LADE y DER-LADE. Primer evaluación parcial

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1 ECONOMETRÍA II CURSO 2007 LADE y DER-LADE Primer evaluación parcial 1. Considere la variable y t para el proceso y t = c + φ y t 1 + a t, donde a t es un ruido blanco. Suponga para φ los valores φ = 0.3 (caso A) y φ = 0.8 (caso B). a) Describa la estructura de dependencia entre la variables y t y y t k, k > 0, en ambos casos. Comente si en cada uno de ellos existe una restricción y calcúlela. Comente, si es el caso, cómo esas restricciones particulares se generalizan para cualquier AR(1). b) En el caso φ < 1, discuta las características de la variable y t en función de valores de c 0. Cuál sería la característica de la variable y t si c < 0? 1

2 2. Para la serie X t de las que se tienen 120 observaciones, se ha propuesto el siguiente modelo anual. logx t = c + d t + β a t 1 + a t, (1) donde a t es un proceso ruido blanco y c, d y β son parámetros. Al analizar los datos con este modelo se detecta que en la serie temporal hay una ruptura en su crecimiento tendencial en la observación 63. a) Amplíe el modelo (1) con una variable adicional dígase, r t, para captar dicha ruptura tendencial y describa dicha variable. Denomine e al parámetro de la variable r t. b) Suponga que al estimar el modelo ampliado, dígase modelo (2), se obtiene que ĉ = 7.23 ˆd = 0.05 ê = ˆβ = 0.7 Describa la tendencia del modelo (2) e interprete los parámetros de la misma. Describa el componente estacional de (1) y sus diferencias con el de (2). c) Describa el modelo que siguen las desviaciones de logx t sobre su tendencia, denomine V t a dichas desviaciones. Existe o no dependencia temporal en V t? Cuál es la correlación entre V t y V t 4? 2

3 ECONOMETRÍA II CURSO 2007 LADE y DER-LADE Primer evaluación parcial 1. Sea el modelo y t = c + θa t 1 + a t, donde a t es un ruido blanco con varianza σ 2. Se supone además que θ < 1. a) Calcule la media marginal. Calcule la media condicional y compárela con la media marginal. Dé ejemplos en los que la media condicional sea superior a la marginal. La media condicional no es constante en el tiempo, sin embargo, el proceso es estacionario. Explique este hecho. b) Compare las varianzas marginal y condicional y señale en qué caso coincidirían. Discuta si la varianza condicional cambia a la largo del tiempo, tal como ocurría con la media condicional. Soluciones sugeridas: a) E(y t ) = c + θe(a t 1 ) + E(a t ) y a t es ruido blanco, en consecuencia, µ = E(y t ) = c. (1) Esperanza matemática condicional respecto todo el pasado anterior (I t 1 ): E(y t I t 1 ) = c + θa t 1. (2) La esperanza matemática condicional es igual a la esperanza marginal más el término θa t 1. Este término tiene como media el valor cero y por tanto no contribuye a µ, la media marginal de y t. Sin embargo, a t 1, aunque media cero, toma, en general, valores distintos de cero, que condicional a I t 1, son conocidos y entran, por tanto, en la media condicional de y t. Supóngase que θ > 0, entonces siempre que la innovación a t 1 cumpla a t 1 > 0 la media condicional será superior a la media marginal, y siempre que en este ejemplo a t 1 < 0 ocurrirá lo contrario. La media marginal es un parámetro fijo, c, en este caso, pero la media condicional depende además de los valores de las variables condicionantes. Estas son variables temporales y en este caso a t 1. Por eso la media condicional de y t que toma la expresión 1

4 (2) cambia en cada momento t, pues depende de una a t 1 diferente. Sin embargo, su estructura, recogida en (2), es fija, constante, válida para cualquier y t, pero como incluye valores de la innovación anterior el valor concreto de esa estructura fija (2) cambia con t. Pero siendo la estructura (2) fija la variable y t puede ser estacionaria, como ciertamente lo es, pues al seguir un modelo MA(1) su varianza y correlaciones temporales no dependen de t. b) Varianza marginal: γ 0 = V ar(y t ) = E(y t c) 2 = E(θa t 1 + a t ) = E(θ 2 a 2 t 1 + 2θa t 1 a t + a 2 t ) = θ 2 E(a 2 t 1) + 2θE(a t 1 a t ) + E(a 2 t ). (3) En (3) las esperanzas matemáticas de los términos al cuadrado son la varianza del proceso ruido blanco, es decir, σ 2 según el enunciado de la pregunta. El término E(a t 1 a t ) es una covarianza entra variables ruido blanco con distinto índice temporal y por tanto es cero. En consecuencia de (3) se obtiene γ 0 = V ar(y t ) = σ 2 (1 + θ 2 ). (4) Varianza condicional V ar(y t I t 1 ) = E[y t E(y t I t 1 ] 2 = E(y t c θa t 1 ) 2 = E(a 2 t ) = σ 2. (5) Ambas varianzas (4) y (5) sólo pueden coincidir si θ = 0, en cuyo caso y t no sigue un proceso MA(1), sino que ella misma y t = a t es el ruido blanco a t. En el caso de la varianza condicional, su estructura recogida en (5) no sólo es fija en el tiempo sino que viene dada por σ 2, sin depender de valores pasados de a t. Por tanto para cualquier momento t, la varianza condicional de y t, que es la varianza residual del modelo MA(1) que genera a y t, es la misma: σ 2. 2

5 2. Al estimar el modelo trimestral para logx t logx t = logx t 1 + m + βa t 4 + a t, (1) se obtiene ˆm = con una desviación estándar de 0.014, pero se detecta que es incorrecto y que debe ampliarse con variables artificiales estacionales. a) Reformule el modelo (1) excluyendo a m e incluyendo en él cuatro variables artificiales estacionales cada una con el valor unidad en su trimestre de referencia y cero en todas las demás. Denomine (2) al modelo resultante. Interprete las características evolutivas del nivel tendencial y estacional de logx t según el modelo (2). b) En la estimación de los coeficientes de las cuatro variables estacionales, m 1, m 2, m 3 y m 4, se obtiene m 1 = 0.01 m 2 = 0.06 m 3 = 0.05 m 4 = 0.04 Interprete los parámetros m 1 a m 4, calcule el crecimiento tendencial, y señale cuál es el trimestre en el que el crecimiento trimestral se desvía más del crecimiento tendencial. Compare los crecimientos tendenciales estimados por (1) y por (2) y realice un comentario crítico. c) A partir de (2) formule un modelo para la tasa de crecimiento trimestral de X t aproximada por la primera diferencia de los logaritmos. Discuta si es o no estacionaria y describa sus características. d) Bajo el supuesto que X t viene determinado por el modelo (2), señale cómo obtendría la transformación estacionaria de X t, y denomínela r t. Comente si existe o no dependencia temporal en la serie r t. a) Soluciones sugeridas: 4 logx t = logx t 1 + m j S jt + βa t 4 + a t, (2) j=1 3

6 donde las variables S jt son las cuatro variables artificiales definidas en el enunciado de la pregunta. En (2) logx t tiene, según (1), una media distinta de cero, que podemos denominar m, es decir, m j = m 0, j=1 con lo que los coeficientes m j se pueden formular como, m j = m + m j de modo que ahora, por construcción, se cumple que 4 m j = 0. j=1 En consecuencia (2) se puede escribir como 4 logx t = logx t 1 + m + m js jt + βa t 4 + a t. (3) En (3) se ve que X t tiene una tendencia con crecimiento sistemático, en la que el nivel es estocástico con una raíz unitaria y el crecimiento es determinista ya que de (3) se desprende que E( logx t ) = m. (4) j=1 Además de tendencia, logx t tiene oscilaciones estacionales de nivel, pues las esperanzas matemáticas de los trimestres naturales toma la forma E (j) ( logx t ) = m + m j, (5) donde E (j) significa la esperanza matemática sólo de las variables logx t correspondientes al trimestre natural j. Es decir que la esperanza matemática de logx t cambia en cada trimestre por un término m j que se añade a la esperanza matemática m, resultante para toda la muestra. b) m j = m + m j, (6) 4

7 con lo que m = j=1 m j = 0.04 es, según lo dicho anteriormente, el crecimiento tendencial y los parámetros m j las medias de los crecimientos estacionales que según (6) se componen del crecimiento tendencial m y de la oscilación estacional en la media (m j), que se denomina coeficiente estacional. Estos m j son m 1 = 0.03, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01, m 4 = 0, con lo que el trimestre que más se desvía del crecimiento tendencial es el primero. En (1) el crecimiento tendencial estimado es y en (2) 0.04, que no son significativamente distintos entre sí ya que la desviación estándar del primero es de b) El modelo pedido es 4 logx t = m + m js jt + βa t 4 + a t. (7) j=1 En (7) vemos que la media de logx t cambia con el trimestre natural. Al no ser constante la media el proceso no es estacionario. Sin embargo, logx t no tiene tendencia pues su media es un valor fijo m, ya que las desviaciones de la media de logx t sobre m, suman cero dentro de cada año natural. En consecuencia, logx t es una variable no estacionaria sin tendencia, pero con oscilaciones estacionales en el nivel. d) La transformación estacionaria se obtendría: Por tanto, 4 V t = logx t m m js jt. (8) V t = βa t 4 + a t, j=1 que sigue un proceso MA(4) y por tanto existe dependencia temporal en V t. En efecto, comparando V t con V t j, j = 1, 2,..., 5 tenemos V t = a t + βa t 4 V t 1 = a t 1 + βa t 5 V t 2 = a t 2 + βa t 6 V t 3 = a t 3 + βa t 7 V t 4 = a t 4 + βa t 8 V t 5 = a t 5 + βa t 9 5

8 y se puede ver que las únicas variables que tienen innovaciones comunes con V t y, por tanto, están correlacionadas con ella es V t 4. Así la FAC de este proceso es: ρ 1 = 0 ρ 2 = 0 ρ 3 = 0 ρ 4 = β 1+β 2 ρ j = 0, j > 4 Esta FAC tiene punto de corte en j = 4 y por tanto sigue un proceso MA(4). 6

9 ECONOMETRÍA II CURSO 2007 LADE y DER-LADE Primer evaluación parcial 1. Sea el modelo y t = c + φy t 1 + a t, donde a t es un ruido blanco con varianza σ 2. Se supone además que φ < 1. Indicación para cálculo de varianzas: Escriba el modelo en desviaciones de la media µ: y t µ = φ(y t 1 µ) + a t. a) Calcule la media marginal. Calcule la media condicional y compárela con la media marginal. Dé ejemplos en los que la media condicional sea superior a la marginal. La media condicional no es constante en el tiempo, sin embargo, el proceso es estacionario. Explique este hecho. b) Compare las varianzas marginal y condicional y señale en qué caso coincidirían. Discuta si la varianza condicional cambia a la largo del tiempo, tal como ocurría con la media condicional. 1

10 2. Al estimar el modelo trimestral para logx t logx t = logx t 1 + m + βa t 4 + a t, (1) se obtiene ˆm = con una desviación estándar de 0.014, pero se detecta que es incorrecto y que debe ampliarse con variables artificiales estacionales. a) Reformule el modelo (1) excluyendo a m e incluyendo en él cuatro variables artificiales estacionales cada una con el valor unidad en su trimestre de referencia y cero en todas las demás. Denomine (2) al modelo resultante. Interprete las características evolutivas del nivel tendencial y estacional de logx t según el modelo (2). b) En la estimación de los coeficientes de las cuatro variables estacionales, m 1, m 2, m 3 y m 4, se obtiene m 1 = 0.01 m 2 = 0.06 m 3 = 0.05 m 4 = 0.04 Interprete los parámetros m 1 a m 4, calcule el crecimiento tendencial, y señale cuál es el trimestre en el que el crecimiento trimestral se desvía más del crecimiento tendencial. Compare los crecimientos tendenciales estimados por (1) y por (2) y realice un comentario crítico. c) A partir de (2) formule un modelo para la tasa de crecimiento trimestral de X t aproximada por la primera diferencia de los logaritmos. Discuta si es o no estacionaria y describa sus características. d) Bajo el supuesto que X t viene determinado por el modelo (2), señale cómo obtendría la transformación estacionaria de X t, y denomínela r t. Comente si existe o no dependencia temporal en la serie r t. 2

11 ECONOMETRÍA II CURSO 2007 LADE y DER-LADE Primer evaluación parcial 1. Considere la variable y t para el proceso y t = c + θa t 1 + a t, donde a t es un ruido blanco. Suponga para θ los valores θ = 0.3 (caso A) y θ = 0.8 (caso B). a) Describa la estructura de dependencia entre la variables y t y y t k, k > 0, en ambos casos. Comente si en cada uno de ellos existe una restricción y calcúlela. Comente, si es el caso, cómo esas restricciones particulares se generalizan para cualquier MA(1). b) Discuta las características de la variable y t en función de valores de c 0. Cuál sería la característica de la variable y t si c < 0? 1

12 2. Para la serie X t de las que se tienen 120 observaciones, se ha propuesto el siguiente modelo anual. logx t = c + d t + β a t 1 + a t, (1) donde a t es un proceso ruido blanco y c, d y β son parámetros. Al analizar los datos con este modelo se detecta que en la serie temporal hay una ruptura en su crecimiento tendencial en la observación 63. a) Amplíe el modelo (1) con una variable adicional dígase, r t, para captar dicha ruptura tendencial y describa dicha variable. Denomine e al parámetro de la variable r t. b) Suponga que al estimar el modelo ampliado, dígase modelo (2), se obtiene que ĉ = 7.23 ˆd = 0.05 ê = ˆβ = 0.7 Describa la tendencia del modelo (2) e interprete los parámetros de la misma. Describa el componente estacional de (1) y sus diferencias con el de (2). c) Describa el modelo que siguen las desviaciones de logx t sobre su tendencia, denomine V t a dichas desviaciones. Existe o no dependencia temporal en V t? Cuál es la correlación entre V t y V t 4? 2

13 ECONOMETRÍA II CURSO 2007 LADE y DER-LADE Primer evaluación parcial 1. Sea el proceso y t = a t + θa t 1, donde a t es un proceso ruido blanco. a) Bajo qué condiciones se puede escribir este modelo como un proceso autorregresivo? b) Asumiendo que se verifican las condiciones necesarias, escriba este proceso como proceso autorregresivo. A partir de la expresión autorregresiva, explique las implicaciones de las condiciones del apartado a). 1

14 2. Al estimar el modelo trimestral para logx t logx t = logx t 1 + m + βa t 4 + a t, (1) se obtiene ˆm = con una desviación estándar de 0.014, pero se detecta que es incorrecto y que debe ampliarse con variables artificiales estacionales. a) Reformule el modelo (1) excluyendo a m e incluyendo en él cuatro variables artificiales estacionales cada una con el valor unidad en su trimestre de referencia y cero en todas las demás. Denomine (2) al modelo resultante. Interprete las características evolutivas del nivel tendencial y estacional de logx t según el modelo (2). b) En la estimación de los coeficientes de las cuatro variables estacionales, m 1, m 2, m 3 y m 4, se obtiene m 1 = 0.01 m 2 = 0.06 m 3 = 0.05 m 4 = 0.04 Interprete los parámetros m 1 a m 4, calcule el crecimiento tendencial, y señale cuál es el trimestre en el que el crecimiento trimestral se desvía más del crecimiento tendencial. Compare los crecimientos tendenciales estimados por (1) y por (2) y realice un comentario crítico. c) A partir de (2) formule un modelo para la tasa de crecimiento trimestral de X t aproximada por la primera diferencia de los logaritmos. Discuta si es o no estacionaria y describa sus características. d) Bajo el supuesto que X t viene determinado por el modelo (2), señale cómo obtendría la transformación estacionaria de X t, y denomínela r t. Comente si existe o no dependencia temporal en la serie r t. 2

15 ECONOMETRÍA II CURSO 2007 LADE y DER-LADE Primer evaluación parcial 1. Sea el proceso y t = φ y t 1 + a t, donde a t es un proceso ruido blanco. a) Bajo qué condiciones se puede escribir este modelo como un proceso de media móvil? b) Asumiendo que se verifican las condiciones necesarias, escriba este proceso como proceso de media móvil. A partir de esta expresión, explique las implicaciones de las condiciones del apartado a). 1

16 2. Al estimar el modelo trimestral para logx t logx t = logx t 1 + m + βa t 4 + a t, (1) se obtiene ˆm = con una desviación estándar de 0.014, pero se detecta que es incorrecto y que debe ampliarse con variables artificiales estacionales. a) Reformule el modelo (1) excluyendo a m e incluyendo en él cuatro variables artificiales estacionales cada una con el valor unidad en su trimestre de referencia y cero en todas las demás. Denomine (2) al modelo resultante. Interprete las características evolutivas del nivel tendencial y estacional de logx t según el modelo (2). b) En la estimación de los coeficientes de las cuatro variables estacionales, m 1, m 2, m 3 y m 4, se obtiene m 1 = 0.01 m 2 = 0.06 m 3 = 0.05 m 4 = 0.04 Interprete los parámetros m 1 a m 4, calcule el crecimiento tendencial, y señale cuál es el trimestre en el que el crecimiento trimestral se desvía más del crecimiento tendencial. Compare los crecimientos tendenciales estimados por (1) y por (2) y realice un comentario crítico. c) A partir de (2) formule un modelo para la tasa de crecimiento trimestral de X t aproximada por la primera diferencia de los logaritmos. Discuta si es o no estacionaria y describa sus características. d) Bajo el supuesto que X t viene determinado por el modelo (2), señale cómo obtendría la transformación estacionaria de X t, y denomínela r t. Comente si existe o no dependencia temporal en la serie r t. 2