Estimación MCO, MCI en Modelos de Ecuaciones Simultáneas

Transcripción

1 Estimación MCO, MCI en Modelos de Ecuaciones Simultáneas Economía Aplicada III (UPV/EHU) OCW 2013

2 Contents 1 Estimación MCO de la Forma Estructural 2 3 4

3 Estimador MCO de la FE Consideremos la -ésima ecuación estructural del Modelo de Ecuaciones Simultáneas y = Y β TxG G x1 o de forma más compacta y = Z + X γ TxK K x1 δ Tx(G +K )(G +K )x1 [ β donde Z = [Y X ] δ = γ + u + u ] El estimador MCO de δ se define como: u (0,σ 2 I T) u (0,σ 2 I T ) ˆδ MCO = (Z Z ) 1 Z y = δ +(Z Z ) 1 Z u

4 Sesgo de simultaneidad: Inconsistencia de MCO En general, al incluir la matriz de regresores Z a variables endógenas Y que son regresores estocásticos: No son independientes de u ˆδ MCO no lineal y sesgado, siendo desconocida su distribución exacta para muestras finitas En general E(Y u ) 0 plimˆδ MCO δ Inconsistencia ( ) Teorema: Dado que plim 1 T X U = 0 y plim ( 1 T X X ) = M ( ) matriz (KxK) finita y definida positiva, si plim 1 T Y u 0 entonces plimˆδ MCO δ por lo que el estimador MCO de δ no es consistente

5 Forma Reducida (FR): donde Π y t = Πx t +v t t = 1,,T v t NID(0,Ω) GxK = B 1 Γ y v t = B 1 u t y Ω = B 1 Σ(B 1 ) Utilizando la notación anterior también podemos expresar la Forma Reducida como: Y = X Π + V TxG TxK KxG TxG donde Π = Γ (B ) 1, y V = U(B ) 1 UD Si escribimos todas las ecuaciones de la Forma Reducida de la forma: Y TxG El estimador MCO de Π es = X TxK Π KxG + V TxG ˆΠ MCO = (X X) 1 X Y

6 Considerando la ecuación -ésima de la Forma Reducida: y = X TxK π Kx1 +v donde π = [ π 1 π 2 π K ] Podemos obtener cada columna de ˆΠ de la estimación MCO ecuación por ecuación: ˆπ MCO = (X X) 1 X y siendo la columna -ésima de ˆΠ MCO = [ˆπ MCO 1 ˆπ G MCO ] Teorema: Dado que plim ( 1 T X U ) = 0 para y plim ( 1 T X X ) = M matriz (KxK) finita y definida positiva, el estimador MCO de Π es consistente

7 Forma Reducida como un SURE y 1 y 2 y G = X X X π 1 π 2 π G + v 1 v 2 v G y G donde v (0,(Ω I T )) E(vv ) = (Ω I T ) = = (I G X) Ψ GKx1 GTxGK + v G w1 2I T w 12 I T w 1G I T w 12 I T w2 2I T w 2G I T w G1 I T w G2 I T w G I T

8 equivalente a MCO La Forma Reducida no restringida es un sistema de ecuaciones aparentemente no relacionadas (SURE) donde en cada ecuación tenemos la misma matriz de datos de las variables exógenas Por esa razón, estimar el sistema por un método que tenga en cuenta la matriz de varianzas y covarianzas del vector de perturbaciones, como es MCG(F), no aporta nada en términos de eficiencia ya que es idéntico a estimar por MCO cada ecuación por separado ˆΨ MCG = ((I G X) (Ω ) 1 ( I T ) 1 (I G X) (I G X) (Ω ) I T ) 1 y = = ( (Ω 1 ) 1 ( X X) (Ω 1 ) ( X )y = I G (X X) 1 X ) y = ˆΨ MCO

9 Es un método de estimación con información limitada Se estima una ecuación aislada de la Forma Estructural No se utiliza la especificación concreta del resto de ecuaciones La información de la matriz de varianzas y covarianzas del vector de perturbaciones no se utiliza Está indicado cuando la ecuación está exactamente identificada Es un método de estimación por Variables Instrumentales

10 Este método consiste en: 1) Estimar la matriz de coeficientes de la forma reducida Π por MCO ecuación por ecuación, y = X TxK π Kx1 +v ˆπ MCO = (X X) 1 X y = 1,,G ˆΠ MCO = (X X) 1 X Y ˆΠ MCO = [ˆπ MCO 1 ˆπ G MCO ], donde ˆπ MCO las columnas de ˆΠ MCO = 1,G son

11 2) Obtener las estimaciones de los coeficientes estructurales de la ecuación de interés, B y Γ, a partir del sistema de ecuaciones que relaciona Π con B y Γ Las relaciones entre los coeficientes estructurales de esa ecuación y los coeficientes de la forma reducida vienen dados por Π B = Γ Π 1 β 0 = [ γ 0 ]

12 3) Utilizando la estimación de Π se obtienen resolver el sistema de K ecuaciones: 1 (X X) 1 X Y ˆβ MCI = 0 ˆβ MCI [ ˆγ MCI 0 y ˆγ MCI En total son K ecuaciones con (G +K ) incógnitas Si la ecuación no está identificada bien porque no se satistace la condición necesaria K < G K < G +K lo que implicaría menos ecuaciones que incógnitas, o no se satisface la de rango aún satisfaciéndose la de orden, no se podría resolver de forma única el sistema de ecuaciones Habría infinitas soluciones ] de

13 Si la ecuación está exactamente identificada y se satisface la condición de rango el sistema tiene una única solución para ˆβ MCI y ˆγ MCI La condición necesaria para la identificación exacta es K = G K = G +K En este caso, el número de ecuaciones y de incógnitas es el mismo Si la ecuación está sobreidentificada, y se satisface la condición de rango, entonces hay más ecuaciones que incógnitas K > G K > G +K Esto implica que obtenemos distintas estimaciones para los mismos parámetros estructurales

14 MCI como Estimador de Variables Instrumentales Sea la ecuación que queremos estimar donde Z = y = Z δ Tx(G +K )(G +K )x1 Y TxG X δ = TxK + u [ β γ ] u (0,σ 2 I T) La matriz de instrumentos a utilizar es X = (X X ) ya que las variables exógenas están incorreladas con u y, están correladas con las variables endógenas Son buenos instrumentos

15 Si está exactamente identificada K = G por lo que la matriz (X Z ) es una matriz cuadrada, ya que K = G +K, y podemos obtener el estimador de Variables Instrumentales de δ como ˆδ VI = (X Z ) 1 X y Este estimador es la solución al sistema de ecuaciones (X Y ) ˆβ VI + (X X ) ˆγ VI = X y (X Y ) ˆβ VI + (X X ) ˆγ VI = X y Este es el mismo sistema de ecuaciones del que es solución el estimador ˆβ MCI y ˆγ MCI