máximos en SpecK[x 1,...,x n ] como los puntos de K n. En otras palabras, podemos pensar que K n SpecK[x 1,...,x n ] y para hacerlo más formal conviene definir el espectro máximo de un anillo A como el conjunto Specm(A) = {m A : m es un ideal máximo de A}, de tal forma que, si K es algebraicamente cerrado K n = SpecmK[x 1,...,x n ] identificando cada ideal máximo x 1 a 1,...,x n a n con el punto (a 1,...,a n ). El paso siguiente es ver cómo la topología de Zariski de SpecK[x 1,...x n ] se restringe al subconjunto K n = SpecmK[x 1,...,x n ]. Para ésto, considere un ideal I