PROBLEMAS PROPUESTOS DE ROTACIÓN 1. Una bicicleta de masa 14 kg lleva ruedas de 1,2 m de diámetro, cada una de masa 3 kg. La masa del ciclista es 38 kg. Estimar la fracción de la energía cinética total de la bicicleta y el ciclista asociada a la rotación de las ruedas. Solución: 10%. 2. Una rueda parte del reposo y tiene aceleración angular constante de 2,6 rad/s 2. (a) Cuál es su velocidad angular después de 6 s? (b) Qué ángulo habrá girado? (c) Cuántas revoluciones habrá realizado? (d) Cuál es la velocidad y la aceleración de un punto situado a 0,3 m del eje de rotación? Solución: (a) 16 rad/s; (b) 47 rad; (c) 7,4 rev; (d) 4,7 m/s y 73 m/s 2. 3. Un disco de 12 cm de radio empieza a girar alrededor de su eje partiendo del reposo con aceleración angular constante de 8 rad/s 2. Al cabo de t = 5 s, (a) cuál es la velocidad angular del disco? (b) cuáles son las aceleraciones tangencial a t y centrípeta a c de un punto del borde del disco? Solución: (a) 40 rad/s; (b) a t = 0,96 m/s 2 y a c = 0,19 km/s 2. 4. Un ciclista parte del reposo. Al cabo de 8 s las ruedas han verificado 3 rev. (a) Cuál es la aceleración angular de las ruedas? (b) Cuál es su velocidad angular al cabo de 8 s? Solución: (a) 0,59 rad/s 2 ; (b) 4,7 rad/s. 5. Una rueda giratoria describe 5 rad en 2,8 s antes de detenerse con aceleración angular constante. Determinar la velocidad angular inicial de la rueda antes de iniciar su frenado. Solución: 3,6 rad/s. 6. Marte orbita alrededor del Sol con un radio orbital medio de 228 Gm (1 Gm = 10 9 m) y tiene un periodo orbital de 687 días. La Tierra orbita alrededor del Sol con un radio medio de 149,6 Gm. Aproximadamente, la línea Tierra-Sol barre un ángulo de 360 durante un año terrestre. (a) Qué ángulo barre la línea Marte-Sol durante un año terrestre? (b) Con qué frecuencia están Marte y el Sol en lados diametralmente opuestos de la Tierra? Solución: (a) 2,94 rad; (b) 780 días. 7. Cuatro partículas están en los vértices de un cuadrado unidas por varillas sin masa, de modo que m 1 = m 4 = 3 kg y m 2 = m 3 = 4 kg. La longitud del lado del cuadrado es L = 2 m. Hallar el momento de inercia respecto al eje z. Solución: 52 kg/m 2. 8. Una rueda de vagón de 1,0 m de diámetro está formada por una llanta delgada de masa 8 kg, y seis radios, cada uno de los cuales tiene una masa de 1,2 kg. Determinar el momento de inercia de la rueda respecto a su eje de rotación. Solución: 2,6 kg m 2.
9. La molécula de metano (CH 4 ) tiene cuatro átomos de hidrógeno localizados en los vértices de un tetraedro regular de lado 0,18 nm, con el átomo de carbono en el centro. Determinar el momento de inercia de esta molécula respecto a un eje de rotación que pase a través del átomo de carbono y uno de los átomos de hidrógeno. Solución: 5,4x10-47 kg m 2. 10. Demostrar que el momento de inercia de una corteza esférica de radio R y masa m es 2mR 2 /3. 11. Un cilindro de 2,5 kg y radio 11 cm, inicialmente en reposo, puede girar alrededor de su eje. Sobre él, se enrolla una cuerda de masa despreciable que tira con una fuerza de 17 N. Suponiendo que la cuerda no se desliza, hallar (a) el momento ejercido por la cuerda, (b) la aceleración angular del cilindro y (c) la velocidad angular del cilindro al cabo de t = 5 s. Solución: (a) 1,9 N m; (b) 1,2x10 2 rad/s 2 ; (c) 6,2x10 2 rad/s. 12. Un péndulo formado por una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m oscila en un plano vertical. Cuando la cuerda forma un ángulo (θ) con la vertical, (a) cuál es la componente tangencial de la aceleración de la lenteja? (b) Cuál es el momento ejercido respecto al punto pivote? (c) Demostrar que M = l α, donde a t = L α, da lugar a la misma aceleración tangencial deducida en el apartado (a). Solución: (a) a t = g sen θ; (b) M = mgl sen θ. 13. Una bola sólida de masa 1,4 kg y diámetro 15 cm gira alrededor de su diámetro a 70 rev/min. (a) Cuál es su energía cinética? (b) Si se suministran 2 J de energía a su energía de rotación, cuál será la nueva velocidad angular de la bola? Solución: (a) 85 mj; (b) 72 rev/min. 14. Un bloque de 2.000 kg asciende a una velocidad constante de 8 cm/s mediante un cable de acero que pasa por una polea de masa despreciable y se enrolla en el tambor de un torno impulsado por un motor (figura). El radio del tambor es de 30 cm. (a) Qué fuerza ejerce el cable? (b) Qué momento ejerce la tensión del cable sobre el tambor? (c) Cuál es la velocidad angular del tambor? (d) Qué potencia debe desarrollar el motor para hacer girar el tambor del torno? Solución: (a) 19,6 kn; (b) 5,9 kn m; (c) 0,27 rad/s; (d) 1,6 kw.
15. Un bloque de 4 kg que descansa sobre una plataforma horizontal sin rozamiento está conectado a otro bloque colgante de 2 kg mediante una cuerda que pasa por una polea (figura). Esta polea está formada por un disco uniforme de radio 8 cm y una masa de 0,6 kg. Determinar la aceleración lineal de cada bloque y la tensión de la cuerda. Solución: 3,1 m/s 2 ; T 1 = 12 N; T 2 = 13 N. 16. Mediante un torno de engranaje se está procediendo a levantar un coche de 1.200 kg del modo que se indica en la figura. El coche está a 5,0 m sobre la superficie del agua. En ese instante, se rompen los engranajes del torno y el coche cae desde el reposo. Durante la caída del coche no hay deslizamiento entre la cuerda (sin masa), la polea y el tambor. El momento de inercia del tambor del torno es igual a 320 kg/m 2 y el de la polea 4 kg/m 2 ; el radio del tambor es de 0,80 m y el de la polea de 0,30 m. Calcular la velocidad con la que el coche golpea la superficie del agua. Solución: 8,21 m/s. 17. Una esfera uniforme de masa M y radio R puede girar libremente respecto a un eje horizontal que pasa por su centro. Se enrolla una cuerda alrededor de la esfera y se w1e a un cuerpo de masa /11 como se indica en la figura. Suponer que la cuerda no se desliza sobre la esfera. Calcular (a) la aceleración del cuerpo y (b) la tensión en la cuerda. Solución: (a) a = g/(1+(2m/5m)); (b) T = (2mMg)/(5m+2M)
18. Dos objetos cuelgan de dos cuerdas unidas a dos ruedas capaces de girar respecto a un mismo eje, del modo que se indica en la figura. El momento de inercia total de las dos ruedas es de 40 kg/m 2. Los radios son R 1 = 1,2 m y R 2 = 0,4 m. (a) Si m 1 = 24 kg, hallar el valor de m 2 para que sea nula la aceleración angular de las ruedas. (b) Si se colocan con suavidad 12 kg sobre la parte superior de m 1, calcular la aceleración angular de las ruedas y la tensión en las cuerdas. Solución: (a) 72 kg; (b) 1,4 rad/s 2 ; 0,29 kn; 0,75 kn. 19. Un cilindro uniforme de masa m 1 y radio R gira sobre un eje sin rozamiento. Se enrolla una cuerda alrededor del mismo conectada a un bloque de masa m 2, el cual está apoyado en un plano inclinado, sin rozamiento, de ángulo θ, como se ve en la figura. El sistema se deja en libertad desde el reposo con m 2 a una altura h sobre la base del plano inclinado. (a) Cuál es la aceleración del bloque? (b) Cuál es la tensión de la cuerda? (c) Cuál es la velocidad del bloque cuando llega al final del plano? (d) Analizar las respuestas para los casos extremos de θ = 0, θ = 90 y m 1 = 0. Solución: (a) aa = gg ssssssss 1+ mm 1 2mm2 ; (b) TT = mm 2gg ssssssss ; (c) vv = 2gg h ; (d) a = g; T = 0; vv = 2ggh 1+ 2mm 2 mm1 1+ mm 1 2mm2 20. En 1993, un yo-yo gigante de masa 400 kg y unos 1,5 m de radio se dejó caer desde una grúa de 57 m de altura. Uno de los extremos de la cuerda estaba atada a la grúa, de manera que el yoyo se desenrollaba al descender. Suponiendo que el eje del yo-yo tenía un radio de r = 0,1 m, determinar la velocidad de descenso en el punto más bajo de su recorrido. Solución: 3,1 m/s. 21. Una corteza esférica fina rueda sin deslizamiento sobre un plano inclinado. Si la aceleración del centro de masas es 0,20g, qué ángulo forma el plano inclinado? Solución: 18. 22. Un cilindro hueco, de paredes delgadas, y otro cilindro sólido uniforme, ruedan sin deslizar sobre una superficie horizontal. La velocidad del cilindro hueco es v. Ambos cilindros encuentran un plano inclinado por el que suben sin deslizar. Si la altura máxima que alcanzan es la misma, determinar la velocidad v del cilindro sólido. Solución: vv = vv 4/3.
23. Una rueda posee una delgada llanta de 3,0 kg y cuatro radios, cada uno de masa 1,2 kg. Determinar la energía cinética de la rueda al rodar sobre una superficie horizontal a la velocidad de 6,0 m/s. Solución: 0,22 kj. 24. En la figura se muestran dos grandes engranajes, cada uno de los cuales puede girar alrededor de un eje que pasa por su centro. Uno tiene un radio R 1 = 0,5 m y el otro R 2 = 1 m. El momento de inercia del engranaje 1 es I 1 = 1 kg m 2 y el del engranaje 2 es I 2 = 16 kg m 2. La palanca fija al engranaje 1 tiene una longitud de 1 m y masa despreciable. (a) Si se aplica una fuerza de 2 N al extremo de la palanca, tal como se ve en la figura, cuál será la aceleración angular de los engranajes 1 y 2? (b) Qué fuerza ha de aplicarse tangencialmente al extremo del engranaje 2 para evitar que el engranaje gire? Solución: (a) 0,4 rad/s 2 y 0,2 rad/s 2 ; (b) 3,2 N. 25. Una pelota esférica uniforme se pone en rotación respecto a un eje horizontal con una velocidad angular ω 0 y se deja en reposo sobre el suelo. Si el coeficiente de rozamiento por deslizamiento entre el suelo y la pelota es μ c calcular la velocidad del centro de masas de la pelota cuando ésta comienza a rodar sin deslizamiento. Solución: 2r ω 0 /7. 26. Una bola de billar de 0,16 kg y radio 3 cm es golpeada por el taco mediante un impulso horizontal que pasa por su centro. La velocidad inicial de la bola es de 4 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético es 0,6. (a) Durante cuántos segundos se desliza la bola antes de que comience a rodar sin deslizamiento? (b) Qué distancia recorre deslizándose? (c) Cuál es su velocidad cuando comienza a rodar sin deslizamiento? Solución: (a) 0,19 s; (b) 0,67 m; (c) 2,9 m/s. 27. Se lanza por la pista de una bolera una bola de radio R con una velocidad inicial v 0 y una velocidad angular de rotación ω 0 = 3v 0 /R hacia adelante. El coeficiente de rozamiento cinético es μ c. (a) Cuál es la velocidad de la bola cuando comienza a rodar sin deslizamiento? (b) Durante cuánto tiempo se ha deslizado la bola antes de que empiece a rodar sin deslizamiento? (c) Qué distancia ha recorrido la bola por la pista antes de que comience a rodar sin deslizamiento? Solución: (a) v = 11 v 0 /7; (b) t = 4 (v 0 /μ c g)/7; (c) x = 36 (v 0 2 /μ c g)/49. 28. Un bastón uniforme de 2 m de longitud se apoya sobre el hielo formando un ángulo de 30 con la superficie horizontal. El bastón cae desde el reposo, manteniendo en todo momento su extremo inferior en contacto con la superficie del hielo. Qué distancia se ha movido este extremo del bastón mientras el bastón cae completamente sobre la superficie helada? Supóngase que el hielo no ejerce rozamiento. Solución: 13 cm. 29. Una barra de 0,25 kg y longitud 80 cm está suspendida de un pivote por uno de sus extremos. Se considera que el pivote no tiene rozamiento. La barra se mantiene horizontal y se deja caer. Inmediatamente después de su liberación, (a) Cuál es la aceleración del centro de la barra? (b) Y la aceleración inicial de un punto del extremo de la barra? (c) Determinar la velocidad lineal del centro de masas de la barra cuando está en posición vertical. Solución: (a) 7,4 m/s 2 ; (b) 15 m/s 2 ; (c) 2,4 m/s.
30. Un disco uniforme con una masa de 120 kg y un radio de 1,4 m rueda inicialmente con una velocidad angular de 1.100 rev/min. (a) A una distancia radial de 0,6 m del eje se aplica una fuerza tangencial. (a) Qué trabajo debe realizar esta fuerza para detener el disco? (b) Si la rueda se detiene en 2,5 min, qué momento produce la fuerza? Cuál es el módulo de la fuerza? (c) Cuántas revoluciones da la rueda en estos 2,5 min? Solución: (a) 7,8x10 2 kj; (b) 90 N m; (c) 1,4x10 3 rev.