FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO Rigoberto Rivera Constantino DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA DEPARTAMENTO DE GEOTECNIA

RIVERA CONSTANTINO, Rigoberto. Fundamentos de mecánica del medio continuo. México, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería, 2011, 153 p. ISBN 978-970-32-5343-2 Fundamentos de mecánica del medio continuo Primera edición, 2008. Primera reimpresión, 9 de mayo de 2011. D.R. 2011, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Avenida Universidad 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, México, D.F., C.P. 04510 ISBN 978-970-32-5343-2 FACULTAD DE INGENIERÍA http://www.ingenieria.unam.mx/ Prohibida la reproducción o transmisión total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México.

ACERCA DEL AUTOR Rigoberto Rivera Constantino estudió Ingeniería Civil y la Maestría en Mecánica de Suelos en la Facultad de Ingeniería de la UNAM, y el Doctorado en Mecánica de Suelos en la Escuela Central de París. Su reconocida trayectoria en el ámbito de la ingeniería civil abarca tanto el ejercicio profesional, la investigación como la docencia, lo cual le ha permitido trabajar e impulsar una formación integral en sus alumnos universitarios. En la UNAM, desde 1979 inició su actividad docente y a la fecha es profesor de carrera titular en la División de Ingenierías Civil y Geomática de la Facultad de Ingeniería, donde ha impartido en la licenciatura las materias de Mecánica del medio continuo, Comportamiento de suelos, Mecánica de suelos, Cimentaciones y Dinámica de suelos. Asimismo, en el Programa de Posgrado en Ingeniería, el Laboratorio de mecánica de suelos, Propiedades de los suelos y Mecánica de suelos teórica y es tutor en la maestría y el doctorado. Ha dirigido 27 tesis de licenciatura y 20 de Maestría. Ha participado en un gran número de cursos de educación continua como conferencista y coordinador en los temas de Laboratorio de mecánica de suelos, Ingeniería de cimentaciones, Interacción suelo-estructura y Herramientas de cómputo aplicadas a la geotecnia. Dentro del terreno de la investigación, el doctor Rivera Constantino ha sido coordinador y participante de proyectos de investigación y de desarrollo tecnológico, y ha publicado un gran número de artículos de la especialidad, tanto en revistas como en eventos académicos nacionales e internacionales. Además es consultor tecnológico especialista por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT). En el extranjero, ha sido profesor visitante en la Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales. Conferencista en la Universidad Nacional de Chile, la Universidad de Cuenca, Ecuador, la Universidad Tecnológica de Honduras, en la Universidad Politécnica de Cataluña, España y la Universidad de Santo Tomás, Tunja Colombia. Ha participado como ingeniero consultor en proyectos relacionados con ingeniería de cimentaciones, recimentaciones, cimentación de maquinaria, presas, obras de protección y pavimentos. En la Facultad de Ingeniería, el doctor Rivera Constantino ha tenido una destacada participación institucional como miembro de diversos Consejos Académicos y Comisiones. Colabora activamente como miembro en diversas asociaciones, como el Colegio de Ingenieros Civiles de México, la Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica y la Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica, de esta última fue presidente de la mesa directiva 2007-2008. En el ámbito internacional, es miembro de la Southeast Asian Geotechnical Society, desde el año 2003.

Desde hace cinco años participa activamente como Ingeniero consultor en la Coordinación de Proyectos Hidroeléctricos de la Comisión Federal de Electricidad (CFE) y forma parte del comité revisor por parte de la CFE, del Manual de Diseño de Obras Civiles, Sección Geotecnia, cuya elaboración está a cargo del Instituto de Ingeniería de la UNAM. IV

PRÓLOGO DE LA SEGUNDA EDICIÓN Ya han pasado seis años de la aparición de la primera edición de la obra Fundamentos de Mecánica del Medio Continuo, tiempo durante el cual el autor ha tenido la oportunidad de someter a prueba el material escrito en el curso que imparte de manera cotidiana en la licenciatura de Ingeniería Civil en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. La experiencia adquirida durante este tiempo en el empleo de las notas como material de apoyo al curso, las sugerencias y observaciones de colegas profesores de la asignatura así como de los alumnos, éstos últimos principales depositarios de este material, han sido los factores principales que han motivado al autor para trabajar en una segunda edición de las notas. En esta segunda edición de los apuntes se ha reestructurado el material y se han adicionado dos capítulos nuevos, con lo cual se juzgó pertinente renumerar los capítulos para darle una mayor coherencia a la obra, quedando constituida finalmente por siete capítulos y dos anexos. En cada uno de los capítulos se han adicionado más problemas resueltos así como propuestos, incluyendo en este último caso su respuesta. Se ha mejorado la calidad de las figuras y se han corregido algunos errores tipográficos tanto en el texto como en las ecuaciones matemáticas. En el capítulo 4, Elasticidad Lineal, se han incluido los temas, ecuaciones de Navier-Cauchy y solución de problemas elásticos haciendo uso de funciones de desplazamientos tanto escalares (función de Lamé) como vectoriales( vectores Galerkin). En el capítulo 5, Mecánica de Fluidos, de nueva creación, se abordan las ecuaciones de Navier-Stokes, se estudian las funciones potenciales para derivar las fuerzas másicas de partículas de un fluido y se clasifican los flujos en términos del tipo de función potencial. En el capitulo 6, Viscoelasticidad, que se adicionó, se aborda el estudio de los materiales cuya respuesta depende del tiempo, como es el caso de los modelos constitutivos de Voigth y de Burgers. La solución de este tipo de problemas se hace a través de lo que se conoce como el Principio de Correspondencia, el cual establece que la transformada de Laplace a un problema de un contínuo inelástico se obtiene sustituyendo en la solución elástica del mismo continuo, a las variables cinemáticas y estáticas por sus valores transformados así como a las constantes elásticas involucradas. En el capitulo 7, Teorías de falla y ruptura, se han incluido el criterio de ruptura de Mohr- Coulomb, ampliamete usado en mecánica de suelos y de Griffith, uno de los más utilizados en la mecánica de rocas. Cabe señalar que en la primera edición de estos apuntes (antes capítulo 5), únicamente se habían estudiado los criterios de falla (comportamiento inelástico) que normalmente se aplican a metales, omitiendo los criterios propiamente de ruptura. En esta segunda versión de los apuntes de la asignatura Fundamentos de Mecánica del Medio Continuo, se han incluido algunos temas que por su formalidad y estructura matemática

podrían considerarse como material de posgrado, sin embargo, si se escoge adecuadamente el material por estudiar, las notas siguen estando al alcance de los alumnos de la carrera de Ingeniería Civil, de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. El autor desea expresar su reconocimiento al Ing. Eladio Enrique Cabrales Quezada, Técnico Académico de nuestra Facultad de Ingeniería, por el arduo trabajo de mecanografía y dibujo, realizado para esta obra. De igual forma se reconoce ampliamente a la Unidad de Apoyo Editorial de la Secretaría General de la Facultad por el trabajo de edición de las notas. Es claro que esta obra no se hubiera podido llevar a cabo sin el apoyo decidido e incondicional de la División de Ingenierías Civil y Geomática y su departamento de Geotecnia, para quienes el autor sólo tiene muestras de gratitud. Por último, se agradece de antemano a toda la comunidad académica de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, los comentarios y sugerencias que le ayuden a mejorar esta segunda edición de los apuntes. Rigoberto Rivera Constantino Profesor Titular, Departamento de Geotecnia División de Ingenierías Civil y Geomática Facultad de Ingeniería, UNAM Ciudad Universitaria, agosto de 2014 VI

INTRODUCCIÓN La Mecánica del Medio Continuo es una rama de la Física que estudia el estado de esfuerzo y deformación (o flujo) de sólidos, líquidos y gases. Esta mecánica no toma en cuenta la estructura molecular de la materia, sólo la considera como carente de vacíos, huecos o discontinuidades. Se da por hecho que la materia se halla distribuida en forma continua en todo su volumen, llenando por completo el espacio que ocupa. Desde un punto de vista físico, un medio continuo es cualquier cuerpo deformable que se estudia macroscópicamente, en el cual cada partícula del cuerpo siempre permanece en contacto con sus vecinas. Este concepto de medio continuo constituye el postulado fundamental de la mecánica del medio continuo, lo que permite estudiar de manera semejante el comportamiento de sólidos, líquidos y gases. La presentación del material se fundamenta en el análisis vectorial, sin embargo, muchas de las ecuaciones que surgen en esta mecánica se expresan también en notación indicial, con objeto de que el alumno se familiarice con este enfoque, que es el que se emplea de manera generalizada en la literatura técnica relacionada con esta rama de la Física. El concepto de estado de esfuerzo (estática del medio continuo) se establece en el capítulo 1, mientras que el concepto de estado de deformación (cinemática del medio continuo) se trata en el capítulo 2, para lo cual sólo fue necesario adoptar la hipótesis de medio continuo. En estos dos capítulos se demuestra que la estructura matemática para estudiar el estado de esfuerzo y el estado de deformación es enteramente similar. En el capítulo 3 se estudian las leyes generales de la mecánica, como son los principios de conservación de la masa, de la rapidez de la cantidad de movimiento, de la conservación de energía o primera ley de la termodinámica y el de aumento de entropía o desigualdad de Clausius-Duhem, los cuales son aplicables a cualquier medio continuo. Para ligar los esfuerzos con las deformaciones es necesario tomar en cuenta las propiedades del material, lo cual se hace a través de lo que se conoce como ecuaciones constitutivas de los materiales, siendo el capítulo 4 donde se aborda la teoría de los materiales elásticos lineales homogéneos e isótropos. La solución de ciertos problemas elásticos se realiza mediante funciones de esfuerzos y desplazamientos, por considerar que estos métodos de solución siguen siendo muy didácticos, sin embargo, no debemos olvidar que en la actualidad la solución de problemas complejos se lleva a cabo mediante herramientas numéricas muy poderosas, como es el caso de los métodos de diferencias finitas, elemento finito y otros. En el capítulo 5 se tratan de manera somera algunos aspectos de la mecánica de fluidos, estableciendo las ecuaciones fundamentales de Navier-Stokes que rigen el comportamiento de

los fluidos lineales, en tanto que en el capítulo 6 se estudian algunos problemas viscoelásticos a través del Principio de Correspondencia, cuyo fundamento matemático es la transformada de Laplace. Finalmente, en el capítulo 7, se tratan las teorías de falla y ruptura de los materiales, las cuales están íntimamente ligadas con el diseño de las obras civiles que proyecta el ingeniero. CONTENIDO ACERCA DEL AUTOR...III PRÓLOGO...V INTRODUCCIÓN...VI CAPÍTULO 1. ESTADO DE ESFUERZO Introducción...1 1.1 Fuerzas de superficie y fuerzas de cuerpo...1 1.2 Teoría del estado de esfuerzo...2 1.3 Componentes normal y tangencial del vector esfuerzo...4 1.4 Determinación de las ecuaciones de Cauchy...6 1.5 Esfuerzos principales...11 1.6 Elipsoide de Lamé...18 1.7 Solución gráfica de Mohr...19 1.8 Procedimiento gráfico de Mohr...25 1.9 Casos particulares de estados de esfuerzo...27 1.10 Descomposición de un estado general de esfuerzos en sus componentes volumétrica y desviadora...30 1.11 Estado de esfuerzo plano...32 1.12 Planos principales de esfuerzo...36 1.13 Esfuerzos octaédricos...40 1.14 Equilibrio de partículas en un medio continuo...41 1.15 Ecuaciones de equilibrio de momentos en partículas de un medio continuo...47 CAPÍTULO 2. ESTADO DE DEFORMACIÓN Introducción...51 2.1 Descripción del movimiento de un medio continuo...51 2.2 Características de rotación y cambio de forma de la partícula...54 2.3 Interpretación física del tensor rotacional...57 2.4 Interpretación física del tensor deformación...60 2.5 Componentes normal y cortante del vector deformación...66 2.6 Deformaciones y direcciones principales de deformación...67 2.7 Significado físico del invariante lineal J 1...68 2.8 Componentes volumétrica y desviadora del tensor deformación...69 2.9 Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones...70 CAPÍTULO 3. PRINCIPIOS GENERALES DE LA MECÁNICA VIII

Introducción...75 3.1 Teorema de Green...75 3.2 Principio de la conservación de la masa o ecuación de continuidad...76 3.3 Principio de conservación de la cantidad de movimiento...78 3.4 Primera ley de la termodinámica: principio de conservación de energía...80 3.5 Segunda ley de la termodinámica: desigualdad de Clausius-Duhem... CAPÍTULO 4. ELASTICIDAD LINEAL Introducción... 4.1 Planteamiento matemático para definir las relaciones constitutivas en un continuo cualquiera 4.2 Ecuaciones constitutivas de los materiales elásticos lineales en un marco de referencia principal 4.3 Ecuaciones constitutivas de los materiales elásticos lineales homogéneos e isótropos en un marco de referencia cartesiano 4.4 Energía de deformación elástica para un estado uniaxial de esfuerzos 4.5 Energía de deformación elástica para un estado triaxial de esfuerzos. 4.6 Solución de problemas elásticos haciendo uso de funciones de esfuerzo. 4.7 Ecuaciones de Navier-Cauchy 4.8 Solución de problemas elásticos haciendo uso de funciones de desplazamientos CAPÍTULO 5. MECÁNICA DE FLUIDOS 5.1 Aspectos fundamentales de la Mecánica de Fluídos Lineal... 5.2 Ecuaciones de equilibrio dinámico de partículas de fluidos 5.3 Interpretación física de la ecuación de Navier-Stokes. 5.4 Mecánica de los medios viscosos incompresibles.. CAPÍTULO 6. VISCOELASTICIDAD 6.1 Relaciones constitutivas de los materiales inelásticos 6.2 Nociones sobre la Transformada de Laplace.. 6.3 Solución de problemas inelásticos aplicando el Principio de Correspondencia. 6.4 Equivalencia entre modelos matemáticos para representar el comportamiento de materiales.. CAPÍTULO 7. TEORÍAS DE FALLA Y RUPTURA Introducción... 7.1 Teoría de Rankine... 7.2 Teoría de Coulomb-Tresca... 7.3 Teoría de Saint Venant... 7.4 Teoría de Nadai... 7.5 Teoría de Von Mises Hencky. 7.6 Teoría de Mohr-Coulomb. 7.7 Teoría de Griffith.. APÉNDICE A. ANÁLISIS TENSORIAL... APÉNDICE B. ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS...

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