Laboratorio 3: Determinación del módulo de rigidez del cobre con un péndulo de torsión. Introducción. Un cuerpo que puede modelarse como partícula está en equilibrio, siempre que la resultante de las fuerzas que actúan sobre él sea cero. No obstante, si actúan fuerzas en diferentes puntos de un cuerpo extendido, se debe satisfacer un requisito adicional para asegurar que el cuerpo esté en equilibrio: la suma de los torques alrededor de cualquier punto debe ser cero (no tenga tendencia a girar). Los cuerpos rígidos ideales no se doblan, estiran ni aplastan cuando actúan fuerzas sobre ellos. El cuerpo rígido es un modelo idealizado útil, pero en muchos casos el estiramiento, el aplastamiento y las torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiado importantes para despreciarse. En cierto grado todos los materiales reales son elásticos y se deforman. Las propiedades elásticas de los materiales tienen enorme importancia. Queremos que las alas de un avión sean capaces de flexionarse un poco, pero preferimos que no se rompan. El armazón de acero de un edificio que resiste los terremotos debe flexionarse, aunque no demasiado. El correcto funcionamiento de muchos objetos cotidianos, desde las bandas de hule hasta los puentes colgantes, dependen de las propiedades elásticas de los materiales. Para cada clase de alteración de la forma, se introduce una magnitud llamada esfuerzo o fuerza extensora (F) que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma, generalmente con base en la fuerza por unidad de área. Otra magnitud, la deformación, describe el cambio de forma resultante. Si el esfuerzo y la deformación son pequeños, es común que sean directamente proporcionales, y llamamos a la constante de proporcionalidad módulo de elasticidad. Si tiramos con mayor fuerza de algo, se estirará más; si lo aplastamos con mayor fuerza, sé comprimirá más. La proporcionalidad del esfuerzo y la deformación (en ciertas condiciones) se denomina ley de Hooke, en honor a Robert Hooke (1635-1703), un contemporáneo de Newton. La forma general puede formularse de la siguiente manera: La elasticidad de materiales se estudia experimentalmente aplicando varios tipos de esfuerzos sobre muestras cuya geometría es conocida. En materiales homogéneos e isótropos se definen en el régimen elástico- cuatro constantes elásticas, según el esfuerzo aplicado: el módulo de Young (Γ) es la respuesta a la tracción o compresión, el módulo de compresibilidad (K) lo es a esfuerzos compresores normales a cada superficie y el módulo de rigidez (G) es respuesta a los esfuerzos cortantes o de cizalladura. Finalmente, el coeficiente de Poisson (ν) mide la respuesta de una muestra a la tracción. Este último parámetro es adimensional (los restantes tienen unidades N/m 2 ) y en la práctica siempre toma valores entre 0 y 0.5 (0.0 ν 0.5, Ref. 1). Es de notar que la deformación de cizalladura no cambia el volumen del cuerpo sino 1
sólo su forma, mientras que la compresión uniforme hidrostática cambia el volumen del cuerpo pero no su forma. Un esfuerzo arbitrario genera una deformación tal que la respuesta queda expresada en términos de algunos de estos módulos. Los cuatro parámetros no son independientes entre sí: hay relaciones entre ellos que reducen a dos el número de módulos independientes. La determinación experimental es simple para el módulo de Young y para el módulo de rigidez. Los otros dos quedan determinados por las relaciones [2]: (1) En este experimento se determinará el módulo de rigidez del cobre mediante un método dinámico utilizando un péndulo de torsión suspendido de un alambre delgado de cobre. (2) Péndulo de torsión. Conceptos Básicos. Consideremos un alambre delgado suspendido verticalmente con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior cuelga un cuerpo de momento de inercia I sobre el que se aplica un esfuerzo de torsión en el extremo inferior, provocando una deformación de torsión o cizalladura (ver figura). El alambre responde a esta deformación generando un momento recuperador cuya intensidad es directamente proporcional al ángulo de torsión: τ = k θ, (3) donde τ es el momento recuperador, y θ es el ángulo de torsión (en radianes). Aquí no hay restricción de ángulo pequeño, como en el caso del péndulo, siempre que el alambre responda linealmente de acuerdo con la ley de Hooke. Puede demostrarse que la constante de torsión k, para el caso de un cilindro de radio r y longitud L, está relacionada al módulo de rigidez G por la expresión: (4) Al suprimirse el momento externo el momento recuperador produce oscilaciones armónicas simples en torno a la posición de equilibrio, rotando inicialmente entre +θ max y θ max. A partir de (3), se obtiene la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, a partir de la cual se encuentra la frecuencia (y en consecuencia el periodo de oscilación), la cual depende de la constante de torsión k y del momento de inercia I del alambre:. (5) 2
Queda claro de esta ecuación que midiendo el período de oscilación del péndulo de torsión podemos determinar experimentalmente el valor de la constante de torsión k (y por lo tanto del módulo de rigidez G del alambre) siempre y cuando sea conocido el valor del momento de inercia I del péndulo. Surge entonces el problema de determinar este momento de inercia, Si bien el péndulo de torsión que se emplea es simétrico alrededor del eje de rotación, su momento de inercia I no es simple de calcular dada su forma. Si bien se pueden realizar los cálculos, se puede optar por un camino más sencillo como es la determinación experimental de I. Para esto se incorporan al péndulo físico dos bloques cilíndricos de igual masa m y radio R sobre la varilla, ubicados simétricamente respecto del eje, a igual distancia d del centro. El momento de inercia del nuevo péndulo, I 2, se relaciona con el momento de inercia I a partir de: I 2 = I + 2 I 1 (6) Donde: (7) es el momento de inercia de cada cilindro respecto al eje común. En esas condiciones, el sistema oscila alrededor del equilibrio con período T 2. El momento de inercia I se determina entonces a partir de la medida de los períodos T y T 2 [5]: (8) El Experimento El cuerpo suspendido del alambre consiste de una varilla de hierro plana horizontal rígidamente unida a un eje metálico que la atraviesa por su centro y una masa cilíndrica roscada sobre el eje, por debajo de la varilla, de alrededor de 1.5 kg. Esta masa adicional asegura que el alambre está sometido a tracción dentro del régimen elástico y aumenta el momento de inercia de la varilla (Figura 1). Se aplica un torque que produce una deformación por torsión de alrededor de 45º [3], manteniendo al sistema en la misma vertical. Al eliminar el torque aplicado, el conjunto realiza un movimiento de oscilación armónico alrededor de la posición de equilibrio. Se emplea un sensor electrónico de tiempo (fotogate) [4] y cronómetro para determinar el periodo de oscilación. Figura 1. Esquema del péndulo de torsión original (momento de inercia I y período de oscilación T) y con las masas incorporadas a distancia d del eje de giro (I 2 y T 2 ). 3
El alambre usado en el experimento fue extraído del interior de un cable coaxil RG-6, de 75 ohms de impedancia, es de pureza desconocida y tiene un diámetro de 0.645 ± 0.005 mm y una longitud de 0.882 ± 0.002 m. El alambre está sujeto mediante una prensa con tornillos a una ménsula horizontal, fija a la pared. El extremo libre del alambre penetra al eje del péndulo por un hueco central y queda sujeto al mismo mediante un tornillo. Posteriormente se agregan 2 masas iguales en forma simétrica al sistema y se repita el experimento. Las masas cilíndricas agregadas ( m = 246.3 ± 0.3 g ) que tienen un diámetro D = (3.165 ± 0.005) cm, y que fueron ubicadas a una distancia r = ( 10.5 ± 0.1) cm del centro, contribuyen al momento de inercia total con un valor I 1 = (27.46 ± 0.55) x 10-4 Kg m 2. Resultados y Conclusiones Hemos medido tiempos hasta cinco períodos (1T, 2T,, 5T) con el péndulo original y hasta tres períodos (1T m, 2T m, 3T m ) con el péndulo con masas agregadas. La Tabla 1 muestra solamente los resultados obtenidos en cinco corridas de los tiempos correspondientes a tres oscilaciones completas del péndulo sin y con las masas incorporadas, usando el modo péndulo del sensor [4]. En esta modalidad, pueden registrarse los tiempos correspondientes a uno, dos, o más períodos en forma sucesiva. Los períodos obtenidos fueron: T = (8.41 ± 0.01) s y T m = (16.25 ± 0.03) s. de manera que el Tabla 1. Tiempos (en segundos) de tres oscila ciones completas sin masas (3T) y con ellas (3T m ). La última fila reproduce el promedio y desvío estándar de las cinco medidas. 3 T (s) 3 T m (s) 25.227 48.727 25.221 48.746 25.251 48.851 25.273 48.801 25.230 48.691 25.24 (0.02) 48.76 (0.06) factor que acompaña al momento de inercia I 1 en la ecuación (8) es 0.732. La incorporación de las pesas en las posiciones elegidas tuvo como efecto aumentar en 37% el momento de inercia del conjunto original, I, que resultó ser igual a (20.10 ± 0.46)x 10-4 Kg m 2. Las 5 medidas independientes dieron un valor promedio de referencia para la constante de torsión k del alambre de (11.23 ± 0.28) x 10-4 Kg. m 2 s -2. Esto corresponde a un módulo de rigidez de (5.8 ± 0.2) x 10 10 N/m 2. Este valor difiere del tabulado para el cobre [2] en alrededor del 30 %. La mayor contribución al error de medida proviene del momento de inercia I 1 (a través de la medida de la distancia r) y del diámetro del alambre. Otros errores pequeños - menores que 1% - surgen de las incertidumbres en los períodos de oscilación. Para determinar la influencia de este último error las medidas de los períodos se realizarán con un fotogate y con cronómetro. Referencias. Material didáctico preparado para uso de la materia Física Experimental II por el Prof. J. L. Alessandrini y corregido por los Prof. L. Errico y J. M. Ramallo López. [1] R.A. Serway, Física, Tomo 1, Mc Graw Hill, 1997, pp. 347-351, 375-376. 4
[2] H.L. Anderson, Ed. A Physicist s Desk Referente, AIP American Institute of Physics, 1989, p.37. Las constantes elásticas de una muestra dependen en gran medida de su historia, estructura cristalina, etc. Los valores que reportan las tablas son en gran medida aproximados. Algunos materiales: Aluminio: Γ=7.0x10 10, G=2.5x10 10, K=7.5x10 10, n = 0.34; Cobre: E=11.0x10 10, G=4.4x10 10, K=13.5x10 10, n = 0.34; Platino: Γ=7.0x10 10, G=6.3x10 10, K=24.5x10 10, n = 0.39 Datos de: W.H.J. Childs, Physical constants (Methuen, London, 1951). [3] Norma ASTM A938-97. Consultar también: Norma ISO 7800:2003 explicita un método para determinar la capacidad de alambres metálicos de diámetros entre 0,1 y 10 mm para experimentar una deformación plástica bajo torsión simple en una dimensión. [4] PASCO scientific, Roseville, CA, Part: Photogate timer with memory, Model ME-9215A. http://www.pasco.com. (Inventario FOMEC ME 11-04). [5] Fernandez, J.S. y Galloni, E.E., Trabajos Prácticos de Física, Centro de Estudiantes de Ingenieria de Buenos Aires, 1947. pp. 160-165. 5