Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii

Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y Generalidades........................... 6 9.1.1 Función........................................ 6 9.1. Dominio e Imagen.................................. 6 9.1.3 Igualdad de Funciones................................ 31 9.1.4 Función Identidad.................................. 31 9. Composición de Funciones............................. 31 9..1 Definición....................................... 3 9.. Proposición...................................... 3 9..3 Asociatividad..................................... 35 9.3 Tipos de Funciones................................. 41 9.3.1 Función Inyectiva................................... 41 9.3. Función Suprayectiva................................ 43 9.3.3 Función Biyectiva.................................. 44 9.3.4 Composición y Tipos de Funciones......................... 53 9.4 Función Inversa................................... 55 9.4.1 Función Invertible.................................. 55 9.4. Caracterización de una Función Invertible..................... 55 9.5 Composición de Funciones e Inversa de una Función............. 58 9.5.1 Proposición...................................... 58 9.5. Unicidad de la Inversa................................ 60 9.5.3 Inversa de la Composición de Funciones...................... 60 Hija orgullosa del Número y del Espacio, he aquí a la función. François Le lionnais Las funciones son un tipo especial de relaciones binarias. Una función puede tomarse como una relación de entrada-salida; es decir, para cada entrada o argumento, una función produce una salida o valor. Las funciones son la base de muchas de las más poderosas herramientas matemáticas, y muchos de nuestros conocimientos en informática pueden ser codificados convenientemente describiendo las propiedades de cierto tipo de funciones. En esta lección definiremos las funciones en general y varios casos particulares. La notación y terminología que utilizamos se usa ampliamente en matemáticas e informática. 5

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 9.1 Definiciones y Generalidades Una función de un conjunto A en otro conjunto B es una regla que asigna un elemento de B a cada elemento de A. Notaremos las funciones con las letras f, g, h,.... 9.1.1 Función Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función de A en B, y que notaremos f :A B, es una relación de A a B en la que para cada a A, existe un único elemento b B tal que (a, b) f. Si (a, b) f, escribiremos f(a) = b y diremos que b es la imagen de a mediante f. Es decir, una función f de A en B es una relación de A a B con las características especiales siguientes: 1. Cada elemento de A se presenta como la primera componente de un par ordenado de la relación f. Obsérvese que esto significa que Dom (f) = A, luego a A, b B : f(a) = b o sea, para cada elemento a de A ha de encontrarse un elemento b en B tal que f(a) = b.. Si f(a) = b 1 y f(a) = b, entonces b 1 = b. Las dos condiciones anteriores nos ofrecen la siguiente caracterización de una función. 1. a A, b B : f(a) = b f :A B es función y. a A [f(a) = b 1 f(a) = b = b 1 = b ] Nota 9.1 Si en la caracterización anterior negamos ambos miembros, la contrarrecíproca nos ofrece una forma sencilla de comprobar que f no es una función. 1. a A : f(a) b, b B f :A B no es función ó. a A : (f(a) = b 1 f(a) = b ) b 1 b Es decir, una relación f de A a B puede dejar de ser función porque exista algún elemento en A que no sea imagen, mediante f, de ninguno de B, o bien porque exista algún elemento en A que tenga dos imágenes. Las funciones reciben también el nombre de aplicaciones o transformaciones, ya que desde un punto de vista geométrico, podemos considerarlas como reglas que asignan a cada elemento a A, el único elemento f(a) B. 9.1. Dominio e Imagen Si f es una función de A en B, entonces A es el dominio de f y su imagen es el subconjunto de B, Img (f) = {b B, a : a A f(a) = b} Ejemplo 9.1 Sean A = {1,, 3, 4}, B = {a, b, c, d} y f = {(1, a), (, a), (3, d), (4, c)}. Comprobar que f es una función. 6

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez En efecto, todos los elementos de A aparecen como primer elemento de un par ordenado en la relación, y ninguno como primero de dos pares diferentes. En la función propuesta, f(1) = a, f() = a, f(3) = d, f(4) = c La figura siguiente muestra un esquema de la situación. f 1 3 4 a b c d A B Obsérvese que el elemento a B aparece como segundo elemento de dos pares diferentes de f, es decir, es imagen de dos elementos distintos de A y además existen elementos en B que no son imagen de ningún elemento de A. Ninguna de las dos cosas causa conflicto con la definición de función. Ejemplo 9. de A en B. Sean A = {1,, 3} y B = {x, y, z}. Determinar si las relaciones siguientes son funciones (a) R 1 = {(1, x), (, x)} (b) R = {(1, x), (1, y), (, z), (3, y)} (a) R 1 no es una función ya que existen elementos de A que no son primer elemento de ningún par de la relación, es decir, que no tienen imagen en el conjunto B. (b) R tampoco es función ya que contiene los pares ordenados (1, x) y (1, y), es decir, el 1 tiene dos imágenes distintas, x e y, lo cual viola la segunda condición de la definición de relación. La dificultad que encontramos en R 1 para que no sea función, no es tan seria como la que presenta la relación R. Obsérvese que R 1 es una función del conjunto {1, } en B. Esto ilustra la idea general de que, si una relación f de A en B satisface la segunda condición de la definición anterior, entonces f será una función del Dom (f) en B. Ejemplo 9.3 Sean A = B = Z y f definida en la forma: f :A B : f(a) = a + 1, a A Determinar si f es una función. La relación definida está formada por todos los pares ordenados (a, a + 1), siendo a Z, es decir, f hace corresponder a cada número entero el siguiente. Veamos si f es función. 7

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 1. Para cada a entero, tomando b = a + 1, tendremos que b también es entero, y b = a + 1 = a = b 1 = f(a) = f(b 1) = f(a) = b 1 + 1 = f(a) = b a A, b B : f(a) = b. Sea a cualquiera de A. Entonces, f(a) = b 1 y = f(a) = b a + 1 = b 1 y a + 1 = b = b 1 b = 0 = b 1 = b f cumple, pues, las dos condiciones exigidas para ser función. Ejemplo 9.4 Sean A = Z y B = {0, 1}. Determinar si f :A B : f(a) = { 0, si a es par. 1, si a es impar. es una función. Veamos si cumple las dos condiciones de función. 1. Sea a A, cualquiera, entonces como a es un número entero, entonces ha de ser par o impar, luego tomando b = 0 en el primer caso y b = 1 en el segundo, a A, b B : f(a) = b. Sea a cualquiera de A y sean b y c de B tales que f(a) = b y f(a) = c Entonces, f(a) = b y f(a) = c = b = 0 y c = 0 b = 1 y c = 1, si a es par = b = c, si a es impar a A, [f(a) = b f(a) = c = b = c] Consecuentemente, f es una función. Ejemplo 9.5 Sean A = {a, b, c, d} y B = {1,, 3}. Determinar si las siguientes relaciones de A en B son funciones. En caso de que lo sean dar su imagen. (a) R = {(a, 1), (b, ), (c, 1), (d, )} (b) R = {(a, 1), (b, ), (a, ), (c, 1), (d, )} (c) R = {(a, 3), (b, ), (c, 1)} (d) R = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} 8

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Llamaremos f a las relaciones que sean funciones. (a) R = {(a, 1), (b, ), (c, 1), (d, )} Si es función. f :A B tal que f(a) = 1, f(b) =, f(c) = 1, f(d) = Img (f) = {y B, x A tal que f(x) = y} = {1, } (b) R = {(a, 1), (b, ), (a, ), (c, 1), (d, )} No es función, ya que f(a) = 1 y f(a) =, siendo 1. (c) R = {(a, 3), (b, ), (c, 1)} No es función, ya que Dom (R) A (d) R = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} Si es función. f :A B tal que f(x) = 1, x A Img (f) = {1} Ejemplo 9.6 Verificar que las fórmulas siguientes producen una función de A en B. (a) A = B = Z; f(a) = a (b) A = B = R; f(a) = e a { 0, si a / Z (c) A = R, B = {0, 1} ; f(a) = 1, si a Z (d) A = R, B = Z y f(a) es igual al mayor número entero que sea menor o igual que a. Veamos si se cumplen las condiciones de función. (a) A = B = Z; f(a) = a f :A B tal que f(a) = a, a A 1. Sea a cualquiera de A. Entonces, tomando b = a, tendremos que b B y b = a = a = ( ) ( ) b = f(a) = f b = f(a) = b = f(a) = b a A, b B : f(a) = b. Si f(a) = b 1 y f(a) = b, entonces a = b 1 y a = b de donde se sigue que b 1 = b. f cumple las dos condiciones, luego es una función de Z en Z. (c) A = B = R; f(a) = e a f :R R tal que f(a) = e a, a R 1. Sea a cualquier número real. Entonces, tomando b = e a tendremos que b R y b = e a = a = ln(b) = f(a) = f(ln(b)) = f(a) = e ln(b) = f(a) = b 9

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas. Para todo a real, se verifica f(a) = b 1 y f(a) = b = e a = b 1 y e a = b Consecuentemente, f es una función de R en R. { 0, si a / Z (c) A = R, B = {0, 1} ; f(a) = 1, si a Z Veamos si f es una función. f :A {0, 1} tal que f(a) = 1. Sea a un elemento arbitrario de A. Entonces, = ln(b) = ln(c) = b 1 = b { 0, si a / Z 1, si a Z, a A a A a (R \ Z) Z = a R \ Z a Z = a / Z a Z tomando b = 0 si a / Z y b = 1 si a Z, tendremos que f(a) = b, luego. Sea a A, cualquiera. Entonces, luego en cualquier caso, f(a) = b 1 y f(a) = b Por tanto, f es una función de R en {0, 1}. a A, b B : f(a) = b = b 1 = b = 0, si a / Z ó b 1 = b = 1, si a Z a A [f(a) = b 1 f(a) = b = b 1 = b ] (c) A = R, B = Z y f(a) es igual al mayor número entero que sea menor o igual que a. Veamos si es función. 1. Si a es cualquiera de R, entonces f :R Z tal que f(a) = máx {p Z : p a}, a R si a es entero, tomamos b = a. si a no es entero, tomamos b igual al primer entero menor que a.. Si a es cualquier número real, entonces = f(a) = b 1 y f(a) = b ya que el máximo de un conjunto es único. a R, b Z : f(a) = b b 1 = máx {p Z : p a} y b = máx {p Z : p a} = b 1 = b Consecuentemente, f es una función. 30

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez 9.1.3 Igualdad de Funciones Dadas dos funciones f y g definidas entre los mismos conjuntos A y B, diremos que son iguales cuando toman idénticos valores sobre los mismos elementos de dominio. Es decir, f = g f(a) = g(a), a A 9.1.4 Función Identidad Dado un conjunto A, se define la identidad i A como la función i A :A A : i A (a) = a, a A 9. Composición de Funciones Estudiamos en este apartado una nueva función que se obtiene componiendo dos funciones conocidas. Introduciremos el concepto con un ejemplo. Sean los conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, } C = {α, β} y consideremos las funciones f :A B : f(a) = 1, f(b) =, f(c) = 1 y g :B C : g(1) = β, g() = α Observemos lo siguiente: g(1) = β f(a) = 1 g(1) = β f(c) = 1 g() = α f(b) = } } } = g [f(a)] = β = g [f(c)] = β = g [f(b)] = α Si ahora llamamos h a la función h :A C : h(a) = β, h(b) = α, y h(c) = β y comparamos con la anterior, tendremos h(a) = g [f(a)] h(b) = g [f(b)] h(c) = g [f(c)] es decir, h hace el mismo efecto que la f y la g juntas. A esta nueva función la llamaremos composición o producto de f y g. ejemplo. La figura siguiente ilustra el 31

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas a 1 α b c β A f B g C a α b c β A h = g f C Composición de Funciones 9..1 Definición Dadas dos funciones f : A B y g : B C, llamaremos composición de f y g a una nueva relación h :A C : h(a) = g [f(a)], a A la notaremos h = g f. Veamos ahora que esta nueva relación también es una función, es decir, probaremos que la composición de dos funciones es una función. 9.. Proposición Dadas dos funciones f : A B y g : B C, la composición de ambas, g f es una función de A en C. 3

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Demostración Según hemos definido: g f :A C : (g f)(a) = g [f(a)] ; a A Veamos que cumple las dos condiciones de función. 1. Sea a cualquiera de A. Entonces, al ser f :A B una función, existirá b B tal que f(a) = b. Dado que g : B C también es una función, para el b B recién encontrado, existirá un c C tal que g(b) = c. Tenemos, pues, f(a) = b y g(b) = c = g [f(a)] = c = (g f)(a) = c a A, c C : (g f)(a) = c es decir, todos los elementos de A tienen imagen mediante g f.. Sea a cualquiera de A y sean c 1, c C tales que (g f)(a) = c 1 y (g f)(a) = c. Entonces, (g f)(a) = c 1 y (g f)(a) = c = = g [f(a)] = c 1 y g [f(a)] = c g(b) = c 1 y g(b) = c {f función = b B : f(a) = b} = c 1 = c {g es funcion} es decir, a A [(g f)(a) = c 1 (g f)(a) = c = c 1 = c ] Consecuentemente, la composición de dos funciones es una función. La figura siguiente ilustra como se calcula el valor de g f en un punto a A. 33

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas g f f g a b = f(a) c = g(b) = (g f)(a) A B C Cálculo de (g f) (a) Ejemplo 9.7 Sean A = Z, B = Z y C el conjunto de todos los números enteros pares y f :A B : f(a) = a + 1, g :B C : g(b) = b Encontrar g f. Sea a cualquiera de A. Entonces, (g f)(a) = g [f(a)] = g(a + 1) = (a + 1) es decir, Ejemplo 9.8 g f :A C : (g f)(a) = (a + 1), a A Dadas las funciones f :R R : f(x) = x g :R R : g(x) = x + 5 Calcular g f y f g. Para cada x de R, se verifica que (g f)(x) = g [f(x)] = g(x ) = x + 5 (f g)(x) = f [g(x)] = (x + 5) = x + 10x + 5 luego g f :R R : (g f)(x) = x + 5 34

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez y f g :R R : (f g)(x) = x + 10x + 5 Obsérvese que g f f g, es decir, la composición de aplicaciones no es, en general, conmutativa. Puede ocurrir incluso que una de las dos no exista. Ejemplo 9.9 Sean f :Z + Z + tal que f(x) = x, x Z + y g :{0, 1, } Z + tal que g(x) = x, x {0, 1, } Calcular g f y f g. g f no existe ya que el dominio de g no es igual a la imagen de f. f g está definida en la forma siguiente: f g :{0, 1, } Z + tal que (f g)(x) = f [g(x)] = f(x) = x En este caso, f g = g. Ejemplo 9.10 Sean f y g las funciones, x f :Z + 0, si x es par. Z+ 0 tal que f(x) = 0, en cualquier otro caso. Calcular g f y f g. g :Z + 0 Z+ 0 tal que g(x) = x Sea x cualquiera de Z + 0. Entonces, ( x ) g, si x es par. (g f)(x) = g [f(x)] = g(0), en cualquier otro caso. es decir, Por otra parte, = g f :Z + 0 Z+ 0 tal que (g f)(x) = { x, si x es par. x = x, si x es par. 0 = 0, en cualquier otro caso. 0, en cualquier otro caso. (f g)(x) = f [g(x)] = f(x) = x, ya que x siempre es par. es decir f g = i Z + 0 f g :Z + 0 Z+ 0 tal que (f g)(x) = x 9..3 Asociatividad Dadas tres aplicaciones se verifica que f :A B g :B C y h :C D (h g) f = h (g f) 35

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Demostración Por otra parte, g :B C h :C D = h g :B D f :A B = (h g) f :A D f :A B g :B C = g f :A C = h (g f) :A D h :C D es decir, (h g) f y h (g f) tienen el mismo dominio y el mismo conjunto final. Además, para cada a de A, tenemos: [(h g) f] (a) = (h g) (f(a)) = h [g (f(a))] [h (g f)] (a) = h [(g f) (a)] = h [g (f(a))] por tanto, (h g) f = h (g f) Ejemplo 9.11 Sean A = B = C = R y sean f : A B, g : B C definidas por f(a) = a 1 y g(b) = b. Encontrar (a) (g f)() (b) (f g)() (c) (f g)(x) (d) (g f)(x) (e) (f f)(y) (f) (g g)(y) (a) (g f)() = g [f()] = g( 1) = g(1) = 1 = 1 (b) (f g)() = f [g()] = f( ) = 1 = 3 (c) (f g)(x) = f [g(x)] = f(x ) = x 1 (d) (g f)(x) = g [f(x)] = g(x 1) = (x 1) = x x + 1 (e) (f f)(y) = f [f(y)] = f(y 1) = y 1 1 = y (f) (g g)(y) = g [g(y)] = g(y ) = y 4 Ejemplo 9.1 Sean A = B = C = R y sean f : A B, g : B C definidas por f(a) = a + 1 y g(b) = b +. Encontrar: 36

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (a) (f g)( ) (b) (g f)( ) (c) (f g)(x) (d) (g f)(x) (e) (f f)(y) (f) (g g)(y) (a) (f g)( ) = f [g( )] = f ( ( ) + ) = ( ) + + 1 = 7 (b) (g f)( ) = g [f( )] = g( + 1) = g( 1) = ( 1) + = 3 (c) (f g)(x) = f [g(x)] = f(x + ) = x + + 1 = x + 3 (d) (g f)(x) = g [f(x)] = g(x + 1) = (x + 1) + = x + x + 3 (e) (f f)(y) = f [f(y)] = f(y + 1) = y + 1 + 1 = y + (f) (g g)(y) = g [g(y)] = g(y + ) = (y + ) + = y 4 + 4y + 6 Ejemplo 9.13 Sean A = B = {x : x R \ {0, 1}}. Examine las siguientes funciones de A en B, cada una definida por su fórmula. f 1 (x) = x f (x) = 1 x f 3 (x) = 1 x f 4 (x) = 1 1 x f 5(x) = x x 1 f 6 (x) = x 1 x Demuestre, sustituyendo una fórmula en otra, que la composición de cualquier par de estas seis funciones es alguna otra de ellas. Antes que nada, observemos que si i A es la función identidad sobre el conjunto A, entonces (i A f i )(a) = i A [f i (a)] = f i (a), a A = i A f i = f i, i = 1,, 3, 4, 5, 6 (f i i A )(a) = f i [i A (a)] = f i (a), a A = f i i A = f i, i = 1,, 3, 4, 5, 6 Pues bien, dado que f 1 es la función identidad sobre A, tendremos que f 1 f i = f i y f i f 1 = f i, i = 1,, 3, 4, 5, 6 37

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Por otra parte, para cada x A se verifica: (f f )(x) = f [f (x)] = f (1 x) = 1 (1 x) = x = f 1 (x) = f f = f 1 ( ) 1 (f f 3 )(x) = f [f 3 (x)] = f = 1 1 x x = x 1 = f 6 (x) = f f 3 = f 6 x ( ) 1 (f f 4 )(x) = f [f 4 (x)] = f = 1 1 1 x 1 x = x x 1 = f 5(x) = f f 4 = f 5 f f 5 = f (f f 4 ) = (f f ) f 4 = f 1 f 4 = f 4 f f 6 = f (f f 3 ) = (f f ) f 3 = f 1 f 3 = f 3 (f 3 f )(x) = f 3 [f (x)] = f 3 (1 x) = 1 1 x = f 3 f = f 4 (f 3 f 3 )(x) = f 3 [f 3 (x)] = f 3 ( 1 x) = x = i(x) = f3 f 3 = f 1 f 3 f 4 = f 3 (f 3 f ) = (f 3 f 3 ) f = f 1 f = f ( ) x (f 3 f 5 (x) = f 3 [f 5 (x)] = f 3 x 1 = x 1 = x 1 x x 1 f 3 f 6 = f 3 (f 3 f 5 ) = (f 3 f 3 ) f 5 = f 1 f 5 = f 5 f 4 f = (f 3 f ) f = f 3 (f f ) = f 3 f 1 = f 3 f 4 f 3 = (f 3 f ) f 3 = f 3 (f f 3 ) = f 3 f 6 = f 5 f 4 f 4 = (f 3 f ) f 4 = f 3 (f f 4 ) = f 3 f 5 = f 6 f 4 f 5 = (f 3 f ) f 5 = f 3 (f f 5 ) = f 3 f 4 = f f 4 f 6 = (f 3 f ) f 6 = f 3 (f f 6 ) = f 3 f 3 = f 1 f 5 f = (f f 4 ) f = f (f 4 f ) = f f 3 = f 6 f 5 f 3 = (f f 4 ) f 3 = f (f 4 f 3 ) = f f 5 = f 4 f 5 f 4 = (f f 4 ) f 4 = f (f 4 f 4 ) = f f 6 = f 3 f 5 f 5 = (f f 4 ) f 5 = f (f 4 f 5 ) = f f = f 1 f 5 f 6 = (f f 4 ) f 6 = f (f 4 f 6 ) = f f 1 = f f 6 f = (f f 3 ) f = f (f 3 f ) = f f 4 = f 5 f 6 f 3 = (f f 3 ) f 3 = f (f 3 f 3 ) = f f 1 = f f 6 f 4 = (f f 3 ) f 4 = f (f 3 f 4 ) = f f = f 1 f 6 f 5 = (f f 3 ) f 5 = f (f 3 f 5 ) = f f 6 = f 3 f 6 f 6 = (f f 3 ) f 6 = f (f 3 f 6 ) = f f 5 = f 4 = f 6 (x) = f 3 f 5 = f 6 Ejemplo 9.14 Dadas las funciones f : A B y g : B C, probar que (g f)(a) g(b). Es cierto el recíproco?. Justificar la respuesta. Probaremos que todos los elementos de (g f)(a) están en g(b). Por definición de composición de funciones, f :A B g :B C } = g f :A C 38

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (g f)(a) = {c C, a : a A, (g f)(a) = c} y g(b) = {c C, b : b B g(b) = c} por tanto, c (g f)(a) a : a A (g f)(a) = c a : a A g [f(a)] = c {f es función, luego b : b B f(a) = b} = b : b B g(b) = c c g(b) de aquí que (g f)(a) g(b) El recíproco, en general, no es cierto. El siguiente contraejemplo lo prueba. Sean A = {x, y}, B = {1,, 3} y C = {α, β} y sean f y g las funciones entonces, por otro lado, y es obvio que f :A B : f(x) = 1, f(y) = g :B C : g(1) = α, g() = α, g(3) = β (g f)(x) = g [f(x)] = g(1) = α (g f)(y) = g [f(y)] = g() = α } g(1) = α g() = α = g(b) = {α, β} g(3) = β {α, β} {α} g(b) (g f)(a) = (g f)(a) = {α} Ejemplo 9.15 Si U es el conjunto universal, S, T U, g :P(U ) P(U ) y g(a) = T (S A). Probar que g = g, siendo g = g g. Sea A cualquiera de P(U ),entonces g (A) = (g g)(a) = g [g(a)] = g [T (S A)] = T [S (T (S A))] = (T S) [T (S A)] = (T S) [(T S) (T A)] = (T S) (T A) = T (S A) = g(a) 39

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas g = g g Ejemplo 9.16 Se considera un conjunto no vacío U y un subconjunto suyo X. Se define la función característica f X del conjunto X como la función { } 1, si x X f X :U {0, 1} tal que f X (x) = 0, si x / X Si A y B son dos subconjuntos de U, demostrar: (a) f A = f B A = B (b) f A B = f A + f B f A B (c) f A\B = f A (1 f B ) (a) f A = f B A = B = ) Supongamos que f A = f B y sea a cualquiera de A. Entonces, es decir, A = B. a A f A (a) = 1 f B (a) = 1 a B a (a A a B) =) Recíprocamente, supongamos que A = B y sea x cualquiera de U. Si x A, entonces al ser A = B, será x B, luego y si x / A, por la misma razón, x / B, luego f A (x) = 1 = f B (x) f A (x) = 0 = f B (x) Consecuentemente, es decir, f A (x) = f B (x), x U f A = f B (b) f A B = f A + f B f A B En efecto, sea x U, cualquiera. Si x (A B), entonces f A B (x) = 1, pero x / A y x B = f A (x) + f B (x) f A B (x) = 0 + 1 0 = 1 x (A B) x A y x B = f A (x) + f B (x) f A B (x) = 1 + 1 1 = 1 x A y x / B = f A (x) + f B (x) f A B (x) = 1 + 0 0 = 1 40

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez y si x / (A B), entonces f A B (x) = 0, pero x / (A B) x / A y x / B f A (x) + f B (x) f A B (x) = 0 + 0 0 = 0 Así pues, f A B (x) = (f A + f B f A B )(x), x U de aquí que f A B = f A + f B f A B (c) f A\B = f A (1 f B ). En efecto, sea x cualquiera de U. Entonces, x A y x B, f A\B = 0 y f A (x) (1 f B (x)) = 1(1 1) = 0 x A y x / B, f A\B = 1 y f A (x) (1 f B (x)) = 1(1 0) = 1 x / A y x B, f A\B = 0 y f A (x) (1 f B (x)) = 0(1 1) = 0 x / A y x / B, f A\B = 0 y f A (x) (1 f B (x)) = 0(1 0) = 0 Consecuentemente, f A\B (x) = (f A (1 f B )) (x), x U y f A\B = f A (1 f B ) 9.3 Tipos de Funciones Examinaremos en este apartado distintas clases especiales de funciones. 9.3.1 Función Inyectiva Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho de otra forma: f :A B es inyectiva a 1, a A [a 1 a = f(a 1 ) f(a )] La mejor forma de probar en la práctica la inyectividad de una función es utilizar la contrarrecíproca, es decir, f :A B es inyectiva a 1, a A [f(a 1 ) = f(a ) = a 1 = a ] 41

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas a 1 a 1 b b c 3 c 3 d 4 d 4 f g A B A B En la figura anterior f es inyectiva y g no lo es. Ejemplo 9.17 Determinar si cada una de las aplicaciones siguientes es inyectiva. (a) A cada alumno de álgebra se le asigna el número que se corresponde con su edad. (b) A cada país en el mundo se le asigna la longitud y la latitud de su capital. (c) A cada libro escrito por un determinado autor, se le designa con el nombre del mismo. (d) A cada país en el mundo que tenga un primer ministro se le asigna su primer ministro. (a) No, ya que hay muchos alumnos de álgebra que tienen la misma edad. (b) Si, porque a dos países distintos le corresponderán diferentes longitudes y latitudes. (c) No, ya que hay diferentes libros que están escritos por el mismo autor. (d) Si, porque a países diferentes les corresponderán distintos primeros ministros. Ejemplo 9.18 Determinar si la función f :R R tal que f(x) = x + es inyectiva. En efecto, sean x 1 y x dos números reales cualesquiera, entonces f(x 1 ) = f(x ) = x 1 + = x + = x 1 = x luego f es inyectiva. Nota 9. Observemos lo siguiente: f :A B es inyectiva a 1, a A (a 1 a = f(a 1 ) f(a )) lo que puede escribirse en la forma: f es inyectiva a 1, a A [ (a 1 a ) f(a 1 ) f(a )] 4

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez y negando ambos miembros, tendremos f no es inyectiva a 1, a A tal que a 1 a f(a 1 ) = f(a ) es decir, la función f no es inyectiva si podemos encontrar dos elementos a 1 y a en A, tales que siendo distintos sus imágenes sean iguales. Ejemplo 9.19 Sea f :R R tal que f(x) =. Es inyectiva? La función propuesta no lo es. En efecto, si tomamos dos números reales x 1 y x, distintos, tendríamos x 1 x y f(x 1 ) = = f(x ) luego según lo dicho en la nota anterior, la función no es inyectiva. Ejemplo 9.0 Sea f :R R tal que f(x) = x. Es inyectiva? Sea x 1 cualquiera de R. Si tomamos x = x 1, entonces x R y f(x 1 ) = x 1 y f(x ) = f( x 1 ) = ( x 1 ) = x 1 luego es decir, f no es inyectiva. x 1, x R : x 1 x f(x 1 ) = f(x ) 9.3. Función Suprayectiva Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir, f :A B es suprayectiva b B, a A tal que f(a) = b En otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img (f) = B. a 1 a 1 b b c c d 3 d 3 f g A B A B 43

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas En la figura anterior f es suprayectiva y, sin embargo g no lo es. Ejemplo 9.1 Sea f :A B donde A = B = R y f(x) = x + 1, x A. Es suprayectiva? Sea y cualquiera de B. Hemos de encontrar un x en A tal que f(x) = y. Dicho de otra forma se trata de ver si la ecuación x + 1 = y tiene solución, lo cual, en este caso, es evidente. En efecto, x + 1 = y x = y 1 luego dado y R, tomando x = y 1, se verifica que f(x) = f(y 1) = y 1 + 1 = y es decir, y B, x A : f(x) = y luego f es suprayectiva. Nota 9.3 Obsérvese lo siguiente: si negamos ambos miembros, tendremos f es suprayectiva b B, a A : f(a) = b f no es suprayectiva b B : f(a) b, a A es decir, f no es suprayectiva si podemos encontrar un elemento en B tal que no es imagen de ningún elemento de A. Ejemplo 9. Sea f :A B, siendo A = B = R y f(x) = x, x A Esta función no es suprayectiva. En efecto, dado un y cualquiera negativo en B, no existe ningún x en A tal que su cuadrado sea y, ya que el cuadrado de cualquier número siempre es positivo. Es decir, si y < 0, entonces x y, x A y B : x A, f(x) y de aquí que según la nota anterior, la función propuesta no sea suprayectiva. 9.3.3 Función Biyectiva Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva. Ejemplo 9.3 Sea f :A B tal que A = B = R y f(x) = x 3, x A. Es biyectiva? Veamos si es inyectiva y suprayectiva. 44

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (a) Inyectiva. Sean x 1 y x dos números reales arbitrarios. Entonces, luego f es inyectiva. f(x 1 ) = f(x ) = x 1 3 = x 3 = x 1 = x = x 1 = x (b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces, y = x 3 x = y + 3 x = y + 3 luego tomando x = y + 3, se verifica que x A y ( ) y + 3 f(x) = f = y + 3 Consecuentemente, o sea, f es suprayectiva. y B, x A : f(x) = y 3 = y Por ser inyectiva y suprayectiva, f es biyectiva. Ejemplo 9.4 Estudiar la función f :R R : f(x) = x x + 1 Veamos si f es inyectiva. En efecto, sean x 1 y x dos números reales cualesquiera. Entonces, f(x 1 ) = f(x ) = x 1 x 1 + 1 = x x + 1 = x 1 x + x 1 = x 1x + x = x 1 x x 1x + x 1 x = 0 = x 1 x (x x 1 ) + x 1 x = 0 = (x 1 x )(1 x 1 x ) = 0 = x 1 = x ó x 1 = 1 x Así pues, tomando x 1 R y x = tanto f no es inyectiva. 1 x 1, tendremos que x 1 x y, sin embargo, f(x 1 ) = f(x ), por lo Veamos si f es suprayectiva. Sea y R, tal que 1 4y < 0. Entonces 1 4y no es un número real y, por tanto, estos valores de y no serían imágenes de ningún x ya que x = 1 ± 1 4y y luego f no es suprayectiva. Consecuentemente, la función propuesta no es biyectiva. / R Ejemplo 9.5 Sea f :[0, 1] [a, b] : f(x) = (b a)x + a. Determinar qué tipo de función es. 45

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (a) Veamos si f es inyectiva. Sean x 1 y x cualesquiera de [0, 1]. Entonces, f(x 1 ) = f(x ) = (b a)x 1 + a = (b a)x + a = (b a)x 1 = (b a)x {a b} = x 1 = x es decir, f es inyectiva. x 1, x [0, 1] (f(x 1 ) = f(x ) = x 1 = x ) (b) Veamos si f es suprayectiva. En efecto, sea y cualquiera de [a, b]. Entonces, y al ser a b existe x, y y = (b a)x + a x = y a b a a y b b y a a b a y a a 0 y a b a 0 y a b a 1 0 x 1 x [0, 1] Pues bien, es decir, f es suprayectiva. f(x) = f ( ) y a = (b a) y a b a b a + a = y y [a, b], x [0, 1] : f(x) = y Al ser inyectiva y suprayectiva, la función propuesta es biyectiva. Ejemplo 9.6 f(x) = x f(x) = x f(x) = x f(x) = x 3 + x Las propiedades de ser inyectiva, suprayectiva y biyectiva pueden interpretarse en términos de las gráficas de funciones de R en R. En la figura anterior consideramos las gráficas de algunas funciones. Como son gráficas de funciones de R en R, cualquier recta vertical cortará a la gráfica exactamente en un punto. Si cada recta horizontal la corta al menos, una vez, entonces la gráfica representa una función suprayectiva. Así que, de las funciones anteriores, f(x) = x y f(x) = x 3 + x son sobreyectivas y las otras no. Si ninguna recta horizontal corta al gráfico más de una vez, entonces la función es inyectiva. Así, f(x) = x y f(x) = x son inyectivas y, sin embargo las otras no lo son. 46

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Si cada recta horizontal corta a la gráfica exactamente una vez, entonces la función es biyectiva; f(x) = x es biyectiva y las otras no. Ejemplo 9.7 Determinar el carácter de las funciones siguientes: (a) A = {1,, 3, 4} = B y f = {(1, 1), (, 3), (3, 4), (4, )} (b) A = {1,, 3}, B = {a, b, c, d} y f = {(1, a), (, a), (3, c)} { 1 (c) A =, 1 3, 1 } {( ) ( ) ( )} 1 1 1, B = {x, y, z, w} y f = 4, x, 4, y, 3, w (d) A = {1.1, 7, 0.06} B = {p, q} y f = {(1.1, p), (7, q), (0.06, p)} (a) Según los datos del enunciado, y se observa que f :A B : f(1) = 1, f() = 3, f(3) = 4, f(4) = a 1, a A, a 1 a = f(a 1 ) f(a ) y b B, a tal que a A f(a) = b Consecuentemente f es inyectiva y sobreyectiva y, por tanto, biyectiva. (b) Según el enunciado, f :A B tal que f(1) = a, f() = a, f(3) = c Pues bien, se observa que existen dos elementos distintos en A, el 1 y el, con la misma imagen, es decir, a 1, a A : a 1 a f(a 1 ) = f(a ) luego f no es inyectiva. También se observa que existen dos elementos en B, el b y el d que no son imagen de ninguno de A, es decir, b 1 B : (f(a 1 ) b 1, a 1 A por tanto, f no es sobreyectiva. (c) Razonando igual que en los casos anteriores, se observa que la función propuesta es inyectiva, pero no sobreyectiva. (d) De una forma similar se prueba que f es sobreyectiva y no inyectiva. Ejemplo 9.8 Determinar el carácter de cada una de las siguientes funciones. (a) A = B = Z, f :A B tal que f(a) = a 1 (b) A = B = R, f :A B tal que f(a) = a (c) A = R, B = R + 0, f :A B tal que f(a) = a (d) A = R R, B = R, f :A B tal que f(a, b) = a (e) S = {1,, 3}, T = {a, b}, A = B = S T y f : A B tal que f(n, a) = (n, b) y f(n, b) = (1, a), n = 1,, 3 47

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (f) A = B = R R, f :A B tal que f [(a, b)] = (a + b, a b) (g) A = R, B = R + 0, f :A B tal que f(a) = a Determinar el carácter de cada una de las siguientes funciones. (a) A = B = Z, f :A B tal que f(a) = a 1 Inyectividad. Sean a 1 y a cualesquiera de A. Entonces, es decir, f es inyectiva. f(a 1 ) = f(a ) = a 1 1 = a 1 = a 1 = a a 1, a A, (f(a 1 ) = f(a ) = a 1 = a ) Sobreyectividad. Sea b cualquiera de B. Tomando a = b + 1, tendremos que a A, y o sea, f es sobreyectiva. f(a) = f(b + 1) = f(a) = b + 1 1 = b b B, a A : f(a) = b Biyectividad. Por ser inyectiva y sobreyectiva, la función propuesta es biyectiva. (b) A = B = R, f :A B tal que f(a) = a Recordemos que si a es un número real arbitrario, { a, si a 0 a = a, si a < 0 luego a 0. Inyectividad. Sea a cualquiera de A. Si tomamos a 1 = a y a = a, tendremos es decir, f no es inyectiva. f(a 1 ) = f(a) = a f(a ) = f( a) = a = 1 a = a a 1, a A : a 1 a f(a 1 ) = f(a ) Sobreyectividad. Sea b un elemento arbitrario de B. Si b < 0 entonces, no hay ningún a en A tal que f(a) = b luego la función no es sobreyectiva. Biyectividad. Al no ser inyectiva ni sobreyectiva, la función propuesta no es biyectiva. (c) A = R, B = R + 0, f :A B tal que f(a) = a Inyectividad. Por un razonamiento idéntico al del apartado anterior, la función no es inyectiva. Sobreyectividad. Dado cualquier b B, bastaría tomar a = b, y luego f es sobreyectiva. f(a) = f(b) = f(a) = b = b Biyectividad. Por no ser inyectiva, tampoco será biyectiva. 48

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (d) A = R R, B = R, f :A B tal que f(a, b) = a Inyectividad. Sean (a, b 1 ) y (a, b ) dos elementos de A tales que b 1 b. Entonces, es decir, f no es inyectiva. f(a, b 1 ) = f(a, b ) = a (a, b 1 ) A y (a, b ) A : (a, b 1 ) (a, b ) f(a, b 1 ) = f(a, b ) Sobreyectividad. Sea c cualquiera de B. Entonces, tomando en A, (a, b) : a = c y b R, tendremos es decir, f es sobreyectiva. f(a, b) = f(c, b) = f(a, b) = c c B, (a, b) A : f [(a, b)] = c Biyectividad. Por no ser inyectiva, f no es biyectiva. (e) S = {1,, 3}, T = {a, b}, A = B = S T y f : A B tal que f(n, a) = (n, b) y f(n, b) = (1, a), n = 1,, 3 Inyectividad. Observemos lo siguiente: (1, b) (, b) y, sin embargo, f(1, b) = (1, a) y f(, b) = (1, a) (x 1, y 1 ) A y (x, y ) A : (x 1, y 1 ) (x, y ) f(x 1, y 1 ) = f(x, y ) es decir, f no es inyectiva. Sobreyectividad. Obsérvese que (, a) y (3, a) no están en B y, sin embargo, no existe en A ningún elemento que se transforme, mediante f, en ellos, luego es decir, f no es sobreyectiva. (u, v) B : f(x, y) (u, v), (x, y) A Biyectividad. La función propuesta no es inyectiva ni sobreyectiva, por tanto tampoco será biyectiva. (f) A = B = R R, f :A B tal que f [(a, b)] = (a + b, a b) Inyectividad. Sean (a 1, b 1 ) y (a, b ) cualesquiera de A. Entonces, f(a 1, b 1 ) = f(a, b ) (a 1 + b 1, a 1 b 1 ) = (a + b, a b ) { a1 + b 1 = a + b a 1 b 1 = a b luego f es inyectiva. = a 1 = a y b 1 = b = (a 1, b 1 ) = (a, b ) Sobreyectividad. Sea (c, d) cualquiera de B. Tomando, tendremos f(a, b) = f es decir, f es sobreyectiva. a = c + d y b = c d ( c + d, c d ) ( c + d = f + c + d, c d c d ) = (c, d) (c, d) B, (a, b) A : f(a, b) = (c, d) 49

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Biyectividad. La función propuesta es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto, es biyectiva. (g) A = R, B = R + 0, f :A B tal que f(a) = a Inyectividad. Sea a cualquiera de A. Si tomamos a 1 = a y a = a, entonces f(a 1 ) = f(a) = a y f(a ) = f( a) = ( a) = a a 1, a A : a 1 a y f(a 1 ) = f(a ) es decir, f no es inyectiva. Sobreyectividad. Sea b cualquiera de B. Tomando a = b, entonces a A ya que b 0, y ( ) ( ) f(a) = f b = f(a) = b = f(a) = b b B, a A : f(a) = b y f es sobreyectiva. Biyectividad. f no es biyectiva ya que no es inyectiva. Ejemplo 9.9 Sea f : A B, g : C D, h : A C B D tal que h(a, c) = (f(a), g(c)). Probar que h es biyectiva si y solo si f y g son biyectivas. Sólo si. Supongamos que h es biyectiva. (a) f y g son inyectivas. En efecto, sean a 1, a de A y c 1, c de C cualesquiera. Entonces, f(a 1 ) = f(a ) (f(a 1), g(c 1 )) = (f(a ), g(c )) g(c 1 ) = g(c ) luego f y g son, ambas, inyectivas. (b) f y g son sobreyectivas. h(a 1, c 1 ) = h(a, c ) {h es inyectiva} = (a 1, c 1 ) = (a, c ) a 1 = a c 1 = c En efecto, sean b y d dos elementos cualesquiera de B y D, respectivamente, entonces b B (b, d) B D {h es sobreyectiva} d D luego f y g son, ambas, sobreyectivas = (a, c) A C : h(a, c) = (b, d) a A c C : (f(a), g(c)) = (b, d) a A : f(a) = b c C : g(c) = d 50

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Dado que f y g son inyectivas y sobreyectivas, serán biyectivas. Si. Recíprocamente, supongamos que f y g son biyectivas. (a) h es inyectiva. En efecto, sean (a 1, c 1 ) y (a, c ) dos elementos cualesquiera de A C, entonces luego h es inyectiva. (b) h es sobreyectiva. h(a 1, c 1 ) = h(a, c ) (f(a 1 ), g(c 1 )) = (f(a ), g(c )) f(a 1 ) = f(a ) {f y g son inyectivas} g(c 1 ) = g(c ) a 1 = a = c 1 = c (a 1, c 1 ) = (a, c ) En efecto, sea (b, d) un elemento cualquiera de B D, entonces b B (b, d) B D {f y g son sobreyectivas} d D a A : f(a) = b = c C : g(c) = d (a, c) A C : (f(a), g(c)) = (b, d) (a, c) A C : h(a, c) = (b, d) luego consecuentemente, h es sobreyectiva. (b, d) B D, (a, c) A C : h(a, c) = (b, d) Ejemplo 9.30 Sean los conjuntos A = {1,, 3, 4} y B = {x, y, z} (a) Dar cinco funciones de A a B. (b) Cuántas funciones f :A B hay? (c) Cuántas de éstas funciones son inyectivas? (d) Cuántas funciones f :B A hay? (e) Cuántas de éstas funciones son inyectivas? (f) Cuántas funciones f :A B cumplen que f(1) = x (g) Cuántas funciones f :A B cumplen que f(1) = x y f() = y (a) Escribimos cinco funciones de A en B. 51

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 1. f 1 :A B : f 1 (1) = x, f 1 () = x, f 1 (3) = y, f 1 (4) = z. f :A B : f (1) = x, f () = y, f (3) = y, f (4) = z 3. f 3 :A B : f 3 (1) = x, f 3 () = y, f 3 (3) = z, f 3 (4) = z 4. f 4 :A B : f 4 (a) = x, a A 5. f 5 :A B : f 5 (a) = y, a A (b) Al 1 A le puede corresponder x, y o z, es decir, hay 3 opciones y para cada una de ellas habrá otras tantas para el, luego tendremos 3 3 = 3 opciones, para cada una de las cuales habrá 3 opciones distintas para el 3 lo cual nos dará 3 3 = 3 3 opciones, y para cada una de ellas habrá 3 opciones para el 4, luego el número de funciones que pueden establecerse entre A y B es (c) Cuántas de éstas funciones son inyectivas? 3 3 3 3 = 3 4 = 81 Ninguna, ya que al ser A = 4 > 3 = B habrá, al menos, dos elementos de A a los que le corresponda el mismo elemento en B. (d) Cuántas funciones de B en A hay? Razonando igual que en el apartado (b), tendremos (e) Cuántas de estas funciones son inyectivas? 4 4 4 = 4 3 = 64 A x B le puede corresponder el 1, el, el 3 ó el 4 y para cada una de ellas habrá tres opciones para la y, luego tendríamos 4 3 = 1 opciones, para cada una de las cuales quedarían dos opciones para la z, luego en total habrá 4 3 = 4 funciones inyectivas de B en A. (f) Cuántas funciones de A en B cumplen que f(1) = x? Si dejamos fijo el 1 en A tal que le corresponda siempre la x, la pregunta equivale a calcular cuántas funciones hay entre los conjuntos A 1 = {, 3, 4} y B = {x, y, z} lo que razonando igual que en el apartado (b), nos da un total de 3 3 3 = 3 3 = 7 funciones entre A y B tales que f(1) = x. (g) Razonando igual que el apartado anterior, calculamos cuántas funciones hay entre los conjuntos A = {3, 4} y B = {x, y, z} que son 3 3 = 3 = 9 Ejemplo 9.31 Sean a y b dos números enteros y f :Z Z tal que f(x) = ax + b Discutir para que valores de a y b, (a) f es inyectiva. (b) f es sobreyectiva. (c) f es biyectiva. 5

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (a) Sean x 1 y x dos números enteros arbitrarios, entonces f(x 1 ) = f(x ) ax 1 + b = ax + b = ax 1 = ax, b Z = x 1 = a a x, b Z = x 1 = x, b Z, y a Z \ {0} luego f es inyectiva para cada entero a distinto de cero y para cualquier entero b. (b) Sea y cualquier número entero, tomando x = y b a entonces además, x Z y b a ( ) y b f(x) = f a Z k Z : y b = a k = a y b a + b = y, a Z \ {0} luego f es sobreyectiva para cada a, b tales que a se distinto de cero e y b a y. sea entero, cualquiera que sea (c) De (a) y (b) se sigue que f es biyectiva a Z \ {0} y b : y b a Z 9.3.4 Composición y Tipos de Funciones Dadas las funciones f :A B y g :B C, se verifica: (i) Si f y g son inyectivas, entonces la composición de ambas es inyectiva. (ii) Si f y g son sobreyectivas, entonces la composición de ambas es sobreyectiva. (iii) Si f y g son biyectivas, entonces la composición de ambas es biyectiva. (iv) Si la composición de dos funciones es inyectiva, entonces la primera de ellas es inyectiva. (v) Si la composición de dos funciones es sobreyectiva, entonces la segunda de ellas es sobreyectiva. (vi) Si la composición de dos funciones es inyectiva y la primera de ellas es sobreyectiva, entonces la segunda es inyectiva. (vii) Si la composición de dos funciones es sobreyectiva y la segunda de ellas es inyectiva, entonces la primera es sobreyectiva. Demostración (i) Si f y g son inyectivas, entonces g f es inyectiva. 53

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas En efecto, sean a 1 y a dos elementos cualesquiera de A, entonces, (g f)(a 1 ) = (g g)(a ) = g [f(a 1 )] = g [f(a )] {g es inyectiva} = f(a 1 ) = f(a ) {f es inyectiva} = a 1 = a (ii) Si f y g son sobreyectivas, entonces g f es sobreyectiva. En efecto, dado c cualquiera de C, como g es sobreyectiva, existe b B tal que g(b) = c y al ser f también sobreyectiva, dado b B, existirá a A tal que f(a) = b, luego y g f es, por tanto, sobreyectiva. (g f)(a) = g [f(a)] = g(b) = c (iii) Si f y g son biyectivas, entonces g f es biyectiva. Se sigue directamente de (i) e (ii). (iv) Si g f es inyectiva, entonces f es inyectiva. En efecto, sean a 1 y a cualesquiera de A, entonces por ser g función luego f es inyectiva. f(a 1 ) = f(a ) = g [f(a 1 )] = g [f(a )] = (g f)(a 1 ) = (g f)(a ) {g f es inyectiva} = a 1 = a (v) Si g f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva. En efecto, sea c C, cualquiera, entonces al ser g f sobreyectiva, existirá a A tal que (g f)(a) = c, es decir, g [f(a)] = c pero si a A, como f es función f(a) pertenece a B, tomando b = f(a), tendremos que luego g es sobreyectiva. b B : g(b) = c (vi) Si g f es inyectiva y f es sobreyectiva, entonces g es inyectiva. En efecto, sean b 1, b B cualesquiera, entonces al ser f sobreyectiva, existirán a 1, a A tales que f(a 1 ) = b 1, f(a ) = b. Pues bien, g(b 1 ) = g(b ) g [f(a 1 )] = g [f(a )] (g f)(a 1 ) = (g f)(a ) {g f es inyectiva} a 1 = a {f es función} f(a 1 ) = f(a ) b 1 = b (vii) Si g f es sobreyectiva y g es inyectiva, entonces f es sobreyectiva. En efecto, sea b B, cualquiera. Al ser g función g(b) C y como g f :A C es sobreyectiva, existirá a A tal que (g f)(a) = g(b) es decir, g [f(a)] = g(b) 54

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez de donde teniendo en cuenta que g es, por hipótesis, inyectiva, se sigue que f(a) = b. Resumiendo, luego f es sobreyectiva. b B, a A : f(a) = b 9.4 Función Inversa Dada una función f entre los conjuntos A y B, consideremos su relación inversa, es decir aquella que se obtiene intercambiando cada uno de los pares que componen la relación. Pues bien, según hemos visto en el apartado anterior, la relación inversa de una función no es, en general, otra función. Dedicamos este apartado al estudio de las relaciones inversas que son funciones. 9.4.1 Función Invertible Dada una función f entre los conjuntos A y B, diremos que es invertible si su relación inversa también es función. En tal caso, a la relación inversa de f, la notaremos f 1 y la llamaremos función inversa de f, estando definida en la forma: f 1 :B A : f 1 (b) = a b = f(a), b B A la vista del ejemplo del apartado anterior, podemos deducir que para que f 1 sea función, f ha de ser inyectiva y también suprayectiva ya que de lo contrario f 1 dejaría de cumplir las condiciones requeridas para que sea función. 9.4. Caracterización de una Función Invertible La condición necesaria y suficiente para que una función f sea invertible es que sea biyectiva. Demostración Sea f :A B una función entre los conjuntos A y B. La condición es necesaria En efecto, supongamos que f es invertible, es decir, que su relación inversa f 1 es una función, f 1 :B A tal que f 1 (b) = a b = f(a), b B Pues bien, f es inyectiva. En efecto, sean a 1, a cualesquiera de A. Como f es función, existirán b 1 y b en B tales que f(a 1 ) = b 1 y f(a ) = b y también f 1 (b 1 ) = a 1 y f 1 (b ) = a 55

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Pues bien, f(a 1 ) = f(a ) = b 1 = b = f 1 (b 1 ) = f 1 (b ) a 1 = a { Por ser f 1 función } f es suprayectiva. En efecto, como f 1 es función, tendremos que b B, a A : f 1 (b) = a y al ser, tendremos que luego f es sobreyectiva. f 1 (b) = a f(a) = b b B, a A : f(a) = b Como f es inyectiva y sobreyectiva, será biyectiva. La condición es suficiente En efecto, si f es biyectiva, entonces será sobreyectiva, y al ser, tendremos que b B, a A : f(a) = b f(a) = b f 1 (b) = a b B, a A : f 1 (b) = a luego todos los elementos de B tienen imagen mediante f 1, además por ser f inyectiva, tendremos que si b B es tal que f 1 (b) = a 1 f(a 1 ) = b = f(a 1 ) = f(a ) = a 1 = a f 1 (b) = a f(a ) = b luego f 1 es una función y, por definición, f será invertible. Ejemplo 9.3 Sean A = B = R y f :A B tal que f(x) = x, x A. Calcularemos f 1. Según la definición de función inversa, f 1 :B A tal que f 1 (y) = x y = f(x), y B Sea y cualquiera de B. Como f es sobreyectiva, existirá x A tal que f(x) = y. Pues bien, f(x) = y x = y x = y f 1 (y) = y Es decir, f 1 es la función de B en A que hace corresponder a cada número real su mitad. f 1 :B A tal que f 1 (y) = y, y B Ejemplo 9.33 Sean A = B = R y f :A B tal que f(x) = x 3 56

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (a) Es f invertible? (b) Si (a) es afirmativo, hallar f 1 (a) Veamos si f es invertible. Inyectiva. Sean x 1 y x dos números reales cualesquiera, entonces f(x 1 ) = f(x ) = x 1 3 = x 3 = x 1 = x = x 1 = x Sobreyectiva. Sea y B, cualquiera. Tomando tendremos que luego f es sobreyectiva. x = y + 3 ( ) y + 3 x R y f(x) = f = y + 3 3 = y Por ser inyectiva y sobreyectiva, f es biyectiva, luego por 9.4., f es invertible. (b) Calculamos f 1. Sea y un elemento arbitrario de B. Entonces, al ser f sobreyectiva, existirá x en A tal que f(x) = y. Pues bien, apoyándonos en la definición de f 1, f(x) = y x 3 = y x = y + 3 f 1 (y) = y + 3 f 1 :B A tal que f 1 (y) = y + 3, y B Ejemplo 9.34 Sean A = B = R y f : A B definida por f(x) = x 3 +. Encontrar una fórmula para la función inversa de f. (a) Veamos si f es invertible. Inyectiva. Sean x 1 y x cualesquiera de A. f(x 1 ) = f(x ) = x 3 1 + = x 3 + = x 3 1 = x 3 = x 1 = x Sobreyectiva. Para cada y B, tomando x = 3 y, tenemos que x B y ( ) ( ) 3 3 f(x) = f y 3 = y + = y + = y Por ser inyectiva y sobreyectiva es biyectiva y, por tanto, invertible. (b) Calculamos su inversa. Sea f 1 la inversa de f e y cualquiera de B. Dado que f es sobreyectiva, existe x en A tal que f(x) = y. Pues bien, f(x) = y x 3 + = y x = 3 y f 1 (y) = 3 y f 1 :B A tal que f 1 (y) = 3 y, y B 57

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas 9.5 Composición de Funciones e Inversa de una Función Veremos ahora como la composición de funciones nos permite definir y caracterizar de otra forma la inversa de una función. A lo largo de todo el apartado, f será una función entre dos conjuntos A y B. 9.5.1 Proposición La función f es invertible si, y sólo si existe una función g de B en A tal que g f = i A y f g = i B, donde i A y i B son las identidades en A y B, respectivamente. Demostración f es invertible g :B A tal que g f = i A y f g = i B = ) Supongamos que f es una función invertible y sea f 1 su función inversa. Tomando g = f 1 y teniendo en cuenta la definición de inversa, tendremos Pues bien, y si a A, tenemos es decir, donde es decir, i A es la identidad en A. g :B A tal que g(b) = a b = f(a), b B f :A B g :B A } = g f :A A (g f)(a) = g [f(a)] = g(b) = a = i A (a) g f = i A i A :A A tal que i A (a) = a, a A Análogamente, y si b B, tendremos que por tanto, donde, o sea, i B es la identidad en B. } g :B A = f g :B B f :A B (f g)(b) = f [g(b)] = f(a) = b = i B (b) g f = i B i B :B B tal que i B (b) = b, b B =) Recíprocamente, supongamos que existe una función g de B en A tal que g f = i A y f g = i B, entonces, (a) f es inyectiva. En efecto, si a 1, a son dos elementos cualesquiera de A, entonces f(a 1 ) = f(a ) = g [f(a 1 )] = g [f(a )] = (g f)(a 1 ) = (g f)(a ) {Por hipótesis g f = i A } = i A (a 1 ) = i A (a ) = a 1 = a 58

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (b) f es sobreyectiva. En efecto, sea b B, cualquiera. Entonces, g(b) A tomando g(b) = a, tendremos que a A y f(a) = f [g(b)] = (f g)(b) = I B (b) = b luego f es sobreyectiva. De (a) y (b) se sigue que f es biyectiva luego por 9.4. tendremos que f es invertible. Obsérvese que además de caracterizar las funciones invertibles, con la proposición anterior, hemos construido la inversa de la función f (f 1 = g). Ejemplo 9.35 Sea f una función de A en B. Encontrar f 1 en los siguientes casos: (a) A = {x : x R y x 1}, B = {x : x R y x 0} y f(a) = a + 1. (b) A = B = R y f(a) = a 3 + 1 (c) A = B = R y f(a) = a 1 3 (d) A = B = {1,, 3, 4, 5} y f = {(1, 3), (, ), (3, 4), (4, 5), (5, 1)} (a) A = {x : x R y x 1}, B = {x : x R y x 0} y f(a) = a + 1. Sea g la inversa de f. Según hemos visto en 9.5.1, f g = i B. Pues bien, f g = i B (f g)(b) = i B (b), b B f [g(b)] = b, b B g(b) + 1 = b, b B g(b) = b 1, b B g :B A tal que g(b) = b 1, b B es la inversa de f. (b) A = B = R y f(a) = a 3 + 1 Procediendo igual que en el apartado anterior, f g = i B (f g)(b) = i B (b), b B f [g(b)] = b, b B (g(b)) 3 + 1 = b, b B g(b) = 3 b 1, b B g :B A tal que g(b) = 3 b 1, b B es la inversa de f. 59

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (c) A = B = R y f(a) = a 1 3 De un modo similar a los apartados anteriores, es la inversa de f. f g = i B (f g)(b) = i B (b), b B f [g(b)] = b, b B g(b) 1, b B 3 g(b) = 3b + 1, b B g :B A tal que g(b) = 3b + 1, b B (d) A = B = {1,, 3, 4, 5} y f = {(1, 3), (, ), (3, 4), (4, 5), (5, 1)} Es inmediato que f 1 = {(3, 1), (, ), (4, 3), (5, 4), (1, 5)} es la inversa de f. 9.5. Unicidad de la Inversa Si f es invertible, entonces su inversa es única. Demostración Supongamos que f es invertible y sea f 1 su inversa, es decir, f 1 :B A tal que f 1 (b) = a b = f(a), b B con f 1 f = i A y f f 1 = i B. Supongamos que existe otra función h que es también inversa de f, h :B A tal que h f = i A y f h = i B entonces, h = h i B = h (f f 1 ) = (h f) f 1 = i A f 1 = f 1 h = i A h = (f 1 f) h = f 1 (f h) = f 1 i B = f 1 es decir, h = f 1 Consecuentemente la inversa de f, si existe, es única. 9.5.3 Inversa de la Composición de Funciones Si f y g son invertibles, entonces g f es invertible y (g f) 1 = f 1 g 1 Demostración Sea g una función entre los conjuntos B y C. 60

Matemática Discreta (a) g f es invertible. En efecto, f es invertible, luego es biyectiva g es invertible, luego es biyectiva } Francisco José González Gutiérrez (9.3.4) = g f es biyectiva g f es invertible (b) Veamos ahora quien es la inversa de la composición. Por definición, Pues bien, para cada c C se verifica Por otro lado, para cada a A, tenemos es decir, De (9.1), (9.) y de 9.5.1 se sigue que f 1 :B A tal que f 1 (b) = a b = f(a), b B g 1 :C B tal que g 1 (c) = b c = g(b), c C (g f) (f 1 g 1 )(c) = (g f) [( f 1 g 1) (c) ] = (g f) [ f 1 ( g 1 (c) )] = (g f) [ f 1 (b) ] = (g f)(a) = g [f(a)] = g(b) = c = i C (c) (g f) (f 1 g 1 ) = i C (9.1) (f 1 g 1 ) (g f)(a) = (f 1 g 1 ) [(g f) (a)] = (f 1 g 1 ) [g (f(a))] = (f 1 g 1 ) [g(b)] = (f 1 g 1 )(c) = f 1 [ g 1 (c) ] = f 1 (b) = a = i A (a) (f 1 g 1 ) (g f) = i A (9.) (g f) 1 = f 1 g 1 Ejemplo 9.36 Verificar el teorema anterior para las funciones f : A B y g : B C donde A = B = C = R y f(a) = a + 1 y g(b) = b/3, respectivamente. f :A B tal que f(a) = a + 1, a A g :B C tal que g(b) = b 3, b B 61

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Cálculo de g f. Sea a cualquiera de A. Entonces, es decir, Cálculo de (g f) 1. Pues bien, Cálculo de f 1. Entonces, Cálculo de g 1. es decir, Cálculo de f 1 g 1. (g f)(a) = g [f(a)] = g(a + 1) = a + 1 3 g f :A C tal que (g f)(a) = a + 1, a A 3 (g f) 1 :C A tal que (g f) (g f) 1 = i C (g f) (g f) 1 = i C ( (g f) (g f) 1) (c) = c, c C Pues bien, sea c cualquiera de C. Entonces, por tanto, (g f) [ (g f) 1 (c) ] = c, c C (g f) 1 (c) + 1 3 = c, c C (g f) 1 (c) = 3c 1, c C (g f) 1 :C A tal que (g f) 1 (c) = 3c 1, c C f 1 :B A tal que f f 1 = i B f f 1 = i B (f f 1 )(b) = i B (b), b B f [ f 1 (b) ] = b f 1 (b) + 1 = b f 1 (b) = b 1 f 1 :B A tal que f 1 (b) = b 1, b B g 1 :C B tal que g f 1 = i C g f 1 = i C (g f 1 )(c) = i C (c), c C g [ g 1 (c) ] = c g 1 (c) = c 3 g 1 (c) = 3c, c C g 1 :C B tal que g 1 (c) = 3c, c C f 1 g 1 :C A tal que (f 1 g 1 )(c) A, c C (f 1 g 1 )(c) = f 1 [ g 1 (c) ] = f 1 (3c) = 3c 1 f 1 g 1 :C A tal que (f 1 g 1 )(c) = 3c 1, c C 6

Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Consecuentemente, (f 1 g 1 )(c) = (g f) 1 (c), c C de aquí que (g f) 1 = f 1 g 1 verificándose el teorema anterior. Ejemplo 9.37 Sean f :A B y g :B A. Verificar que g = f 1 en los casos siguientes: (a) A = B = Z, f(a) = a + 1, g(b) = b 1 (b) A = R + 0, B = {y : y R e y 1}, f(a) = a 1, g(b) = b + 1 (c) A = B = P(S), donde S es un conjunto. f(x) = X c, g(x) = X c, X P(S) (d) A = B = {1,, 3, 4}, f = {(1, 4), (, 1), (3, ), (4, 3)} y g = {(1, ), (, 3), (3, 4), (4, 1)} Según hemos visto en 9.5.1, tendremos que probar, en cada uno de los casos, que g f = i A y f g = i B (a) A = B = Z, f(a) = a + 1, g(b) = b 1 Sea a A, cualquiera. Entonces, ( ) a + 1 (g f)(a) = g [f(a)] = g Sea b B, cualquiera. Entonces, = a + 1 (f g)(b) = f [g(b)] = f (b 1) = b 1 + 1 y, consecuentemente, g es la inversa de f. g f = i A y f g = i B (b) A = R + 0, B = {y : y R e y 1}, f(a) = a 1, g(b) = b + 1 Para cada a A, se verifica: 1 = a = i A (a) 1 = b = i B (b) (g f)(a) = g [f(a)] = g(a 1) = a 1 + 1 = a = i A (a) y para cada b B, ( b ) ( b ) (f g)(b) = f [g(b)] = f + 1 = + 1 1 = b = ib (b) y g = f 1. g f = i A y f g = i B (c) A = B = P(S), donde S es un conjunto. f(x) = X c, g(x) = X c, X P(S) Para cada X P(S), tenemos g = f 1. (g f)(x) = g [f(x)] = g(x c ) = (X c ) c = X = i P(S) (X) (f g)(x) = f [g(x)] = f(x c ) = (X c ) c = X = i P(S) (X) 63

Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (d) A = B = {1,, 3, 4}, f = {(1, 4), (, 1), (3, ), (4, 3)} y g = {(1, ), (, 3), (3, 4), (4, 1)} g f = {(1, 1), (, ), (3, 3), (4, 4)} = i A f g = {(1, 1), (, ), (3, 3), (4, 4)} = i B luego g = f 1. 64