Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades Fecha de ecepción: 06.04.00 Fecha de aceptación: 9.0.00 Calos Henández Otega Escuela Supeio de Ingenieía y Aquitectua, IPN y Facultad de Estudios Supeioes Acatlán, UNAM. chenandezo@ipn.mx, caloshdez@apolo.acatlan. unam.mx Resumen El popósito de este tabajo es enconta un sustento fomal al magen de contibución pocentual que debe utilizase paa obtene el pecio de un poducto ofecido. Paa ello se elaboó una función de ventas cuya dependencia involucó el magen de contibución pocentual y la entabilidad sobe las ventas, de manea que mediante su manipulación algebaica pemitió loga una elación funcional adimensional. La optimización de la función anteio dio po esultado que el magen de contibución sea una función de la aíz cuadada de la entabilidad sobe las ventas. Asimismo, una vez sustituido este esultado en la expesión paa las ventas, tenemos que éstas pesentan un mínimo paa el cual la entabilidad sobe las ventas es del 5%, el magen de contibución pocentual es del 50%, el costo vaiable total es igual a las ventas de equilibio, el apalancamiento opeativo es simila a la elación de costos vaiables totales a costos fijos, etc. De igual foma, se encontó que existe un punto fijo estable en donde la igualdad ente la utilidad y las ventas de equilibio dan como futo el cuadado del inveso de la popoción áuea: 0.389660 Consecuentemente, y con base en los esultados obtenidos, la deteminación de pecios no puede se un poceso subjetivo, sino matemáticamente objetivo y amónico. Palabas clave: magen de contibución pocentual, entabilidad sobe las ventas, pecios y costos fijos y vaiables, ventas de equilibio, popoción áuea. Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Calos Henández Otega Computing the magin contibution pecent elationship in pice setting and the golden atio in pofits stuctue Abstact This wok aims to find a fomal way to show the magin contibution pecent that should be used to set the offe pice of a cetain poduct. In ode to do this, a function that depends on the magin contibution pecent and on the sales pofit was constucted, and by algebaic manipulation it was possible to geneate a non-dimensional elation between the vaiables. When the afoementioned function was optimized the esult obtained was that the magin contibution is a function of the squae oot of sales pofits. Likewise, once this esult is substituted in the sales expession, it tuns out that the sales have a minimum fo which pofit is 5%, magin contibution pecent is 50%, total vaiable cost equals the equilibium sales, opeative leveage equals the total vaiable and fixed costs, etc. Also, a moe stable fixed point was found, whee the equilibium between pofits and sales is the invese of the squaed golden atio: 0.389660...As a consequence, and based on esults obtained, the autho consides that pice setting cannot be a subjective pocess but a mathematically objective and hamonic one. Keywods: Magin contibution pecent, sales pofit, fixed and vaiable pices and costs, sale equilibium, golden popotion. Intoducción Se sabe que el objetivo pimodial de todo negocio es la obtención de utilidades y ente mayoes sean éstas, menoes poblemas económicos y financieos se tendán. No obstante, dichas utilidades no pueden se abitaias y a voluntad de quien o quienes las desean debido a su posible inviabilidad. Po oto lado, también es cieto que aunque una empesa esté obteniendo utilidades no siempe son suficientes paa cubi el costo del capital empleado y, como consecuencia, se encuente en una etapa en dececimiento que, incluso, la puedan lleva a la quieba. Es po ello que ente unas utilidades muy altas deseadas y otas que sean obtenidas insuficientemente existe la opción de conoce aquella utilidad mínima equeida paa tomala como objetivo en la planeación y estuctua de las utilidades y, po consiguiente, de todas las demás actividades opeativas tales como la geneación de los ingesos equeidos y el contol de los costos y gastos. Como hipótesis de tabajo supongamos que la utilidad mínima po obtene es una función del costo del capital total empleado, el cual se foma de los inteeses geneados po el pasivo y de los endimientos espeados po los accionistas o dueño(s) del negocio. 78 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades Así, patiendo de que el costo pondeado del capital total empleado está dado po C p P P P + C C C, en donde P epesenta el endimiento sobe el pasivo P, A A P es la azón del pasivo al activo total A, A C es el endimiento sobe el capital C, y C la popoción que epesenta el capital especto al activo total, y además A P C U A A A, siendo P + A P P C C el endimiento sobe el activo, entonces se tendá que la entabilidad sobe las ventas V es w A C A A U U A V V A A ρ, donde ρ A es la otación del activo. Si ahoa se considea que del pasivo P Po + Pi, donde P 0 es el pasivo que no genea inteés, P i está impuesto a un inteés pomedio i, mientas que j es la tasa de endimiento espeada po los accionistas y tal que cumple que k Pi j i y k, entonces se pueden obtene los endimientos P + k Po j j y C teniendo en cuenta que C y P con lo cual se calculaía C P A A ; lo anteio implica que se puede planea la estuctua de utilidades a pati de A que la utilidad mínima U C p sea no meno que el costo del capital empleado C p ipi + jc. Como, en último caso, se hace uso de valoes elativos, y no absolutos, lo cual pemite cálculos más genealizados e independientes de los valoes, entonces en luga de habla de utilidad mínima equeida se tendá que habla de la entabilidad sobe las ventas mínimas equeidas. Ahoa bien, paa calcula los ingesos o ventas necesaios es indispensable asigna un pecio a los bienes o poductos ofecidos, de manea que los mismos sean acodes con los desembolsos efectuados en la elaboación y/o adquisición y venta de dichos poductos y que, a su vez, pemita cubi los demás costos y gastos de la comecialización, administación y distibución de los mismos, así como la pate coespondiente a la utilidad mínima espeada. Sin embago, aunque existen divesas fomas de fija o detemina los pecios de un atículo, todas ellas pesentan algún gado de subjetividad. Así, po ejemplo, se tienen aquellas fomas basadas en cuestiones puamente psicológicas, pasando po las que únicamente siguen los pecios de la competencia, y llegando hasta aquellas que usan el costo total como un piso. Todas estas fomas no pemiten un análisis matemático que den una pauta adecuada paa la toma de decisiones. Po ota pate, hay otas fomas altenas basadas en la sepaación de los costos en fijos y vaiables que, mediante el sistema del punto de equilibio, pemiten detemina los pecios Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 79
Calos Henández Otega y plantea escenaios paa la adecuada toma de decisiones. No obstante, aun este sistema tiene un inconveniente: el magen de contibución pocentual o elación de ingeso maginal usado en todos los cálculos no tiene un fundamento matemático y po lo mismo no es objetivo. Es po ello que uno de los motivos paa la elaboación de este tabajo fue el hecho de enconta una base matemática paa dicha elación de magen de contibución; se logó con ceces, ya que sugió en el análisis un esultado inespeado el cual involuca el inveso de la popoción áuea como un punto fijo asintóticamente estable. Desaollo Deteminación del pecio Al magen de las cuestiones psicológicas y estimaciones de la demanda que siguen muchas empesas paa asigna pecios a los bienes con que lucan, en este tabajo se analizan dos pocedimientos paa la fomación de pecios; peviamente se hace una sepaación de los costos en vaiables ( CV ) y en fijos ( CF ), estos últimos peiódicos. Respecto a los costos vaiables, éstos son los elativos a los costos vaiables unitaios de poducción y/o compa ( cv ). Así, el costo vaiable unitaio total ( cv T ) está dado po: cvt cv Ahoa bien, consideando que es la elación de apotación o magen de contibución pocentual, que seviá paa agega a los cv T y con ello foma el pecio buscado que pemita cubi los costos fijos CF y popociona una utilidad U en el peiodo bajo análisis, se tendán los siguientes casos: El pecio se foma sumando al costo vaiable unitaio total el poducto de la elación de apotación po dicho pecio de venta; esto es: () pv cvt + pv la cual al se combinada con () pemite obtene: cv pv () 80 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades El pecio se foma sumando al costo vaiable unitaio total el poducto de la elación de apotación po el costo vaiable unitaio cv. O sea: pv cvt + cv cuya combinación con () aoja que: pv ( + ) cv (3) Po oto lado, de las cantidades o vaiables que entan en las expesiones paa el pecio, sólo la que coesponde a es abitaia, ya que el costo vaiable unitaio es un dato dado. Consecuentemente, los pecios se pueden ve como una función de dicha vaiable, cuyos dominios son: Paa pv : (0,) Paa pv : (0, ) En este tabajo se tataán ambos casos de pecios. Paa distingui las ecuaciones coespondientes a cada pecio, se manejaán los mismos númeos sólo difeenciándolos con la asignación de la leta a paa el pecio dado po (), y la leta b paa el pecio dado po (3). Deteminación de las ventas Con el pecio dado po () Ahoa bien, sea n el númeo de unidades vendidas al pecio pv, cuyo costo vaiable unitaio es cv. Entonces la apotación maginal o magen de contibución M está dado po la difeencia ente las ventas V y los costos vaiables totales CV. Y como V npv, y CV ncv, entonces: o bien, M n( pv cv) M V (4 a) donde se ha hecho uso de (). Lo anteio indica que el magen de contibución es igual al poducto de las ventas po la elación de apotación. Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 8
Calos Henández Otega Si ahoa se considea que en el peiodo que ampaan las ventas V se tuviesen costos fijos equivalentes a CF, entonces la utilidad mínima de opeación U estaá dada po U M CF ; o sea U V CF de donde, po álgeba, se tendá que las ventas V estaán dadas po: CF V w (5 a) donde w es la entabilidad sobe las ventas ya definida en la intoducción. Con el pecio dado po () Haciendo uso de (3), se tiene que el coespondiente magen de contibución M seá M V (4 b) + y puesto que M CF U, entonces las ventas estaán dadas po: + V CF (5 b) ( w) w Deteminación del punto de equilibio y otas expesiones impotantes Con el pecio dado po () Ahoa consideemos el caso especial en el cual U 0 ; es deci, donde los ingesos son iguales al costo total CT CV + CF. En este caso, existe cieto númeo de unidades a vende n e al pecio pv, tal que a Ve ne pv se le conoce como ventas o ingesos de equilibio. En consecuencia, y como U 0, implica que w 0, entonces de (5 a ) se tiene que: CF Ve (6a) 8 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades ahoa, de (5 a ) y (6 a ) se obtiene que V w V V e (7 a) de donde se consigue una elación muy impotante: Ve CF V M Po ota pate, como el apalancamiento opeativo g se encuenta definido como V CV M g, entonces se puede obtene lo siguiente: V CV CF U g w (8) (9 a) Po oto lado, haciendo uso de (4 a ) se tendá que V CV V. Po lo tanto mientas que de (5 a ) : CV (0 ) V a CF w ( a ) V En consecuencia, la elación de costos vaiables a costos fijos, dada po: a w ( a) CV a, estaá CF Con el pecio dado po () De (5 b ), haciendo w 0, se tiene + Ve CF (6b) Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 83
Calos Henández Otega de donde, al combinala con (5 b ), se obtiene que V w ( w) V Ve (7b) Sin embago, a difeencia de (9 a ), esta expesión no epesenta el apalancamiento opeativo, sino que se puede poba que es igual a la azón de las ventas a los costos fijos; es deci, V w CF (9b) Asimismo, de (7 b ) se compueba que se sigue cumpliendo (8). Po ota pate, se tiene que las elaciones coespondientes paa este caso, son: CV V + (0b) CF ( w) w V + (b) CV CF ( w) w (b) Deteminación del valo óptimo paa la elación de apotación Con el pecio dado po () Pimeo se elacionan las ventas con las ventas de equilibio haciendo uso de () y (5 a ), con lo cual se obtiene que: V CVe (3 a) ( w)( ) donde CVe necv epesenta el costo vaiable de las ventas de equilibio. Consecuentemente, definiendo a z V CV como la azón de las ventas po obtene e especto al costo vaiable de las ventas de equilibio, entonces: 84 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades z ( w)( ) (4 a) Se obseva que si la entabilidad w es conocida, entonces z es una función de, cuyo dominio es ( w,). Ahoa bien, debido a que w (0,), entonces existen divesas combinaciones ente la utilidad U y las ventas po obtene V paa loga dicha entabilidad. Po lo tanto, paa una w dada, la utilidad es diectamente popocional a las ventas. Esto tae po consecuencia que si lo que se desea es obtene la mayo utilidad posible, entonces se debe incementa el nivel de ventas; sin embago, el incemento del nivel de ventas sólo puede logase mediante dos mecanismos: aumenta el volumen de unidades vendidas o aumenta el pecio del poducto. Si bien es cieto que el incemento del volumen de unidades vendidas se podía loga a tavés de la mecadotecnia, lo cual llevaía a incementa los gastos, en este sentido se supondá el caso ideal en el cual tanto volumen como pecios están elacionados en foma elástica po la ley de la ofeta y la demanda; es deci, se elacionan pecio y volumen en foma invesamente popocional. Como consecuencia, si se equiee aumenta el volumen po vende, entonces se necesitan educi los pecios. Peo este incemento en el volumen podía ebasa la capacidad de poducción, almacenamiento y/o comecialización, con el consiguiente aumento en costos y gastos, así como de espacio, etc. Po ota pate, un incemento de pecios puede tae una educción en el volumen de ventas y consecuentemente una utilidad meno en téminos monetaios. No obstante, en ambos casos, se puede esta logando la entabilidad impuesta como objetivo. Con objeto de ve la aplicación de algunas de las fómulas anteioes, consideemos el siguiente ejemplo sencillo. Supongamos que un pequeño poducto de cieto atículo, el cual pesenta un costo vaiable unitaio de $60.00, tiene unos costos fijos mensuales de $50,000.00, y ha deteminado que la entabilidad mínima po obtene paa cubi su costo total de capital es del 5% sobe las ventas. Con base en estos datos se ha elaboado la siguiente tabla, en la cual sólo el magen de contibución se ha dado abitaiamente, mientas que las otas columnas se han obtenido aplicando las fómulas () y (5 a ). Estos elementos calculados son: Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 85
Calos Henández Otega. El pecio de venta ( pv ).. Las unidades po vende ( n ). 3. Las ventas totales po efectua ( V ). 4. La utilidad po obtene ( U ). 5. La entabilidad sobe las ventas ( w). pv n V U w 0.9667 $ 74.69 4345 $,07,40.79 $ 60,70.79 0.50 0.4333 $ 79.30 6756 $ 535,78.06 $ 80,358.06 0.50 0.9000 $ 84.5 46 $ 357,6.76 $ 53,566.76 0.50 0.33667 $ 90.45 96 $ 67,89.5 $ 40,69.5 0.50 0.38333 $ 97.30 0 $ 4,48.65 $ 3,8.65 0.50 0.43000 $ 05.6 696 $ 78,56.3 $ 6,766.3 0.50 0.47667 $ 4.65 335 $ 53,057.3 $,957.3 0.50 0.5333 $ 5.87 064 $ 33,930.07 $ 0,090.07 0.50 0.57000 $ 39.53 853 $ 9,03.6 $ 7,843.6 0.50 0.6667 $ 56.5 685 $ 07,7.39 $ 6,7.39 0.50 0.66333 $ 78. 547 $ 97,485.5 $ 4,665.5 0.50 0.7000 $ 06.90 43 $ 89,379.3 $ 3,459.3 0.5 0.75667 $ 46.58 334 $ 8,356.6 $,36.6 0.50 0.80333 $ 305.08 5 $ 76,576.7 $,56.7 0.50 0.85000 $ 400.00 79 $ 7,600.00 $ 0,860.00 0.5 0.89667 $ 580.65 5 $ 66,774.9 $ 9,874.9 0.48 0.94333 $,058.8 60 $ 63,59.4 $ 9,99.4 0.56 0.99000 $ 6,000.00 0 $ 60,000.00 $ 9,400.00 0.57 Las pequeñas difeencias en la entabilidad se deben, más que nada, a las apoximaciones efectuadas en las unidades po vende. Fuea de esto podemos obseva que la entabilidad es la misma paa difeentes combinaciones de utilidad y ventas. Ahoa bien, se puede apecia que confome se incementa el magen de contibución pocentual, el pecio también aumenta, mientas que el númeo de unidades po vende disminuye. Asimismo, se confima que a mayo valo de las ventas, mayo es el valo de la utilidad obtenida, y esta última desciende confome el valo de las ventas disminuye. Apaentemente no existe indicio alguno que nos pemita elegi el englón mejo posible. Po lo tanto, todo se educe a enconta una elación que gaantice un pecio y un volumen adecuados paa loga la entabilidad impuesta como objetivo. Po consecuencia, y como lo único que no tiene sustento 86 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades es la azón de magen de contibución, empecemos el análisis paa dale fundamento a este concepto. Paa ello patamos de (4 a ), donde se sabe que ( w,). Así que calculando los límites unilateales en dicho intevalo se obseva lo siguiente: lo cual indica que z es una función convexa que tiene, al menos, un punto cítico. En consecuencia, deivemos z con especto a e igualemos a ceo paa enconta dicho punto. Así: de lo cual se obtiene que lim + w ( w )( ) lim ( w )( ) [ ] [( )( )] dz ( w)( ) ( w)( ) + ( ) 0 d w w + es deci, ± w. Ahoa bien, como la elación de apotación no puede se negativa, ya que esto implicaía que los costos vaiables son supeioes a los ingesos po ventas, y además los costos vaiables fungen como un límite infanqueable o piso paa la fijación de pecios, entonces la solución es la pate positiva; esto es: 0 w (5 a) esto indica que la azón de magen de contibución con el que se deben foma los pecios es una función de la aíz cuadada de la entabilidad sobe las ventas. Ahoa tenemos que conoce qué tipo de punto cítico epesenta. Paa ello, se toma la segunda deivada de (4 a ) con especto de y luego se evalúa el esultado consideando (5 a ). Así: Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 87
Calos Henández Otega d z + w w ( ) > 0 w 6 d w( w) po lo tanto, se puede conclui que en w hay un mínimo, lo cual hace que la función z tenga un valo dado po z ( w) (6 a) Consecuentemente, la elación de apotación que se debe usa paa foma los pecios de los poductos ofecidos debe se igual a la aíz cuadada de la entabilidad sobe las ventas. Esto gaantizaá que las ventas po obtene no sean tan altas que equiean un gan volumen de unidades vendidas a pecios bajos, ni tan bajas que impliquen un volumen bajo vendidas a pecios altos. Así que aplicando este esultado al ejemplo dado anteiomente, donde la entabilidad impuesta como objetivo es w 5%, se tiene que la elación de magen de contibución debe se 0.5 0.38730. Po lo tanto, el englón más conveniente po elegi seá el quinto. Con el pecio dado po () Consideando todo lo expuesto anteiomente, paa el caso del pecio dado po (), tenemos que la función de ventas es: + V CV ( w) w de donde la función po optimiza seá ( + ) z ( w) w Así que deivándola especto de se obtiene e (3b) (4b) [ ] [( w) w] dz ( w) w ( + ) ( + )( w) w ± w 0 d w 88 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades donde la única solución estaá dada po w + w w (5b) ya que estando w (0,), entonces w < w. Po ota pate, se puede compoba que este punto epesenta un mínimo evaluando la segunda deivada en el punto dado po (5 b ). Así: d z d > 0 w w+ w w Consecuentemente, si el esultado de (5 b ) se sustituye en (4 b ), se obtendá nuevamente (6 a ). Deteminación del valo mínimo paa la entabilidad sobe las ventas Con el pecio dado po () Ahoa sustituyendo (5 a ) en (), (4 a ), (5 a ), (6 a ), así como de la (9 a ) hasta la ( a ) se obtendán los siguientes esultados: cv pv w (7 a) M wv (8a) CF V w w V e CF w g w w (9 a) (0 a) ( a) Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 89
Calos Henández Otega CV w ( a) V CF w w (3 a) V CV w g CF w w w (4 a) Peo además, de (0 a ), ( a ) y (3 a ), se obtendá que V CV (5 a) e Ahoa bien, como anteiomente se expesó, w (0,). En consecuencia, se obseva el compotamiento de (9 a ) y (0 a ) en dicho intevalo. Paa ello calculemos los siguientes límites: lim lim w 0 w e w 0 w e (6 a) Es inmediato dase cuenta que las ventas de equilibio tienen como asíntota hoizontal a los costos fijos, confome la entabilidad se apoxima a la unidad. Po ota pate, las ventas po obtene tienen asíntotas veticales en cada uno de los extemos del intevalo. Ello indica que pesenta una concavidad hacia aiba (función convexa), po lo cual, paa obtene el punto mínimo, se deiva (9 a ) e iguala a ceo. Así: dv dw w CF 0 ( w w) 90 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades la que al se esuelta popociona que el punto mínimo se da cuando: w 4 lo que implica que el magen de contibución pocentual po emplea seá de: así que sustituyendo estos valoes en las expesiones de la (7 a ) hasta la (4 a ), tenemos: CV CF CV pv cv; V 4 CF; Ve CF; ; ; g; U CF (7 a) V V 4 CF En la siguiente gáfica se puede obseva la convexidad de las ventas como una función del magen de contibución pocentual, del punto mínimo que se pesenta en, así como de la tendencia asintótica de las ventas de equilibio hacia los costos fijos. El valo de estos últimos son los mismos que los del ejemplo anteio. Además, los valoes del eje vetical se encuentan en miles de pesos. Con el pecio dado po () Sustituyendo (5 b ) en (3), (4 b ), (5 b ), (6 b ), así como desde la (9 b ) hasta la ( b ), efectuando las opeaciones algebaicas coespondientes, se tendá que Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 9
Calos Henández Otega todas las expesiones esultantes de dicha sustitución dan las mismas expesiones dadas desde la (7 a ) hasta la (5 a ). Además w w w (6 b) el cual coincide con el ecípoco de (3 a ), como se dijo en (9 b ). Todo esto indica que las ecuaciones que igen a los pecios, así como a las divesas elaciones que sugen ente las patidas que confoman el Estado de Resultados cuando éstos son analizados a tavés del sistema del equilibio, son invaiantes ante una adecuada tansfomación del magen de contibución pocentual como una función de la entabilidad sobe las ventas. Asimismo, se puede deduci que se tiene un punto mínimo en w ; sin embago, 4 el valo del magen de contibución pocentual, paa este caso, seá de ; además, en este punto, se seguián cumpliendo todas las elaciones dadas po (7 a ). Acotamiento de los costos fijos Ahoa bien, paa que (9 a ) tenga sentido, se puede demosta que existe un intevalo tal que el denominado de dicha expesión sea estictamente positivo. Paa CF ello patamos de (3 a ) que se obtiene de (9 a ) ; esto es, w w V. Recodando que w (0,) y que w > w en dicho intevalo, entonces w w > 0. En consecuencia, definimos una función k( w) w w la cual puede se optimizada; es deci, existe al menos un punto cítico que puede se un máximo o un mínimo en el dominio de la función definida. Deivando e igualando a ceo paa obtene el o los puntos cíticos, se obtiene lo siguiente: dk 0 w dw w 4 Ahoa paa sabe qué tipo de punto cítico es, se pocede a deiva nuevamente, evaluándola en el punto cítico anteio y aplicando el citeio de la segunda deivada. Así: 9 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades d k d d k 0 3 dw dw < w 4 w dw w lo cual implica que el punto cítico obtenido es un máximo y el valo de la función es: k 4 4 4 4 de manea que de este último esultado se deduce que los costos fijos tienen como cota supeio no sobepasa el 5% de los ingesos totales. Esto puede vese en la siguiente gáfica: 4 Sugimiento de la popoción áuea Ahoa bien, debido a que la sustitución de (5 a ) y (5 b ) en () y (3), espectivamente, así como en las coespondientes elaciones a cada caso, nos emiten a los mismos esultados, bastaá considea el análisis sin difeencialos, excepto paa el valo del magen de contibución pocentual, el cual es difeente en cada caso. Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 93
Calos Henández Otega Así, se tiene que las ventas dependen, en último de los casos, de la entabilidad sobe las ventas deseadas, y está dada po (9 a ), la cual pesenta un valo mínimo po se la función de ventas una función convexa, entonces la misma decece en el intevalo donde w (0, ) obteniendo su valo mínimo cuando w y se vuelve 4 4 una función ceciente cuando w (,). En todo este intevalo donde w (0,) 4 la utilidad es una función ceciente. Po ota pate, y de acuedo con (6 a ), las ventas de equilibio se compotan como una función dececiente en dicho intevalo, tendiendo asintóticamente a los costos fijos, los cuales son alcanzados po la utilidad cuando w. Po lo tanto, 4 existe un punto de intesección ente las cuvas de utilidad y la de las ventas de equilibio en el intevalo donde w, 4 (o bien, ). Esto se muesta en la siguiente gáfica: Paa calcula dicho punto, hagamos U V y ecuamos a (9 a ) y (0 a ). Así: e de donde se obtiene wcf CF w w w w w (8) 94 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades la cual se puede intepeta como una ecuación de punto fijo, f ( w) w, cuya solución da po esultado: 3 5 w 0.38966 w 3 + 5.68033 De estos dos puntos fijos, únicamente w (0,), más aún, w (,). 4 Si ahoa ecodamos que la popoción áuea o númeo de oo está dado po + 5 ϕ.68033, entonces la solución a (8) se puede expesa como: w ϕ (9) lo cual implica que el magen de contibución pocentual a emplea en (5 a) tendá que se: (30) ϕ Paa el magen de contibución pocentual dado po (5 b ), se tiene que ϕ Ahoa sustituyendo (9) y (30), desde la (7 a) hasta la (4 a ), se tiene que: pv ϕ cv V M ϕ 3 V ϕ CF Ve ϕcf Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 95
Calos Henández Otega CV V ϕ V CF ϕ CV CF Ahoa, se detemina el tipo de estabilidad que pesenta la función f ( w) w, la cual es continuamente difeenciable en el punto fijo encontado w. Paa ello, deivemos dicha función y evaluémosla en w. Así: ϕ ϕ f ( w ) luego entonces, de acuedo con un citeio de estabilidad local, se tiene que ϕ f ( w ) < lo cual implica que el valo dado po (30) es un punto hipebólico asintóticamente estable. Esto puede obsevase en la siguiente gáfica. OSCILACIONES ALREDEDOR DEL PUNTO FIJO 3 Comentaios finales En la elaboación de este tabajo se logó enconta una base matemática paa calcula la elación de apotación que debe incopoase al costo vaiable unitaio 96 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98
Cálculo de la elación de magen de contibución en los pecios y el sugimiento de la popoción áuea en la estuctua de utilidades paa foma el pecio de venta de un atículo, el cual se calculó de dos difeentes maneas. Este magen de contibución pocentual, expesado como una función de la entabilidad sobe las ventas, y difeente en cada uno de los dos casos analizados, cuando es sustituido en las expesiones coespondientes a los mismos, se obtiene de ecuaciones y elaciones idénticas. En otas palabas, de los cálculos que he efectuado con las fomas geneales de los pecios dados po () y (3), donde en esta última también se obtiene una elación ente la entabilidad y la elación de apotación, ambas muy difeentes en foma, peo convegiendo a los mismos esultados en cuanto a qué, paa poductos con el mismo costo vaiable unitaio y consideando los mismos costos fijos, obtenemos idénticas expesiones paa la fijación de pecios, ventas po obtene, ventas de equilibio, etc., no es más que un indicativo de la existencia de una invaiancia (simetía) ante el uso de una función optimizada que involuce la elación ente el magen de contibución pocentual y la entabilidad sobe las ventas deseadas. Como consecuencia, cuando se utiliza esta función en todas las elaciones que involucan al magen de contibución pocentual, se obtienen los siguientes esultados:. La función de ventas, dependiente de la entabilidad, es una función convexa. Po lo tanto, pesenta un mínimo.. El apalancamiento opeativo es igual al ecípoco de la aíz cuadada de la entabilidad sobe las ventas. 3. La azón del costo vaiable total a los costos fijos es igual al apalancamiento opeativo. 4. El costo vaiable total es igual al punto de equilibio. 5. Los costos fijos tienen impuesta una cota supeio: no deben sobepasa el 5% de los ingesos totales. 6. Existe un punto de intesección ente el costo vaiable total y la utilidad de opeación espeada, el cual da po esultado, invaiablemente, un punto fijo asintóticamente estable igual al ecípoco del cuadado de la popoción áuea, y que epesentaá la máxima entabilidad sobe ventas po obtene. Más aún, el sugimiento de la media áuea como un punto de estabilidad paece apoya la existencia de un atacto que impide que el magen de contibución po- Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98 97
Calos Henández Otega centual, y po ende los pecios y demás patidas en las cuales enta en juego, sea abitaio y hasta caótico cuando la ambición del hombe se desboda. Asimismo, y en último caso, le confiee una popiedad estética o amónica al sistema de equilibio. Po último, y paa efoza lo anteio, consideé los casos más completos en donde los costos vaiables unitaios los sepao en aquellos que dependen de la poducción o compa diecta ( cv ), de aquellos que dependen del pecio o volumen, y que son epesentados como un pocentaje de los mismos ( t ), tal como pueden se las comisiones sobe ventas. Las expesiones paa los pecios dados po () y (3), en su foma más geneal, son, espectivamente: cv ( + ) cv pv y pv ( t) t y cuyos espectivos mágenes de contibución pocentuales, son: ( w t) + ( t) w w t y w Nuevamente, cuando son sustituidos, se obtienen elaciones y esultados análogos a los ya analizados en el pesente tabajo, teniendo como punto fijo asintóticamente estable al ecípoco del cuadado de la popoción áuea. Refeencias Tucke, Spence A. (975). El sistema del equilibio, instumento paa la planificación de utilidades. 4ª. ed. México: Heeo Hemanos Sucs. Weston, J. Fed y Thomas E. Copeland (990). Finanzas en administación. 3ª. ed., México: McGaw-Hill. Elaydi, Sabe N. (000). Discete Chaos. EE.UU.: Chapman & Hall/CRC. Livio, Maio (007). La popoción áuea, la histoia de PHI, el númeo más sopendente del mundo. Madid: Aiel. 98 Contaduía y Administación, No. 35, septiembe-diciembe 0: 77-98