SEXto GRADO - Unidad 2 - Sesión 11 Descubrimos la noción de potencia cuadrada a través del juego Cuántos cubos puedes formar? En esta sesión se espera que los niños y las niñas identifiquen potencias cúbicas a través del juego Cuántos cubos puedes formar?. Los estudiantes descubrirán la relación existente entre el volumen de un cubo y la noción de potencia cúbica empleando el material Base Diez. Antes de la sesión Ten listo el papelote con el problema. Recuerda entregar a cada equipo los 70 cubitos blancos del material Base Diez. Elaborar la lista de cotejo para esta sesión. Materiales o recursos a utilizar Papelote del problema. 70 cubitos blancos del material Base Diez para cada equipo. Limpiatipo, 2 plumones gruesos, papelote u hoja bond con la tabla que se muestra en el problema. Lista de cotejo. 376
Competencia(s), capacidad(es) e indicador(es) a trabajar en la sesión COMPETENCIAS CAPACIDADES INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad. Comunica y representa ideas matemáticas. Elabora representaciones concretas, pictóricas, gráficas y simbólicas de la potencia cuadrada y cúbica de un número natural. 1. Momentos de la sesión INICIO 15 minutos Saluda amablemente a los estudiantes, luego dialoga con los niños y las niñas respecto a si alguna vez han construido torres usando cajas. Pregunta: qué tuvieron en cuenta para realizar aquella construcción?, para qué sirvió la construcción final? Enfatiza en los talentos que se practican cuando realizan diferentes construcciones y cómo podríamos utilizar estas experiencias para implementar el sector de Matemática. Una vez que hayan concluido, recoge los saberes previos: Qué es un cubo?, cuál es la relación entre sus dimensiones? Qué debemos tener en cuenta para hallar el volumen de un cubo? Podrá ser un cubo una caja de 6 cm de largo, 6 cm de ancho y 5 cm de altura? Explica tu respuesta. Comunica el propósito de la sesión: hoy aprenderán a identificar y hallar potencias cúbicas en relación con el volumen de los cubos. Acuerden las normas de convivencia que tendrán en cuenta para el trabajo en equipo. Normas de convivencia Mantener limpio y ordenado tu lugar de trabajo. Escuchar y valorar las opiniones de los demás. 377
2. DESARROLLO Presenta el siguiente problema en un papelote: 65 minutos Cuántos cubos puedes formar? Los estudiantes del 6. grado están organizando diferentes tipos de juegos matemáticos desde la semana pasada. Ahora quieren preparar uno con todo lo que acaban de aprender acerca de sólidos geométricos. Para ello han propuesto el juego Cuántos cubos puedes formar? El equipo de Sofía ha considerado las siguientes indicaciones: Contar con 70 cubitos del material Base Diez y formar todos los cubos que puedas en el menor tiempo posible. Cada integrante del equipo debe formar un cubo y completar la tabla. Cuando el material resulte insuficiente, deben encontrar la forma de seguir completando valores en la tabla. MEDIDA DE VOLUMEN LA ARISTA 2 2 x 2 x 2 = 8 (ejemplo) Una vez finalizado el juego, respondan lo siguiente: 1. Si tuvieras que seguir completando la tabla con valores para 5 cubos más, sin usar el material Base Diez, qué números escogerías?, por qué? 5. Existirá un cubo que tenga un volumen de 40 u 3 y de 100 u 3?, por qué? 378
Asegúrate de que los niños y las niñas hayan comprendido el problema. Para ello pregunta lo siguiente: de qué trata el juego?, qué datos nos brindan?, cuál es el rol de cada integrante del equipo?, qué debemos hacer con los cubitos del material Base Diez? Pide a algunos estudiantes que expliquen las indicaciones. Organiza a los estudiantes en grupos de tres integrantes y entrega a cada equipo un paquete de 70 cubitos del material Base Diez. A su vez entrega limpiatipo y un papelote con la tabla que se completará, y 2 plumones gruesos de diferente color. Promueve en los estudiantes la búsqueda de estrategias para responder cada interrogante. Ayúdalos planteando estas preguntas: será importante establecer un orden de participación en el juego?, por qué?, en qué medida nos ayudarán los materiales?, será importante observar las regularidades que se cumplan en la tabla para responder las interrogantes? Escucha las respuestas y haz las aclaraciones necesarias. Pregunta: alguna vez han leído, resuelto o participado en un juego parecido?, cuál?, cuáles fueron las reglas de ese juego?, cómo podría ayudarte esa experiencia a ganar este nuevo juego? Permite que los estudiantes conversen en equipo y se organicen. Guía haciendo preguntas para que los estudiantes orienten sus respuestas y descubran que el volumen de un cubo se puede expresar como una potencia cúbica. Pide que ejecuten la estrategia o el procedimiento acordado en equipo: Recuerda a los estudiantes que un cubo tiene 3 dimensiones de medidas iguales. Matías, asignemos los turnos de participación. Sugiero un sorteo. Sí, Matías, formemos todos los cubos posibles y completemos la tabla. Cada uno construirá un cubo. Orienta a los estudiantes cuando les falten cubitos para armar sus construcciones. Haz que observen las regularidades que se presentan en la tabla. 379
Se espera que los estudiantes llenen la tabla así: Medida de la arista Volumen 2 2 x 2 x 2= 8u 3 3 3 x 3 x 3 = 27u 3 4 4 x 4 x 4 = 64u 3 5 5 x 5 x 5 = 125u 3 6 6 x 6 x 6 = 216u 3 7 7 x 7 x 7 = 343u 3 Luego pregúntales: qué valores representan los factores que determinan el volumen?, qué relación encuentran entre los números que representan la columna de los volúmenes?, qué relación encuentran entre la columna lado con la columna volumen? Supervisa las discusiones de los equipos con estas preguntas. Haz notar que, en cada construcción, para determinar su volumen se multiplicarán las medidas del largo, del ancho y de la altura. En estos casos se aprecia que los factores son iguales, ya que al construir un cubo se deben tener todas las medidas iguales. Indica así, por ejemplo, en el cubo de lado 2, para hallar el volumen 380
se multiplica 2 x 2 x 2 y esto da como resultado 8. Tal como se observa estamos multiplicando tres veces el número 2. Por lo tanto:... hemos utilizado 8 cubitos en su construcción. 2 x 2 x 2 Se representa como una potencia: 2 x 2 x 2= 2 3 =8 Como solo se tuvo material para formar el cubo de lado 4, para continuar con los siguientes valores indica que observen la tabla. Sugiere que relacionen los datos de la columna medida de la arista y la columna volumen. Guía sus respuestas para que se den cuenta de que hay una relación que permite evidenciar que la medida de la arista al multiplicarse tres veces da como resultado el volumen del cubo. Dirige a los grupos para que a partir de la regularidad encontrada completen los siguientes valores de la tabla. 2 2 2 Medida de la arista Volumen 2 2 x 2 x 2= 8u 3 3 3 x 3 x 3 = 27u 3 4 4 x 4 x 4 = 64u 3 5 5 x 5 x 5 = 125u 3 6 6 x 6 x 6 = 216u 3 7 7 x 7 x 7 = 343u 3 Luego de analizar la tabla responde la pregunta: existirá un cubo que tenga un volumen de 40 u 3? Acompaña a los estudiantes durante el proceso de solución del problema, asegúrate de que la mayoría de los equipos lo haya logrado. Indica que observen la tabla o busquen formar el cubo con las 40 unidades. Consulta si lograron formar el cubo y pide que respondan la pregunta. A través de la tabla y del material concreto se aprecia que con 40 unidades cúbicas no se puede formar un cubo, ya que no hay tres números iguales que multiplicados entre sí den como producto 381
40. De igual manera sucede lo mismo con las 100 unidades cúbicas, ya que en ambos casos solo se podrían formar prismas rectangulares. Solicita que un representante de cada equipo comunique qué procesos han seguido para resolver el problema planteado; para ello indica que deben pegar sus papelotes en la pizarra con el objetivo de que cuenten con el soporte gráfico para fundamentar sus resultados. Una vez concluido el plenario de los procesos realizados, pregunta lo siguiente: Por qué se dice que 2 x 2 x 2 = 2 3?, qué representan el número 2 y el 3? A través de la respuesta, los estudiantes identificarán que el número 2 es la base y representa la medida de la arista el lado del cubo, y el número 3 representa la cantidad de veces que estamos multiplicando la base (en este caso, las tres dimensiones del cubo). Luego de observar la columna referida al volumen, pregúntales: qué números han obtenido? Exprésenlos como potencia. Los números obtenidos fueron: 2 x 2 x 2 = 2 3 = 8 3 x 3 x 3 = 3 3 = 27 4 x 4 x 4 = 4 3 = 64 5 x 5 x 5 = 5 3 = 125 6 x 6 x 6 = 6 3 = 216 7 x 7 x 7 = 7 3 = 343 Qué relación encuentran entre estos números y cómo se denominan? A través de esta pregunta, los estudiantes evidenciarán que solo con estos números se pueden formar cubos, los cuales cumplen la condición de que sus tres dimensiones tienen la misma medida; por lo tanto, pueden ser representados a través de potencias cúbicas, ya que se generan de la multiplicación de las tres dimensiones del cubo por sí mismas. Será lo mismo decir 3 2 que 2 3? 382
Indica a los estudiantes que comparen las expresiones y las representen con el material concreto. A través de sus respuestas, los estudiantes lograrán señalar que todo número elevado a un exponente 2 se representa como el área de un cuadrado; mientras que todo número elevado a un exponente 3 se representa como el volumen de un cubo. Formaliza lo aprendido con la participación de los estudiantes; para ello pregúntales: qué nociones matemáticas has empleado?, qué regularidades has descubierto a través del uso de la tabla?, qué debemos tener en cuenta para saber que un número tiene potencia cúbica?, a qué conclusiones llegas luego de haber realizado el juego? Escucha sus respuestas y concluye con ellos lo siguiente: Potencia cúbica Cuando hablamos de potencias cúbicas, hacemos referencia a todo número elevado al exponente 3. Toda potencia cúbica se puede representar como el volumen de un cubo; ya que al multiplicar las tres dimensiones de un cubo se halla el producto de tres factores iguales. Si se tiene 2 3, se puede representar con el volumen de un cubo de arista 2. Por ejemplo: 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 tres factores de medidas iguales Ejemplos de potencias cúbicas: 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000 Reflexiona con los niños y las niñas, mediante las siguientes preguntas: cómo hallamos el volumen de un cubo?, qué relación existe entre potencia cúbica y el volumen?, qué elementos del cubo se relacionan con su volumen?, cómo representamos el volumen de un cubo?, en otros problemas podemos aplicar lo que hemos construido? Finalmente consúltales: habrá otro tipo de potencias?, qué pasos seguiste para resolver las preguntas propuestas? 383
Sexto Grado - Unidad 2 - Sesión 11 Plantea otros problemas Ayuda a la secretaria del colegio Los estudiantes del 6. grado colaborarán con la secretaria del colegio. Ella debe informar sobre el número de lápices que la empresa Grafito S.A. ha donado al colegio. Si los estudiantes observan que hay 12 cajas, y en cada una hay 12 bolsas y en cada bolsa hay una docena de lápices, cuántos lápices habrá en total? Indúcelos a que apliquen la estrategia más adecuada para resolver el problema propuesto. Indícales que socialicen sus resultados y que mencionen las conclusiones a las que llegan respecto a cómo resolver problemas empleando potencias cúbicas. 3. CIERRE 10 minutos Conversa con tus estudiantes sobre lo siguiente: Qué aprendieron hoy? Fue sencillo? Qué dificultades se presentaron? Qué relación encuentras entre el volumen de un cubo con la potencia cúbica? Fundamenta. Qué elemento de la potenciación representa el lado de un cubo? Por qué el exponente 3 hace referencia a una potencia cúbica? En qué situaciones de tu vida cotidiana has resuelto problemas en donde se haga uso de potencias cúbicas?, cómo se han sentido?, les gustó?, qué debemos hacer para mejorar?, cómo complementarías este aprendizaje? Resalta el trabajo realizado por los equipos e indica a los estudiantes que peguen en el sector sus tablas de potencias cúbicas. 384 Z_UNIDAD2_MATEMATICA_6TO 267_ 424.indd 384 17/09/15 17:04