Unitat 5. Resolució d equacions

Unitat 5. Resolució d equacions Curs d Anivellament de Matemàtiques Montserrat Corbera / Vladimir Zaiats montserrat.corbera@uvic.cat / vladimir.zaiats@uvic.cat

c 01 Universitat de Vic Sagrada Família, 7 08500 Vic (Barcelona) Permesa la reproducció, sempre que se n esmenti la procedència i no es faci amb finalitats comercials. Curs d Anivellament de Matemàtiques

Índex Unitat 5. Resolució d equacions 4 5.1 Definicions........................................ 4 5.1.1 Transformacions elementals d equacions..................... 4 5. Equacions polinòmiques de grau 1............................ 5 5.3 Equacions polinòmiques de grau............................ 5.3.1 Equacions polinòmiques de grau completes.................. 5.3. Equacions polinòmiques de grau incompletes................. 7 5.4 Equacions polinòmiques de grau superior........................ 8 5.4.1 Resolució d equacions polinòmiques de grau superior amb solucions enteres i racionals..................................... 8 5.4. Resolució d equacions biquadrades....................... 10 5.5 Resolució d equacions irracionals............................ 11 5. Resolució d equacions racionals............................. 13 5.7 Resolució d equacions exponencials i logarítmiques................... 15 5.8 Resolució d equacions trigonomètriques......................... 17 Exercicis d autoavaluació 0 Glossari de termes 5 Bibliografia Curs d Anivellament de Matemàtiques 3

Unitat 5. Resolució d equacions 5.1 Definicions Definició 5.1.1: Una equació és una expressió de la forma f(x) = g(x), (5.1.1) on f i g són funcions a reals devariablereal il element desconegut xés la incògnita del equació. Les funcions f i g s anomenen membres de l equació. Si f i g són polinomis llavors direm que l equació és una equació polinòmica. a La definició de funció real de variable real es dóna a la Unitat 8 Resoldre l equació (5.1.1) consisteix en trobar tots els valors de x que satisfan la igualtat. Aquests valors de x s anomenen solució de l equació. Definició 5.1.: Dues equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions. 5.1.1 Transformacions elementals d equacions S anomenen transformacions elementals aquelles transformacions que passen d una equació a una altra d equivalent: E1 Si sumem o restem als dos membres d una equació el mateix nombre, obtenim una equació equivalent. E Si multipliquem o dividim els dos membres d una equació per un nombre diferent de zero, obtenim una equació equivalent. E3 Si s eleven els dos membres d una equació al quadrat, s obté una nova equació que té almenys les solucions de l equació inicial. En general, la nova equació no és equivalent a la inicial ja que Curs d Anivellament de Matemàtiques 4

pot tenir solucions que no són solucions de l equació inicial. Per tant formalment E3 no es pot considerar una transformació elemental. Usant les transformacions elementals, tota equació polinòmica es pot transformar en una equació equivalent de la forma: a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0 a i R per a tot i = 0,1,...,n. 5. Equacions polinòmiques de grau 1 La forma general d una equació polinòmica de grau 1 és ax = b, a,b R, a 0, (5..) llavors la solució de l equació és: x = b/a (per obtenir-la hem dividit els dos membres de l equació per a). Si l equació que volem resoldre no ve donada en la forma general llavors haurem d aplicar les transformacions elementals necessàries per tal d obtenir una equació en la forma general que sigui equivalent a la inicial. Exemple 5..1 a) 3x+5 = 0 3x = 5 ( ) Solució: x = 5/3 Restem 5 als dos membres de l equació. ( ) Dividim els dos membres de l equació per 3. b) 3(x 1) = 5x+ 3x 3 = 5x+ ( ) 3x 3+3 5x = 5x++3 5x x = 5 ( 4) Solució: x = 5/ c) x+1 4 ( ) Efectuem el producte 3(x 1). ( ) Sumem 3 i restem 5x als dos membres de l equació. Simplifiquem els dos membres de l equació. ( 4) Dividim els dos membres de l equació per + x 3 = 5 x+3 (x+1)+(x 3) = 0 (x+3) (x+1)+(x 3) 4 = 0 (x+3) 4 x+1+x = 0 x x+x+x = 0 1+ 5x = 19 Solució: x = 19/5 Curs d Anivellament de Matemàtiques 5

Trobemelmínim comúmúltipledelsdenominadorsdetotal equació, mcm(4,,1) = 4, i sumem les fraccions que apareixen als dos membres de l equació prenent com a denominador comú el mínim comú múltiple dels denominadors. ( ) Multipliquem tota l equació per 4. Apliquem transformacions elementals fins a obtenir una equació equivalent en la forma general (5..). 5.3 Equacions polinòmiques de grau 5.3.1 Equacions polinòmiques de grau completes La forma general d una equació polinòmica de grau és ax +bx+c = 0, a,b,c R, a 0, (5.3.3) llavors les solucions de l equació vindran donades per la fórmula: x = b± b 4 a c. a Si l equació que volem resoldre no ve donada en la forma general llavors haurem d aplicar les transformacions elementals necessàries per tal d obtenir una equació en la forma general que sigui equivalent a la inicial. El nombre i tipus de solucions de (5.3.3) dependrà del valor del discriminant = b 4 a c (veugeu la Taula 5.3.1). Com que en aquest curs d anivellament no s estudien els nombres complexos, quan el discriminant és negatiu direm que l equació no té solució (real). Discriminant Nombre i tipus de solucions > 0 Dues solucions reals diferents = 0 Una solució real de multiplicitat < 0 Dues solucions complexes conjugades Taula 5.3.1: Nombre i tipus de solucions de l equació ax + bx + c = 0 depenent dels valors del discriminant = b 4 a c. Direm que x = α és una solució real de multiplicitat de l equació ax +bx+c = 0 si la factorització del polinomi ax +bx+c és (x α) (vegeu la Unitat 3). Exemple 5.3.1 a) 3x +5x = 0 Solució: x = 5± 5 4 3 ( ) 3 L equació té dues solucions reals diferents. = 5± 5+7 = 5± 97 = 5+ 97 5 97 Curs d Anivellament de Matemàtiques

b) x +4x+4 = 0 Solució: x = 4± 4 4 1 4 = 4± 1 1 = 4± 0 1 L equació té una solució real, x =, amb multiplicitat. = c) x +3 x+5 = 0 Solució: x = 3 ± 1 L equació no té solucions reals. (3 ) 4 1 5 = 3 ± 18 0 = 3 ± d) 3(x+)(x+3) = (x+3)(x+5) 40x 3(x +3x+x+) = x +30x+3x+15 40x ( ) 3x +9x+x+18 (x +30x+3x+15 40x) = 0 3x +x+3 = 0 Efectuem les operacions dels dos membres de l equació. ( ) Apliquem transformacions elementals fins a obtenir una equació equivalent en la forma general (5.3.3). Solució: x = ± 4 ( 3) 3 ( 3) = ± 130 = 11 130 3 L equació té dues solucions reals diferents. = ± 484+3 = 11 130 3 11+ 130 3 = ± 50 5.3. Equacions polinòmiques de grau incompletes Cas b = 0 : La resolució d una equació de la forma ax +c = 0 es pot fer de la següent manera: ax +c = 0 ax = c ( ) x = c a x = ± c a. Restem c als dos membres de l equació. ( ) Dividim els dos membres de l equació per a. Els valors de x tals que x = α amb α > 0 són x = α i x = α. Exemple 5.3. a) x 4 = 0 x = 4 x = Solució: x = ±. b) x +4 = 0 x = 4 x = Solució: x = ±. L equació no té arrels reals. Curs d Anivellament de Matemàtiques 7

Cas c = 0 : La resolució d una equació de la forma ax +bx = 0 es pot fer de la següent manera: ax +bx = 0 x(ax+b) = 0 ( ) x = 0, ax+b = 0 x = b/a. Traiem una x factor comú. ( ) Tenim el producte de dos nombres igual a zero, llavors o un és zero o l altre és zero. Resolem l equació ax+b = 0. Les solucions de l equació són x = 0 i x = b/a. Exemple 5.3.3 7x 5x = 0 x(7x 5) = 0 Les solucions de l equació són x = 0 i x = 5/7. x = 0, 7x 5 = 0 x = 5/7. 5.4 Equacions polinòmiques de grau superior La forma general d una equació polinòmica de grau n és a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0 a i R per a tot i = 0,1,...,n, (5.4.4) amb a n 0. Es coneixen fórmules per a resoldre les equacions polinòmiques de grau 3 i de grau 4 però com que són bastant complexes no les veurem. No hi ha cap fórmula general per a resoldre anaĺıticament una equació qualsevol de grau més gran que 4. No obstant, en alguns casos particulars en sabrem trobar les solucions. 5.4.1 Resolució d equacions polinòmiques de grau superior amb solucions enteres i racionals Observeu que les solucions de (5.4.4) són les arrels del polinomi P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x+a 0. Així, podem trobar les solucions enteres i racionals d una equació polinòmica a partir de la factorització del polinomi (vegeu la Unitat 3). Primer amb l ajuda de la Regla de Ruffini factoritzarem el polinomi i trobem les solucions enteres i/o racionals amb la multiplicitat corresponent. Després trobem la resta de les solucions. Curs d Anivellament de Matemàtiques 8

Exemple 5.4.1 a) x 3 +4x +x = 0 ( ) x 1 = 0 Solució: x = 1 x+3 = 0 Solució: x = 3 x+ = 0 Solució: x = Factoritzem el polinomi x 3 +4x +x (x 1)(x+3)(x+) = 0 x 3 +4x +x = (x 1)(x+3)(x+). ( ) El producte dels tres factors serà igual a zero sempre i quan un d ells sigui zero. Les solucions de l equació són: x = 1, x = 3 i x =. b) x 3 1 = 0 (x 1)(x +x+1) = 0 ( ) Factoritzem el polinomi: x 3 1 = (x 1)(x +x+1) ( ) Igualem a zero cadascun dels factors. x 1 = 0 Solució: x = 1 x +x+1 = 0 No té solució real Resolem l equació x +x+1 = 0 a partir de la fórmula de resolució d equacions de segon grau x = 1± 1 4 La solució real de l equació és: x = 1. c) x 3 x x+ = 0 (x 1)(x ) = 0 = 1± 3 ( ) No té solució real x 1 = 0 Solució: x = 1 x = 0 Solució: x = ± Factoritzem el polinomi: x 3 x x+ = (x 1)(x ) ( ) Igualem cadascun dels factors a zero Resolem l equació x = 0 com a l Exemple 5.3. x = x = ±. Les solucions de l equació són: x = 1, x = i x =. d) x x 5 +x 4 x 3 +x = 0 x (x 1) (x +1) = 0 x = 0 Solució: x = 0 (multiplicitat ) ( ) (x 1) = 0 Solució: x = 1 (multiplicitat ) x +1 = 0 No té solució real Factoritzem el polinomi x x 5 + x 4 x 3 + x. Com que aquest polinomi no té terme independent primer podem treure x factor comú i després factoritzar el polinomi que en resulta. x x 5 +x 4 x 3 +x = x (x 4 x 3 +x x+1) = x (x 1) (x +1). ( ) Igualem cadascun dels factors a zero. Resolem l equació x +1 = 0 com a l Exemple 5.3.. x +1 = 0 x = 1 x = ± 1 No té solució real Les solucions reals de l equació són x = 0 amb multiplicitat i x = 1 amb multiplicitat. Curs d Anivellament de Matemàtiques 9

e) x 3 +3x +3x+1 = 0 (x+1) 3 = 0 ( ) x+1 = 0 Solució: x = 1(multiplicitat 3) Factoritzem el polinomi: x 3 +3x +3x+1 = (x+1) 3. ( ) Igualem el factor a zero. La solució de l equació és x = 1 amb multiplicitat 3. 5.4. Resolució d equacions biquadrades Una equació biquadrada és una equació polinòmica de grau 4 de la forma ax 4 +bx +c = 0, a,b,c R, a 0. (5.4.5) Observem que l equació (5.4.5) es pot expressar de la forma a(x ) +b(x ) +c = 0, llavors fent el canvi de variable t = x obtenim una equació de grau en la variable t que podem resoldre. Desfent el canvi obtindrem la solució en la variable x. Exemple 5.4. a) x 4 7x +1 = 0 ( ) t 7t+1 = 0 4 t = 7± 49 48 = 7± 1 = 7±1 = 3 x = 4 Solució: x = ± 4 = ± x = 3 Solució: x = ± 3 Les solucions de l equació són: x =, x =, x = 3 i x = 3. b) x 4 +4x 45 = 0 t +4t 45 = 0 ( ) t = 4± 19 5 = 4±14 = 9 x = 5 Solució: x = ± 5 x = 9 Solució: x = ± 9 (No té solucions reals) Les solucions reals de l equació són x = 5 i x = 5. c) x 4 4x +13 = 0 t 4t+13 = 0 ( ) L equació no té solucions reals. t = 4± 3 No té solucions reals Fem el canvi t = x. ( ) Resolem l equació polinòmica de grau en la variable t. Desfem el canvi. Curs d Anivellament de Matemàtiques 10

Hi ha altres equacions que no són exactament biquadrades però admeten un tractament semblant. Exemple 5.4.3 x +x 3 1 = 0 Aquesta equació no és biquadrada però es pot escriure com una equació de la forma ( x 3 ) + ( x 3 ) 1 = 0. Així doncs podem fer el canvi t = x 3 i procedir de manera semblant a les equacions biquadrades. x +x 3 1 = 0 t +t 1 = 0 ( ) t = ± 100 = ±10 = 8 x3 = Solució: x = 3 x 3 = 8 Solució: x = 3 8 = Les solucions reals de l equació són: x = 3 i x =. Fem el canvi t = x 3. ( ) Resolem l equació polinòmica de grau en la variable t. Desfem el canvi. 5.5 Resolució d equacions irracionals Una equació irracional és una equació en la qual la incògnita apareix dins d una arrel. Aquí només veurem com resoldre equacions irracionals on l arrel és una arrel quadrada. Aquestes equacions es poden transformar en equacions polinòmiques mitjançant transformacions del tipus E3 (vegeu la pàgina 4). Exemple 5.5.1 a) 5 x = x+3 Elevem els dos membres de l equació al quadrat per tal de treure les arrels ( 5 x ) = ( x+3 ) 5 x = x+3 Resolem l equació que obtenim. En general aquesta nova equació no és equivalent a l equació inicial, però si que té les solucions de la inicial. 5 x = x+3 Solució: x = 1 Curs d Anivellament de Matemàtiques 11

Comprovem que la solució obtinguda és solució de l equació inicial. 5 1 = 1+3 4 = 4 Per tant x = 1 és solució de l equació inicial. La solució de l equació 5 x = x+3 és: x = 1. b) x+3+x = 1 Passem l arrel a una banda de la igualtat i tot el que no té arrel a l altra x+3 = 1 x+ x+3 = 3 x. Elevem els dos membres de l equació al quadrat per treure l arrel i resolem l equació obtinguda ( x+3 ) = (3 x) x+3 = 9 x+x x 7x+ = 0 Solució: x = 7± 49 4 =. 1 Comprovem que les solucions que hem obtingut són solució de l equació inicial (per simplificar els càlculs podem prendre l equació x+3 = 3 x que és equivalent a l equació inicial) +3 = 3 3 3 x = no és solució de l equació inicial 1+3 = 3 1 = x = 1 és solució de l equació inicial La solució de l equació x+3+x = 1 és x = 1. c) 3x+1 x 1 1 = 0 Deixem les arrels a una banda de la igualtat i tot el que no té arrel a l altre 3x+1 x 1 1 = 0 3x+1 x 1 = 1. Elevem els dos membres de l equació al quadrat ( 3x+1 x 1 ) = (1) ( 3x+1 ) 3x+1 x 1+ ( x 1 ) = 1 3x+1 (3x+1)(x 1)+x 1 = 1. Hem obtingut una equació semblant a la del cas b). Curs d Anivellament de Matemàtiques 1

Resolem l equació com a l apartat b) 3x+1 (3x+1)(x 1)+x 1 = 1 3x+1+x 1 1 = (3x+1)(x 1) 5x 1 = x x 1 ( ) (5x 1) = x x+5 = 0 ( x x 1) 5x 10x+1 = 4(x x 1) Solució: x = ± 3 0 = ±4 = 5 1 Deixem l arrel a una banda i passem tot el que no té arrel a l altre. ( ) Elevem els dos membres de l equació al quadrat. Resolem l equació de grau que hem obtingut. Comprovem que les solucions que hem obtingut són solucions de l equació inicial 3 5+1 5 1 = 1 4 3 = 1 x = 5 és solució 3 1+1 1 1 = 1 1 = 1 x = 1 és solució Les solucions de l equació 3x+1 x 1 1 = 0 són x = 1 i x = 5. 5. Resolució d equacions racionals Les equacions racionals són equacions que contenen fraccions algèbriques. Aquest tipus d equacions es poden transformar en equacions polinòmiques a partir de transformacions del tipus E1 i E (vegeu la pàgina 4) i operant amb fraccions algèbriques. Exemple 5..1 a) 3 x 1 + x = 3 x 1 + x = ( 1) 3x+(x 1) x(x 1) = ( ) 3x+(x 1) = x(x 1) 3x+x = x +x x +3x = 0 Solució: x = 3± 9+1 4 = 3±5 4 = 1 Curs d Anivellament de Matemàtiques 13

Sumem les fraccions algèbriques del membre de la part esquerra de l equació. ( ) Multipliquem els dos membres de l equació per x(x 1). Això només té sentit si x 0 i x 1 0 (és a dir, x 1). Resolem l equació polinòmica que hem obtingut. Falta comprovar que les solucions que hem obtingut són realment solució de l equació inicial; és a dir, són solucions que satisfan les condicions de l anotació ( ) o dit d una altra manera, que no anulen els denominadors. En aquest cas és així. Les solucions de l equació inicial són x = 1/ i x =. b) 4x 8 x + 5 x = 1 4x 8 x + 5 x = 1 ( 1) (4x 8)x+5(x ) x(x ) = 1 ( ) (4x 8)x+5(x ) = x(x ) 3x x 10 = 0 Solució: x = 1± 1+10 4x 8x+5x 10 = x x = 1±11 Sumem les fraccions algèbriques del membre de la part esquerra de l equació. = 10 = 5 3 ( ) Multipliquem els dos membres de l equació per x(x ). Això només té sentit si x 0 i x. Resolem l equació polinòmica que obtenim. La solució x = anula el denominador, així doncs la solució de l equació inicial és x = 5/3. c) x+4 x 4 x 4 x+4 = 4 x 1 1 x 4 x+4 x 4 x 4 x+4 = 4 x 1 1 x 4 (x+4) (x 4) (x+4)(x 4) = 4 (x+4) (x+4)(x 4) ( ) (x+4) (x 4) = 4 (x+4) x +8x+1 x +8x 1 = 4 x 4 17x = 0 Solució: x = 0/17 Sumem les fraccions algèbriques del membre de la part esquerra i les del membre de la part dreta de l equació prenent com a denominador comú el mínim comú múltiple dels denominadors de tota l equació. mcm(x 4,x+4,x 1) = (x 4)(x+4). ( ) Multipliquem els dos membres de l equació per (x+4)(x 4). Això només té sentit si x 4 i x 4. Resolem l equació polinòmica que obtenim. Com que la solució x = 0/17 no anul la cap denominador és solució de l equació inicial. Curs d Anivellament de Matemàtiques 14

5.7 Resolució d equacions exponencials i logarítmiques Una equació exponencial (equació logarítmica) és una equació en la qual la incògnita apareix afectada d una exponencial (logaritme). En el següent exemple veurem com resoldre un cert tipus d equacions exponencials i logarítmiques. En la resolució usarem el fet que l exponencial i el logaritme són funcions inverses; és a dir, log a (a x ) = x, a log a (x) = x. (5.7.) Exemple 5.7.1 a) 3x+5 = x 1 3x+5 = x 1 log ( 3x+5 ) = log ( x 1 ) ( ) 3x+5 = x 1 b) 4 3x = 4 x = Solució: x = 3 Apliquem el logaritme en base als dos membres de l equació. Com que la funció logaritme es injectiva (la funció logaritme s estudia a la Unitat 8), es pot veure fàcilment que l equació que obtenim és una equació equivalent. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Observeu que aplicar el logaritme als dos membres de l equació és equivalent a igualar els exponents. Resolem l equació polinòmica obtinguda. 4 3x = 4 log 4 ( 4 3x ) = log 4 (4) ( ) 3x = log 4 (4) = log 4 ( 4 3 ) = 3 3x = 5 Solució: x = 5/3 Apliquem el logaritme en base 4 als dos membres de l equació. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Resolem l equació polinòmica obtinguda. c) 3 x 1 +3 x +3 x+1 = 117 3 x 1 +3 x +3 x+1 = 117 13 3 3 x 3 +3x +3 x 3 = 117 ( ) t +t+3t = 117 3 t = 117 t = 351 13 = 7 ( 4) 3 x = 7 = 3 3 ( 5) Solució: x = 3 Apliquem les propietats de potències (vegeu la Unitat 1) i escrivim l equació en funció de les potències de 3 x. ( ) Fem el canvi de variables t = 3 x. Resolem l equació polinòmica que obtenim. ( 4) Desfem el canvi. ( 5) Resolem l equació exponencial obtinguda. Curs d Anivellament de Matemàtiques 15

d) x 3 x+1 +8 = 0 x 3 x+1 +8 = 0 ( x ) 3( x )+8 = 0 t t+8 = 0 t = ± 3 3 x = 4 = Solució: x = x = = 1 Solució: x = 1 = ± ( ) t 3(t )+8 = 0 4 ( 4) = Apliquem les propietats de potències i escrivim l equació en funció de les potències x. ( ) Fem el canvi de variables t = x. Resolem l equació polinòmica obtinguda. ( 4) Desfem el canvi. Exemple 5.7. a) log 3 (5x+) = log 3 (3x+) log 3 (5x+) = log 3 (3x+) 3 log 3 (5x+) = 3 log 3 (3x+) ( ) 5x+ = 3x+ x = 4 Solució: x = Apliquem l exponencial en base 3 als dos membres de l equació. Com que la funció exponencial es injectiva l equació que obtenim és una equació equivalent. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Observeu que fer l exponencial als dos membres de l equació és equivalent a igualar els arguments del logaritme. Resolem l equació polinòmica obtinguda. El logaritme només està definit per a nombres positius. Així doncs ens falta comprovar que per x = l equació inicial està definida (és a dir, no tenim cap logaritme d un nombre negatiu) log 3 (5 +) = log 3 (3 +) log 3 (1) = log 3 (1). La solució de l equació log 3 (5x+) = log 3 (3x+) és x =. b) log (5x 4) = 4 log (5x 4) = 4 log (5x 4) = 4 ( ) 5x 4 = 4 = 1 5x = 0 Solució: x = 4 Apliquem l exponencial en base als dos membres de l equació. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Resolem l equació polinòmica obtinguda. Curs d Anivellament de Matemàtiques 1

Comprovem que per x = 4 l equació inicial està definida log (5 4 4) = 4 log (1) = 4. La solució de l equació log (5x 4) = 4 és x = 4. c) logx = log+ log(x 3) logx = log+ log(x 3) logx = log+log(x 3) = log ( (x 3) ) ( ) 10 logx = 10 (x 3) x = (x 3) ( 4) x = x 1x+18 x 13x+18 = 0 Solució: x = 13± 19 144 4 = 13±5 4 = 18 4 = 9 Apliquem les propietats dels logaritmes (vegeu la Unitat 1) per tal d expressar l equació com una equació del tipus estudiat al cas a). ( ) Apliquem l exponencial en base 10 als dos membres de l equació. Apliquem la propietat (5.7.). ( 4) Resolem l equació polinòmica obtinguda. Comprovem si per x = 9/ i per x = l equació inicial està definida log 9 = log+ log ( 9 3 ) log 9 = log+ log ( 3 ). log = log+ log( 3) log 9 = log+ log( 1) x = no és solució La solució de l equació logx = log+ log(x 3) és x = 9/. 5.8 Resolució d equacions trigonomètriques Una equació trigonomètrica és una equació en la qual la incògnita apareix afectada d una funció trigonomètrica. No hi ha cap mètode general per a resoldre equacions trigonomètriques. Tot i així anirà bé tenir en compte el següent: Si en una mateixa equació hi figuren raons trigonomètriques diferents mirarem de reduir-les a una de sola. Les fórmules que ens serveixen per passar d una raó trigonomètrica a l altre són les següents. Curs d Anivellament de Matemàtiques 17

a) cos x+sin x = 1 cos x = 1 sin x, sin x = 1 cos x. b) tanx = sinx cosx, cotanx = cosx sinx, secx = 1 cosx, cosecx = 1 sinx. Si hi figuren angles diferents primer mirarem d expressar totes les raons trigonomètriques en funció d un mateix angle. Les propietats de les raons trigonomètriques que necessitarem es troben a la Unitat. Exemple 5.8.1 En tot l exemple es donarà el resultat en radians. a) 3cos x = sinx 3cos x = sinx 3 ( 1 sin x ) = sinx 3 3sin x = sinx 3sin x sinx 1 = 0 ( ) 3t t 1 = 0 t = 1± 1+1 = t = sinx = 1+ 13 t = sinx = 1 13 1+ 13 1 1+1 ( 4) x = ( 5) x = 0.875075 +kπ.517 +kπ 0.44914 +kπ 3.590808 +kπ A l equació hi figuren sinx i cos x, així el primer que haurem de fer és expressar l equació en funció d una sola raó trigonomètrica que pot ser sinx o cosx. Sabem que sinx = 1 cos x i cos x = 1 sin x. Per estalviar-nos de treballar amb arrels deixarem l equació en funció de sinx. ( ) Fent el canvi t = sinx, obtenim una equació de grau en la variable t i la resolem. Desfem el canvi. ( 4) Hem de trobar tots els valors de x per als quals sinx = 1+ 13. ( 1+ L arcsinus i el sinus són funcions inverses. Llavors x = arcsin ) 13 = 0.875075..., però aquest no serà l únic valor de x que satisfà la igualtat. A partir de les propietats ( ) del sinus tenim( que sin(α+kπ) ( )) = sinα i sin(π α) = sinα, així doncs, x = arcsin +kπ ix = π arcsin +kπ també satisfan la igualtat. 1+ 13 1+ 13 ( 5) Usant els arguments de l anotació ( 4) tenim que els valors de x per als quals sinx = 1 13 ( ) ( ( )) són x = arcsin +kπ i x = π arcsin +kπ. 1 13 b) 4cos(x)+4sin x = 1+4sinx 1 13 4cos(x)+4sin x = 1+4sinx 4 ( cos x sin x ) +4sin x = 1+4sinx 4cos x = 1+4sinx ( ) 4 ( 1 sin x ) = 1+4sinx Curs d Anivellament de Matemàtiques 18

4sin x+4sinx 3 = 0 t = 4± 1+48 8 ( 4) t = sinx = 1 t = sinx = 3 = 4t +4t 3 = 0 1/ 3/ ( 5) x = ( ) arcsin ( 1 π arcsin ( 1 No té solució real ) +kπ = π +kπ ) +kπ = 5π +kπ Al equacióhi figurenraons trigonomètriquesde l anglexil anglex. Primerexpressem totesles raons trigonomètriques en funció de l angle x. Això és possible gràcies a la propietat cos(x) = cos x sin x. ( ) Tenim una equació semblant a l equació del cas a). La resolem de manera semblant. Expressem l equació en funció només de sinx (usem que cos x = 1 sin x). Fem el canvi t = sinx i resolem l equació de grau que ens queda. ( 4) Desfem el canvi. ( 5) Procedim de manera semblant a l anotació ( 4) del cas a). ( ) Per a tot x R es compleix que sinx [ 1,1]. Així doncs, no hi ha cap x R tal que sinx = 3/. c) 4sin ( x π ) cos ( x π ) = 3 ( 4sin x π ) ( cos x π ) = 3 sin(t) = 3 t = 4sintcost = 3 arcsin ( 3 π arcsin ) +kπ = π 3 +kπ ( 3 ( ) sin(t) = 3 ) +kπ = π 3 +kπ π t = +kπ ( 4) π 3 +kπ x = t+ π = π 3 +kπ π +kπ Fem el canvi de variables t = x π i obtenim una equació trigonomètrica que sabem resoldre. ( ) Hauríem de deixar l equació en funció d una sola raó trigonomètrica. En aquest cas per fer-ho tenim dues opcions: Sabem que sint = 1 cos t (o també cost = 1 sin t), per tant substituint a l equació obtenim una equació irracional en funció de cost (o també sint) que vindrà donada per 4 1 cos tcost = 3 (o també 4sint 1 sin t = 3). A partir de les propietats de les raons trigonomètriquessabem que sin(α) = sinαcosα, per tant sin α cos α = sin(α)/. Llavors podem escriure l equació en funció sin(t). La segona opció és la més fàcil. Procedim de manera semblant a l anotació ( 4) del cas a). ( 4) Desfem el canvi. Curs d Anivellament de Matemàtiques 19

Exercicis d autoavaluació 1. Resoleu les següents equacions polinòmiques. En cas de tenir solucions amb multiplicitat més gran que 1, indiqueu també la seva multiplicitat. a) 5 4 x+ 3 x = 9x+13 c) 4 ( 1 5 x 3 ) = 5 ( x+ 8 ) 8 9 b) 3x 5 d) x 4 + x 1 9 + 3 = 3x 1 = 14x 3 15 + 1 4 x+1 9 e) (x 1)(x+3) = 3(x )(x+1) 4(x ) f) 3(x+)+5( x) = 10 4(+x) g) y + y 3 = 0 h) x +7x 11 = 7(x+1) i) (x 1) (x+1) 3 = 1 x j) x x = 1 k) x 4 x +1 = 0 l) x 4 x 3 = 0 m) x 4 3x 4 = 0 n) y 3y 3 + = 0 o) y +3y 3 + = 0 p) x 3 7x+ = 0 q) x 3 3x+ = 0 r) (x 3) 3 +8 = 0 s) x 4 x 3 3x +4x+4 = 0 t) x 4 x 3 5x +4x+ = 0 v) x x 4 9x +9 = 0 Solució a) x = /15 b) No té solució c) x = 81 333 d) x = 1 e) x = 8, x = 3 f) x = 7 14 g) y = ± h) x = ±3 i) x = 1, x = 5 j) x = 3 ± 17 k) x = ±1(mult.) l) x = ± 3 m) x = ± n) y = 1, y = 3 o) y = 1, y = 3 p) x = 1, x =, x = 3 q) x = 1(mult.), x = r) x = 1 s) x = 1(mult.), x = (mult.) Curs d Anivellament de Matemàtiques 0

t) x = 1, x = 3, x = ± v) x = ±1, x = ± 3. Resoleu les següents equacions racionals. a) x+4 x 4 x 4 x+4 = 4 x 1 c) 1 x = x+3 x e) 15 8 5 x = 1 +9 f) x 9 x g) b) 5x 1 x+ x 3 x = 8 3 ( d) 1 )( ) 1 3 x x +1 x + 1 x+1 x 1 x+1 = 1 x x+3 x x+1 x 1 x+1 = 0 h) x+1 x + x x+ = 7x+ x 4 = Solució a) x = 3/ b) x = 7/, x = 4 c) No té solucions reals d) x = 11 113 4 ± 4 e) x = 3, x = 3/3 f) x = 3 g) x = 3, x = 1/3 h) x = 0, x = 3 3. Resoleu les següents equacions irracionals. a) x 1 = x 1 b) x+1 = 5 x c) x+1 = x 1 d) 3x 5+1 = x e) x+3+ x+ = 3 x+3 Solució a) x = 1, x = 101 b) x = 1 d) x = 7 e) x = c) x = 1, x = 1 + 5 Curs d Anivellament de Matemàtiques 1

4. Resoleu les següents equacions exponencials. a) 3 4x+1 = 9 b) 4 x+3 = 4 x 1 c) 4 x+1 + x+3 30 = 0 d) ey e y = (ey ) Solució a) x = 1/4 b) x = 4 c) x = 3 d) y = 0, y = 3 5. Resoleu les següents equacions logarítmiques. a) lnx ln1 = 0 b) lnx+ln3 = lnx ln(x ) c) ln x+4+ 1 ln(x+1) = 1+ln3 d) ln(8 x3 ) 3ln(4 x) = 0 Solució a) x = 4 b) x = 7/3 c) x = 1 ( 3+ 18e +1) d) x = 1, x = 3. Trobeu totes les solucions de les següents equacions trigonomètriques. a) sinx = 1/ b) cosx = 1/ c) tanx = 1 d) sin x 4 = 5cosx e) cotan x cosecx = 1 f) cosx = secx g) 3tanx = cosx Solució a) x = π/+kπ, x = 5π/+kπ b) x = π/3+kπ, x = 5π/3+kπ c) x = π/4+kπ, x = 5π/4+kπ d) x = π +kπ, x = 4π +kπ amb k Z 3 3 e) x = 30 +k30, x = 150 +k30, x = 70 +k30 amb k Z f) x = kπ amb k Z g) x = π +kπ, x = 5π +kπ amb k Z Curs d Anivellament de Matemàtiques

7. Expresseu y com a funció de x ens els següents casos. a) 1 xy 1 = 1 lnx b) e y 1 = x c) yx x+y = x ) 1/ d) x = (1 y e) lny = x+4 f) arctany = arctanx+1 g) ln x ( ) x lny = 0 y Solució Tractem les expressions com una equació on y és la incògnita i x és una constant. Resolem l equació respecte y i trobem y(x). a) y(x) = xlnx + 1 x c) y(x) = ± 1 4x+1 ( ) 1 b) y(x) = ln x+1 x d) y(x) = x e) y(x) = e x+4 f) y(x) = tan(arctanx+1) g) y(x) = x x 0 x < 0 8. Aïlleu de les següents expressions la variable o les variables que s indiquen entre parèntesis. 1+ x+y x y a) 1 x+y = 1 (y) x y k b) v = m (A x ) (m), (A) c) i = E R+r (R) d) S = a rl 1 r (r) e) A = πr(r+h) (h), (r) Curs d Anivellament de Matemàtiques 3

Solució f) 1 R = 1 R 1 + 1 R (R), (R 1 ) m g) R 1 = (m 1 ) R m ( 1 1 h) f = RC 4 1 ) (C), (n) n i) 1x 1 y = y 3 (x) 7 j) 3 y +1 = 1 x q k) S = q +p(1 q) (y) (q) l) y = e x e x (x) m) lny = lnx+3 (y) n) ln(x y) = lnx 4 (y) a) y = x b) m = k(a x ) v, A = ± c) R = E ir i d) r = S a S L mv +kx e) h = A πr, r = hπ ± πa+h π f) R = R 1R, R 1 = RR πr π R 1 +R R R g) m 1 = m R 4f n CR h) C = R1 (n 4)R, n = ± CR 4f i) x = 1 1 (y +y 4 +y +1) j) y = 343x3 8(x 1) ( 3 ps 1 ( k) q = l) x = ln y ± ) ) y ps S +1 +4 m) y = e3 x n) y = x e 4 +x k Curs d Anivellament de Matemàtiques 4

Glossari de termes Equacions, 4 biquadrades, 10 equivalents, 4 exponencials, 15 irracionals, 11 logarítmiques, 1 polinòmiques, 4 de grau 1, 5 de grau, de grau superior, 8 racionals, 13 solució, 4 transformacions elementals, 4 trigonomètriques, 17 Curs d Anivellament de Matemàtiques 5

Bibliografia Podeu consultar qualsevol llibre de primer i segon de Batxillerat. Curs d Anivellament de Matemàtiques