FÍSICA MODERNA PROFESORADO EN FÍSICA- 2012 GUÍA DE PROBLEMAS 5: NATURALEZA CORPUSCULAR Y ONDULATORIA DE LA MATERIA A- La mecánica cuántica antigua 1- Los modelos atómicos Hasta ahora se han revisado las ideas revolucionarias e Plank de la cuantización de la energía de los osciladores de las paredes de un radiador perfecto, la generalización que hizo Einstein de la cuantización de la energía a la radiación electromagnética en el efecto fotoeléctrico y la confirmación de Compton de la existencia del fotón como una partícula que transporta momento en experimentos de dispersión de rayos. i. Realizando una reconstrucción histórica, describa el marco de conocimientos con que contaba Bohr en el momento de diseñar su modelo atómico de 1913. Para ello considere: a) La naturaleza atómica de la materia de acuerdo a las investigaciones de diferentes químicos como Dalton, Lavoisier y Faraday. b) Los rayos-partículas catódicos de J.J.Thomson c) La determinación de la carga electrónica realizada por Millikan d) Dispersión de Rutherford de partículas α por átomos de oro ii. Analice el experimento de 1914 que realizan Franck y Hertz que es la confirmación directa dela existencia de niveles de energía atómicos 2- Las ondas de Materia El desarrollo de la Mecánica Cuántica comenzó con una idea muy simple pero revolucionaria que fue expuesta en 1924 por Louis-Victor de Broglie en su Tesis Doctoral. Inspirado por el comportamiento dual onda-corpúsculo de la radiación, de Broglie especuló sobre la posibilidad que también la materia tuviera un comportamiento dual, esto es que las entidades físicas que consideramos como partículas (electrones, átomos, bolas de billar, etc.) pudieran en determinadas circunstancias manifestar propiedades ondulatorias 1 Esta idea de De Broglie es retomada por Schrödinger para desarrollar la mecánica ondulatoria. Las ideas de De Broglie son el puntapié inicial para abandonar los postulados semi-clásicos que dan una explicación limitada del comportamiento de la materia:... la teoría de Bohr y su extensión por Wilson y Sommerfeld, que constituyen la Teoría Cuántica Antigua, tuvieron importantes éxitos. Sin embargo debemos señalar las siguientes limitaciones y efectos: La teoría se aplica solamente a sistemas periódicos en el tiempo, lo que excluye muchos sistemas físicos. Permite calcular las energías de los estados permitidos y las frecuencias de la radiación emitida absorbida en las transiciones entre esos estados, pero no predice el tiempo característico involucrado en una transición. Sólo se aplica a los átomos con un electrón, y aquellos que tienen muchos aspectos en común con los átomos de un electrón (como los metales alcalinos), pero falla si se la intenta aplicar al átomo de helio, que tiene dos electrones. Por último, la teoría no es intelectualmente satisfactoria, pues se mezclan en ella de forma arbitraria aspectos clásicos con aspectos cuánticos. 1 Analice el experimento de Davinson y Germer que es una prueba de que los electrones poseen longitud de onda. Qué aplicaciones tecnológicas tiene este experimento? 1 Introducción a la Mecánica Cuántica, Julio Gratton Versión 2003 corregida CONSEJO NACIONAL INVESTIGACIONES CIENTIFICAS Y TECNICAS (CONICET) FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES DE LA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES (FCEyN-UBA) http://www.lfp.uba.ar/julio_gratton/cuantica/cuantica.html 1(6)
B- Ejercitación 1- Previa Ejercicio 1: Estudie la fuerza en el interior de una esfera uniformemente cargada Ejercicio 2: Estudie la trayectoria de una carga que viajando a lo largo de una dirección x, debe atravesar un campo eléctrico uniforme ( producido por un capacitor ideal) en dirección perpendicular a la trayectoria. Ejercicio 3: Estudie la sección eficaz en el experimento de Rutherford. 2- Problemas Problema 1: Comente las fallas de los modelos de Thomson y Rutherford. Problema 2: En base al modelo atómico de Bohr: a) Determine el radio de las órbitas permitidas. Calcule el radio de la primera orbita de Bohr para el átomo de hidrógeno. b) Muestre que la energía del electrón está cuantizada (admite sólo valores discretos). Calcule la energía correspondiente a un electrón en la primera órbita de Bohr en un átomo de hidrógeno (estado fundamental del átomo). Dibuje el diagrama de niveles de energía para un átomo de hidrógeno. c) Justifique la utilización de mecánica clásica en lugar de mecánica relativista para átomos livianos. d) Repita (a) y (b) considerando finita la masa del núcleo. Problema 3: De acuerdo al modelo atómico de Bohr, si un electrón se mueve en una de las órbitas permitidas, su energía se mantiene constante (estado estacionario). El electrón puede sufrir una transición no clásica de un estado estacionario a otro de energía inferior emitiendo radiación electromagnética de frecuencia ν = ΔE/h, siendo ΔE la diferencia de energía entre los dos estados involucrados y h = 2πћ. a) Balmer encontró una fórmula empírica para representar las longitudes de onda de las líneas correspondientes al espectro de emisión del hidrógeno que se encuentra en la región visible (esta serie de líneas espectrales se conoce como serie de Balmer): λn = an 2 /(n 2 4). Determine el valor de la constante a. b)determine en qué región del espectro electromagnético se encuentran las siguientes series del hidrógeno: (i) Serie de Lyman (nf = 1) (ii) Serie de Paschen (nf = 3) nf representa el número cuántico correspondiente al estado hacia el cual el electrón sufre la transición. Problema 4:Calcule la energía de un fotón emitido en una transición radiactiva teniendo en cuenta el retroceso del átomo. Calcule el corrimiento de la última línea de la serie de Lyman debido al retroceso atómico. Halle la velocidad del átomo cuando sufre esta transición. Problema 5: Compare la atracción gravitacional entre el electrón y el protón en un átomo de H con la atracción coulombiana entre ellos. Está justificado ignorar la fuerza gravitacional? Problema 6: En términos del modelo de Bohr, un átomo multielectrónico se puede considerar como un conjunto de electrones independientes ocupando distintas órbitas hidrogenoides de Bohr. Considere un átomo del isótopo * Be (Z=4) y suponga que la órbita de menor energía puede alojar como máximo 2 electrones. Así, el estado fundamental de este sistema contendrá dos electrones en el nivel n = 1 y dos en el nivel n = 2. Suponga 2(6)
ahora que uno de los electrones del nivel n = 1 es removido por una colisión con un electrón externo, dejando al sistema en un estado excitado. Basándose en el modelo de Bohr: a) Calcule la longitud de onda del fotón emitido cuando un electrón del nivel n = 2 migra a la vacancia del nivel n = 1. b) Muestre que un segundo tipo de proceso no radiactivo es posible, en el cual un segundo electrón es emitido espontáneamente (autoionización), en tanto que el electrón restante se reacomoda en la órbita inferior. Esto se conoce como efecto Auger. c) Calcule la energía cinética del electrón emitido en una transición Auger. Problema 7: El átomo con número atómico Z = 1 posee tres especies isotópicas: hidrógeno, deuterio y tritio, cuyas masas nucleares son respectivamente M, 2M y 3M, con M 1.67 10 27 kg. Calcule la diferencia entre las longitudes de onda de la línea H α (primera línea de la serie de Balmer) para el hidrógeno y el tritio. Problema 8: A qué temperatura la energía cinética molecular promedio del hidrógeno gaseoso será igual a la energía de ionización del átomo de hidrógeno? Problema 9: Considere un hipotético átomo con un electrón, cuyos niveles de energía no son los del átomo de hidrógeno, pero que supone obedece el postulado de Bohr, es decir, el electrón no irradia energía mientras permanece en uno de sus estados orbitales, y la radiación ocurre solamente cuando el electrón pasa desde un estado de mayor energía a otro de menor energía, emitiendo un cuanto de radiación de energía h ν igual a la diferencia de las energías de los estados. Las longitudes de onda de las primeras cuatro líneas de la serie espectral que terminan en n = 1 son: 1200 Å, 1000 Å, 900 Å y 840 Å. El límite de longitudes de onda corta de esta serie es 800 Å. a) Encuentre los valores de los primeros cinco niveles de energía de este átomo en ev y dibuje eldiagrama de niveles. b) Cuál es la energía de ionización? c) Cuál es la mínima energía que debe ser entregada al electrón en el estado fundamental para poder observar la radiación correspondiente a la transición de n = 3 a n = 2? Problema 10: (Principio de correspondencia) Usando el modelo de Bohr muestre que cuando un átomo de H efectúa una transición de un estado n a un estado n 1 la frecuencia de la radiación emitida esta dada por: ν = (2π 2 mk 2 e 4 /h 3 ) [(2n 1)/((n 1) 2 n 2 )], k =1/(4πε 0 ) Usando las expresiones para el radio de las órbitas y para la velocidad del electrón en el modelo de Bohr, muestre que para n la expresión anterior se reduce a la frecuencia de la radiación que, de acuerdo a la teoría clásica, emitiría un electrón girando en una órbita de Bohr. Problema 11: Grafique la longitud de onda de De Broglie en función de la energía cinética de la partícula para el electrón (mc 2 = 511 kev) y el neutrón (mc 2 = 940MeV). En la misma figura grafique la longitud de onda del fotón (mc 2 = 0) en función de su energía. Analice el comportamiento de la longitud de onda de De Broglie asociada a las partículas para valores de energía cinética mucho mayores que la masa en reposo. Determine para cada partícula el orden de magnitud de su energía cinética como para poder observar difracción en un cristal. 3(6)
Problema 12:Una partícula de masa m y carga e es acelerada a través de una diferencia de potencial V. Encontrar la longitud de onda de la partícula. Mostrar que este resultado concuerda con el clásico en el límite no relativista. Problema 13: El espaciamiento de ciertos planos cristalinos en un cristal de KCl es de 3,14Å. Calcular el ángulo de reflexión de Bragg de primer orden para electrones con energía cinética de 4 kev. Compararlo con el correspondiente a fotones de la misma energía. Problema 14: Un haz de neutrones térmicos a la temperatura de 25 C incide sobre un cristal de NaCl, observándose el primer máximo de difracción a un ángulo de 19. Cuál es la separación entre los planos cristalinos? Por neutrones térmicos se entiende neutrones que están en equilibrio térmico con la materia a una temperatura dada. Problema 15: Una bala de 40 g viaja a 1000m/s. (a) Qué longitud de onda se le puede asociar? (b) Por qué no se revela la naturaleza ondulatoria de la bala por medio de efectos de difracción? (c) Si la incerteza con que se midió la velocidad de la bala es de 0,01%, cuál será la mínima precisión con que se podrá determinar su posición si se la mide simultáneamente con la velocidad? Problema 16: (Deducción original de la relación de De Broglie) Considere una partícula de masa en reposo m 0. Por analogía con la relación E = hν para el campo electromagnético, De Broglie supuso que existía algún tipo de movimiento oscilatorio intrínseco (modo propio) con frecuencia ν0 asociado a la partícula en reposo, donde hν 0 = m 0 c 2. Suponiendo que la partícula se mueve con velocidad v respecto de un referencial fijo. a) Muestre que para un observador en el referencial fijo el movimiento oscilatorio de la partícula se evidencia como una onda progresiva, cuya velocidad de fase es c 2 /v. b) Deduzca la relación λ = h/p. c) Muestre que la energía total de la partícula satisface E = h ν en cualquier referencial inercial, donde ν = γ ν 0 y γ= (1 v 2 /c 2 ) 1/2. Problema 17: Muestre que la onda viajera Ψ(x, t) = sin(k x ω t) se mueve en el sentido de x creciente con velocidad v f = ω /k (velocidad de fase). (a) Muestre que la resultante de la superposición de dos ondas viajeras de la misma amplitud pero con valores de ω y k levemente diferentes ( δω = ω ω<< ω y δ k = k k << k) es esencialmente una onda viajera, con velocidad de fase v f = ω /k, cuya amplitud está modulada por una envolvente que se mueve con velocidad v g = δω/ δ k (velocidad de grupo). Generalizando, la velocidad de grupo de un paquete de ondas es v g =d ω /dk(k = k o ), siendo k o el promedio de los valores de k (próximos a k o ) que constituyen el paquete. (b)verifique que la velocidad de grupo de un paquete de ondas es igual a la velocidad de la partícula asociada, aún en condiciones relativistas. Calcule la velocidad de fase de la onda de De Broglie de una partícula clásica y de una relativista. (c) Mostrar que a velocidades relativistas se cumple v g v f = c 2, y por lo tanto, debido a que v g < c, debe ser v f > c Problema 18: Suponga que las ondas electromagnéticas son un caso particular de las ondas de De Broglie. Muestre que los fotones deben viajar con velocidad c y que su masa en reposo debe ser cero. Problema 19: Una partícula localizada tiene asociado un paquete de ondas gaussiano centrado en x = 0 y de ancho σ x. a) Encuentre el ancho σk de la distribución de números de onda. Verifique que se cumple σ x σ k = 1. 4(6)
b) Para una onda clásica la densidad de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. Por analogía, para un paquete de ondas ψ(x) que representa a una partícula, la densidad de probabilidad de encontrarla en una cierta posición es proporcional a ψ(x) 2. Muestre que el ancho de la densidad de probabilidad es Δx = σ x / 2. c) Encuentre el ancho Δk de la distribución de números de onda correspondiente a la densidad de probabilidad. Verifique que se cumple ΔxΔk = 1/2. d) Deduzca el principio de incerteza para la posición y el momento. e) Para el paquete de ondas gaussiano se cumple la igualdad ΔxΔp =.h/2, mientras que para cualquier otro tipo de paquete de ondas se cumple ΔxΔp >.h/2. Verifíquelo para el paquete de ondas cuadrado ψ(x) = 1 si x L, ψ(x) = 0 si x > L. Problema 20: Un átomo excitado puede irradiar en cualquier instante entre t = 0 y t =. No obstante, se observa que los átomos excitados decaen a estados de menor energía en un tiempo promedio finito, el cual se conoce como tiempo de vida media (t ).El espectro de emisión del mercurio presenta una línea intensa a la longitud de onda λ =2536Å. Sabiendo que la vida media del estado excitado correspondiente es de aproximadamente 10 8 s, estimar la indeterminación en la energía de este nivel. 5(6)
C- Ciencia y Tecnología Analice los principios de funcionamiento y las aplicaciones a la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente de los siguientes a) El microscopio electrónico b) Espectros electromagnéticos y los elementos Algunas páginas que pueden ser útiles para empezar: http://es.wikipedia.org/wiki/microscopio_electr %C3%B3nico http://www.espectrometria.com/tipos_de_espectrometra http://es.wikipedia.org/wiki/espectroscopia D- Trabajos prácticos experimentales propuestos Medición de líneas espectrales Experiencia de Millikan (equipo Leybold 559 411) Medición de e/m (equipo Leybold P6.1.3.1) Experiencia de Frank y Hertz (equipos Leybold ) E- Actividad de reflexión sobre un libro de texto 1- Analizar el título del capítulo 4 del libro de Física Moderna de Serway, Moses, Moyer, 3 ra edición, Ed Thomson, México, 2006, a la luz del contenido de dicho capítulo 2- Rescatar los contenidos de Física cuántica antigua de los libros de texto de la escuela secundaria F- Actividad experimental Experimento de la relación carga/ masa del electrón. G- Actividades de autoevaluación 1- Informar ( en una página máximo) una aplicación de ciencia y tecnología (actividad C) 2- Realizar el informe del experimento de laboratorio (actividad F) 3- Entregar cuatro problemas por escrito 6(6)