Guía sobre la utilización del material didáctico de esta asignatura,

Transcripción

1 Guía sobre la utilización del material didáctico de esta asignatura, Cada diapositiva está construida con poco texto para que su proyección en clase resulte visible de forma cómoda a toda la audiencia.esto también facilita su lectura y estudio sobre la pantalla,sin embargo conlleva que su impresión abarca un número amplio de hoias.este se puede reducir imprimiendo dos o incluso cuatro diapositivas por hoja. Para facilitar la comprensión del material,los gráficos se repiten siempre que pueden servir de ilustración para la cuestión tratada.estas repeticiones pueden omitirse a la hora de imprimir el material. Algunas cuestiones se tratan con un poco más de profundidad o detalle del que luego se ha visto en clase.estas diapositivas de mayor detalle,al igual que las correspondientes a gráficos repetidos, se identifican con un X en el ángulo inferior derecha de las diapositivas en cuestión. En la hoja web los diferentes temas se ofrecen en dos versiones.una,la más detallada y con repeticiones gráficas,y otra abreviada.el alumno puede imprimir cualquiera de las dos. TEMA 2. MODELOS UNIVARIANTES LINEALES (I). MODELOS DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD DETERMINISTAS. MODELOS DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD ESTOCÁSTICAS. MODELOS CON ESQUEMAS TEMPORALES FINITOS EN LA INCORPORACIÓN DE LAS INNOVACIONES: MODELOS MA e IMA. 1

2 Objetivos del tema Un primer objetivo es que el alumno capte la importancia de la tendencia en series temporales, reflexionando sobre los factores que la determinan y en consecuencia las características con las que las tendencias aparecen en las series temporales: (1)evolución suave, (2)pero de naturaleza estocástica (3)con rupturas de tanto en tanto de su estructura. OBJETIVOS DE ESTE TEMA RECONOCER DIFERENTES TIPOS DE TENDENCIA Y ESTUDIAR DIFERENTES MODELOS PARA CADA CASO. DISTINGUIR ENTRE MODELOS DETERMINISTAS Y MODELOS ESTOCÁSTICOS DE RAICES UNITARIAS. ABUNDAR SOBRE EL CONCEPTO DE ESTACIONALIDAD Y CONSIDERAR MODELOS DETERMINISTAS Y ESTOCÁSTICOS PARA LA MISMA. 2

3 OBJETIVOS DE ESTE TEMA ANALIZAR LA PERSISTENCIA EN LOS MODELOS ESTOCÁSTICOS DE RAICES UNIOTARIAS. MODELOS CON ASIMILACIÓN INMEDIATA DE LA PERSISTENCIA(SENDERO ALEATORIO). MODELOS CON UN RETRASO FINITO EN LA ASIMILACIÓN DE LA PERSISTENCIA -IMA(1,1). LA TRANSFORMACIÓN ESTACIONARIA DE LOS MODELOS ANTERIORES.LOS MODELOS MA(Q). Duración: 4 horas teóricas y 1,5 de prácticas. 3

4 2.1. Modelos deterministas para la tendencia. Tendencias segmentadas. Series Anuales 8000 Producto Nacional Bruto en España (Millones de euros)

5 Series Anuales Indice de Precios al Consumo en España TENDENCIAS EN SERIES TEMPORALES ECONÓMICAS SI UNA SERIE TEMPORAL VA AUMENTANDO (O DISMINUYENDO) SISTEMÁTICAMENTE SE DICE QUE TIENE TENDENCIA. PRINCIPALES FACTORES QUE CAUSAN LAS TENDENCIAS: 1. AUMENTOS EN LA POBLACIÓN. 2. INFLACIÓN MANTENIDA EN EL TIEMPO. 3. CAMBIOS TECNOLÓGICOS (COMUNICACIONES, ELECTRÓNICA, INFORMÁTICA, ETC. 4. CAMBIOS LENTOS EN LAS PREFERENCIAS, HÁBITOS, REGULACIONES SOCIALES, COSTUMBRES, ETC. TENDENCIAS DETERMINADAS EXCLUSIVAMENTE POR (1) Y (2) DETERMINADAS POR (1) EN TAL CASO SE PUEDEN EXPRESAR LOS DATOS EN TÉRMINOS RELATIVOS A LA CORRESPONDIENTE POBLACIÓN: TASA DE PARO, RENTA NACIONAL PER CÁPITA, ETC. DETERMINADAS POR (2) EN TAL CASO SE PUEDEN EXPRESAR LOS DATOS EN TÉRMINOS REALES, ES DECIR, EN TÉRMINOS DE PRECIOS CONSTANTES: INGRESOS TURÍSTICOS EN TÉRMINOS REALES, ÍNDICE DE PRODUCCIÓN INDUSTRIAL, ETC. GENERALMENTE LAS TENDENCIAS VIENEN CAUSADAS POR OTROS FACTORES ADEMÁS DE (1) Y (2). ASÍ, DEBIDO A (3) VARIABLES PER CÁPITA EN TÉRMINOS REALES TODAVÍA MUESTRAN TENDENCIA, PIB, PRODUCCIÓN INDUSTRIAL, ETC. DEBIDO A (4) VARIABLE COMO EMPLEO FEMENINO, ESTUDIANTES GRADUADOS, ETC. 5

6 CARACTERÍSTICAS DE LA TENDENCIA características con las que las tendencias aparecen en las series temporales: (1) evolución suave, (2) Pero de naturaleza estocástica (3)con rupturas de tanto en tanto de su estructura SUAVIDAD EN LAS TENDENCIAS a) La primera propiedad favorece que en un primer paso se puedan emplear estructuras determinísticas para aproximar la tendencia. b) Esto es más factible en series macroeconómicas de economías desarrolladas como el consumo privado en la economía de Estados Unidos. c) Dado (3) las tendencias tendrán en la mayor parte de los casos siempre que las series sean suficientemente largas segmentaciones. d) Las rupturas de nivel con frecuencia pueden interpretarse como cambios estructurales y su ocurrencia en las series económicas será considera a lo largo de todo el curso. 6

7 Series Anuales Gasto en Consumo de los Hogares en EE.UU. (Millones de dólares) MODELIZACIÓN DE TENDENCIAS DETERMINISTAS SE VIO EN EL PUNTO 1.6 7

8 Series Anuales Producto Interior Bruto en España (Miles de millones de pesetas)

9 SERIES CON TENDENCIAS SEGMENTADAS MODELIZACIÓN DEL PIB ESPAÑOL CON RUPUTURA DE NIVEL POR LA GUERRA CIVIL Y CON CAMBIO DE PENDIENTE CON LA APERTURA INTERNACIONAL EN Acumulación en el conocimiento y tendencias estocásticas de raíz unitaria. 9

10 LA INCERTIDUMBRE EN LAS TENDENCIAS Las tendencias hacen referencia a la evolución acíclica a largo plazo en una serie temporal. La tendencias T(d): implican que no hay certidumbre alguna sobre la evolución futura de la tendencia. NO REALISTA. Las tendencias T(d s ): indican que ha habido segmentación tendencial en el pasado y, con una probabilidad de uno, podríamos decir que también aparecerán en el futuro, pero no sabemos ni cuándo ni con qué magnitud. LA INCERTIDUMBRE EN LAS TENDENCIAS Con las tendencias T(d s ), nuestro análisis está condicionado por nuestro conocimiento de los puntos segmentados en el pasado. En las predicciones con modelos T(d s ) suponemos que la última segmentación persistirá durante el período de la predicción. Con las tendencias T(d s ) hemos de observar los nuevos datos por si hubiera una segmentación nueva, en cuyo caso ha de ser incluida en el modelo. 10

11 LAS TENDENCIAS ESTOCÁSTICAS: SERIE I(1) Los modelos T(d s ) son más realistas que los T(d), porque reflejan incertidumbre sobre el futuro. En el modelo T(1 s ) x t a r a w, (1) 0 j jt t j t el nivel de la tendencia sólo cambia en t h0,, t r. Si aparecen tales cambios con mucha frecuencia: x t = x t-1 + w t (2) los podría captar. - En (2) hay un coeficiente unitario (raíz) para la incorporación PLENA del pasado. La tendencia con oscilaciones locales está en X t-1 y es, por tanto, ESTOCÁSTICA. TENDENCIAS Y ACUMULACIÓN DE CONOCIMIENTOO Las tendencias vienen determinadas por la acumulación de conocimiento tecnológico y también de todo tipo de conocimiento que lleva a una mayor eficiencia en la organización y desarrollo de las instituciones. Otro factor causante de las tendencias son los cambios en los gustos y hábitos de los individuos así como los cambios en las regulaciones administrativas y sociales. 11

12 Acumulación y esquemas de raices unitarias La naturaleza de estos factores lleva a considerar para la formulación de las tendencias un esquema de ecuaciones en diferencias finitas con persistencia con un componente estocástico. X t X w t 1 t Este esquema matemático se denomina de raíz unitaria y de la tendencia resultante se dice que tiene una raíz unitaria. A la serie con tal tipo de tendencia se denomina integrada de orden uno: I (1).. LAS TENDENCIAS ESTOCÁSTICAS: SERIE I(1) La serie X t en (2) se caracteriza por el hecho de que tomando las primeras diferencias X t X X t t 1 W t (3) Los datos transformados no tienen evolutividad. Decimos que X t es integrada de orden 1 porque si tomamos las primeras diferencias una vez, los datos resultantes son estacionarios. X t se denomina I(1). La terminología I( ) indica que la tendencia es estocástica. 12

13 Figura 23.1 Tipo de Cambio Diario Yen-Dólar Período: 2/01/ /02/2000 Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data) Figura 23.2 Variaciones Diarias en el Tipo de Cambio Yen-Dólar Período: 2/01/ /02/2000 Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data) 13

14 2.3. Procesos integrados. Procesos integrados de orden I (1, ms). DIVERSIDAD DE TENDENCIAS Las tendencias se presentan en las diversas series económicas dependiendo de cómo se incorpora esa acumulación de conocimiento y cambios en los hábitos y organización social en la magnitud económica que cada serie representa. Así, en sectores productivos que se van quedando estancados, por ejemplo la minería en la economía española, los incrementos en la incorporación tecnológica tienen media cero y la tendencia en dicha serie presenta oscilaciones locales de nivel pero no muestra crecimiento sistemático, se dice que es una serie integrada con media cero en sus incrementos: I (1,0). 14

15 170 Index of Mining and quarrying total in Spain = Source: EcoWin TENDENCIAS CON CRECIMIENTO SISTEMÁTICO Si embargo, en la mayor parte de los casos los cambios tecnológicos tienen media distinta de cero y las series presentan crecimiento sistemático. Si dicha media es constante a la serie se le denomina I(1,1). 15

16 Figure 2.12 Quarterly US Real Gross Domestic Product (X9 t ) Period: I-1964 / II-1999 Source: BEA At constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted. 5,00 Quarterly variations US Gross Domestic Product 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00-1,00-2,00-3, Period: I-1964 / II-1999 Source: BEA At constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted. 16

17 SERIES INTEGRADAS CON CRECIMIENTO SISTEMÁTICO La Serie anterior de tipo de cambio I(1) solo muestra oscilaciones locales de nivel. Una serie integrada con crecimiento sistemático se puede integrar como: Z t = Z t-1 + b + w t (4) Tomando las primeras diferencias Z t = b + w t (5) Comparando: Z t en (5) con X t en (3) vemos que la media de X t es nula y que la media de Z t es b. Por lo tanto X t solo tiene oscilaciones locales de nivel y Z t tiene crecimiento sistemático. Los dos son I(1), pero muy distintas. LA TERMINOLOGÍA I(1,m) Para incluir el hecho de que la media de X t puede o no ser nula en las series I(1), usamos la terminología I(1,m) con m = 0 si la media de X t es nula y m = 1 si la media de X t no es nula. Así, X t en (2) es I(1,0) y Z t en (a) es I(1,1). En I(1,m) h= 1 + m nos da el número de factores tendenciales: 1 ó2. 17

18 SERIE I(1,0) LA SERIE DE TIPO DE CAMBIO La serie diferenciada tiene media cero Figura 23.3 Tipo de Cambio Diario Yen-Dólar Período: 2/01/ /02/2000 Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data) X 18

19 Figura 23.4 Variaciones Diarias en el Tipo de Cambio Yen-Dólar Período: 2/01/ /02/2000 Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data) X LA SERIE DE PIB SERIE I(1.1) La serie diferenciada tiene media distinta de cero. En consecuencia,tiene crecimiento y éste es constante. 19

20 Figure 2.12 Quarterly US Real Gross Domestic Product (X9 t ) Period: I-1964 / II-1999 Source: BEA At constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted. X Quarterly variations US Gross Domestic Product 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00-1,00-2,00-3, Period: I-1964 / II-1999 Source: BEA At constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted. X 20

21 TENDENCIAS CON CRECIMIENTO NO CONSTANTE En realidad los incrementos tecnológicos no tienen media constante. Esta puede cambiar de tanto en tanto y tener en consecuencia una estructura segmentada. Una serie temporal con tales características se le denominará I (1,1S). La serie histórica sobre el producto interior bruto de la economía española,elaborada por el Prof.Leandro Prados de la Escosura,es un buen ejemplo de ello. Series Anuales Producto Interior Bruto en España (Miles de millones de pesetas) X 21

22 TENDENCIAS CON DOS RAICES UNITARIAS En otros casos los cambios de media pueden ser más frecuentes y ellos mismos pueden seguir un esquema de raíz unitaria, que acumulada a la anterior genera tendencias con dos raíces unitarias y a las series con tales características se les denomina I (2,0). Figura Indice de Precios de Consumo Mensual USA sin alimentos y energía Período: Fuente: BLS 22

23 Figura 23.7 La inflación tendencial en USA Período: Fuente: BLS * La inflación tendencial se ha definido como la tasa de crecimiento del índice de precios al consumo que se obtiene sin incluir los precios de los alimentos y la energía. Aquí usamos la tasa de crecimiento interanual para medir la inflación tendencial. LAS TENDENCIAS PLENAMENTE ESTOCÁSTICAS en X t = X t-1 + b + w t el factor de nivel X t-1 es estocástico pero el factor incremental b es determinista. Un modelo con factor incremental estocástico es X t = X t-1 + (X t-1 -X t-2 ) + w t (6) Tomando las primeras diferencias X t = X t -X t-1 = (X t-1 -X t-2 ) + w t, (7) de modo que en (7) X t aún tiene evolutividad y de hecho es I(1,0). Diferenciando de nuevo X t = (X t -X t-1 ) - (X t-1 -X t-2 ) = w t, (8) w t es estacionario. Así (6) X t ~ I(2,0) Con (6) se incluyen dos coeficientes unitarios(raices) X t ~ I(1,0) X t ~ I(0,0) 23

24 Figura Indice de Precios de Consumo Mensual USA sin alimentos y energía Período: Fuente: BLS X INDICES DE PRECIOS E INFLACIÓN LOS INDICES PRECIOS,O MÁS PRECISAMENTE, SU TRANSFORMACIÓN LOGARITMICA,SUELEN SER SERIES I(2,0). EN CONSECUENCIA,LA INFLACIÓN LAS PRIMERAS DIFERENCIAS DEL LOGARITMO DE LOS PRECIOS SON SERIES I(1,0).I(1,0). LA INFLACIÓN TIENE EVOLUTIVIDAD DEL TIPO OSCILACIONES LOCALES DE NIVEL. La transformación estacionariase OBTIENE APLICANDO DOS VECES PRIMERAS DIFERENCIAS A LA TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA DE LOS PRECIOS. 24

25 Figura 23.7 La inflación tendencial en USA Período: Fuente: BLS * La inflación tendencial se ha definido como la tasa de crecimiento del índice de precios al consumo que se obtiene sin incluir los precios de los alimentos y la energía. Aquí usamos la tasa de crecimiento interanual para medir la inflación tendencial. X LAS RAICES UNITARIAS COMO UN ESQUEMA CON SOLIDEZ ANTE LOS CAMBIOS Los esquemas de raíces unitarias tienen la propiedad de solidez ante los cambios, ya que una vez ocurridos éstos los incorporan inmediatamente. Esto hace que su imposición al modelar una serie temporal sea muy útil para la predicción, aunque no necesariamente para representar las propiedades tendenciales de la serie en cuestión. 25

26 LA DIFERENCIACIÓN PARA ELIMINAR LAS TENDENCIAS En la serie I(d,m), eliminamos la tendencia diferenciando d veces. En la serie T(2), se puede denominar también I(0,2), X t = a + bt + w t (9) X t = b + (w t -w t-1 ), (10) X t también es estacionario, pero el término residual (W t -W t-1 ) tiene malas propiedades estocásticas. Esto de debe al hecho de que en (9) la tendencia se elimina propiamente por regresión. No obstante, la diferenciación también elimina las tendencias deterministas. A no ser que observemos una tendencia determinista muy estable, usaremos modelos I(d,m) con d Modelización determinista de la estacionalidad. 26

27 Producto Interior Bruto en la Euro área (Millones de euros) X Otro aspecto permanente de muchas series temporales con frecuencia inferior a la anual es la oscilación de su nivel de forma sistemática dentro del año. A tal propiedad se le denomina estacionalidad. Debido a su evolución suave se puede modelizar mediante esquemas determinísticos. VÉASE LA SECCIÓN1.6 SOBRE MODELOS DETERMINISTAS PARA LA ESTACIONALIDAD. 27

28 EL CRECIMIENTO SISTEMÁTICO CON ESTACIONALIDAD Un modelo que capta el crecimiento sistemático con estacionalidad 1 podría ser: * X t X t 1 b b j S jt W t, (13) Donde S jt =1 en todas las observaciones referidas a la estación j de cada año 0. 1 En (13) b * j 0 (14) j 1 El crecimiento medio en cada estación. b j 1 / s b b b j * j b j 1 El factor estacional: b * j * b h b j g * j (15) En (13) los factores estacionales son deterministas Modelización estocástica de la estacionalidad. 28

29 Series Mensuales Ingreso por Turismo en España (Millones de euros) X De nuevo los factores meterológicos, sociales y administrativos que causan la estacionalidad son estocásticos y ésta se puede representar mediante ecuaciones en diferencias finitas estocásticas con persistencia cíclica. Cuando este tipo de estacionalidad aparece junto con una tendencia estocástica se tiene que una de las raíces unitarias del esquema resultante no es sobre el pasado inmediato, sino sobre el mismo periodo (estación) del año inmediatamente anterior 29

30 2.6. La transformación estacionaria de series económicas. Los esquemas de raíces unitarias implican que transformado las series, de modo que en vez de considerar los datos originales se utilizan sus incrementos o las incrementos de los incrementos si la serie presenta estacionalidad uno de dichos incrementos será estacional, tales transformaciones no muestran evolutividad en su nivel y, en general, serán estacionarias. 30

31 CEMENT.2 DLCEMENT D12DLCEMENT DD12DLCEMEN LA DIFERENCIACIÓN PARA ELIMINAR LAS TENDENCIAS En la serie I(d,m), eliminamos la tendencia diferenciando d veces. En la serie T(2), se puede denominar también I(0,2), X t = a + bt + w t (9) X t = b + (w t -w t-1 ), (10) X t también es estacionario, pero el término residual (W t -W t-1 ) tiene malas propiedades estocásticas. Esto de debe al hecho de que en (9) la tendencia se elimina propiamente por regresión. No obstante, la diferenciación también elimina las tendencias deterministas. A no ser que observemos una tendencia determinista muy estable, usaremos modelos I(d,m) con d 0. 31

32 LOS ELEMENTOS DETERMINANTES EN LA DEFINICIÓN DE TENDENCIAS Los modelos del tipo X t = a + bt + w t or (11) X t = X t-1 + b + w t (12) producen predicciones muy rígidas. Si son razonablemente adecuadas para los datos, estas predicciones serán más exactas que las que produce el modelo I(2,0). Pero si (11) ó (12) no son correctos, ó los parámetros a y b cambian en el período de predicción, los modelos I(2,0) resultan mejores para series con crecimiento sistemático. Asimismo, en estas condiciones, I(1,0) sería mejor que I(0,1 s ) para series con oscilaciones locales de nivel. Box-Jenkins proponen el uso del número máximo de diferencias. CONCLUSIÓN Podemos eliminar la tendencia y la estacionalidad si aplicamos diferencias regulares y estacionales. 32

33 A B C D E LA ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA Y LA ESTACIONALIDAD Serie con oscilaciones locales de nivel I(1,0) X t = X t-1 + W t (33) X t = W t (34) Serie con oscilaciones locales de nivel y estacionalidad estocástica I(1,0)EE X t = X t-1 - X t X t-s + W t (35) X t = X t-s + W t (36) s X t = W t (37) Serie con crecimiento sistemático en que la media del crecimiento es constante I(1,1) X t = X t-1 + b + W t (38) X t = b + W t (39) Como (C) con estacionalidad estocástica I(1,1)SS X t = X t-1 + s b - X t X t-s + W t, (40) X t = X t-s + s b +W t (41) s X t = s b + W t (42) Serie con crecimiento estocástico y estacionalidad estocástica I(2,0)SS X t = X t-1 + X t-1 -{LU s-1 (L) X t-1 - X t-1 } + W t (43) s X t = W t (44) LAS DESVIACIONES DE LA MEDIA EVOLUTIVA DE UNA SERIE TEMPORAL Se podría representar una serie temporal con tendencia y estacionalidad como sigue: X t = T t S t W t (4) donde T t es el factor tendencial S t es el factor estacional, y W t es un factor que capta las desviaciones de X t de la senda de los factores evolutivos T t y S t. Por construcción, W t no muestra comportamiento evolutivo. Los componentes de W t son las oscilaciones en el ciclo de negocios y las fluctuaciones a corto plazo. Resultan de la dependencia temporal de los datos de W t. 33

34 2.7. El proceso sendero aleatorio: persistencia e incorporación plena de las innovaciones en el momento que aparecen. MODELOS DE SERIES TEMPORALES Consideramos w t f (w t-1, w t-2,...) + r t (residuos) (1) Si, r t es ruido blanco nuestro modelo no se puede mejorar r t no es ruido blanco: es predecible se puede construir un modelo para él y cambiar (1) 34

35 SENDERO ALEATORIO En economía las series formuladas en términos relativos rentabilidades financieras, tasa de paro, tipos de cambio, precios relativos no muestran crecimiento sistemático y su tendencia se reduce a meras oscilaciones locales de nivel y son series I (1,0). El esquema más sencillo de series I (1,0) es el denominado sendero aleatorio en el que el valor en el momento t viene determinado por X t = X t-1 + a t, (1) donde a t es el shock aleatorio que se incorpora a la serie en cada momento t. La raíz unitaria de la tendencia se refleja en el coeficiente de X t-1 en (1). Paseo Aleatorio Mercados eficientes: Un enorme número de agentes con información perfecta. En consecuencia, actúan adaptando sus comportamientos completamente a la información disponible y dado un precio p t para el momento t como no hay más información disponible, éste es el precio que toman para el futuro. Pero en el momento (t+1) ocurren sucesos inesperados y los agentes se adaptan inmediatamente a la nueva información y se forma un nuevo precio. p t+1 = p t + a t 35

36 Paseo aleatorio El modelo p t+1 = p t + a t+1 Se denomina un PASEO ALEATORIO. En este modelo la variable p t no es estacionaria, es I(1,0), por lo tanto, muestra oscilaciones locales del nivel y w t = p t = p t -p t-1 =a t es impredecible. Figura 22.5 Tasa de cambio diaria yen-dólar Período: 2/01/ /02/2000 Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data) X 36

37 4). Variaciones diarias en el tipo de cambio Euro/Dólar. Gráfico 4. VARIACIONES DIARIAS EN EL TIPO DE CAMBIO EURO/DÓLAR VARIACIONES DIARIAS EN EL TIPO DE CAMBIO EURO / DOLAR ene-99 may-99 sep-99 ene-00 may-00 sep-00 ene-01 may-01 sep-01 ene-02 may-02 sep-02 ene-03 may-03 sep-03 ene-04 Fuente: Banco Central Europeo Fecha: 6 de febrero de 2004 X Los cambios en los precios en mercados eficientes no son predecibles. Los mercados monetarios, de divisas, etc., están muy cerca de la eficiencia, por lo tanto sus precios: tipos de interés, tipos de cambios siguen comportamientos similares a: x t = x t-1 + a t y el ejercicio de predicción es muy sencillo xˆ ( t) h xt h En estos mercados, las innovaciones se absorben completamente cuando se producen y los cambios en los precios sólo dependen de las innovaciones contemporáneas, toda la información previa está contenida en x t-1 37

38 2.8. Otros procesos con persistencia e inercia con la incorporación plena de las innovaciones. MODELOS INTEGRADOS Y DE DE MEDIAS MOVILES En el modelo de sendero aleatorio los shocks se incorporan plenamente desde el momento en que aparecen, no tienen efectos adicionales posteriores. Esto es una característica de las series financieras y (1) es un buen modelo de partida para dichas series. Sin embargo, en otras muchas series económicas la incorporación de los shocks se hace con una cierta inercia, de modo que su shock tiene efecto en el momento en que aparece y efectos adicionales en momentos posteriores. 38

39 Es decir la incorporación persistente de los shocks en la serie temporal tarda un tiempo en alcanzar su efecto total. Esto hace que la transformación estacionaria en dichas series siga un modelo denominado de medias móviles. Por ejemplo: (X t X t-1 ) = W t (transformación estacionaria) = - 1 a t-1 + a t (2) en el que su shock tiene efecto en el momento en que aparece y en uno más, el inmediato siguiente. A este modelo sobre W t se le denomina de medias móviles de primer orden y se representa como MA(1). Este modelo se puede generalizar y tenemos los modelos de medias móviles de orden finito q, para las transformaciones estacionarias W t. El modelo (2) se puede formular en términos de la variable original, por ejemplo, X t = X t-1-1 a t-1 + a t (3) En tal caso se dice que X t sigue un modelo integrado de orden uno con medias móviles de orden uno y se representa como IMA (1,1). 39

40 Además de analizar las propiedades estadísticas de W t es importante considerar la forma en que en X t se realiza la incorporación persistente de las innovaciones. En este punto el alumno debe ser consciente que el objetivo es la serie original, que en ella la estructura del modelo ecuación (3) es única y que de ella se deriva una transformación que es estacionaria con dependencia temporal. La propiedad de estacionariedad es la que permitirá la estimación e inferencia sobre dichas características de dependencia temporal El proceso de medias móviles de primer orden MA(1), para series estacionarias. Los procesos IMA(1,1). 40

41 MODELOS DE MEDIAS MÓVILES (MA) w t se explica como una función de sus innovaciones pasadas (a 1, a 2,..., a t-1 ) Modelo de Medias Móviles de orden 1 w t - a t-1 + a t MA(1) a t es un ruido blanco con : Ejemplo: Var(a t ) 2 a w t a t a t-1 w t a t a t-1 MA(1);_ MA(1);_ Propiedades: w 0, o (1+ 2 ) 2 a Dependencia temporal en una serie temporal MA(1). Se mide a través de la correlación entre w t y w t-j corr (w t, w t-j ), j= 1,2,3.. Se denominan AUTOCORRELACIONES. corr w,w t t j cov w t,w var w t t j Autocorrelaciones en una serie temporal MA(1). Ejemplos: w t a t a t-1 w t a t a t

42 La Función de Autocorrelación (FAC) y el correlograma La función de autocorrelación representa la dinámica del modelo de series temporales. La contrapartida muestral a la función de autocorrelación es el correlograma (r k ). Se calcula como: Ejemplo: w t a t -0.5a t FAC n k w t w t k r t 1 k n 2 w t t 1 1 k 1,2,... CORRELOGRAMA En una serie temporal MA(1) sólo If < 0 1 > 0 Una observación a un lado de la media tiende a ser seguida por una observación en el mismo lado de la media. If = 0 La serie resultante es ruido blanco. If > 0 1 < 0 La serie resultante es más oscilante que un ruido blanco. 42

43 Ejemplo: w t = a t a t-1 ruido blanco w t = a t -0.5 a t-1 MA(1);_-0.5 WN 3 MA(1);_ Una medida de predictibilidad : R 2 R 2 Var( et 1 Var( w 1 ) ) T 1 2 R (1 ) 2 (1 ) 1 2 Dado que -1< <1, se tiene que 0<R 2 < 0.5 Por lo tanto: (1) Una serie ruido blanco es impredecible. (2) Una serie MA(1) permite realizar predicciones un período por delante con un máximo valor de R 2 <

44 La innovación a t tiene efecto en w t y w t+1. Sea x t = x t-1 + w t x t = x t-1 - a t-1 + a t x t-1 = x t-2 - a t-2 + a t-1 x t = x t-2 - a t-1 + a t - a t-2 + a t-1 = x t-2 + a t +(1- )a t-1 - a t-2... x t = x o + a t +(1- )a t-1 +(1- )a t-2 +. Una innovación que entra en el sistema tiene un efecto permanente en el modelo de magnitud (1- ) veces su valor La característica de dependencia con punto de corte en los modelos MA(q). 44

45 Modelo de Medias móviles de orden 2: MA(2) w t a t - 1 a t-1-2 a t-2 Ejemplo: W t = a t a t a t W t FAC Sólo la innovación actual y 2 innovaciones pasadas entran en el modelo w = 0, o = ( ) a 2 Hay un corte en la función de autocorrelación después del retardo2. Una innovación tiene efectos adicionales en dos periodos de tiempo posteriores a su aparición. En una serie integrada de orden uno las innovaciones. alcanzan su efecto final de persistencia dos periodos después de su aparición. 45

46 Un modelo de medias móviles general de orden q: MA(q) w t a t - 1 a t-1-2 a t q a t-q. Solo la innovación actual y las q previas entran en el modelo w = 0, o = ( q2 ) 2. a Hay un corte en la función de autocorrelación después del retardo q. Las innovaciones tienen efectos adicionales durante q períodos después de su aparición Ejemplo: FAC MA(6) La incorporación en un período finito de las innovaciones en un proceso integrado de primer orden con oscilaciones estacionarias MA(q). 46

47 En los esquemas de medias móviles es importante señalar que la dependencia temporal en la transformación estacionaria y la correspondiente incorporación persistente en la serie original se caracteriza por tiempo limitado, es decir se produce un punto de corte en ambos casos. El modelo IMA(1,1) de la ecuación (3) se puede también describir como un modelo I(1,0) + MA(1). Ejemplos de series de este tipo, son las series anuales de precios relativos. En este contexto el modelo para una serie con crecimiento sistemático será: I(1,1) MA(q). La producción anual en un determinado sector industrial, así como muchas series anuales de la contabilidad nacional pueden seguir tales modelos. Modelos para series con crecimiento y para series con oscilaciones locales de nivel En este capítulo y siguientes el alumno deberá familiarizarse bien con modelos útiles para series con crecimiento, como las series de producción, ventas, demanda, importaciones, exportaciones, inversión, empleo, etc. Y con modelos para series formuladas en términos de ratios, como las de precios relativos, tasa de paro, etc 47

48 Series con crecimiento A partir del modelo sobre la serie original el alumno debe familiarizarse con los modelos que se derivan para las correspondientes tasas de crecimiento anual. Así, por ejemplo, a partir del modelos de las exportaciones anuales a Europa de una determinada empresa se puede derivar el modelo sobre la tasa de crecimiento anual de dichas exportaciones. Captar las diferencias en las estructuras de dichos modelos, correspondientes a la distinta naturaleza de las variables en cuestión, nivel de exportaciones y tasa de crecimiento anuales de las mismas, interpretar sus parámetros y evaluar la incertidumbre existente sobre la evolución de estas variables o apreciar el impacto que las innovaciones que van apareciendo tienen en las diferentes evoluciones futuras de las mismas constituye un objetivo básico en estos temas 48