MATEMATICAS FINANCIERAS. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1

MATEMATICAS FINANCIERAS Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1

MATEMATICAS FINANCIERAS Las Matemáticas Financieras o Ingeniería Económica tienen como objetivo fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Interés, Tiempo y Tasa. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 2

MATEMATICAS FINANCIERAS La Matemática Financiera la podemos asociar con dos símbolos es decir el de los números (#) y el de los pesos ($), ya, que cuando hablamos de Matemáticas automáticamente hacemos relación con los números; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo pesos; de allí la asociación. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 3

MATEMATICAS FINANCIERAS Variables financieras: Capital Tiempo Tasa Interés Cuota Monto C t i I R M Rodolfo Enrique Sosa Gómez 4

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO NUNCA SE DEBEN SUMAR VALORES EN FECHAS DIFERENTES Rodolfo Enrique Sosa Gómez 5

INTERES ES LO QUE SE PAGA O SE RECIBE POR CIERTA CANTIDAD DE DINERO TOMADA O DADA EN PRESTAMO Rodolfo Enrique Sosa Gómez 6

INTERES SIMPLE Es aquel interés que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 7

INTERES SIMPLE Formula general de la tasa de interés: i = I / C Si condicionamos esta fórmula a la expresión de unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuación: I = i. C. t Rodolfo Enrique Sosa Gómez 8

INTERES SIMPLE Clasificación del interés simple: Interés simple comercial en forma ordinaria Interés simple comercial en forma exacta Interés simple exacto en forma comercial Interés simple exacto en forma ordinaria Rodolfo Enrique Sosa Gómez 9

INTERES SIMPLE Clasificación del interés simple Interés simple comercial: 360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al trimestre, 30 días al mes Interés simple exacto: 365 días al año Tabla o calculadora para las demás equivalencias Rodolfo Enrique Sosa Gómez 10

INTERES SIMPLE Valor futuro a interés simple: También conocido como monto. Se deduce de la suma entre el capital y los intereses que se generan durante determinado período de tiempo M = C + I M = C + ( i. C. t ), luego por factorización M = C ( 1 + i. t ) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 11

INTERES SIMPLE Concepto de Equivalencia Financiera: Es la relación de igualdad que se establece entre una o unas deudas y uno o unos pagos en un momento determinado en el tiempo denominado fecha focal (momento de la negociación) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 12

INTERES SIMPLE Equidad entre el tiempo y la tasa: - La tasa y el tiempo siempre deben ir expresadas en la misma unidad de base. - La tasa es la que condiciona la expresión del tiempo. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 13

INTERES SIMPLE Series uniformes a interés simple: Series vencidas: Valor presente Valor futuro Series anticipadas Valor presente Valor futuro Valor futuro 0 1 2 3 4 5 6 Valor presente Valor futuro 0 1 2 3 4 5 6 Rodolfo Enrique Sosa Valor Gómez presente 14

INTERES COMPUESTO Concepto: Es el interés que se genera sobre intereses. Los intereses que se generan en el primer período de capitalización se convierten en capital para generar mas intereses para el segundo período de capitalización y así sucesivamente. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 15

INTERES COMPUESTO Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto Capital $ 100.000 Tasa 10% Anual Tiempo 5 Años Periodo Interés simple Interés compuesto Diferencia en años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses 0 0 0 0 0 0 1 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 0 2 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.000 3 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.100 4 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.410 5 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 16

INTERES COMPUESTO Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto Periodo Int. Sim. Int. Com. en años Monto Monto 0 0,5 105.000 104.881 1 110.000 110.000 2 120.000 121.000 3 130.000 133.100 4 140.000 146.410 5 150.000 161.051 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 17

INTERES COMPUESTO FORMULA GENERAL M = C ( 1 + i ) t Rodolfo Enrique Sosa Gómez 18

INTERES COMPUESTO EXCEL Capital o valor presente: VA Tasa: TASA Monto o valor futuro: VF Tiempo: NPER Cuota: PAGO Rodolfo Enrique Sosa Gómez 19

INTERES COMPUESTO Rodolfo Enrique Sosa Gómez 20

INTERES COMPUESTO Regla comercial: 5.000 4.000 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fecha focal 10.000 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 23

INTERES COMPUESTO Regla de saldos insolutos: 5.000 4.000 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fecha focal 10.000 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 24

INTERES COMPUESTO TASAS: TASA NOMIAL TASA EFECTIVA TASAS EQUIVALENTES TASAS ANTICIPADAS TASAS VENCIDAS Rodolfo Enrique Sosa Gómez 25

INTERES COMPUESTO Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia: MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICA CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS SIMULADOR Para obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal Tasa nominal Tasa efectiva Periodicidad Periodicidad Modalidad Modalidad Tasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000% Periodicidad: Modalidad Anual A Vencida V Semestral S Anticipada A Cuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez Trimestral T Peguntas o comentarios: Bimestral B e-mail: rodolfososa83@hotmail.com Mensual M Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258 Diaria D Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 26

INTERES COMPUESTO Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia: MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICA TABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS POR: RODOLFO SOSA GÓMEZ O R I G E N C O N O C I E N D O L A T A S A: D E S T I N O P A R A O B T E N E R L A T A S A: PERIODICA NOMINAL VENCIDA EFECTIVA ANUAL NOMINAL VENCIDA PERIODICA J m i E.A. = 1 + - 1 m J = i p. m NOMINAL ANTICIPADA i E.A. NOMINAL ANTICIPADA i p = J = 1 + i E.A. 1 / m - 1. m J i E.A. = 1 + 1 - J m J m m - 1 J = 1 + 1 / m 1 + i E.A. - 1 1 / m 1 + i E.A. - 1. m COMPLEMENTOS: Tasa de Interés Continua ie.a. ó i p = Tasa efectiva o periódica / 100 J = Tasa nominal% / 100 i E.A.= e - 1 J i VENCIDA = 1 - i ANTICIPADA i ANTICIPADA m = Número de periodos contenidos en un año e = 2,71828182846 i ANTICIPADA = 1 + i VENCIDA i VENCIDA Rodolfo Enrique Sosa Gómez 27

INTERES COMPUESTO FORMULAS MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente FORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relación Beneficio Costo Rodolfo Sosa Gómez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de Retorno C = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad Real M = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o % r I = Interés V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflación i = Tasa de interés V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluación t = Tiempo: número de períodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangera m = Periódos contenidos en un año V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente i = Tasa Total R = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente T INTERÉS SIMPLE: I VENTAS A PLAZOS: 2. m. I 1 i = 2 M = C + I 3 I = i.c.t 4 M = C ( 1 + i. t ) 5 i = 6 I = ( R. t ) - B 7 B = Pc - Ci C B ( t + 1 ) - I ( t - 1) SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE 2t + ti. ( t - 1 ) 2t + ti. ( t + 1 ) R. R. 2t + ti. ( t - 1 ) 2 2t + ti. ( t + 1 ) 2 8 M = R. 9 C = 10 M = R. 11 C = 2 ( 1 + ti ) 2 ( 1 + ti ) INTERÉS COMPUESTO t - t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1 / t 12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t = 16 i = ( M / C ) - 1 Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i ) SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO t - t ( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R 17 M = R 18 C = R 19 Perpetuidad: C = i i i SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO t - t ( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R 20 M = R ( 1 + i ) 21 C = R ( 1 + i ) 22 Perpetuidad: C = R + i i i También puede ser: t + 1 - ( t - 1 ) ( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) 23 M = R -1 24 C = R 1 + i i GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE Cálculo de la cuota uniforme: Infinito: Cálculo de una cuota: 1 t R1 g 25 R = R1 + / - g. - 26 C = + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ). g ) 2 t i i t i ( 1 + i ) - 1 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 28

INTERES COMPUESTO FORMULAS GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE Si g es diferente de i: Si g es igual a i: t t t - t ( 1 + i ) - ( 1 + g ) R1. ( 1 + g ). ( 1 + i ) - 1 R1. t 28 C = R1. 29 C = 30 C = t g - i 1 + i ( i - g ). ( 1 + i ) t t t t ( 1 + i ) - ( 1 + g ) t R1. ( 1 + g ) - ( 1 + i ) t - 1 31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M = 33 M = R1. t. ( 1 + i ) t g - i ( i - g ). ( 1 + i ) Infinito, si i es mayor que g: Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes: R1 t - 1 34 C = 35 Cuota = R1. ( 1 + / - g ) i - g t GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE t t t t ( 1 + i ) - ( 1 - g ) ( 1 + i ) - ( 1 - g ) 36 C = R1. 37 M = R1. t ( i + g ) ( i + g ). ( 1 + i ) EVALUACIÓN DE PROYECTOS: V.P.N. 38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. = - t 1 - ( 1 + i ) V.P.I. V.P.E. 41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i - t - t 1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i ) 43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E. i i Resultado ideal: R.B.C. > 1 Nota: V.P.N.. ( i - i ) V.P.N.. ( i - i ) i Para V.P.N. > 0 2 2 44 T.I.R. = i - 1 1 2 45 T.I.R. = i + 1 21 1 i > i 2 V.P.N. - V.P.N. 21 V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0 2 1 2 1 1 2 2 2 Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas: i - F 1 + i Nota: 1 46 i = 47 i = ( 1 + i.d ). ( 1 + i.e) - 1 48 i = ( 1 + i ). (1 + i ) - 1 49 i = 1 i > i r 1 + F r T 1 2 T 1 + i 1 2 2 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 29

INTERES COMPUESTO INFLACION - I.P.C. DEVALUACION TASAS COMBINADAS TASAS DEFLACTADAS D.T.F. T.C.C. T.B.S. LIBOR PRIME RATE TMAR = T.I.O + Spreads Rodolfo Enrique Sosa Gómez 30

ANUALIDADES VENCIDAS ANTICIPADAS PERPETUAS DIFERIDAS PERPETUAS DIFERIDAS Rodolfo Enrique Sosa Gómez 31

Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada ) ANUALIDADES 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Anualidad de 10 periodos ( forma vencida ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 Rodolfo 10 Enrique 10Sosa Gómez 10 10 10 10 10 32

ANUALIDADES Anualidad de 5 periodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 Anualidad diferida 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 33

ANUALIDADES Anualidad perpetua 0 1 2 3 4 5 10 10 10 10 10 Anualidad perpetua diferida 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 10 10 10 10 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 34

ANUALIDADES Rodolfo Enrique Sosa Gómez 35

GRADIENTES LINEALES O ARITMETICAS: CRECIENTES Y DECRECIENTES VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO CALCULO DE CUOTA GRADIENTE DIFERIDA GRADIENTE PERPETUA GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA Rodolfo Enrique Sosa Gómez 38

GRADIENTES EXPONENCIALES O GEOMETRICAS CRECIENTES Y DECRECIENTES VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO CALCULO DE CUOTA GRADIENTE DIFERIDA GRADIENTE PERPETUA GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA Rodolfo Enrique Sosa Gómez 39

Gradiente lineal creciente GRADIENTES 1000 1200 1400 1600 0 1 2 3 4 Gradiente lineal decreciente 1 0 0 0 9 5 0 9 0 0 8 5 0 0 1 2 3 4 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 40

GRADIENTES Gradiente exponencial creciente 1.000,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00 0 1 2 3 4 Gradiente exponencial decreciente 1000 950 902,5 857,38 0 1 2 3 4 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 41

GRADIENTES GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO CRECIENTE DECRECIENTE R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota) g (Gradiente en $) g (Gradiente en $) i % (Tasa) i % (Tasa) n (Tiempo) n (Tiempo) Ru (Cuota Uniforme) # DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) # DIV/0! V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x # DIV/0! V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x # DIV/0! CUOTA No. 24 CUOTA No. VALOR 0,00 VALOR 0,00 INFINITO 0,00 GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO CRECIENTE DECRECIENTE R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota) g (Gradiente en %) g (Gradiente en %) i % (Tasa) i % (Tasa) n (Tiempo) n (Tiempo) V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00 CUOTA No. CUOTA No. VALOR 0,00 VALOR 0,00 INFINITO Si i > g Rodolfo Enrique 0,00 Sosa Gómez 42

EVALUACIONES FINANCIERAS FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA NETO V.P.N. T.I.R. Rodolfo Enrique Sosa Gómez 43

U.V.R. t / d UVRt = UVR 15 * ( 1 + i ) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 44

U.V.R. Procedimiento para el calculo de la U.V.R. Del 31 de Julio al 5 de Agosto: El DANE pública los resultados de la inflación del mes de Julio de 2002 Del 6 de Agosto al 15 de Agosto: El Banco de la Republica le informa los valores de la UVR que regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre. El sistema financiero actualiza sus bases de datos 15 de Agosto: U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anterior Del 16 de Agosto al 15 de Septiembre: Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre Rodolfo Enrique Sosa Gómez 45

U.V.R. - UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR Del día t del período de calculo. -UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR el día 15 de cada mes. - i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo -t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR. Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el número de días calendario del respectivo período de calculo. - d = Número de días calendario del respectivo período de calculo Rodolfo Enrique Sosa Gómez 46

U.V.R. DATOS VALORES VALOR DE LA UVR 127,9002 RESUMEN DEL CREDITO FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35 TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08 TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66 TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08 TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91 VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84 TIEMPO EN AÑOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74 TIEMPO EN MESES 180 PAGO TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R. TABLA DE AMORTIZACION EN PESOS PERI ODO FECHA VALOR UVR CUOTA EN UVR ABONO A CAPITAL EN UVR INTERESES EN UVR SALDO EN UVR CUOTA EN PESOS ABONO A CAPITAL EN PESOS INTERESES EN PESOS SALDO EN PESOS 0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,00 1 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,35 2 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,98 3 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,76 4 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,39 5 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,33 6 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,85 7 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,98 8 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,56 9 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,19 10 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,25 11 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,89 12 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,04 13 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,37 14 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,35 15 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769 435,3462 1.652,4307 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16 Rodolfo Enrique Sosa Gómez 47

U.V.R. Curva de Amortización de Créditos Hipotecarios 30.000.000 25.000.000 20.000.000 $ 15.000.000 10.000.000 5.000.000 0-5.000.000 Periodos (Cuotas mensuales) Rodolfo Enrique Sosa Gómez 48

MATEMATICAS FINANCIERAS FIN DE LA PRESENTACION RODOLFO ENRIQUE SOSA GOMEZ Rodolfo Enrique Sosa Gómez 49