ECONOMETRÍA II: ECONOMETRÍA DE SERIES TEMPORALES. Modelos econométricos dinámicos uniecuacionales

Transcripción

1 ECONOMETRÍA II: ECONOMETRÍA DE SERIES TEMPORALES Modelos econométricos dinámicos uniecuacionales

2 Introducción: Hemos estudiado modelos de tipo: y t = φ 0 + p i=1 φ iy t i + q j=0 θ jɛ t j y t = β x t + u t Ahora vamos a estudiar y t = µ + en más detalle p γ i y t i + i=1 r β r x t j + ɛ t ɛ t WN(0, σ 2 ) j=0 Este modelo se llama un modelo autoregresivo con retardos distribuidos y se denota ARDL(p, r) (ARDL = Autoregressive Distributed Lag )

3 Introducción (cont.): Un modelo ARDL(p, r) sin la parte AR(p) se denota DL(r). Es decir, un modelo DL(r) tiene la forma y t = µ + r γ j x t j + ɛ t, ɛ t WN(0, σ 2 ) j=0 Existen modelos ARDL(p, r) más generales con términos MA. Es decir, que tienen la forma y t = µ + p γ i y t i + i=1 r β r x t j + j=0 q θ j ɛ t j ɛ t WN(0, σ 2 ) j=0

4 El modelo ARDL(p, r): Con el operador retardo el modelo ARDL(p, r), sin constante, se puede escribir como (1 γ 1 L γ p L r )y t = (β 0 + β 1 L + β r L r )x t + ɛ t C(L)y t = B(L)x t + ɛ t Un modelo ARDL(p, r) se puede representar como un modelo DL( ): C(L)y t = B(L)x t + ɛ t y t = B(L) x t + 1 C(L) C(L) ɛ t }{{}}{{} y t = D(L) x t + η t y t = δ j x t j + η t j=0

5 El modelo ARDL(p, r) (cont.): Nota: El error {η t } ya no es ruido blanco; ahora está autocorrelado Estabilidad de un modelo ARDL(p, r): todas las raíces características están dentro del círculo unidad ( todas las raíces del polinomo C(L) están fuera del círculo unidad) Es decir, que todas las raíces del polinomo 1 γ 1 z γ 2 z 2 γ p z p = 0 están fuera del círculo unidad, o que todas sus inversas 1 z están dentro del círculo unidad

6 El modelo ARDL(p, r) (cont.): La estabilidad no implica que la suma j=0 δ j < Por tanto, el impacto sobre la variable endógena y t es finito. Es decir, pasado un tiempo y t : se retorna al equilibro, o se tiende hacia un nuevo equilibrio

7 Multiplicadores, el retardo medio y el retardo mediano: Definición: multiplicador de impacto. El multiplicador de impacto (multiplicador contemporáneo), denotado m 0, representa el cambio en y t en el periodo t ante una variación unitaria de la variable exógena x t en el periodo t Es decir m 0 = yt x t = δ 0 Definición: multiplicador de retardo j. El multiplicador de retardo j, denotado m j, representa el cambio en y t en el periodo t ante una variación unitaria de la variable exógena x t j en el periodo t j

8 Multiplicadores, etc. (cont.): Es decir m j = y t x t j = δ j Definición: multiplicador total. El multiplicador total, denotado m T, es la suma de todos los multiplicadores m 0, m 1, m 2,... Es decir m T = j=0 m j = j=0 δ j

9 Multiplicadores, etc. (cont.): Definición: retardo medio. El retardo medio se define como la media, ponderada por el retardo, de todos los coeficientes del polinomio D(L): Retardo medio: m = j=0 jδ j j=0 δ j Idea intuitiva del retardo medio: informa si el impacto de x t en y t está concentrado/diluido en el tiempo

10 Multiplicadores, etc. (cont.): Definición: retardo mediano. El retardo mediano se define como el instante en el que se alcanza el 50% del impacto total que se produce en y t debido a una variación en x t : { q j=0 Retardo mediano: q = min q δ } j j=0 δ 0.5 j En palabras: el valor mínimo de q tal que P q j=0 δ j P j=0 δ j 0.5 Interpretación económica del retardo medio: informa si el impacto de x t en y t está concentrado/diluido en el tiempo

11 Multiplicadores, etc. (cont.): Ejemplo. Consideramos el modelo ARDL(1,0) siguiente: Los polinomios C(L) y B(L) son: y t = 0.8y t 1 + 3x t + ɛ t (1) C(L) = 1 0.8L B(L) = 3 Raíz característica de (1): 1 z = 0.8 Raíz característica del polinomo 1 0.8z: z = Conclusión: como 1 < 1 ( z > 1), entonces (1) es estable z

12 Multiplicadores, etc. (cont.): Ejemplo (cont.). El polinomio D(L) se obtiene dividiendo B(L) por C(L): D(L) = B(L) C(L) = L = 3( L L 2 + ) Entonces: = L L L 3 + = δ 0 + δ 1 L + δ 2 L 2 + δ 3 L 3 + m 0 = δ 0 = 3 m 1 = δ 1 = 2.4. etc.

13 Ejemplo (cont.): Multiplicadores, etc. (cont.): Multiplicador total: m T = j=0 m j = j=0 δ j Retardo medio: m = = = 15 P j=0 jδ j P j=0 δ j = = 4 = B (1) B(1) C (1) C(1) Para calcular el retardo mediano, conviene definir el multiplicador cumulativo: q m q = j=0 δ j

14 Ejemplo (cont.): Multiplicadores, etc. (cont.): q = 0 q = 1 q = 2 q = 3 m q m T { Retardo mediano: q = min q P q j=0 δ j P j=0 δ j } 0.5 = 3

15 Ejemplos de modelos economicos: Modelos económicos: existen varios modelos económicos que se pueden representar como modelos de regresión dinámica Ejemplos: modelos con expectativas adaptivas modelos de ajuste parcial modelos de optimización dinámica

16 Ejemplos de modelos economicos (cont.): Ejemplo de expectativas dinámicas: consideramos y t = α + βx e,t+1 t + ɛ t con donde x e,t+1 t = λx e,t t 1 + (1 λ)x t, λ [0, 1] x e,t+1 t es la nueva expectativa x e,t t 1 es la expectativa anterior x t es el valor realizado

17 Ejemplos de modelos economicos (cont.): Ejemplo de expectativas dinámicas (cont.): x e,t+1 t = λx e,t t 1 + (1 λ)x t (1 λl)xt e,t+1 = (1 λ)x t xt e,t+1 1 = (1 λ) (1 λl) x t Nota: x e,t+1 t = (1 λ)(x t + λx t 1 + λ 2 x t 2 + ) λ = 0 x e,t+1 t = x t (corrección inmediata)

18 Ejemplos de modelos economicos (cont.): Ejemplo de expectativas dinámicas (cont.): y t = α + βxt e,t+1 + ɛ t y t = α + β 1 λ 1 λl x t + ɛ t (1 λl)y t = (1 λl)α + β(1 λ)x t + (1 λl)ɛ t y t = α + λy t 1 + β x t + ɛ t Es decir, un ARDL(1, 0) donde α = (1 λ)α β = β(1 λ) ɛ t = ɛ t λɛ t 1 = MA(1)

19 Ejemplos de modelos economicos (cont.): Ejemplo de un modelo de ajuste parcial: y t = φ 1 y t 1 + λ(y t y t 1 ) + ɛ t, ɛ t WN(0, σ 2 ) donde y t = β x t. Es decir, hay un valor ancla, y t, que depende de x t Entonces: y t = φ 1 y t 1 + λ(y t y t 1 ) + ɛ t = (φ 1 λ)y t 1 + λβ x t + ɛ t Esto es un modelo ARDL(1,0), pero con los {ɛ t } no autocorrelados

20 Estimación: Posibles problemas en la estimación: 1. Multicolinearidad entre regresores 2. Excesivo número de parámetros 3. Correlación entre los regresores y el error Los problemas 1 y 2 implican que es aconsejable elegir valores pequeños de p y r para un modelo ARDL(p, r) Por ello, el modelo ARDL(1,1) es bastante popular: y t = µ + γ 1 y t 1 + β 0 x t + β 1 x t 1 + ɛ t

21 Estimación (cont.): Recordamos: si los regresores son correlados con el error, el método MCO ( OLS ) produce estimaciones sesgadas e inconsistentes En algunos modelos ARDL(p, r) los regresores son correlados con el error Solución: estimación con variables instrumentales Variables instrumentales son variables que: están correladas con el regresor que sustituyen no están correladas con el error ya no forman parte de la regresión

22 Estimación (cont.): Si Z es la matriz que tiene en sus columnas las observaciones de las variables explicativas del modelo que no han sido sustituidas, es decir, la matriz de regresores X y las observaciones de las variables instrumentales, entonces una estimacion consistente de β es: ˆβ IV = (Z X) 1 Zy El método de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E; 2SLS )se puede usar para realizar una estimación con variables instrumentales Primera etapa: regresión de cada regresor correlado con el error del modelo sobre los instrumentos Segunda etapa: regresión de la ecuación original sobre los valores de ajuste en lugar de los regresores