Parte 5: Integración en espacios producto.

Parte 5: Integración en espacios producto. Definición 1 Sean (X; M, µ) y (Y, N, ν) espacios de medida. Se define la σ álgebra producto M N como la σ álgebra generada por los llamados rectángulos medibles, es decir los productos A B, donde A M y B N. Recordar (ejemplo de la diagonal en R 2 ) que no es posible conseguir que las uniones numerables de rectángulos medibles formen una σ álgebra. En otras palabras, la σ álgebra generada por M y N no es tan fácil de describir, y por eso, obtener una medida que extienda la función definida en los rectángulos como el producto de las medidas de los factores, tampoco es fácil. Indicamos el camino en los siguientes ejercicios. Ejercicio 1. Sea A la clase de todas las uniones finitas de rectángulos medibles. Se define λ(a B) = µ(a)ν(b) para cada rectángulo medible A B. Probar que se cumplen las siguientes propiedades: 1. A es un álgebra. 2. Si E es un rectángulo y {E n } es una sucesión de rectángulos disjuntos cuya unión da E, entonces λ(e) = λ(e n ). 3. Deducir de lo anterior que λ se extiende a A, y que cumple ser una premedida, es decir: (i) λ : A R es no negativa (ii) λ( ) = 0 (iii) si {E n } es una sucesión disjunta de elementos de A cuya unión E está en A, entonces λ(e) = λ(e n ) (en particular, la medida de una unión finita de conjuntos disjuntos de A el la suma de las medidas). Ejercicio 2. Sea λ una premedida en una álgebra A. Defina, para cualquier conjunto E: λ (E) = ínf{ λ(a n ) : E n A n A n A n}. Probar las siguientes propiedades: 1. λ ( ) = 0, λ (A) λ(b) si A B 2. λ (E) λ(e n ) si la unión de los E n cubre E. 3. Si A A entonces λ (A) = λ(a). Notar que si no se cumple la propiedad (iii) de las premedidas esto podría ser falso: por ejemplo, tomar N con el álgebra de los conjuntos finitos o de complemento finito y definir λ(n) = 1/n 2 y λ(a) = si A es de complemento finito. 1

Definición 2 Un conjunto A se dice medible respecto de A y λ si para cualquier E se cumple que λ (E) = λ (E A) + λ (E A c ). Ejercicio 3. (Teorema de Caratheodory) Defina M(A, λ) como la clase de todos los conjuntos medibles respecto de A y λ. Probar que M(A, λ) es una σ álgebra que contiene a A, y que λ restringida a M(A, λ) es una medida que extiende a λ. Ejercicio 4. Se deduce de lo anterior que la σ álgebra M(A, λ) contiene a la σ álgebra M A generada por A. Probar que si λ es σ-finita, entonces λ es la única extensión de λ a M A. Probar también que la medida λ definida en M(A, λ) es la completación de λ restringida a M A. Volviendo a la situación anterior, se tienen dos medidas: µ en la σ álgebra M y ν en la σ álgebra N. Se define λ(a B) = µ(a)ν(b) y se extiende a una premedida en A, como en el ejercicio 1 arriba. Definición 3 Se define la medida producto µ ν como la medida λ restringida a M(A, λ). Notar que el dominio de la medida producto es una σ álgebra que contiene a la σ álgebra producto. Estas definiciones se extienden sin sorpresas para productos finitos: Ejercicio 5. para cada i = 1, 2,..., n, sean (X i, M i, µ i ) espacios de medida. Se define la σ álgebra producto M como la generada por los conjuntos de la forma A 1 A 2 A n donde cada A i M i. Probar que si n = 3 entonces M = (M 1 M 2 ) M 3 = M 1 (M 2 M 3 ). Probar también que restringiendo a las σ álgebra producto, se cumple (µ 1 µ 2 ) µ 3 = µ 1 (µ 2 µ 3 ). Acá hay que suponer que las medidas µ i son σ-finitas, lo que asegura la unicidad (como en el ejercicio anterior), obviamente necesaria en la afirmación. Para un conjunto E M N se define E x = {y Y : (x, y) E} y E y = {x X : (x, y) E}. Ejercicio 6. Probar que E x N para todo x y que E y M para todo y. Sugerencia: probar que el conjunto de los E tales que E x N es una σ álgebra que contiene los rectángulos. 2

Se considera la siguiente ecuación clave, que no sólo es intuitiva sino que daría un método práctico de cálculo con medidas producto: µ ν(e) = µ(e y )dν = ν(e x )dµ (1) Y Para probar este resultado se precisa una nueva definición y un lema. Se dice que una clase C de subconjuntos de X es una clase monótona si es no vacía, y es cerrada por uniones crecientes e intersecciones decrecientes. Es fácil ver que la intersección de clases monótonas es una clase monótona y por lo tanto cualquier clase de subconjuntos de X genera una mínima clase monótona. Ejercicio 7. Probar que la clase monótona C generada por un álgebra A coincide con la σ álgebra M generada por A. Una inclusión es obvia, que C M, ya que toda σ álgebra es una clase monótona. Para probar la otra inclusión defina, para cada E C el conjunto C(E) = {F C : F E C, F \ E C, E \ F C}. Probar que: (i) C(E) es una clase monótona. (ii) F C(E) sii E C(F ). (iii) A está contenido en C(E) si E A. Deducir C(E) = C para todo E C y de ahí, que C es una σ álgebra. Ahora defina C como el conjunto de todos los E M N tales que: 1. Para cada x X, y Y, se tiene: E x N, E y M. 2. Las funciones x X ν(e x ) y y Y µ(e y ) son medibles. 3. Vale la ecuación 1 para el conjunto E. Ejercicio 8. Probar que si µ y ν son finitas, entonces C es una clase monótona que contiene a A, y por lo tanto la ecuación 1 vale para cualquier E M N. Extender el resultado a µ y ν σ-finitas. Otra manera de ver la ecuación 1 es: µ ν(e) = X ( Y χ E x dν)dµ = Y ( X χ Eydµ)dν. El siguiente paso es extender la ecuación 1 a integrales de funciones medibles. Sea f : X Y C una función M N medible. Defina las funciones f y (x) = f(x, y) y f x (y) = f(x, y). X 3

Ejercicio 9. Probar que f x es N medible para todo x y f y es M medible para cada y. Se considera la ecuación: fd(µ ν) = X Y X ( Y ) ( ) f x dν dµ = f y dµ dν. (2) Y X Ahora viene el teorema de Fubini-Tonelli: Teorema 1 Sea f una función M N -medible, donde µ y ν son σ-finitas. Entonces la función f x es N medible para cada x y la función f y es M medible para cada y. Si f 0 o f L 1 (µ ν), entonces la función x X Y f xdν es M-medible y la función y Y X f y dµ es N -medible. Además vale la ecuación 2. Ejercicio 10. Probar ese teorema, usando que ya lo sabemos para funciones características. La integral de Lebesgue en R n. Se define la medida de Lebesgue en R n como la medida producto m n := m m m. La σ álgebra de Lebesgue en R n es el dominio de m n y se denota por L n. Ejercicio 11. Probar que no todo subconjunto de R n es medible Lebesgue; más aún, probar que L contiene estrictamente la σ álgebra de Borel de R n. Ejercicio 12. Probar las siguientes propiedades de los conjuntos medibles Lebesgue en R n. 1. Para cualquier E L n se cumple que m n (E) = ínf{m n (U) : U es abierto y E U} = sup{m n (K) : K es compacto y K E}. 2. Si m n (E) < entonces para cada ɛ0 existe una colección finita de rectángulos {R i }, n-dimensionales disjuntos y cuyos lados son intervalos tales que m n (E R i ) < ɛ. 3. Si f L 1 (m n ), entonces existe una función simple s, combinación de características de rectángulos de lados que son intervalos tal que f s 1 < ɛ. 4. Probar que las funciones continuas son densas en L 1. 4

Ejercicio 13. Si E es medible, también lo es E + x y tienen la misma medida. Además si f es medible, también lo es f τ donde τ es una traslación. Por último, si f 0 o f L 1 (m), entonces f τ = f para cualquier traslación τ. El siguiente problema es estudiar qué sucede con la medida de Lebesgue de T (E) si se conoce la medida de Lebesgue de E y T es una transformación lineal. Esta es una versión preliminar del teorema de cambio de variables: Ejercicio 13. Sea T lineal invertible. Probar que si E es medible, también lo es T (E) y m(t (E)) = det(t ) m(e). Se sugiere probarlo para las ransformaciones elementales y deducirlo por composición. Si T es invertible y f 0 o f L 1 (m), entonces f = det(t ) f T. El siguiente es el teorema de cambio de variables. Teorema 2 Sea f medible y G : Ω R n un difeomorfismo. Entonces f G es medible. Si además f 0 o f L 1 (m), entonces f = f G. det DG G(Ω) Ω Vale la pena repasar este ejercicio de cálculo, sin pasar por integrales impropias Ejercicio 14. Calcular R e x2 5