Organización del Computador I DC - UBA Segundo Cuatrimestre 2010
Número vs Numeral Un número es un objeto matemático Un numeral es un símbolo que representa un número
No posicionales Posicionales no posicionales
No posicionales Posicionales
No posicionales Posicionales
No posicionales Posicionales Qué número queremos representar con el siguiente conjunto de símbolos? diez + cien mil + cien mil + mil + cien + uno + uno doscientos un mil ciento doce
No posicionales Posicionales Sistema de numeración no posicional No importa la disposición de los símbolos Cuántas representaciones tiene un número utilizando los símbolos egipcios?
Sistema decimal Introducción No posicionales Posicionales Un sistema decimal utiliza un conjunto que tiene 10 símbolos. Usualmente solemos usar estos: Pero perfectamente podríamos usar otros
No posicionales Posicionales Qué número queremos representar con la siguiente tira de símbolos? 743 siete + cuatro + tres Claro! Representa el número catorce!
No posicionales Posicionales 743 siete centenas + cuatro decenas + tres unidades
No posicionales Posicionales 473 cuatro centenas + siete decenas + tres unidades La interpretación depende del valor de cada símbolo, y de la posición que ocupa
No posicionales Posicionales En el sistema decimal, la posición de cada símbolo lo relaciona con una potencia de 10. 10 2 10 1 10 0 7 4 3 7 100 4 10 3 1
No posicionales Posicionales Y si en vez de diez símbolos representando los primeros diez numeros naturales, tuviéramos otra cantidad? A esa cantidad la llamamos base
En general... Introducción No posicionales Posicionales Si b es la base, utilizamos símbolos para representar los números entre 0 y b 1 (o sea usamos b símbolos en total), e interpretamos los numerales de la siguiente manera: ( n ) (a n a n 1... a 1 a 0 ) b = a k b k k=0 10 En base 2, usamos los símbolos 0 y 1 y escribimos los naturales: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110... En base 3, usamos los símbolos 0, 1 y 2 y escribimos los naturales: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20......y así...
No posicionales Posicionales Bases más comunes Base Símbolos usados 2 (binario) 0, 1 8 (octal) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 16 (hexadecimal) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Dada la representación de un número, puedo saber qué base se está utilizando?
Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado Teorema división Sean a Z y b N. Existen q, r Z con 0 < r < b tales que a = b q + r Además, q y r son únicos. Esto nos va a ayudar a escribir números en distintas bases.
Cambiando de base. Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado Si tenemos un número, por ej. treinta, y queremos escribirlo en base 4. Cómo hacemos? 30 = 4 7+2 7 = 4 1 + 3 Luego, vale que 30 = 4 (4 1 + 3) + 2 30 =1 4 2 +3 4 1 +2 4 0 Ya está! Podemos concluir que (30) 10 = (132) 4
Un método mecánico Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado Quiero expresar el número treinta en base cuatro 1 Tomo el número y lo divido por la base 30 div 4 resultado: 7 resto: 2 2 Tomo el resultado de la última división, y lo divido por la base 7 div 4 resultado: 1 resto: 3 3 Si el resultado fue cero, termino, sino repito el paso 2 En este caso tengo que repetir, pues el resultado no fue cero 1 div 4 resultado: 0 resto: 1
Un método mecánico Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado Si el resultado fue cero, termino, sino repito el paso 2 Ahora sí, termino. Tomo los restos que fui obteniendo y listo, tengo la representación que buscaba! (30) 10 = (132) 4
Ejercitemos Introducción Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado Escribir los siguientes números en binario, octal y hexadecimal. diez quinientos doce
Sumando Introducción Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado En decimal En base 3 1 1 1 845 212 + 342 + 101 1187 1020
Multiplicando Introducción Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado En base 3 12 21 12 101 1022
Tiras de símbolos Introducción Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado Si sólo podemos escribir tiras de símbolos de longitud fija: cuántos números podemos representar? de qué depende? Esto es precisión fija Al operar con precisión fija, podemos tener overflow De ahora en más el orden de los operandos sí puede alterar el resultado!
Cambio de base Ejercicios Operando Operando con espacio limitado Recordemos lo de hoy Por ahora sabemos... Leer naturales Escribir naturales Operar con naturales Y qué hacemos con los enteros?
Complemento a dos Ejercitando Números enteros con numerales binarios Sin signo sólo sirve para positivos. Signo+Magnitud se usa un bit para indicar el signo Complemento a 2 los positivos se representan igual número negativo n como 2 k n Exceso m represento n como m + n En exceso 5. Dos: 0 1 1 1 Menos tres: 0 0 1 0
Complemento a dos Ejercitando Un poco más sobre Complemento a 2 Sumemos el número cinco con el menos tres, utilizando representación complemento a 2 con 4 bits. Primero expresemos los números en complemento a 2 con 4 bits. Como cinco es positivo su representación en complemento a 2 es la misma que en sin signo 0 1 0 1 Como menos tres es negativo, su representación es el numeral binario sin signo correspondiente al número (2 4 3) 10 1 1 0 1 Ahora sumemos como si se trataran de números sin signo
Complemento a dos Ejercitando 1 1 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 0 0 1 0 Interpretemos el resultado como complemento a 2 0 0 1 0 representa el número dos, que es exactamente el resultado que esperábamos
Complemento a dos Ejercitando Ahora restemosle al número cinco el número tres, utilizando representación complemento a 2 con 4 bits. Primero expresemos los números en complemento a 2 con 4 bits. Como cinco es positivo su representación en complemento a 2 es la misma que en sin signo 0 1 0 1 Análogamente con tres 0 0 1 1 Ahora restemos como si se trataran de números sin signo
Complemento a dos Ejercitando 1 0 1 0 1-0 0 1 1 0 0 1 0 Eureka! El resultado (interpretado como complemento a 2) nuevamente representa el número dos
Ahora al revés Introducción Complemento a dos Ejercitando Sumemos el número tres con el menos cinco, utilizando representación complemento a 2 con 4 bits. Primero expresemos los números en complemento a 2 con 4 bits. Como tres es positivo su representación en complemento a 2 es la misma que en sin signo 0 0 1 1 Como menos cinco es negativo, su representación es el numeral binario sin signo correspondiente al número (2 4 5) 10 1 0 1 1 Ahora sumemos como si se trataran de números sin signo
Complemento a dos Ejercitando 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 1 1 1 1 0 Interpretemos el resultado como complemento a 2 1 1 1 0 representa, si lo pensamos como entero sin signo, el número trece. Sabemos que en complemento a 2 es un negativo pues su primer bit es cero. Luego, basta resolver la siguiente ecuación (expresada en decimal) 2 4 x = 14 Efectivamente el resultado es menos dos
Complemento a dos Ejercitando Ahora restemosle al número tres el número cinco, utilizando representación complemento a 2 con 4 bits. Primero expresemos los números en complemento a 2 con 4 bits. Como tres es positivo su representación en complemento a 2 es la misma que en sin signo 0 0 1 1 Análogamente con cinco 0 1 0 1 Ahora restemos como si se trataran de números sin signo
Complemento a dos Ejercitando 1 1 0 0 1 1-0 1 0 1 1 1 1 0 Eureka! El resultado (interpretado como complemento a 2) nuevamente representa el número menos dos
Complemento a dos Ejercitando En complemento a dos el procedimiento para sumar o restar números no depende de sus signos Si quiero restarle b a c puedo sumar la representación en complemento a dos de c con la representación de b
Codificando Introducción Complemento a dos Ejercitando En base 2, numerales de 4 bits Signo+Magnitud Complemento a 2 Exceso a 15 3 0011 0011 OVERFLOW -2 1010 1110 1101-8 OVERFLOW 1000 0111
Codificando (con más bits) Complemento a dos Ejercitando En base 2, numerales de 8 bits Signo+Magnitud Complemento a 2 Exceso a 15 3 0000 0011 0000 0011 0001 0010-2 1000 0010 1111 1110 0000 1101-8 1000 1000 1111 1000 0000 0111
Similitudes entre 4 y 8 bits Complemento a dos Ejercitando Signo+Magnitud Complemento a 2 Exceso a 15 3 0000 0011 0000 0011 0001 0010-2 1000 0010 1111 1110 0000 1101-8 1000 1000 1111 1000 0000 0111
Que quiero que se lleven si o si Complemento a dos Ejercitando Diferencia entre número y numeral Cómo interpretar números en distintas bases de numeración posicional Cómo expresar un número en distintas bases Precisión fija, overflow y orden de operaciones Distintas formas de representación de enteros con bits Utilidad de complemento a 2
Complemento a dos Ejercitando Con lo visto hoy pueden realizar hasta el ejercicio 17 de la práctica 1.