Tema II. Señales, sistemas y perturbaciones.

Tema II. Señales, sistemas y perturbaciones. II.1. INTRODUCCIÓN. CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES. II.2. PERTURBACIONES EN LOS SISTEMAS DE TRANSMISIÓN. N. II.3. SEÑALES PASO BANDA DE BANDA ESTRECHA. Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco 2º Ing. de Telecomunicación Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de Madrid Jorge A. Ruiz Cruz (jorge.ruizcruz@uam.es, www.eps.uam.es/~jruiz) Teoría de la Comunicación 1 II.2. PERTURBACIONES EN LOS SISTEMAS DE TRANSMISIÓN. II.2.1. Transmisión por canales ideales. II.2.2. Clasiicación de las perturbaciones. II.2.3. Distorsión lineal. II.2.4. Distorsión no lineal. II.2.5. Diaonía e Intererencia. II.2.6. Ruido y su caracterización. II. Señales, sistemas y perturbaciones. 2

II.2.1. Transmisión por canales ideales. Todo sistema de transmisión se ve aectado siempre por tres enómenos undamentales: Canal - a) Retardo: la velocidad de propagación es inita y la señal invierte un cierto tiempo en llegar al receptor - b) Atenuación: la señal va perdiendo potencia a medida que se propaga - c) Perturbación: la señal se va deormando a medida que se propaga. Se considera que un canal es ideal si sólo introduce retardo y/o atenuación, ya que en este caso, la señal recibida es una iel réplica de la enviada - y(t) conserva la orma de x(t), salvo un actor de escala que se puede resolver con ampliicación y un retardo temporal inevitable II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 3 Cómo es la unción de transerencia del canal en esta situación ideal? Canal - La unción de transerencia es la TF de la respuesta del sistema a la excitación x(t)=δ(t): TF - Luego: un canal con módulo constante y ase lineal con la recuencia simplemente escala y retarda la señal. = canal ideal - Realmente, la condición de módulo constante y ase lineal sólo es necesario que se cumpla en la banda de recuencias que ocupa la señal x(t) Ahora se va a proundizar este resultado, estudiando la transmisión por un sistema LTI de señales paso banda como las usadas en comunicaciones: - Caso A) Transmisión de una portadora pura - Caso B) Portadora modulada en amplitud - Caso C) Portadora modulada en amplitud y ase II.2.1. Transmisión por canales ideales. 4

Caso A) Portadora pura (no lleva inormación) X () - o o - Portadora a la entrada: (V,θ: constantes, ω o =2π o ) - TF de la portadora: - TF de la salida del sistema: (por ser el canal real, se recuerda que el módulo M() es par: M()=M(-) y la ase Φ() es impar Φ()=-Φ(-)) - Salida del sistema: - Parámetros característicos de la transmisión Factor de escala Retardo de ase o de portadora Para todo canal LTI, una portadora a la entrada se convierte en una portadora a la salida (con escalado y desase): las portadoras son autounciones de los LTI II.2.1. Transmisión por canales ideales. 5 Caso B) Portadora modulada en amplitud V() - Señal a la entrada: B X() B/2 B (θ: constante, ω o =2π o ) - TF de la señal a la entrada: - - TF de la señal a la salida: - Si no se impone alguna condición a H(), la señal a la salida será la TF inversa de Y() y, en principio, la señal resultante y(t) no tiene porque parecerse a x(t) - Sin embargo, como se va a ver ahora, si se exige que M() sea constante y Φ() sea lineal en la banda B de X(), la señal resultante y(t) conservará la orma de x(t) (salvo el retardo de ase, de grupo y la atenuación). II.2.1. Transmisión por canales ideales. 6

Caso B) Portadora modulada en amplitud (cont). - Ahora se va a suponer que el canal tiene módulo constante y ase lineal en torno a ± : Módulo par B Señal: X() - (A=valor de la ase del canal en = o ) Canal: H() Fase impar - (D=pendiente de la recta de ase del canal en = o ) - En estas condiciones se puede demostrar (ver Ap. C, donde se opera con las TF como en el caso A) que la señal y(t) resultante es: * Retardo de ase: * Retardo de grupo: II.2.1. Transmisión por canales ideales. 7 Caso C) Portadora modulada en amplitud y/o ase: - Esta situación es la más general en comunicaciones e incluye a los casos A) y B): - Para el mismo tipo de canal de módulo constante y ase lineal en la banda de X(), se puede demostrar también (ver Ap. C) que la señal y(t) resultante es: Canal de modulo constante y ase lineal en la banda de X() - Los parámetros característicos de la transmisión son: M o (actor de escala), t p (retardo de ase) y t g (retardo de grupo). - La ase se retarda t p, mientras que la señal de inormación se retarda t g. Ambos valores suelen ser iguales (aunque no necesariamente, depende del canal). Conclusión: Para canales LTI de respuesta en recuencia con módulo constante y ase lineal en la banda de recuencias de X(), la señal a la salida es una versión escalada y retardada de la señal de entrada (no hay ninguna distorsión) II.2.1. Transmisión por canales ideales. 8

Velocidad de ase y velocidad de grupo: - Si el canal estudiado de módulo constante y ase lineal en la banda de X() se corresponde con un medio de transmisión de longitud d, se puede deinir: * Velocidad de ase (o de portadora): * Velocidad de grupo (velocidad a la que viaja la señal de inormación): Si el módulo no es constante y/o la ase no es lineal, habrá distorsión (se llama distorsión de tipo lineal, de amplitud y/o ase, respectivamente) - La distorsión de amplitud se caracteriza porque el módulo no es constante - La distorsión de ase se caracteriza porque la ase no es lineal (que es lo mismo que decir que su derivada no es constante). - Si hay algún tipo de distorsión (ya sea de amplitud o de ase, o las dos a la vez), la señal a la salida ya no se puede escribir como en las pag. anterior: la salida del sistema y(t) no guardará una relación sencilla con la señal a la entrada x(t). II.2.1. Transmisión por canales ideales. 9 Distorsión de tipo lineal (cont.) - En el caso de que el canal presente distorsión lineal, se pueden deinir también las siguientes unciones dependientes de la recuencia, asociadas exclusivamente al comportamiento en ase del canal: Función retardo de ase Función retardo de grupo - Estas unciones de la recuencia se llaman unción retardo de ase y unción retardo de grupo, respectivamente. - El signiicado ísico directo de estas unciones sólo se encuentra en el caso de que el canal tenga módulo cte y ase lineal en la banda de la señal X(), ya que entonces se convierten en constantes y sólo en ese caso particular se tiene la expresión de y(t) de la pag. 8 - Si la ase no es lineal en la banda de X(), incluso aunque el módulo sea constante, la expresión de y(t) de la pag. 8 no es aplicable. - Para un canal LTI cualquiera, estas unciones dan una idea de cuanto se aleja la ase del caso ideal. II.2.1. Transmisión por canales ideales. 1

Distorsión de tipo lineal (cont.) - De igual manera, si el LTI con distorsión lineal es un medio de transmisión de longitud d, se pueden deinir también las unciones velocidad de ase y de grupo dependientes de la recuencia: Función velocidad de ase Función velocidad de grupo - De nuevo, el signiicado ísico directo de estas unciones sólo aparece cuando el canal tiene módulo constante y ase lineal (ver pag. anterior), y se convierten en constantes. - En general, para un sistema de transmisión de longitud d, donde la velocidad de propagación de la luz es c [m/s], la respuesta en ase y en amplitud tiene la siguiente orma: (comparar este caso general con la línea de transmisión ideal de II.1.3, pags. 16-17) II.2.1. Transmisión por canales ideales. 11 En la práctica, en que situaciones se puede conseguir módulo constante y ase lineal en la banda de recuencias de X()? - Para cualquier canal, si B<< o ( B/ o <<1), se puede hacer un Desarrollo en Serie de Taylor (DST) en torno a o para el módulo (utilizando sólo el término cte.) y la ase (dejando sólo el término cte. y de orden 1): - Estas aproximaciones (el hecho de despreciar los términos de orden superior del DST) serán tanto mejores cuanto más pequeño sea B en comparación con o - Dicho de otra manera, para un o dado, cuanto menor sea B (menor volumen de inormación), menos distorsión habrá. Por supuesto, si B (portadora pura), no hay distorsión (la portadora a la entrada se convierte en otra portadora a la salida, pero no hay ino.). - Equivalentemente, para un B dado, cuanto mayor sea o menos distorsión habrá. Desde este punto de vista se justiica el porqué a altas recuencias de portadora o (p.ej. radioenlaces de microondas o ibras ópticas) se puede transmitir potencialmente mayores ancho de banda B de inormación que con o bajo. II.2.1. Transmisión por canales ideales. 12

II.2.2. Clasiicación de las perturbaciones. Distorsión Lineal No lineal - de amplitud ( H() no es cte. en la banda de señal) - de ase (ase no lineal ret. de grupo no es cte. en la banda de señal) - análisis con un tono (automodulación, armónicos, saturación) - análisis con dos tonos (automodulación, armónicos, saturación, intermodulación) Diaonía: Perturbación aditiva procedente de sistemas próximos Intererencia: Perturbación aditiva procedente de otros sistemas Ruido: Perturbación aleatoria aditiva independiente de la señal. - Excluidas las demás perturbaciones, se considera que el ruido engloba al resto de posible perturbaciones de origen electromagnético que sure la señal. Clasiicación: internas-externas: Según se generan dentro o uera del sistema Se habla también de sistemas perturbados y perturbadores II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 13 II.2.3. Distorsión lineal. Cuando una señal atraviesa un dispositivo lineal e invariante (LTI) (tales como iltros, líneas de transmisión, atenuadores,...) su espectro a la salida queda iltrado por la respuesta en recuencia del dispositivo: Canal Se ha visto que si, en la banda de recuencias de la señal x(t), la unción de transerencia cumple la condición a) (ó su equivalente b), la señal a la salida será esencialmente como la de la entrada, salvo por una atenuación y un retardo: - a) módulo constante M()=cte y ase lineal con la recuencia Φ()=C+D - b) módulo constante M()=cte y retardo de grupo constante t g ()=cte, II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 14

Habrá distorsión lineal en cualquier otro caso. Se distinguen dos tipos: - De amplitud: M() cte en la banda de X() - De ase: Φ() C+D no es lineal en la banda de X() t g () = -Φ ()/(2π) cte en la banda de X() La distorsión lineal se puede intentar compensar añadiendo en el receptor un iltro ecualizador de respuesta en recuencia H eq () - Se diseña H eq () de tal manera que el producto H()H eq () (que sería el sistema total que atraviesa la señal) tenga módulo cte. y retardo de grupo cte. en la banda de interés (aprox.) - El criterio de diseño es que el módulo y retardo de grupo del conjunto estén dentro de unos valores permitidos (dentro de un cierto rizado ) B B II.2.3. Distorsión lineal. 15 Ejemplo de distorsión lineal: unción de trans. de una línea teleónica típica - El módulo no es constante en la banda de la señal transmitida por el canal (voz, recuencias hasta 3.4 KHz aprox.) distorsión lineal de amplitud - El retardo de grupo no es constante (ase por tanto no es lineal) en la banda de la señal a transmitir distorsión lineal de ase - Aunque haya distorsión lineal, es lo suicientemente pequeña (desde el punto de vista del receptor inal, el usuario que escucha) para que pueda haber una comunicación. Módulo (db) Retardo de grupo (ms) Frecuencia (KHz) Frecuencia (KHz) II.2.3. Distorsión lineal. 16

II.2.4. Distorsión no lineal. En los sistemas de comunicaciones existen dispositivos tales como diodos y transistores cuya respuesta sólo se puede considerar lineal en un determinado margen de uncionamiento; uera de él, el dispositivo trabaja en régimen no lineal. La degradación de señal asociada a las no linealidades del dispositivo se conocen precisamente como distorsión no lineal. Ej: Curva de tensión entrada-salida característica de un ampliicador V s,sat - Caso 1) Para señales de amplitud muy pequeña ( v e <<V e,sat ), no habrá distorsión apreciable: v s (t) =g v v e (t) -Caso 2) Para señales más uertes, habrá distorsión: v s (t) g v v e (t) - Caso 3) Para señales muy uertes, la amplitud de la señal de salida estará limitada a un valor de saturación y la distorsión será muy apreciable: v s (t) g v v e (t) zona de saturación 1 zona lineal g v zona de saturación V e,sat II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 17 Caso 1) Señales de poca amplitud Caso 2) Señales de amplitud relevante v s (t) v s (t) V s,sat v e (t) V e,sat v e (t) V e,sat t t distorsión Curva de potencia entrada-salida (curva pag. anterior era en tensión) p s [mw] P s [dbm] P s,sat p s,sat Unidades Unidades zona de g p saturación naturales logarítmicas 1 1 zona de saturación 1 zona lineal p e [mw] Misma inormación zona lineal G [db] P e [dbm] II.2.4. Distorsión no lineal. 18

Para un ampliicador, sólo cuando esté trabajando con señales de poca amplitud, se podrá suponer que -Ampliicador trabajando en régimen lineal v s (t) =g v v e (t) p s [mw]=g p p e [mw] P s [dbm] = G[dB]+P e [dbm]. Fuera del régimen lineal, la relación entrada-salida del ampliicador es muy compleja y su análisis se complica enormemente. La caracterización del ampliicador en este caso, y en general para los dispositivos no lineales, no es tan sencilla como en los sistemas LTI. - En un LTI basta con calcular la respuesta al impulso (o su transormada de Fourier) para caracterizar completamente el dispositivo de manera total. Para modelar de manera sencilla los dispositivos no lineales se hacen las siguientes simpliicaciones: - El sistema no tiene memoria ni retardo entrada-salida. - Por simplicidad, el comportamiento se modela como un polinomio de tercer grado (aunque se podrían añadir más términos) - El término lineal del polinomio es el más importante (hipótesis de cuasi-linealidad) II.2.4. Distorsión no lineal. 19 Por tanto, el modelo polinómico se construye como Modelo sencillo de dispositivo no lineal (En el ejemplo del ampliicador k 1 sería la ganancia en tensión k 1 =g v y k 3 suele ser negativo) Incluso con estas simpliicaciones, el análisis del sistema anterior es muy complejo. Para extraer ideas y deinir una serie de parámetros que sirvan para comprender las degradaciones de señal que provocan este tipo de sistemas, se suponen dos tipos de excitación particulares y se calcula su respuesta. - Caso A) Análisis monotono (entrada de una sinusoide y calculo de la señal de salida) - Caso B) Análisis multitono (entrada de varias sinusoides con amplitudes dierentes y cálculo de la señal de salida). El caso más simple es una entrada de dos sinusoides de igual amplitud. II.2.4. Distorsión no lineal. 2

Caso A) Análisis con un tono: - Señal sinusoidal de entrada: - Cálculo de la señal a la salida: Desarrollando las potencias de unciones trigonométricas en v s (t) en armónicos, se llega a: V e () V s ()!! 2 3 II.2.4. Distorsión no lineal. 21 Caso A) Análisis con un tono (cont.): - En la salida han aparecido nuevas componentes de recuencia (continua y armónicos de la señal de entrada a armonicos = n ) que no existían en la señal de entrada, y que pueden intererir en otros sistemas. - Ésta es la característica undamental de la distorsión no lineal: aparición de nuevas componentes recuenciales en armónicos de las originales. En un sistema LTI nunca se generan nuevas componentes espectrales distintas a las de la señal de entrada. - El armónico undamental tiene una amplitud A 1 =k 1 A+3k 3 A 3 /4, donde está la contribución del término lineal (k 1 A) más una automodulación originada por un término no lineal (3k 3 A 3 /4). - Normalmente k 3 <, por lo que a medida que aumenta la señal de entrada A, la potencia de señal en a la salida se va saturando. Habrá una potencia máxima a la salida que no se podrá superar (P s,sat ). - Normalmente los armónicos más altos van siendo más débiles - Los armónicos y la continua se pueden eliminar por iltrado. Sin embargo, el problema es más complejo cuando las señales de entrada tienen múltiples componentes recuenciales (caso habitual). Por eso ahora se hará un análisis con dos tonos. II.2.4. Distorsión no lineal. 22

Caso B) Análisis con dos tonos: - Entrada de dos sinusoides: - Cálculo de la señal a la salida: Desarrollando las unciones trigonométricas como para el análisis monotono se llega a: V e () 1 2 II.2.4. Distorsión no lineal. 23 Caso B) Análisis con dos tonos (cont.): V s () 1 2 1 + 2 (espectro de la señal de salida para el caso en el que 2 > 1 >> y 2 1 ) 2-1 2 1-2 2 2-1 2 1 2 2 2 1 + 2 2 2 + 1 3 1 3 2 - En la salida, a parte de la señal deseada a 1 y 2 y sus armónicos, aparece un nuevo tipo de componentes recuenciales en intermodulacion =m 1 +n 2, - Estas componentes, llamadas productos de intermodulación, son combinaciones o batidos de las recuencias de la señal de entrada. - Se denomina orden de la recuencia o producto de intermodulación a ( m + n ). Para el caso estudiado m + n 3 (orden máximo de la no linealidad) - Los productos de intermod. alejados de la banda de trabajo se pueden eliminar por iltrado. - Sin embargo, los productos 2 2-1 y 2 1-2 (que son de tercer orden) caen en la banda de trabajo y son mucho más diíciles de eliminar. Para este caso, sólo se puede intentar hacer el sistema más lineal o reducir la potencia de la señal de entrada. II.2.4. Distorsión no lineal. 24

II.2.5. Diaonía e Intererencia. La diaonía (cross-talk) es la transerencia indeseada de una potencia de señal (perturbadora) a otra (perturbada), cursadas por el mismo sistema de transmisión o por sistemas próximos y de la misma naturaleza. Fundamentalmente se produce en sistemas de transmisión con líneas metálicas (no en ibras ópticas) tales como cables de pares, coaxiales, etc con o sin apantallamiento. Causas: - Acoplo electromagnéticos de señales - Malas conmutaciones electromecánicas - Multiplexación analógica La diaonía puede ser directa o indirecta (si la señal perturbadora pasa por un sistema intermedio antes de llegar al perturbado). En el segundo caso puede ser: - Transversal: Si la señal no circula por el sistema intermedio - Longitudinal: Si circula por el sistema intermedio II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 25 La diaonía puede clasiicarse en paradiaonía o telediaonía según la uente perturbadora esté, respectivamente, más cerca o más lejos que la uente de la señal perturbada Paradiaonía Señal perturbadora Señal perturbada Telediaonía Señal perturbadora Señal perturbada La intererencia sería una perturbación aditiva procedente de otros sistemas lejanos similares. Es muy común en sistemas radio, cuando por ejemplo se reutilizan recuencias. II.2.5. Diaonía e Intererencia. 26

II.2.6. Ruido y su caracterización. El ruido es una señal aditiva electromagnética aleatoria de naturaleza dierente a la producida por enómenos de diaonía, intererencia y distorsión. Las uentes de ruido se clasiican en dos grandes grupos: externas e internas - Fuentes externas: son las señales aleatorias indeseadas originadas por causas externas a los equipos del sistema. Son diíciles de caracterizar y combatir (sobre todo en sistemas radio). Tipos: * Atmoséricas: descargas eléctricas naturales, asociadas con las tormentas. * Extraterrestre: debido a la energía radiada por cuerpos celestes de alta temperatura (sol, estrellas) * Industrial: cualquier ruido provocado por elementos desarrollados por el hombre (descargas en líneas de alta tensión, chispas en motores eléctricos,..) - Fuentes internas: generados por los componentes propios del sist. de comunicaciones (resistencias, transistores, etc...). En muchos casos es la uente más signiicativa. Tipos undamentales: * Térmico: debido a la agitación térmica de los portadores de carga en los conductores * Impulsivo o granalla: debido a las corrientes aleatorias de los portadores de los semiconductores. II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 27 Ruido térmico: - Se puede demostrar mediante estudios termodinámicos que el movimiento aleatorio de los portadores de carga en un conductor producen una corriente de ruido. Esta señal indeseada aleatoria se produce siempre que los portadores estén a temperaturas distintas del cero absoluto ( K= - 273 C), por lo que el ruido térmico siempre existe. - Por tanto, cuando se hacen análisis de ruido, cualquier resistencia se considera como un generador de ruido térmico: Resistencia con ruido térmico Resistencia sin ruido Generador de corriente de ruido - Además, se puede demostrar que el ruido térmico se produce en las resistencias y no en los elementos reactivos y que se puede caracterizar en el ámbito de los procesos estocásticos como un ruido blanco y gaussiano (luego se verá más en detalle). - Su potencia también se puede cuantiicar. En condiciones de adaptación de impedancias entre la uente de ruido y su impedancia de carga (objetivo de diseño en sistemas de comunicaciones para transerir la máxima potencia), la uente de ruido generará una potencia de ruido que entrará al siguiente subsistema. II.2.6. Ruido y su caracterización. 28

Ruido térmico (cont.). - La potencia de ruido térmico transmitido es p n =ktb, donde: - t: Temperatura absoluta, en grados Kelvin [ K], a la que está la resistencia. - k: Constante de Boltzmann=1.38 1-23 Julios/ K= 1.38 1-23 (W/Hz)/ K - b: Ancho de banda del sistema excitado (Hz) (sólo la parte positiva del espectro) - Se suele deinir la densidad espectral de potencia η [W/Hz]= k [Julios/ K] t [ K] y por tanto p n [W]= η [W/Hz] b [Hz] = k[julios/ K] t[ K] b[hz] - A temperatura ambiente t =29 K y η=kt = 4 1-21 W/Hz= -174 dbm/hz - Ejemplo: Un receptor de ganancia g p y ancho de banda b se considera excitado por una uente de señal con su correspondiente resistencia a temperatura t. El receptor se considera que añade otra señal de ruido interno de potencia n int (que podría tener varios orígenes, siendo uno de ellos también ruido térmico). Las potencias de señal y ruido a la salida serán: s i Receptor s o = g p s i (potencia de señal a la salida) n i g p, b, n int n o = g p n i + n int (potencia total de ruido a la salida) n i =ktb : ruido térmico asociado a la resistencia a la entrada del receptor, que se transiere a la salida) II.2.6. Ruido y su caracterización. 29 Ruido térmico (cont.). - Relación señal ruido a la salida del receptor anterior: - Sensibilidad del receptor: Mínima potencia de señal que debe haber a la entrada del receptor para que uncione correctamente. Se suele cuantiicar como la mínima potencia de señal s i,min para que a la salida se tenga una relación señal ruido mínima snr o,min. Puesto que el ruido es una señal de origen aleatorio que perturba la señal de inormación en un sistema de comunicaciones, ahora se va a pasar a caracterizar el ruido como un proceso estocástico. II.2.6. Ruido y su caracterización. 3

Caracterización del ruido como un proceso estocástico (p.e.): - Desde un punto de vista matemático, el ruido n(t) se caracteriza como un proceso estocástico (p.e.) - Dos puntos de vista: * Para un instante dado, el ruido es una variable aleatoria * Cada realización es una unción del tiempo: p.e. es un conjunto de unciones del tiempo con una probabilidad asociada - Además, se supondrá que el proceso estocástico es estacionario y ergódico. - En estas condiciones el proceso queda modelado por su a) unción densidad de probabilidad en amplitud y su b) densidad espectral de potencia. II.2.6. Ruido y su caracterización. 31 Caracterización del ruido como un p.e. (cont.): concepto de.d.p. - Ejemplos de dos unciones densidad de probabilidad en amplitud (dp) y su relación con los valores más o menos probables de n(t) (de Burgos, Pérez, Salazar, Teoría de la Comunicación, Publicaciones ETSIT-UPM, 1999) II.2.6. Ruido y su caracterización. 32

Caracterización del ruido como un p.e. (cont.): -a) Función densidad de probabilidad en amplitud (dp): la unción especiica que valores de n(t) son más o menos probables. Por ser el proceso estacionario: * Valor medio es independiente de t: * Autocorrelación sólo depende de la dierencia de tiempos: -b) Densidad espectral de potencia (S n ()): indica como esta distribuida la potencia de ruido en el espectro. Los procesos estocásticos estacionarios son señales de potencia, ya que tienen energía ininita. S n () se calcula a partir de la unción autocorrelación: - Además, por ser el proceso ergódico, los estadísticos del proceso coinciden con los temporales de las realizaciones (ver Ap. D para la deinición de ergodicidad). - Esto signiica (de manera aproximada) que los parámetros temporales calculados sobre realizaciones dan los mismos valores que los estadísticos. Dicho de otra manera, los estadísticos se pueden calcular a partir de operaciones sobre realizaciones. II.2.6. Ruido y su caracterización. 33 Caracterización del ruido como un p.e. (cont.): - Parámetros temporales y estadísticos (p.e. estacionario y ergódico) (ver Ap. D): Valor medio de una realización cualquiera Valor medio estadístico (independiente de t) Potencia de ruido de una realización cualquiera Potencia de ruido estadística (independiente de t ) Función autocorrelación para una señal de potencia Función autocorrelación estadística - Filtrado por sistemas LTI. Si el ruido pasa por un sistema LTI, la densidad espectral de potencia a la salida queda iltrada por: II.2.6. Ruido y su caracterización. 34

Ruido gaussiano: aquel proceso estocástico que tiene una unción densidad de probabilidad (.d.p.) de tipo gaussiano: - La.d.p. está determinada por dos parámetros: σ es la desv. típica y n dc es la media. -Puesto que se trabaja con ruidos estacionarios y ergódicos, σ 2 será la potencia de ruido AC y n dc el valor medio de cualquier realización. -Si n dc no se deine especíicamente, se supondrá que n dc = y por tanto σ 2 =Pot. media del ruido=p n - La.d.p. inorma de cómo están distribuidas las amplitudes del p.e. De hecho, para un p.e. gaussiano, con especiicar σ 2 =Pot. media del ruido=p n ya se tiene una idea de cómo van a estar distribuidas las amplitudes de una realización cualquiera (ver pag. 32). - La.d.p. no da inormación de la evolución temporal del p.e. Para caracterizar la respuesta temporal hay que acudir a la densidad espectral de potencia (d.e.p) (ver pag. 33). II.2.6. Ruido y su caracterización. 35 - Comparación entre dos procesos estocásticos gaussianos, de distinta σ n, (para procesos estacionarios ergódicos de media nula, P n = σ n2 ) (de Burgos, Pérez, Salazar, Teoría de la Comunicación, Publicaciones ETSIT-UPM, 1999) II.2.6. Ruido y su caracterización. 36

- Comparación entre dos procesos estocásticos gaussianos (no blancos), de idéntica σ n, y distinta d.e.p. S n () (de Burgos, Pérez, Salazar, Teoría de la Comunicación, Publicaciones ETSIT-UPM, 1999) II.2.6. Ruido y su caracterización. 37 Ruido blanco: aquel proceso estocástico que tiene una densidad espectral de potencia constante en todas las recuencias: TF - η es la densidad espectral de potencia en W/Hz (el actor ½ está relacionado con los cálculos cuando sólo se trabaja con recuencias positivas) - Que la autocorrelación sea una unción impulso signiica que el valor del ruido en un instante t está completamente incorrelado (no aporta ninguna inormación) sobre el ruido en el instante t+τ. - El ruido blanco tiene potencia ininita (densidad espectral de potencia cte. para todas las recuencias): es una herramienta matemática que sirve para modelar el ruido. - En los sistemas reales siempre hay un sistema de ancho de banda inito que iltra (colorea) el ruido a su entrada y cuya potencia de ruido a la salida es inita. II.2.6. Ruido y su caracterización. 38

Filtrado de ruido blanco. La salida es ruido coloreado. Resistencia con ruido blanco η/2 S n,in () LTI H() H H 2 η/2 A) Caso paso-bajo S n,out ()= H() 2 S n,in () H Filtro paso-bajo equivalente H equiv () B n Resistencia con ruido blanco LTI H() H B) Caso paso-banda Filtro paso-banda equivalente η/2 S n,in () H 2 η/2 S n,out ()= H() 2 S n,in () H H equiv () B n II.2.6. Ruido y su caracterización. 39 Filtrado de ruido blanco (cont.): ancho de banda equivalente de ruido B n : - En un cierto punto de un sistema, el ruido presente siempre aparecerá iltrado por un iltro de orma, en principio, arbitraria - Se deine B n como el ancho de banda de un iltro ideal (respuesta plana) que a su salida tiene la misma potencia de ruido que el real: (por el iltro real) (por el iltro ideal equivalente) (igualando) Como resumen, el ruido térmico se puede modelar como un proceso estocástico estacionario, ergódico, de dp gaussiana, de media nula y de tipo blanco (d.e.p. plana). - aunque existen otras uentes de ruido en un sistema de comunicaciones (como se ha visto anteriormente), el ruido térmico siempre está presente, puede ser el más signiicativo y desde un punto de vista matemático tiene una caracterización muy simple: gaussiano y blanco. - Por eso muchas veces en un primer análisis se supone que el ruido presente en un sistema de comunicaciones es gaussiano y blanco (white gaussian noise: WGN). II.2.6. Ruido y su caracterización. 4

Ap. C: Respuesta de un LTI de módulo constante y ase lineal a una portadora modulada en amplitud y/o ase Un canal LTI de módulo constante y ase lineal en la banda B de X() se puede describir de la siguiente manera: Módulo par B Señal: X() - (valor de la ase en = o ) Canal: H() Fase impar - (pendiente de la recta en = o ) II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 41 Ap. C (cont): Descripción matemática del canal de módulo constante y ase lineal (cont.) : - Al desglosar el módulo y la ase en la banda de interés se tiene: Módulo: unción par Fase: unción impar - La ase tiene una orma un por más complicada porque debe conservar la imparidad. - Realmente, el módulo par y la ase impar debe cumplirse tanto para la TF de la respuesta al impulso del canal como de la señal, por ser ambas unciones reales en el tiempo. - En la práctica, en que situaciones se tiene una canal cuya respuesta es como la anterior?: Para cualquier canal, si B<< o, se puede hacer un Desarrollo en Serie de Taylor en torno a o para el módulo (utilizando sólo el término cte.) y la ase (dejando sólo el término cte. y de orden 1): (aproximación justiicada si B/ o <<1) Ap. C. Respuesta de un LTI ideal a una portadora modulada 42

Ap. C (cont): Ahora se va a calcular la salida del LTI de módulo constante y ase lineal a la excitación de una portadora modulada en amplitud (caso B): - Utilizando la orma de H() de la pag. anterior, se tiene: - Donde se ha deinido la unción auxiliar G(): - Para hallar y(t) hay que hacer la TF -1 de Y(), que implica calcular la TF -1 de la unción auxiliar que se ha deinido: G( ± o ). Las operaciones son directas al utilizar las propiedades de la TF: Ap. C. Respuesta de un LTI ideal a una portadora modulada 43 Ap. C (cont): Caso de la portadora modulada en amplitud (caso B) (cont.): - Por tanto, haciendo la TF -1 de Y(): - Ahora se utiliza el valor de A y D: - Conclusión: Canal de modulo constante y ase lineal en la banda de X() - Donde se ha deinido: * Retardo de ase * Retardo de grupo Ap. C. Respuesta de un LTI ideal a una portadora modulada 44

Ap. C (cont): Ahora se va a calcular la salida del LTI de módulo constante y ase lineal a la excitación de una portadora modulada en amplitud y ase (caso C): - La señal de entrada se descompone en dos contribuciones usando cos(a+b)=cosacosb-sinasinb: - Para obtener la salida, se aplica el principio de superposición de los sistemas LTI y los resultados del caso B) para canales con módulo constante y ase lineal - Al reagrupar la salida se concluye: Canal de modulo constante y ase lineal en la banda de X() Ap. C. Respuesta de un LTI ideal a una portadora modulada 45 Ap. D (opcional): Deinición de ergodicidad Sea n(t) un proceso estocástico estacionario en sentido amplio: - Los momentos temporales del proceso estocástico n(t) son variables aleatorias, ya que dependen de la realización escogida para su cálculo. - Variable aleatoria media temporal: - Variable aleatoria unción autocorrelación temporal: El proceso estocástico estacionario en sentido amplio n(t) es ergódico si: (Este es el sentido de las igualdades de la p. 34) II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 46