Estacionalidad Determinista Segmentada, Efecto Calendario, Efecto Semana Santa y predicción de modelos con Raíces Unitarias

Estacionalidad Determinista Segmentada, Efecto Calendario, Efecto Semana Santa y predicción de modelos con Raíces Unitarias Práctica N o 2 Técnicas en Predicción Administración y Dirección de Empresas Departamento de Estadísitica Universidad Carlos III de Madrid 2 de abril, 2009

Objetivos de la práctica Modelar los siguientes fénomenos: 1 Modelización de la estacionalidad determinista segmentada. 2 Modelización efecto calendario. 3 Modelización efecto Semana Santa. 4 Modelización de la tendencia y la estacionilidad estocástica. 5 Predicción fuera de la muestra.

Estacionalidad Determinista Segmentada 11 y t = β 0 + β 1 t + β 01 ϕ 1t + β 11 ξ 1t + β j SA jt + 11 j=1 j=1 β j SB jt + η t donde 1 en el mes j. SA jt = 0 resto. 1 t Diciembre. Misma estructura para SB jt

Índice de Precios al Consumo (IPC) de España ew:esp11099 El IPC muestra clara ruptura en el nivel de la tendencia en 1975.

Índice de Precios al Consumo (IPC) de España Tendencia Segmentada (Detrending) Los valores resultaron significativos como cabría de esperar.

Índice de Precios al Consumo (IPC) de España Tendencia Segmentada Los residuos muestran una clara estructura cíclica que debe ser modelada.

Índice de Precios al Consumo (IPC) de España Estacionalidad Segmentada Implantación del nuevo Sistema de Índice de Precios de Consumo con la inclusión de los precios rebajados. Se han generado dummies desde 1995:01 a 2009:02.

Índice de Precios al Consumo (IPC) de España Estacionalidad Segmentada

Estacionalidad Segmentada Diagnosis

Estacionalidad Segmentada Diagnosis No se rechaza la H 0 de normalidad.

Otros posibles modelos I(2, 0) + EE Truncada 11 12 logipc = 12 SB jt + ω t n=1 I(1, 1) + ED Truncada 11 11 logipc = c + SA jt + SB jt + ω t n=1 n=1 11 11 2 12 logipc = 2 12 SA jt + 2 12 SB jt + ω t n=1 n=1

Tipos de Predicción Predicción Dinámica Los valores desplazados se sustituyen por los valores estimados. Podemos hacer predicción para los períodos que queramos, ya que se puede ir estimando de uno en uno los valores futuros que se van sustituyendo en la ecuación Predicción Estática Los valores desplazados de la serie se sustituyen por sus correspondientes valores observados. Sólo podemos hacer predicción un período hacia adelante, ya que no se tiene, observaciones disponibles. Al no existir residuo para el período de predicción se utiliza la media de los residuos. Al utilizar valores observados se comete menos error que en la predicción dinámica.

Estacionalidad Segmentada Predicción Dinámica

Estacionalidad Segmentada Predicción Estática

en la extracción de señales mediante variables artificiales Existen efectos que ocurren de forma recurrente, año tras año, que sólo se pueden modelizar de modo relativamente sencillo de forma determinista. Estos efectos no constituyen un análisis de intervención tal y como lo presentan Box y Tiao (1975), pero están captados de forma similar a través de variables artificiales.

Efecto Calendario (Trading Day) Concepto Se presenta en variables mensuales que se obtienen por agregación temporal de los correspondientes valores diarios, si existe algún tipo de estacionalidad semanal, el valor que toma el agregado mensual depende de la composición del mes. Un ejemplo típico lo constituye el IPI: La producción mensual es la suma de las producciones diarias.( días por mes IPI) Existe estacionalidad de carácter semanal, que lleva a distinguir, al menos, entre días laborables y no laborables.( días laborables por mes IPI)

Modelización del efecto calendario Cleveland y Grupe (1982) EC t = 7 δ j U jt j = 1,..,7 (1) j=1 EC t = δdt t + 7 β j U jt (2) DT t Número total de días en un mes U jt Número de lunes, martes,...en cada mes. δ Efecto medio de añadir un día más. β j Efecto de añadir un día del tipo j en un deterd. mes. A través de (1) los estimadores son muy poco precisos debido a la alta correlación entre U jt. j=1

Modelización del efecto calendario Formulamos una nueva variable V jt = U jt U 7t j = 1, 2,..,6 (3) 6 7 EC t = δdt j + β j V jt + U 7t (4) Modelo final que estimaremos x t = a + bt + j=1 j=1 11 b j Sjt + j=1 j=1 β j 6 β j V jt + w t (5)

Índice de Producción Industrial

Modelo con tendencia y estacionalidad determinista x t = a + bt + 11 j=1 b j Sjt + w t Caída de la producción en el mes de agosto.

Añadimos el efecto calendario x t = a + bt + 11 b j Sjt + j=1 j=1 6 β j V jt + w t

Residuos del modelo con efecto calendario Los residuos han mejorado algo con respecto al modelo anterior pero siguen mostrando un comportamiento cíclico.

Correlograma: Modelo con Efecto Calendario Tanto la acf como la pacf muestran estructura mostrando que están lejos de comportarse como ruido blanco.

ˆx t+h = ED t+h + ŵ t+h ED t+h Efecto determinista. No hay incertidumbre, mera extrapolación matemática. ŵ t+h Componente estacionario, tiene dependencia respecto del pasado. Dos formas de predecir ˆx t+h considerar ŵ t+h. Enfoque parcial (forma burda) E(ŵ t+h ) = 0. Predicción es ineficiente pero consistente. Enfoque general ŵ t+h. Tiene dependencia que puedo introducir en el modelo a través de una estructura de tipo ARMA.

Modelo con efecto calendario y estructura AR(2) en los residuos

Correlograma El correlograma muestra una clara estructura en los retardos estacionales (12, 24, 36) de tipo autorregresiva.

Estimación con el Modelo Final x t = a + bt + 11 b j Sjt + j=1 j=1 6 β j V jt + AR(2)AR(1) 12 Se ha introducido una estructura AR(1) 12 y ha resultado ser significativa. También se han eliminado los efectos calendario que no resultaron ser significativos.

Residuos del Modelo Final Los residuos son compatibles con una estructura de ruido blanco, es decir, como media cero y varianza constante con algunas observaciones con valores excesivamente altos.

Box Plot de los residuos del Modelo Final En el box plot se observa una asimetría en la distribución de los residuos y la existencia de datos atípicos.

Correlograma del Modelo Final Todo los valores están dentro de las bandas de confianza por lo que podemos decir que el residuo es ruido blanco. Ninguna de la autocorrelaciones ha resultado ser significativa

Predicción del Modelo Final: Dentro de la muestra Consideramos la varianza de las predicciones como constantes en las próximas prácticas veremos como realizar las predicciones de forma más real: fuera de la muestra y con varianzas que aumentan con el horizonte de la predicción.

Predicción del Modelo Final Todas las predicciones están dentro de las bandas de confianza y muestran que aunque el modelo es simple las predicciones no son malas.

Efecto Bisiesto (Leap Year) Concepto Es interesante investigar el efecto que produce que haya un día más en el mes de febrero cada cuatro años, para ello construimos una variable artificial que capte este efecto. Modelización N t = 7 D jt = longitud del mes t (6) j=1 N t = 1 4 (N t + N t 12 + N t 24 + N t 36 ) (7) LY t = N t N t (8)

Efecto Bisiesto Creamos la variable dummy o artificial de la siguiente manera: 0,75 en el mes febrero del año bisiesto. LY t = 0,25 en febreros no bisiestos. 0 en otro caso. La suma de un ciclo completo es igual a cero.

Efecto Semana Santa (Easter Effects) Concepto El efecto de Semana Santa es otro efecto ejemplo de distorsión de carácter marcadamente estacional que sin embargo no se puede asignar al componente estacional, ya que la suma de sus contribuciones a la variable estudiada, a lo largo de un año natural, no es igual a cero. Modelización EP t = { 1 Meses de Pascua. 0 los demás meses. La Semana Santa puede caer en los meses de Marzo y Abril.

Otros efectos El alumno puede estudiar otros efectos que sean interesantes de la variable que a elegido 1 Fiestas. 2 Efecto año bisiesto. 3 En las próximas prácticas se modelizarán otros efectos particulares que afecten a la serie analizada: Atípicos u Outliers, cambios metodológicos, etc. Estos efectos forman parte de lo que se denomina Análisis de Intervención.

Modelización Determinista Modelo más general y t = β 0 + β 1 t + β 01 ϕ 1t + β 11 ξ 1t + + + 11 j=1 11 β j SA jt + β j SB jt + j=1 6 β j V jt + EP t + η t j=1 Cualquier otra efecto o característica particular de la serie deberá ser modelada.

Cuidado Es importante no confundir el tipo de series, ya que si una serie presenta una tendencia determinista y se diferencia se introduce un proceso no invertible en los componentes MA. Por otra parte, si se incorpora una tendencia determinista en una regresión en una regresión cuando no existe, el resultado es un error de especificación si el proceso tiene raíz unitaria. Ejemplo y t = β 0 + β 1 t + a t y t 1 = β 0 + β 1 (t 1) + a t 1 y t = β 1 + (a t a t 1 ) r t = a t 1a t 1 MA(1) no invertible.

Segunda parte de la práctica Predicción con el modelo con raíces unitarias (Differencing) 12 logx t = w t (9) logx t = logx t 1 + (logx t 12 logx t 13 ) + w t (10) Recordatorio de clase 1 Como se vió en clase la forma de tratar un modelo con raíces unitarias es a través de la diferenciación. Diferenciandolo tantas veces como raíces unitarias tenga. 2 Algunas de las diferencias pueden ser estacionales. 3 El modelo que estamos estimando es un modelo I(2,0)+ Estacionalidad Estocástica.

Serie de pasajeros de líneas aéreas (1949-1960) Los datos muestran: tendencia, estacionalidad y variabilidad proporcional a la media.

Análisis de dlogairline La tasa log intermensual muestra

Análisis de dd12logairline Posible heterocedasticidad Autocorelaciones IMA(1, 1) IMA(1, 1) 12

Estimación del modelo con estructura ARMA El modelo estimado es: 12 log(airline t ) = (1 0,40B)(1 0,63B 12 )â t

Diagnóstico del modelo Residuos compatibles con estructura ruido blanco.

Diagnóstico del modelo Algunos residuos atípicamente elevados. No rechazamos la hipótesis de normalidad.

Modelo mejorado con Efecto Calendario y Efecto Pascua 12 logp t 100 = 3,88 12 L t +4,82 12 F t +2,70 12 SS t + +(1 0,21B)(1 0,61B 12 )â t

Diagnóstico del modelo

Predicción del modelo in sample

Formas de Predicción Predicción fuera de la muestra con Eviews.

Métodos de predicción Predicción fuera de la muestra con Eviews. Predicción dentro de la muestra Se estima el modelo con todos las observaciones y se predice con una parte de la muestra final. Subestima la varianza. Predicción fuera de la muestra Dos formas: 1 Dividiendo la muestra en una muestra de estimación y otra de validación (Sobreestima la varianza). 2 Estimado con toda la muestra y haciendo predicciones fuera de la muestra.

Predicción fuera de la muestra Predicción fuera de la muestra con Eviews. En prácticas anteriores hemos realizado la predicción dentro de la muestra (in sample) pero como se ha visto en la introducción del curso la teoría de la predicción esta íntimamente unida a la teoría de la decisión, es decir, a la toma de decisiones óptimas en ambientes de incertidumbre por parte de los agentes económicos. Por lo que, el interés radica en la predicción de valores futuros, es decir, fuera del rango muestral.

Predicción fuera de la muestra con Eviews. Vamos a ilustrar la forma de hacerlo con el último modelo con el modelo REGARIMA aplicado a la serie de líneas aéreas corregido de Efecto Calendario y Efecto Pascua.

Procedimiento a seguir en Eviews Predicción fuera de la muestra con Eviews. 1 Ir a la ventana del workfile seleccionar: procs/structure/resize Current Page Variando el rango deseado de la predicción. 2 Volvemos a la ecuación que queremos predecir y pinchamos en forecast, cambiamos el rango de la predicción y qué pasa??? Missing values??. 3 Una vez corregido el fallo anterior ya puedes predecir fuera de la muestra. 4 Calcula los intervalos de confianza al 80 % y al 95 % y graficalos Qué observas? 5 Grafica un Error Bar a través de la opción graph de Eviews.

Predicción 12 meses hacia delante Predicción fuera de la muestra con Eviews.

Predicción fuera de la muestra con Eviews.

Error bar Predicción fuera de la muestra con Eviews.