UN MODELO OFENSIVO-DEFENSIVO PARA ESTABLECER UN RATING DE EQUIPOS DE FÚTBOL

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol UN MODELO OFENSIVO-DEFENSIVO PARA ESTABLECER UN RATING DE EQUIPOS DE FÚTBOL Liern Carrión, Vicente (liern@uv.es) y Sala Garrido, Ramón (sala@uv.es) Departamento de Matemáticas para la Economía y la Empresa Universidad de Valencia RESUMEN En este trabajo presentamos un método para ordenar los equipos de la Liga de Fútbol Profesional Española. Se determinan unos inputs y unos outputs que permiten evaluar eficiencia defensiva y ofensiva, tanto en casa como fuera de casa, de cada club. La técnica utilizada se basa en los modelos de Data Envelopment Analysis (DEA). A partir de los scores de eficiencia de cada club se obtiene una valoración y ordenación de los clubes (rating) de las ligas 2001/02 hasta 2007/08 y se muestra su potencial aplicabilidad para la formulación de predicciones. Palabras clave: DEA; Rating; Prediction ABSTRACT In this paper we present an algorithm to rank the teams of the Spanish Professional Football League. Inputs and outputs allowing the evaluation of defensive and offensive efficiencies for each club (home and away). The method is based on Data Envelopment Analysis (DEA). From the efficiency score of each team, a valuation and ranking/rating for the seasons 2001/02 until 2007/08 is obtained. Finally, our procedure is applied to prediction making. Keywords: DEA; Rating; Prediction Clasificación JEL (Journal Economic Literature): L83, Área temática: 1 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 1

Liern, Vicente y Sala, Ramón 1. INTRODUCCIÓN En muchos escenarios económicos, la toma de decisiones pasa por poder ordenar los elementos de un conjunto. De hecho, en algunas aplicaciones prácticas, como es el caso de una competición deportiva, establecer el orden en una clasificación resulta fundamental. Por ejemplo, en el caso de la Liga de Fútbol Profesional española (igual que ocurre en otros campeonatos) el orden en la clasificación determina en gran medida el futuro inmediato del club, ya que en la actualidad los cuatro primeros clasificados participan en la UEFA Champion League, mientras que los dos siguientes participan en la UEFA Cup, y aún es más decisivo para los tres últimos clasificados, puesto que en la temporada siguiente ya no participan en la Primera División sino que deben jugar en la Segunda División. En el fútbol profesional, la participación en competiciones UEFA genera unos ingresos adicionales que les ayuda a cubrir una parte importante del presupuesto de los clubes. Por el contrario, la pérdida de categoría tiene consecuencias dramáticas puesto que implica una reducción de alrededor de la mitad de sus ingresos, mientras que los gastos de los quipos que han descendido apenas se reducen. Otro aspecto que no podemos olvidar, es que el interés de una competición deportiva depende en gran parte de que exista un balance competitivo entre los equipos que la forman, puesto que si no es así, la competición pierde interés porque el resultado esperado coincide, casi siempre, con el real, es decir, los buenos equipos siempre vencen a los restantes, con lo que la calidad del espectáculo se ve mermada y, por tanto, esto repercute en las ganancias que reportan los ingresos, especialmente los televisivos. También en este aspecto, el establecimiento de una ordenación entre los equipos permite determinar si existe ese balance competitivo o no, ya que en algunos casos es posible establecer previsiones sobre el posible vencedor de algunos de los partidos de la competición. El trabajo se organiza en un epígrafe dedicado a revisar los antecedentes del problema a partir de referencias bibliográficas de los diferentes métodos propuestos en la literatura. El apartado siguiente se dedica a describir el procedimiento DEA, y su aplicación al fútbol. A partir de ahí, se define, en el epígrafe 4, el concepto de rating usando los scores de eficiencia de los equipos. Para validar la propuesta se dedican dos apartados a analizar la adecuación del método ex-post con la clasificación de las últimas ligas, mientras que en el siguiente epígrafe se dedica a analizar las probabilidades a priori. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 2

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol Por último se recogen las principales conclusiones, la bibliografía utilizadas en el trabajo y un Anexo con los datos de los scores de las últimas temporadas, tomadas de Sala-Garrido et al. (2009). 2. ANTECEDENTES Para predecir el resultado de un partido se han desarrollado diferentes modelos, por ejemplo, el Modelo (OMD) ofensivo-defenso de Govan et al.(2009), el método matricial de Colley (2002), el enfoque vectorial de Keener-Perron (Keener (1993)), y el modelo de mínimos cuadrados utilizado por Massey (1997) En el modelo ODM, para calcular los ratings ofensivos y defensivos se empieza con la suposición de que las clasificaciones ofensivas más grandes se corresponden con la fuerza ofensiva más grande, es decir, la capacidad de producir marcadores más grandes. Por otro lado, las clasificaciones defensivas más pequeñas corresponderán a la fuerza defensiva más grande, es decir, una clasificación defensiva baja indica que es difícil que el adversario obtenga un gran marcador. Para cada par de equipos i, j se construye la matriz A = [ a ij ], donde a ij es el resultado que ha obtenido el equipo i frente al equipo j (si a ij = 0 significa que los equipos i, j no se han enfrentado en la competición). Alternativamente, puede ser el número de puntos que el equipo j encajó frente al equipo i. Con ello, dependiendo del punto de vista desde el que se analice la matriz A, refleja la respectiva capacidad ofensiva o la defensiva. A partir de este hecho, definimos el índice ofensivo de un equipo j como la combinación: o j = a 1 j ( 1 ) +...+ a nj ( 1 ), (1) d 1 d n donde d i es la capacidad defensiva del equipo es i, que se define como: d i = a i1 ( 1 o 1 ) +...+ a in ( 1 o n ). (2) Puesto que o j y d i son interdependiente, estos valores tendrán que ser determinados por iteraciones sucesivas de la forma siguiente: Se inicializa el proceso con d i =1 para todo i, es decir, d (0) = ( 1 1 1 ) T. Definimos o (0) = A T 1 ( d (0) ), donde 1 d (0) = ( 1, 1,... 1 ) T d1 d2 dn Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 3

Liern, Vicente y Sala, Ramón A partir de ahí, se calculan sucesivamente los valores defensivos y ofensivos mediante las siguientes expresiones: o (k) = A T 1 d (k 1) d (k) = A 1 (3) o (k) La convergencia del modelo ofensivo-defensivo esta garantizada 1 por el Teorema de Sinkhorn Knopp (véase Sinkhorn y Knopp (1967)). El método matricial de Colley usa solamente el número de las victorias y derrotas y el número de partidos jugados por cada equipo, sin asumir ningún empate. La esencia del método de Colley es formular y resolver un sistema de ecuaciones lineales Cr = b para obtener el rating de cada equipo. Cada ecuación del sistema corresponde a un equipo y la solución del sistema suministra la puntuación de clasificación para cada equipo. El algoritmo está basado en un resultado de la probabilidad, denominada Regla de sucesión de Laplace que puede ser encontrado en Ross (2006, p.108), que se usa para aproximar las probabilidades de los sucesos booleanos (en nuestro caso, la probabilidad de ganar o perder un partido). Por otro lado, la existencia y unicidad de la solución está basada en una teoría de un tipo especial de matrices nonegativas, denominadas M-matrices. En 1993, James P. Keener propone un método basado en la teoría de matrices no-negativas que utiliza las propiedades del vector de Perron, garantizadas por el teorema de Perron-Frobenius (véase Meyer (2001, p..673)). El resultado de la matriz no-negativa K se obtiene usando la regla de la sucesión de Laplace y suavizando la función. La esencia de este algoritmo de rating es la de determinar un autovector de la matriz correspondiente a un autovalor dominante de K 2. Kenneth Massey (1997) ideó uno enfoque de mínimos cuadrados para calcular los ratings. La idea consistía en calcular el rating resolviendo el problema de mínimos cuadrados L T Lx = L T b (4) 1 El procedimiento empleado en el teorema de Sinkhorn-Knopp, es usar uno de los métodos para equilibrio de matrices que es citado en algunos trabajos como el método de RAS (véase el funcionamiento del algoritmo RAS en Pavia, Cabrer y Sala (2009)). 2 Otros ejemplos de modelos de rating que usan el teorema de Perron-Frobenius pueden encontrarse en Kleinberg (1999) y Saaty (1987). Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 4

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol donde L es una matriz de partidos por equipo y cada (i,j) indica si ganó el equipo j (toma el valor 1), en caso de perder (el valor sería -1) o no jugó (entonces es 0), b es el vector formado por las diferencias de puntuación de los partidos correspondientes. 3 Una muestra de la importancia que se ha concedido en la literatura al rating, es la cantidad de propuestas que han aparecido y que podrían clasificarse en numerosas categorías diferentes. Unos usan cadenas de Markov, por ejemplo Govan et al. (2008), Kvam y Sokol (2006), Redmond (2003), y Brin y página (1998). Otros modelos de rating se basan el teorema de Sinkhorn-Knopp, como por ejemplo Smith (2005) y ODM o en la regresión logística, por ejemplo, Clarke y Dyte (2000) o Holde y Nevill (1997). 3. MODELO DEA: OFENSIVO Y DEFENSIVO. CASA Y FUERA En los modelos previos, las calificaciones ofensiva y defensiva se obtienen con independencia de los resultados obtenidos en casa o fuera.. Nuestra propuesta de rating permite determinar la clasificación ofensiva y defensiva tanto en casa como fuera, ya que el comportamiento de los equipos de fútbol difiere notablemente según el escenario del partido (home advantage). Por esta razón, nuestra definición de rating se basará en los scores de eficiencia obtenidos por los equipos y se obtendrá como el producto de las eficiencias obtenidas en casa y fuera, tanto en las orientaciones ofensiva como defensivas. Asimismo, nuestra definición de rating ofensivo y defensivo tendrá en cuenta el valor del score o índice de eficiencia, que indicará que cuanto mayor sea, tanto mejor será la clasificación en ambos casos, a diferencia de la propuesta de Govan et al. (2009). Para calcular esta eficiencias recurriremos a los modelos DEA (Data Envelopment Analysis), desarrollados por Charnes et al (1978). Estos modelos han sido aplicados a una amplia gama de áreas, tanto productivas como de organizaciones no lucrativa 4. Se trata de una técnica no paramétrica, que puede formularse como un modelo de programación lineal que calcula la mejor relación entre una suma ponderada de outputs y una suma ponderada de inputs para cada una de las unidades productivas o de decisión, con ello se obtiene un valor del score o índice de 3 Otro modelo de rating que usa uno el enfoque de mínimos cuadrados puede encontrarse en Stefani y Clarke (1992). 4 Para un desarrollo amplio de esta técnica puede verse el libro de Cooper et al. (2007). Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 5

Liern, Vicente y Sala, Ramón eficiencia de esa unidad con relación a las restantes de la muestra. Estos valores siempre están comprendidos entre 0 y 1. Una de las limitación de técnica DEA es que supone que los datos estén libres del errores de medición y, por lo tanto, es más sensible a estos errores que las técnicas paramétricas (funciones frontera). Pero frente a este inconveniente, presentan la ventaja de una gran flexibilidad y que no es necesario escoger ninguna forma funcional especial. Para el análisis de eficiencia se usara el siguiente modelo: Max θ sujeto a : n λ j x ij x i0 i =1,2,...m j=1 (5) λ j y rj θ y r0 r =, 1,2,...s λ j 0 donde x ij y y rj representan los inputs y los outputs, respectivamente, para la j-esima DMU (j= 1, 2,..., n), x i0 es el nivel de input de la unidad que está analizado, y r0 el output de esa DMU y λ j los pesos de la combinación óptima. Finalmente, θ es la eficiencia (relativa) de la unidad j (equipo) es evaluada. Esta propuesta de DEA asume rendimientos constantes a escala, ello es debido a realizar un análisis general de la liga.. Si la unidad del análisis lo fuera cada partido, también podría ser razonable usar rendimientos variables o no creciente a escala. Para usar VRS basta con añadir la n restricción : λ j =1. j=1 Según lo expuesto, es posible usar la idea de una "función de producción deportiva", como propone Rottenberg (1956) analizando el béisbol. Posteriormente, Scully (1974) ofreció una estimación empírica inicial de las funciones de producción para el mismo deporte. Estas obras innovadoras fueron seguidas por otros deportes, Zak, Huang y Siegfried (1979), o Scott, Long y Somppi (1985) o Anderson & Sharp (1997) o Hoeffler & Payne (1997) en el baloncesto, Schofield (1988) en la liga de criket y Sloane (1971) y (1997) en el fútbol. Trabajos más recientes, como Carmichael y Thomas (1995), Hadley, Potrias, Ruggeiro y Knowles (2000), Carmichael, Thomas y Ward (2000), Dawson, Dobson y Gerrard (2000), han aplicado la función de producción y el análisis de eficiencia al rugby y la liga inglesa de fútbol. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 6

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol Recientemente, Barros y Santos (2004) analizan la eficiencia de la Liga Portuguesa de fútbol con modelos DEA CCR (rendimientos constantes) y BCC (rendimientos variables). Haas (2003a) analizó la eficiencia de la Liga Inglesa, y Haas (2003b) analizó la eficiencia de la liga del fútbol en USA Para aplicaciones de DEA en el futbol español, puede verse Espitia-Escuer, M. y García-Cebrián, L. I. (2004), Bosca et al. (2009) y Sala-Garrido et al. (2009). Para obtener los scores 5 para los diferentes equipos que han jugado en la liga española, se han utilizado una serie de inputs y outputs, tanto en la orientaciones ofensivas como defensivas. En la caja de tanto ataque como la defensa, de acuerdo con el método detallado en Boscá et al. (2009): Ataque (en casa o fuera) - Inputs o Remates a puerta o Jugadas de ataque en el área o Centros al área o Minutos de posesión a favor - Ouput o Goles marcados Defensa (local o visitante) - Inputs o Remates recibidos o Jugadas de ataque del adversario en el área propia o Centros recibidos o Minutos de posesión en contra. - Outputs o Goles encajados. Como puede apreciarse, los inputs y los outputs son los mismos, pero con orientación diferente. Para calcular los scores ofensivos utilizando el modelo (5), se han empleado los dados originales de los inputs y los outputs, mientras que en el caso de las medidas defensivas se han usado las inversas de los datos de inputs y outputs. 5 Los datos usados en este artículo han sido proporcionados de forma desinteresada por GECA Sport, una empresa que posee una de las bases de datos más axhaustivas del fútbol español. 7 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104)

Liern, Vicente y Sala, Ramón 4. RATING Supongamos que el equipo 1, tiene mayor fuerza ofensiva que los equipos 2 y 3, y el equipo 2, mayor que el equipo 3, los ratings cumplen que: o 1 o 2 o 3. En la orientación defensiva, la ordenación es : d 1 d 2 d 3 Para describir el procedimiento se usaran los datos de la Jornada 19 de la Liga española 2008/09. Ese día representa el final de la primera etapa. De esta manera para obtener los scores de la eficiencia ofensiva, tanto en casa como fuera, los datos usados están en la Tabla1. Tabla 1: Datos de la Jornada 19 de la Liga española OFENSIVA CASA FUERA game G M REM JUG CEN POS game G M REM JUG CEN POS Almería 10 10 112 29 330 245 9 10 93 20 231 205 Athletic Club 10 15 143 30 386 207 9 12 122 28 266 190 Atl. de Madrid 9 23 148 51 266 236 10 19 129 35 246 226 C.D. Numancia 9 15 107 17 281 175 10 9 113 13 308 223 Dep. A Coruña 9 14 145 32 318 206 10 9 91 20 244 208 Espanyol 9 11 104 30 259 204 10 6 92 20 227 217 F.C. Barcelona 10 36 191 96 351 314 9 23 185 64 320 276 Getafe 10 12 154 45 320 259 9 12 110 35 215 218 Málaga C.F. 10 18 118 29 317 207 9 13 103 15 198 192 Osasuna 9 14 114 34 339 211 10 6 92 23 289 221 R.C.D. Mallorca 9 13 154 24 280 226 10 5 139 19 286 224 Racing de Santander 9 9 110 26 276 213 10 12 100 28 250 203 Real Betis 9 9 149 40 256 239 10 16 143 46 288 247 Real Madrid 10 29 209 66 276 278 9 12 125 38 186 219 Real Valladolid 10 16 116 29 317 259 9 11 98 14 268 207 Recreativo de Huelva 10 10 103 30 310 208 9 7 83 28 202 183 Sevilla F.C. 10 14 165 55 348 282 9 14 90 22 188 200 Sporting de Gijón 9 13 113 29 263 175 10 13 108 25 246 200 Valencia C.F. 10 27 162 50 341 265 9 11 102 18 206 230 Villarreal 9 17 119 27 254 228 10 15 137 22 255 234 Fuente: GECASport Para obtener el rating ofensivo y defensivo en casa que aparecen en la Tabla 3, tenemos: r OC = Score _ Offensive (6) r DC = Score _ deffensive y para obtener el rating en casa ( o fuera, basta con sustituir C por F): R C = r OC r DC (7) Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 8

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol Tabla 2: Scores de eficiencia de la Liga española 2008/09 EQUIPO EF_OF_CASA EF_OF_FUERA EF_DF_CASA EF_DF_FUERA Almería 0,565540379 0,508648969 0,732331308 0,913666280 Athletic 0,769607310 0,786223611 0,765810655 0,783453450 Atlético de Madrid 0,964407318 0,886190898 1 0,735420744 Numancia 1 0,670372028 0,798816568 0,665824858 Deportivo 0,707955114 0,629574588 0,667206216 0,685988603 Espanyol 0,648498887 0,813680930 0,442084942 0,708548480 Barcelona 1 0,744078567 0,991228070 1 Getafe 0,946153846 0,935018051 0,829953917 0,775041051 Málaga 0,660671158 0,771838331 1 0,843695778 Osasuna 0,745059451 0,848280637 0,419254658 0,789998096 Mallorca 0,761952446 1 0,322862129 1 Racing 0,531676679 0,584114455 0,788561525 0,711417097 Betis 0,429402867 0,680889095 0,770509269 0,636446953 Real Madrid 1 1 0,835314092 0,485086236 Valladolid 0,882486668 0,627748294 0,906593407 1 Recreativo 0,593466383 0,703540510 0,543237251 0,722540546 Sevilla 0,500747892 0,541691267 1 0,339915566 Sporting 0,759339525 0,786223611 0,845000000 0,769243445 Valencia 1 1 0,796647691 0,561426468 Villarreal 0,997461929 0,987136732 0,901624549 0,566472743 Media 0,773221393 0,775262529 0,767851812 0,73470932 Dseviación 0,19115211 0,157694612 0,199051736 0,171364067 Fuente: Elaboración propia usando GAMS - CPLEX. Tabla 3: Ratings de la Liga española 2008/09 EQUIPO R_casa R_fuera Almería 0,41416 0,46474 Athletic 0,58937 0,61597 Atlético de Madrid 0,96441 0,65172 Numancia 0,79882 0,44635 Deportivo 0,47235 0,43188 Espanyol 0,28669 0,57653 Barcelona 0,99123 0,74408 Getafe 0,78526 0,72468 Málaga 0,66067 0,65120 Osasuna 0,31237 0,67014 Mallorca 0,24601 1,00000 Racing 0,41926 0,41555 Betis 0,33086 0,43335 Real Madrid 0,83531 0,48509 Valladolid 0,80006 0,62775 Recreativo 0,32239 0,50834 Sevilla 0,50075 0,18413 Sporting 0,64164 0,60480 Valencia 0,79665 0,56143 Villarreal 0,89934 0,55919 Mean 0,60338 0,56784 Standard Deviation 0,24470 0,16497 Fuente: Elaboración propia Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 9

Liern, Vicente y Sala, Ramón Si se desea obtener la eficiencia global, basta con considerar las eficiencias ofensivas y defensivas de forma conjunta. Debido a que las medidas de ambas distribuciones son diferentes, para poder compararlas se han de normalizar. En este proceso de normalización, y con el fin de evitar valores negativos, se ha considerado conveniente sumar una constante (k =5). Véase la Tabla 4. Tabla 4: Ratings normalizados TEAM R_n_c_m R_n_f_m Almería 4,22675 4,37500 Athletic 4,94276 5,29171 Atlético de Madrid 6,47536 5,50843 Numancia 5,79866 4,26355 Deportivo 4,46455 4,17585 Espanyol 3,70583 5,05266 Barcelona 6,58497 6,06825 Getafe 5,74328 5,95065 Málaga 5,23412 5,50524 Osasuna 3,81077 5,62007 Mallorca 3,53957 7,61954 Racing 4,24758 4,07685 Betis 3,88633 4,18475 Real Madrid 5,94781 4,49835 Valladolid 5,80373 5,36311 Recreativo 3,85173 4,63929 Sevilla 4,58059 2,67408 Sporting 5,15636 5,22399 Valencia 5,78980 4,96110 Villarreal 6,20944 4,94752 Media 5,00000 5,00000 Desviación 1,00000 1,00000 Fuente: Elaboración propia 5. APLICACION A LA LIGA ESPAÑOLA. TEMPORADAS 2000/01 A 2007/08 PREDICCION RETROSPECTIVA Y PROSPECTIVA Aunque no es cierto que el equipo mejor obtendrá la victoria en un partido en particular, a lo largo de la temporada se tiene que los mejores equipos obtienen las mayores puntaciones. No obstante, estos indicadores pueden servir de orientación para determinar la fortaleza de una equipo, tanto en casa como fuera, y así poder usarse como indicadores alternativos. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 10

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol Para comprobar la utilidad práctica, esta técnica se puede aplicar de forma retroactivas a las temporadas previas, (pronóstico de visión retrospectiva). Queremos aplicar la clasificación a la temporada del fútbol española de 2000/01 hasta 2007/08. En los Anexo 1, se muestran estos resultados de la aplicación retrospectivas por ello aquí solamente se comentara los resultados de la última temporada 2007/08. En Sala - Garrido et al. (2009) están los scores de eficiencia de los equipos de la Liga: Tabla 5: Scores e índices de la temporada 2007/08. Equipo Ofensivo Defensivo R OR OL Real Madrid 1 1 1,0000 1 1 Villarreal 0,93045 0,93035 0,8656 2 2 F.C. Barcelon 0,88718 0,78415 0,6957 8 3 Atl. de Madrid 0,87514 0,76596 0,6703 9 4 Sevilla F.C. 0,98684 0,71077 0,7014 6 5 Racing de San 0,75000 0,97606 0,7320 4 6 R.C.D. Mallorc 0,95575 0,75117 0,7179 5 7 Almería 0,61667 0,79349 0,4893 14 8 Dep. A Coruña 0,72869 0,84523 0,6159 10 9 Valencia C.F. 0,80493 0,59820 0,4815 15 10 Athletic Club 0,81845 0,85181 0,6972 7 11 Espanyol 0,67571 0,87058 0,5883 11 12 Real Betis 0,89286 0,82572 0,7372 3 13 Getafe 0,63087 0,77965 0,4919 13 14 Real Valladoli 0,76389 0,62713 0,4791 16 15 Recreativo de 0,60530 0,64605 0,3910 19 16 Osasuna 0,64317 0,89885 0,5781 12 17 Real Zaragoza 0,63762 0,66913 0,4267 17 18 Murcia 0,69328 0,59313 0,4112 18 19 Levante 0,54018 0,56113 0,3031 20 20 0,7925 Fuente: Elaboración propia La tabla 5 muestra los resultados para los 20 equipos de los que participaron en la Liga 2007/08, con ello se obtiene el indicador R de la fortaleza del equipo. La ordenación de esta fuerza de los equipos es la columna OR, la cuál se compara con la ordenación real de la Liga, obteniendo un alto indice de correlación de cerca del 80 por ciento, un valor notablemente alto. Tabla 6: Índices de correlación para diferentes ligas Correlation Index 2007 0,79248 2006 0,64269 2005 0,79248 2004 0,86316 2003 0,72782 2002 0,78947 2001 0,80602 2000 0,72932 MEAN 0,76793 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 11

Liern, Vicente y Sala, Ramón Fuente: Elaboración propio Aplicando el método a varias temporadas, obtenemos los datos que se recogen en la Tabla 6. Los valores oscilan 0.86316 y 0.64269, el último valor correspondiendo a la temporada 2006/07, es lógico por las explicaciones contenidas en Sala-Garrido et al. (2009), debido a las diferencias entre los valores de la eficiencia de los equipos diferentes. Sin embargo, si estos valores son comparados con los propuestos por Govan et al. (2009) para el pronóstico de forma retrospectiva en los deportes diferentes (fútbol americano de NCAA y baloncesto de NCAA), se observa que son inferiores, es decir, los rating basados en la eficiencia son mejores que los cuatro indicadores comentado en el trabajo,. La validación del procedimiento puede ser analizada de formas diferentes. Una manera de validar un modelo de rating es mediante los pronósticos de un partido. Este podía ser igual a calcular las clasificaciones de equipo en conjunto periódicamente y use que ellos pronostiquen los resultados del (pronóstico de previsión) de partidos próximo. Si aplicamos la clasificación al pronóstico de la Jornada 20, con los datos de la Tabla 4, los resultados obtenidos son los que aparecen en la Tabla 7:. Tabla 7: Pronóstico Jornada 20 (25/01/2009) r_n_h_m r_n_a_m diferencia % Sevilla Racing 4,5806 4,0768 0,5037 11,0% Almería Athletic 4,2268 5,2917-1,0650-25,2% Valladolid Espanyol 5,8037 5,0527 0,7511 12,9% Barcelona Numancia 6,5850 4,2636 2,3214 35,3% Málaga Atlético de Ma 5,2341 5,5084-0,2743-5,2% Mallorca Valencia 3,5396 4,9611-1,4215-40,2% Real Madrid Deportivo 5,9478 4,1758 1,7720 29,8% Recreativo Betis 3,8517 4,1848-0,3330-8,6% Villarreal Osasuna 6,2094 5,6201 0,5894 9,5% Getafe Sporting 5,7433 5,2240 0,5193 9,0% Fuenter: elaboración propia Si la diferencia es positiva, el resultado esperado es una victoria local, mientras que si es negativa esperamos una victoria del equipo visitante. Aunque va bien para señalar que cuando la diferencia entre ambos los valores es próxima a cero, por ejemplo, alrededor de un 5 %, en la tabla: Málaga Atlético de Madrid, el resultado esperado debe ser un empate. Nuestra clasificación incluye el efecto de ventaja de casa, porque los datos son obtenidos con los 12 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol resultados de casa. Esta es una de las diferencia importantes que no contemplan los modelos de rating generales, ya que solamente computan victorias y derrotas y nunca empate entre los contendientes. En nuestra opinión, una muestra de la bondad del modelo sería la comparación nuestros resultados con los resultados que proporciona una casa de apuestas bwin.com y comparar el número de éxito. En la Tabla 8 aparecen los resultados: Tabla 8: Comparación de los resultados para la Jornada 20 Jornada 20 (25/01/2009) L V aciertos BWIN Sevilla Racing 0 2 0 0 Almer a Athletic 2 1 0 0 Valladolid Espanyol 1 1 0 0 Barcelona Numancia 4 1 1 1 M laga At. Madrid 1 1 1 0 Mallorca Valencia 3 1 0 0 Real Madrid Deportivo 1 0 1 1 Recreativo Betis 1 0 1 0 Villarreal Osasuna 1 1 0 0 Getafe Sporting 5 1 1 1 5 3 Fuente: Elaboración propia Tabla 9: Comparación de los resultados para varias jornadas JORNADA ODM BWIN diferencia 20 5 5 0 21 4 6-2 22 8 6 2 23 4 3 1 24 5 5 0 25 4 3 1 26 6 4 2 27 6 5 1 28 6 6 0 29 8 7 1 30 6 5 1 31 5 7-2 32 6 6 0 33 4 4 0 34 4 3 1 35 4 8-4 36 5 5 0 37 4 5-1 38 3 7-4 97 100-3 180 180 53,89% 55,56% Fuente: Elaboración propia Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 13

Liern, Vicente y Sala, Ramón Las diferencias más importantes se detectan en las Jornadas 35 y 38, ello se debe fundamentalmente a que algunos equipos (FC Barcelona y Real Madrid) dejaron de competir por la liga, ya que prácticamente la decisión de la liga se realizó en la Jornada 34 al ganar el FC Barcelona al Real Madrid. Además el FC Barcelona se dedico a preparar la final de la Champions League que tuvo lugar antes da la Jornada 38. Otros equipos con su clasificación decidida tampoco pusieron mucho interés en las últimas jornadas. 6. CONCLUSIONES La ordenación de elementos dentro de un conjunto es una tarea importante, pero mucho más si se trata de ordenar deportistas o equipos en competiciones deportivas. De hecho, el peor puesto para un deportista olímpico es el cuarto puesto, incluso peor que el último, ya que es el primero sin medalla. Establecer una ordenación de equipos de fútbol, también resulta importante, ya que ocupar unos de los seis primeros puestos (en la liga española) tiene el premio de competir en la temporada siguiente es un competición UEFA, mientras que ocupar una de las tres últimas posiciones significa perder la categoría actual y competir en la segunda división, lo que significa de pérdida de ingresos. Evidentemente, la ordenación final viene dada por la clasificación obtenida a partir de los puntos conseguidos a lo largo de la temporada, pero el poder aproximar esta clasificación y conocer las fortalezas de los equipos tanto en casa como fuera de casa es una labor muy útil. Para poder llevar a cabo esta ordenación y poder establecer una posibilidades de triunfo es el modelo que proponemos. Este modelo tiene la ventaja, de además de considerar las orientaciones ofensivas y defensivas de los equipos, el poder establecer esa ordenación tanto para los partidos jugados en casa como fuera de casa. Este valor incorpora el conocido como home advantage que significa que los equipos gana más partido en casa que fuera. Para construir este índice o rating se recurre al cálculo de los scores ofensivos y defensivo (casay fuera) utilizando la metodología DEA. A partir de estos scores se construye el rating, sin más que multiplicar ambos scores. Comparando este rating para las 7 últimas temporadas de la liga española de Primera División (actualmente Liga BBVA), y comparando los resultados de esta ordenación con los resultados reales de los equipos, se concluye que la existe un elevado índice de correlación entre ambas clasificaciones (más del 75 por ciento de media en todas las temporadas). Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 14

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol Una de las principales aplicaciones prácticas de este método es el proporcionar una estimación de la predicción a priori de los posibles resultados de un partido de fútbol, al comparar el rating del equipo que juega en casa con el rating del equipo visitante, la diferencia entre ambos nos indicará el sentido esperado del resultado. Si ambos valores están suficientemente cercanos, el empate debería ser la mejor alternativa. Este método se ha aplicado a la segunda parte de la liga de la temporada 2008/09, y estos resultados se han comparado con las preferencias en las apuestas realizadas por una de las más famosas casas de apuestas en internet (bwin.com). De la comparación de ambas propuestas, se observa que nuestro método presenta, por ahora, una ligera ventaja sobre la casa de apuestas. Por último, nos gustaría destacar que otra ventaja de nuestra propuesta es la facilidad para calcular los scores, ya que existen numerosos programas comerciales que facilitan el cálculo de estos índices de eficiencia mediante modelos DEA. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 15

Liern, Vicente y Sala, Ramón 7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anderson. T. R. & Sharp. G. P.. A new measure of baseball batters using DEA. 1977. Annals of Operations Research. 73. 141-151. Barros. CP and Santos. A. (Bolle. G. and Desbordes. M. eds.) Les relations entre performance sportive et la performance financiere dans le football: application au cas du football Portugais. 2004. Marketing et Football: Une Prespective Internationale Presses Universitaires du Sport. Voiron. France Bonilla. M; Casasus. T.; Medal. A. and Sala. R. Traffic in Spanish ports: an efficiency analysis. 2002. International Journal of Transport Economics. 29. 215-230. Bosca. J.E.; Liern. V.; Martinez. A and Sala. R. Increasing offensive or defensive efficiency? An analysis of Italian and Spanish football. 2009. Omega. 37. 63-78. Brin, S., and Page, L. The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine. Computer Networks and ISDN Systems 33 (1998), 107 117. Carmichael. F. and Thomas. D.. Production and efficiency in team sports: an investigation of rugby league football. 1995. Applied Economics. 27. 859-869. Carmichael. F.; Thomas. D. and Ward. R.. Team Performance: The Case of English Premiership Football. 2000. Managerial and Decision Economics. 21. 31-45. Charnes. A.; Cooper. W.W. and Rhodes. E.. Measuring the Efficiency of Decision Making Units. 1978. European Journal of Operational Research. 2. 429-444. Clarke, S. R., and Dyte, D. Using official ratings to simulate major tennis tournaments. International Transactions in Operational Research 7, 6.2000, 585 594. Colley, W. N. Colleys bias free college football ranking method: The colley matrix explained. 2002. Coelli. T.; Rao. D.S. and Battese. G.E.: An introduction to efficiency and productivity analysis. 1998. Kluwer. Boston. Cooper. W.W.; Seiford L.M. and Tone. K.: Data Envelopment Analysis. 2007. Springer. New York. Dawson. P.; Dobson. S. and Gerrard. B.. Stochastic Frontiers and the Temporal Structure of Managerial Efficiency in English Soccer. 2000. Journal of Sports Economics. 1-4 341-362. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 16

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol Espitia-Escuer. M. and García-Cebrián. L.I. Measuring the Efficiency of Spanish First-Division Soccer Teams. 2004. Journal of Sports Economics; 5; 329-340 Govan, A., Meyer, C. D., and Albright, R. Generalizing google s pagerank to rank national football league teams. In Proceedings of the SAS Global Forum 2008 (2008). Govan, Anjela Y.; Langville, Amy N.; and Meyer, Carl D. "Offense-Defense Approach to Ranking Team Sports," Journal of Quantitative Analysis in Sports: Vol. 5 : Iss. 1, Article 4. 2009. Available at: http://www.bepress.com/jqas/vol5/iss1/4 Haas. D. J.. Technical Efficiency in the Major League Soccer. 2003. Journal of Sports Economics. 04-03. 203-215. Haas. DJ Productive efficiency of English football teams- a data envelopment approach. 2003. Managerial and Decision Economics 24. 403-410. Hadley. L.; Poitras. M.; Ruggiero. J. and Knowles. S. Performance evaluation of national Football League Teams. 2000. Managerial and Decision Economics 21,. 63-70 Hoeffler. RA and Payne. JE. Measuring efficiency in the National Basketball Association. 1997. Economic Letters 55. pp. 293-299 Holder, R. L., and Nevill, A. M. Modelling performance at international tennis and golf tournaments: Is there a home advantage? The Statistician 46, 4.1997 pp 551 559. Keener, J. P. The perron-frobenius theorem and the ranking of football teams. SIAM Review 35, 1. 1993 pp 80 93. Kleinberg, J. Authoritative sources in a hyperlink environment. Journal of the ACM 46, 5. 1999. Kvam, P., and Sokol, J. S. A logistic regression/markov chain model for ncaa basketball. Naval Research Logistics 53, 8.2006. pp 788 803. Liga de Fútbol Profesional (different years): http://www.lfp.es/ (In Spanish) Pavia, J.M.; Cabrer, B. and Sala, R. Updating input-output matrices: Assessing alternatives through simulation. Journal of Statistical Computation and Simulation. http://www.informaworld.com/smpp/content~content=a908061492~db=all~order=pub date. 2009. Redmond, C. A natural generalization of the win-loss rating system. Mathematics Magazine 76, 2. 2003. pp 119 126. Ross, S. A First Course in Probability. Pearson Prentice Hall, 2006. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 17

Liern, Vicente y Sala, Ramón Rottenberg. S.. The baseball player s labor-market. 1956. Journal of Political Economy. 64. 242-258. Saaty, T. L. Rank according to Perron: A new insight. Mathematics Magazine 60, 4. 1987. pp 211 213. Sala-Garrido, R.; Liern Carrión, V.; Martinez Esteve, A. and Boscá, J. E. "Analysis and Evolution of Efficiency in the Spanish Soccer League (2000/01 2007/08)," Journal of Quantitative Analysis in Sports: Vol. 5 : Iss. 1, Article 3. 2009. Available at: http://www.bepress.com/jqas/vol5/iss1/3 Schofield. J.A.. Production functions in the sports industry: An empirical analysis of professional cricket. 1988. Applied Economics. 20. 177-193. Scott. F.A.; Long. J.E. and Somppi. K.. Salary vs marginal revenue product under monopsony and competition: The case of professional basketball. 1985. Atlantic Economic Journal. 13. 50-59. Scully. G W.. Pay and Performance in Major League Baseball. 1974. American Economic Review. 64. 915-930. Sinkhorn, R., and Knopp, P. Concerning nonnegative matrices and doubly stochastic matrices. Pacific Journal Of Mathematics. 21, 2. 1967. pp 343 348. Sloane. P.J.. The economics of professional football. the football club as a utility maximiser. 1971. Scottish Journal of Political Economy. 8. 121-146. Sloane. P.J. ed.. The economic of sport. 1997. Economic Affairs. 17. Special issue. Smith, W. D. Sinkhorn ratings, and new strongly polynomial time algorithms for sinkhorn balancing, perron eigenvector, and markov chains, 2005. Stefani, R., and Clarke, S. Predictions and home advantage for Australian rules football. Journal of Applied Statistics 19. 1992. pp 251 261. Zak. T. A.; Huang. C.J. and Siegfried. J.J.. Production efficiency: the case of professional basketball. 1979. Journal of Business. 52. 379-392. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 18

Un modelo Ofensivo - Defensivo para establecer un rating de equipos de fútbol ANEXO 2000 TEAM Ofensive Defensive RO RD R OR OL Real Madrid 1 0,91589 1,0000 1,0918 0,9159 2 1 Dep. A Coruña 1 0,97104 1,0000 1,0298 0,9710 1 2 R.C.D. Mallorc 0,88238 0,98662 0,8824 1,0136 0,8706 3 3 F.C. Barcelon 0,96601 0,64400 0,9660 1,5528 0,6221 14 4 Valencia C.F. 0,75184 1 0,7518 1,0000 0,7518 6 5 R.C. Celta de 0,71654 0,89651 0,7165 1,1154 0,6424 13 6 Villarreal C.F. 0,87513 0,91423 0,8751 1,0938 0,8001 4 7 Málaga C.F. 0,99792 0,71029 0,9979 1,4079 0,7088 9 8 R.C.D. Espan 0,75613 0,99839 0,7561 1,0016 0,7549 5 9 Dep. Alavés 0,88751 0,82616 0,8875 1,2104 0,7332 7 10 Las Palmas 0,75820 0,77648 0,7582 1,2879 0,5887 16 11 Ath. Bilbao 0,66420 0,82242 0,6642 1,2159 0,5462 12 12 Rayo Vallecan 0,95201 0,70796 0,9520 1,4125 0,6740 11 13 Real Sociedad 0,97961 0,71681 0,9796 1,3951 0,7022 10 14 Osasuna 0,70077 0,72435 0,7008 1,3805 0,5076 19 15 Real Valladoli 0,74331 0,68894 0,7433 1,4515 0,5121 18 16 Real Zaragoza 0,81537 0,75485 0,8154 1,3248 0,6155 15 17 Real Oviedo 1 0,72302 1,0000 1,3831 0,7230 8 18 C.D. Numanci 0,82364 0,69398 0,8236 1,4410 0,5716 17 19 Racing de San 0,62752 0,79923 0,6275 1,2512 0,5015 20 20 Correlation Index 0,7293 2001 TEAM Ofensive Defensive RO RD R OR OL Valencia C.F. 0,8015 1 0,8015 1,0000 0,8015 6 1 Dep. A Coruña 1 0,8529 1,0000 1,1724 0,8529 3 2 Real Madrid 1 0,8064 1,0000 1,2400 0,8064 5 3 F.C. Barcelon 1 1 1,0000 1,0000 1,0000 1 4 R.C. Celta de 1 0,8381 1,0000 1,1932 0,8381 4 5 Real Betis 0,7307 0,9528 0,7307 1,0495 0,6963 8 6 Dep. Alavés 0,6754 0,8760 0,6754 1,1416 0,5917 14 7 Sevilla 0,9307 0,9383 0,9307 1,0657 0,8733 2 8 Ath. Bilbao 0,9158 0,5609 0,9158 1,7830 0,5136 17 9 Málaga C.F. 0,7817 0,9349 0,7817 1,0697 0,7307 7 10 Rayo Vallecan 0,8054 0,8404 0,8054 1,1900 0,6768 9 11 Real Valladoli 0,8031 0,7445 0,8031 1,3431 0,5979 12 12 R.C.D. Espan 0,8894 0,7200 0,8894 1,3890 0,6403 10 13 Real Sociedad 0,7801 0,7237 0,7801 1,3817 0,5646 15 14 Villarreal C.F. 0,7646 0,7755 0,7646 1,2895 0,5929 13 15 R.C.D. Mallorc 0,7266 0,8255 0,7266 1,2114 0,5998 11 16 Osasuna 0,6621 0,7146 0,6621 1,3993 0,4732 19 17 Las Palmas 0,7032 0,7852 0,7032 1,2736 0,5521 16 18 Tenerife 0,5742 0,6559 0,5742 1,5246 0,3766 20 19 Real Zaragoza 0,5602 0,8708 0,5602 1,1483 0,4878 18 20 Correlation Index 0,8060 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104) 19

Liern, Vicente y Sala, Ramón 2002 TEAM Ofensive Defensive RO RD R OR OL Real Madrid 1 0,90899 1,0000 1,1001 0,9090 1 1 Real Sociedad 1 0,74987 1,0000 1,3336 0,7499 3 2 Dep. A Coruña 0,99008 0,72860 0,9901 1,3725 0,7214 4 3 R.C. Celta de 0,80195 1 0,8020 1,0000 0,8020 2 4 Valencia C.F. 0,70557 1 0,7056 1,0000 0,7056 5 5 F.C. Barcelon 0,78017 0,74376 0,7802 1,3445 0,5803 7 6 Ath. Bilbao 0,95689 0,57100 0,9569 1,7513 0,5464 10 7 Real Betis 0,80346 0,62421 0,8035 1,6020 0,5015 12 8 R.C.D. Mallorc 0,73305 0,73137 0,7331 1,3673 0,5361 11 9 Sevilla F.C. 0,53182 0,90386 0,5318 1,1064 0,4807 13 10 Osasuna 0,64091 0,70190 0,6409 1,4247 0,4499 16 11 Atl. de Madrid 0,66082 0,67547 0,6608 1,4805 0,4464 17 12 Málaga C.F. 0,71856 0,75969 0,7186 1,3163 0,5459 8 13 Real Valladoli 0,62061 0,87918 0,6206 1,1374 0,5456 9 14 Villarreal 0,68612 0,66940 0,6861 1,4939 0,4593 14 15 Racing de San 0,78884 0,55693 0,7888 1,7956 0,4393 18 16 Espanyol 0,91835 0,76329 0,9184 1,3101 0,7010 6 17 Recreativo de 0,65302 0,70135 0,6530 1,4258 0,4580 15 18 Dep. Alavés 0,72137 0,51608 0,7214 1,9377 0,3723 19 19 Rayo Vallecan 0,51851 0,58394 0,5185 1,7125 0,3028 20 20 Correlation Index 0,7895 2003 TEAM Ofensive Defensive RO RD R OR OL Valencia C.F. 1 1 1,0000 1,0000 1,0000 1 1 F.C. Barcelon 0,92125 0,82441 0,9212 1,2130 0,7595 4 2 Dep. A Coruña 1 1 1,0000 1,0000 1,0000 2 3 Real Madrid 1 0,77829 1,0000 1,2849 0,7783 3 4 Ath. Bilbao 0,82938 0,71315 0,8294 1,4022 0,5915 8 5 Sevilla F.C. 0,88316 0,71748 0,8832 1,3938 0,6337 6 6 Atl. de Madrid 0,80421 0,71279 0,8042 1,4029 0,5732 13 7 Villarreal 0,80781 0,65821 0,8078 1,5193 0,5317 17 8 Real Betis 0,76679 0,75663 0,7668 1,3217 0,5802 10 9 Málaga C.F. 1 0,59040 1,0000 1,6938 0,5904 9 10 R.C.D. Mallorc 0,98327 0,52946 0,9833 1,8887 0,5206 18 11 Osasuna 0,71636 0,87876 0,7164 1,1380 0,6295 7 12 Real Zaragoza 0,90479 0,59457 0,9048 1,6819 0,5380 15 13 Albacete 0,90139 0,72400 0,9014 1,3812 0,6526 5 14 Real Sociedad 0,94905 0,57356 0,9491 1,7435 0,5443 14 15 Espanyol 0,83632 0,68620 0,8363 1,4573 0,5739 12 16 Racing de San 0,94949 0,56207 0,9495 1,7791 0,5337 16 17 Real Valladoli 0,84510 0,68535 0,8451 1,4591 0,5792 11 18 R.C. Celta de 0,85491 0,45976 0,8549 2,1751 0,3931 20 19 Murcia 0,63853 0,72076 0,6385 1,3874 0,4602 19 20 Correlation Index 0,7278 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 104 20