Mecánica de fluidos. Fórmula de Stokes. Velocidad. Fuerzas. Temperatura. Número de Reynolds. Error aleatorio LABORATORIO 1 La idea fundamental de esta experiencia es determinar la viscosidad de tres fluidos que son: Agua, Diesel o bencina y Aceite de motor, usando el método de la fórmula de Stokes. Usando una probeta de 82 centímetros de largo, siete bolitas, de tres diferentes diámetros, se lanzaron de una marca superior especificada, hasta una marca inferior, midiéndose el tiempo que demora en caer la bolita entre estas dos marcas. Estos tiempos fueron utilizados para determinar la velocidad límite, sabiendo la distancia y el tiempo que recorre la bola en el fluido. Conociendo además el diámetro y densidad de la bolita y las densidades de los tres fluidos en estudio, se puede determinar la viscosidad del líquido mediante la fórmula de Stokes. Con el estudio de las fuerzas que interactúan en la bola a medida que cae y con la ayuda del Principio de Arquímedes, se puede constatar una fórmula para determinar esta viscosidad, que está en función de la velocidad límite, con este último inversamente proporcional a la viscosidad. Se espera que a medida que aumenta la viscosidad, la velocidad va disminuyendo, y en efecto, con los gráficos se puede demostrar explícitamente lo que la fórmula de Stokes da a conocer. Como todo experimento, existen inconvenientes, entre el más destacado es la toma de la medida del tiempo con un reloj-cronómetro, esto es debido que en la viscosidad promedio del agua que se pudo determinar en esta experiencia, es aproximadamente 100 veces mayor que la viscosidad esperada. INTRODUCCION
Si se coloca una gota de un cierto fluido en un plano inclinado, puede ser que llegue abajo en unos cuantos segundos, como también lo puede hacer en un largo tiempo limitado. Esto ocurre porque existe un roce entre las capas del fluido, en unos se presentan con menor roce que otros, de aquí nace el concepto de viscosidad. En esta experiencia se plantea el objetivo de determinar la viscosidad de tres fluidos que son usados normalmente en actividades mecánicas, tales como el agua, el diesel y el aceite de motor, mediante la fórmula de Stokes. Básicamente la fórmula de Stokes consiste en analizar la caída de una bola de acero, en un tiempo dado sobre el fluido a estudiar y mediante un cuidadoso análisis físico-mecánico, se puede constatar el valor de la viscosidad. Para la realización del experimento, es indispensable conocer el tiempo de caída de la bola, para ello se tomó el tiempo con un cronómetro, esto podría ser una de las restricciones en que lo valores de la viscosidad puedan variar considerablemente. Es muy probable que la persona que toma el tiempo, tenga un cierto margen de error en su reacción al accionar el cronómetro cuando la bola alcanza la marca inferior. Una vez obtenidos los primeros datos, se toman los promedios de las velocidades límites y se grafican de acuerdo a su viscosidad, densidad del fluido y diámetro de bola. Al hacer estos gráficos, se puede demostrar con mayor claridad y precisión lo que está ocurriendo y a la vez comparar el comportamiento de los fluidos en estudio Este informe está orientado primordialmente a los alumnos o profesores que deseen ampliar el estudio de la viscosidad de los fluidos más comunes en el ámbito mecánico, industrial, minero, etc. DESARROLLO TEORICO Antes de realizar cualquier experimento, se debe conocer un marco teórico sobre el tema a tratar, tales como las fórmulas y leyes que lo gobiernan, de entre los cuales, se encuentran los resultados obtenidos. De esta forma, cualquier dato que se tome al realizar un experimento, se pueda dar a conocer los resultados (esperados o no) y describir su interpretación con base en el marco teórico. En este experimento la base fundamental se apoya en la Fórmula de Stokes. El experimento de Stokes: Stokes estudió el flujo de un fluido alrededor de una esfera para valores del número de Reynolds* muy pequeños (inferiores a uno). Stokes encontró que el empuje o fuerza ejercida sobre la esfera por el flujo del fluido alrededor de ella (ver Fig. 1). Donde la Fuerza de roce (en algunos textos es denominada Fuerza viscosa resistente), designada por FR, y que está dada por: (1) Donde: D: de la bola. V: de la bola. : Viscosidad dinámica. Cuando la bola cae en un fluido en reposo, se originan las fuerzas mostradas en la figura anterior (figura 1). Entonces debe tenerse en cuenta que la fuerza de empuje hidrostática más la fuerza de arrastre o resistencia debe ser igual al peso, es decir: (2) Donde: W: Es el peso de la bola FR: Es la fuerza de roce E: Es el empuje (principio de Arquímedes) (*) : www.procesos.netfirms.com/informe/node9.html A su vez: (3)
(4) Donde: s : Densidad de la bola l : Densidad del fluido v : Volumen de la bola g : Aceleración de gravedad Reemplazando 3 y 4 en la ecuación 2, y despejando la fuerza de roce, se obtiene: Y esta última, igualándola con la ecuación 1, se tiene: Donde el volumen de la bola: Por lo tanto: Despejando la Viscosidad y simplificando, se obtiene finalmente: Hay que recordad que la Viscosidad es aquella propiedad de un fluido por virtud de la cual ofrece resistencia a los esfuerzos cortantes, además la viscosidad es una función de temperatura (depende de ella). DESARROLLO EXPERIMENTAL El objetivo clave de este ensayo es determinar la viscosidad de tres líquidos en estudio, tales como el agua, diesel y aceite, usando con cada una de estas, siete bolas de acero con tres diferentes diámetros. Usando una probeta de 82 [cm] de largo, se dispuso a colocar los líquidos y hacer una marca en cada extremo, con el fin de tomar el tiempo que demora en caer la bola entre estas dos marcas, para calcular así, la velocidad límite (ver Fig. 2) Una vez tomado el tiempo y el recorrido (distancia entre marca), se dispuso a calcular la velocidad límite con la fórmula: Con esta velocidad límite, el diámetro de la bola y las densidades respectivas (la de la bola y la del líquido en estudio), se puede calcular la viscosidad con la fórmula dada.
Nota: La temperatura se toma constante, a la temperatura ambiental (20 C). Los datos (medida del tiempo en segundos) se pueden resumir en las siguientes tablas, de acuerdo al líquido en estudio, con 7 bolas de 3 diferentes diámetros. AGUA ( = 1 [grm/cm3]) BOLA 1 (D=7,85 [mm]) BOLA 2 (D=4,70 [mm]) BOLA 3 (D=3,90 [mm]) 1 0,58 0,78 0,88 2 0,53 0,67 0,76 3 0,57 0,67 0,87 4 0,50 0,76 0,75 5 0,58 0,72 0,72 6 0,59 0,75 0,94 7 0,59 0,82 0,91 Tabla 1 DIESEL ( = 0,68 [grm/cm3]) BOLA 1 (D=7,85 [mm]) BOLA 2 (D=4,70 [mm]) BOLA 3 (D=3,90 [mm]) 1 0,47 0,58 0,69 2 0,58 0,54 0,69 3 0,57 0,51 0,67 4 0,56 0,53 0,56 5 0,59 0,59 0,54 6 0,60 0,59 0,55 7 0,48 0,54 0,61 Tabla 2 ACEITE ( = 0,88 [grm/cm3]) BOLA 1 (D=7,85 [mm]) BOLA 2 (D=4,70 [mm]) BOLA 3 (D=3,90 [mm]) 1 1,71 3,06 4,13 2 1,72 3,06 4,04 3 1,67 3,10 3,97 4 1,60 3,09 3,95 5 1,63 3,02 4,05 6 1,58 3,07 3,93 7 1,71 3,01 3,94 Tabla 3 Además se tomó el recorrido para cada líquido. RECORRIDO DE LA BOLA AGUA DIESEL ACEITE 0,790 0,795 0,450 Tabla 4 ANALISIS DEL AGUA
Se procedió a la toma del tiempo de la caída de la bola entre marcas con un cronómetro (supuestamente libre de error sistemático). Para obtener un único valor de los tiempos, velocidad y viscosidad, se tomó el promedio y se tomó un error determinado con la desviación estándar de las muestras, es decir: Donde la media es: y el error para el tiempo: Nota: Para el cálculo de los errores de las viscosidades, se usa la técnica de los errores relativos, pero es un poco tedioso y complicado, así es que se tomó las desviaciones estándar y el promedio de estas como resultado final. Por lo tanto, para el agua y para cada una de las bolas, se tiene: Otros datos adicionales se encuentran en la siguiente tabla: Densidad del líquido Densidad del sólido (bola) Aceleración de gravedad [m/s2] 1000 7880 9,81 RESULTADOS DEL ANALISIS DEL AGUA BOLA 1 1 0,00785 0,58 0,790 1,36 0,1696 2 0,00785 0,53 0,790 1,49 0,1550 3 0,00785 0,57 0,790 1,39 0,1667 4 0,00785 0,50 0,790 1,58 0,1462 5 0,00785 0,58 0,790 1,36 0,1696 6 0,00785 0,59 0,790 1,34 0,1726 7 0,00785 0,59 0,790 1,34 0,1726 Promedio 0,00785 0,56 0,790 1,41 0,1646 BOLA 2 1 0,0047 0,78 0,790 1,01 0,08178 2 0,0047 0,67 0,790 1,18 0,07025 3 0,0047 0,67 0,790 1,18 0,07025 4 0,0047 0,76 0,790 1,04 0,07968 5 0,0047 0,72 0,790 1,10 0,07549 6 0,0047 0,75 0,790 1,05 0,07863 7 0,0047 0,82 0,790 0,96 0,08597 Promedio 0,0047 0,74 0,790 1,07 0,07744 BOLA 3 1 0,0039 0,88 0,790 0,90 0,06353 2 0,0039 0,76 0,790 1,04 0,05487 3 0,0039 0,87 0,790 0,91 0,06281
4 0,0039 0,75 0,790 1,05 0,05414 5 0,0039 0,72 0,790 1,10 0,05198 6 0,0039 0,94 0,790 0,84 0,06786 7 0,0039 0,91 0,790 0,87 0,06569 Promedio 0,0039 0,83 0,790 0,96 0,06013 Para finalizar, el análisis de la viscosidad del agua, se calcula el promedio de la viscosidad determinada para ambas bolas, incluyendo el error calculado por la desviación estándar, por lo tanto: ANALISIS DEL DIESEL Análogamente al análisis del agua, se procedió a tomar el tiempo entre marcas y con ellas se determinó los promedios de los tiempos y sus errores. Debido a su baja densidad y a su propiedad volátil, se esperaban que los tiempos eran más cortos que el agua. Otros datos adicionales se encuentran en la siguiente tabla: Densidad del líquido Densidad del sólido (bola) Aceleración de gravedad [m/s2] 680 * 7880 9,81 RESULTADOS DEL ANALISIS DEL DIESEL BOLA 1 1 0,00785 0,47 0,795 1,69 0,1430 2 0,00785 0,58 0,795 1,37 0,1764 3 0,00785 0,57 0,795 1,39 0,1734 4 0,00785 0,56 0,795 1,42 0,1703 5 0,00785 0,59 0,795 1,35 0,1795 6 0,00785 0,60 0,795 1,33 0,1825 7 0,00785 0,48 0,795 1,66 0,1460 Promedio 0,00785 0,55 0,795 1,46 0,1673 (*): Merle Potter - David Wigger; Mecánica de fluidos; Segunda edición; Pág. 720 BOLA 2 1 0,0047 0,58 0,795 1,37 0,06324 2 0,0047 0,54 0,795 1,47 0,05888 3 0,0047 0,51 0,795 1,56 0,05561 4 0,0047 0,53 0,795 1,50 0,05779 5 0,0047 0,59 0,795 1,35 0,06433 6 0,0047 0,59 0,795 1,35 0,06433 7 0,0047 0,54 0,795 1,47 0,05888 Promedio 0,0047 0,55 0,795 1,44 0,06044
BOLA 3 1 0,0039 0,69 0,795 1,15 0,05180 2 0,0039 0,69 0,795 1,15 0,05180 3 0,0039 0,67 0,795 1,19 0,05030 4 0,0039 0,56 0,795 1,42 0,04204 5 0,0039 0,54 0,795 1,47 0,04054 6 0,0039 0,55 0,795 1,45 0,04129 7 0,0039 0,61 0,795 1,30 0,04580 Promedio 0,0039 0,62 0,795 1,30 0,04622 Para finalizar, el análisis de la viscosidad del diesel, se calcula el promedio de la viscosidad determinada para ambas bolas, incluyendo el error calculado por la desviación estándar, por lo tanto: ANALISIS DEL ACEITE Análogamente al análisis del diesel, se procedió a tomar el tiempo entre marcas y con ellas se determinó los promedios de los tiempos y sus errores. Otros datos adicionales se encuentran en la siguiente tabla: Densidad del líquido Densidad del sólido (bola) Aceleración de gravedad [m/s2] 880 7880 9,81 RESULTADOS DEL ANALISIS DEL ACEITE BOLA 1 1 0,00785 1,71 0,450 0,263 0,8933 2 0,00785 1,72 0,450 0,262 0,8986 3 0,00785 1,67 0,450 0,269 0,8724 4 0,00785 1,60 0,450 0,281 0,8359 5 0,00785 1,63 0,450 0,276 0,8515 6 0,00785 1,58 0,450 0,285 0,8254 7 0,00785 1,71 0,450 0,263 0,8933 Promedio 0,00785 1,66 0,450 0,271 0,8672 BOLA 2 1 0,0047 3,06 0,450 0,147 0,5731 2 0,0047 3,06 0,450 0,147 0,5731 3 0,0047 3,10 0,450 0,145 0,5805 4 0,0047 3,09 0,450 0,146 0,5787 5 0,0047 3,02 0,450 0,149 0,5656 6 0,0047 3,07 0,450 0,147 0,5749
7 0,0047 3,01 0,450 0,150 0,5637 Promedio 0,0047 3,06 0,450 0,147 0,5728 BOLA 3 1 0,0039 4,13 0,450 0,109 0,5326 2 0,0039 4,04 0,450 0,111 0,5209 3 0,0039 3,97 0,450 0,113 0,5119 4 0,0039 3,95 0,450 0,114 0,5093 5 0,0039 4,05 0,450 0,111 0,5222 6 0,0039 3,93 0,450 0,115 0,5068 7 0,0039 3,94 0,450 0,114 0,5081 Promedio 0,0039 4,00 0,450 0,112 0,5160 Para finalizar, el análisis de la viscosidad del aceite, se calcula el promedio de la viscosidad determinada para ambas bolas, incluyendo el error calculado por la desviación estándar, por lo tanto: Una vez determinado los datos para cada fluido y para cada tipo de bola, se procede a realizar un estudio de gráficos sobre el experimento, básicamente, es la interpretación de la velocidad límite de la bola sobre los distintos fluidos, en función de los otros parámetros considerados en la fórmula de viscosidad pasado en el marco teórico. Para poder graficar, se usarán 3 pares de datos, basados en el promedio de las siete mediciones realizadas, con el objeto de obtener una posible curva suavizada y más exacta. La siguiente tabla resume los datos a utilizar. Bola 1 (D=7,85 [mm]) Bola 1 (D=4,70 [mm]) Bola 1 (D=3,90 [mm]) Velocidad Viscosidad Velocidad Viscosidad Velocidad Agua 1,41 0,1646 1,07 0,07744 0,96 0,06013 Diesel 1,46 0,1673 1,44 0,06044 1,3 0,04622 Aceite 0,271 0,8672 0,147 0,5728 0,112 0,516 Viscosidad Para cada bola, se hizo un gráfico en el que se pueda estar estos tres fluidos en estudio, pero para cada fluido es un punto, por lo tanto se dará una gráfica aproximada de estos promedios calculados. VELOCIDAD LIMITE vs. Gráfica aproximada, identificando los puntos promedios.
Gráfica aproximada, mostrando los puntos promedios e identificando el tipo de bola. VELOCIDAD LIMITE vs. DENSIDAD FLUIDO Las densidades son: (agua = 1000 ) (diesel = 680 ) (aceite = 880 ) Gráfica aproximada, identificando los puntos promedios.
Gráfica aproximada, mostrando los puntos promedios e identificando el tipo de bola. VELOCIDAD LIMITE vs. DIAMETRO BOLA Los diámetros de las bolas son: (D1 = 0,0785 ) (D2 = 0,00470 ) (D3 = 0,00390 ) Gráfica aproximada, identificando los puntos promedios.
Gráfica aproximada, mostrando los puntos promedios e identificando el tipo de bola. DISCUSION DE RESULTADOS Efectuando una comparación entre los fluidos estudiados en el experimento y los datos principales de los fluidos en la teoría, se puede dar a conocer destacados puntos: En la toma de datos para el agua, se calcularon las viscosidades para cada bola y luego se calculó un promedio. El valor del promedio determinado es aproximadamente 100 veces mayor que la viscosidad teórica, siendo una de las más altas probabilidades, el hecho de que la toma del tiempo fue insuficiente (es decir, con errores). Para el diesel, la bola 1 resultó tener una viscosidad mayor que la del agua para la misma bola, no así con las bolas 2 y 3, que en referencia están muy alejados. Su resultado promedio es 135 veces mayor que la viscosidad teórica especificada. Debe notarse que las velocidades del diesel son mayores, por lo que el error de la toma del tiempo se ve afectada con mayor razón. Quizás la principal razón de su baja viscosidad, es debida a su propiedad volátil, que tiene. En el aceite, la toma de la medida del tiempo, fueron mejores que en ambos fluidos debido a la baja velocidad promedio, con el cual los datos tomados fueron más óptimos. Su resultado promedio fue 1,41 veces mayor que la viscosidad teórica entregada, demostrando así la exactitud de los datos tomados.
En la gráfica versus bola, la tendencia es una recta con pendiente positiva, aumentando así la velocidad límite cuando el diámetro de la bola crece CONCLUSION Para poder apreciar la situación en que los datos fueron tomados y en la forma en que los fluidos se comportan, se tomó sólo el promedio (valor aproximado). Posteriormente se hicieron algunos gráficos y finalmente su análisis: A medida que el diámetro aumenta, la velocidad límite y la viscosidad aumenta en conjunto, pero en un diámetro constante y determinado. Cuando la densidad aumenta, la velocidad límite disminuye. Inconscientemente, se dice que mientras más denso es el fluido, la velocidad límite de caída de la bola es menor, concluyendo que a medida que aumenta la densidad, la viscosidad aumenta. Al aumentar el diámetro de la bola, la velocidad límite aumenta. Estas importantes características observadas en el experimento concuerdan con la fórmula de Stokes, dando como resumen los siguientes supuestos físicos: La viscosidad es inversamente proporcional a la velocidad límite. La velocidad límite es directamente proporcional al diámetro de la bola. La velocidad límite es directamente proporcional a la densidad de un fluido, para un cierto material (bola). Si los tiempos se hubieran tomados con mayor precaución y además se hubiera tomado el cruce de la bola sobre algunas de las marcas (inferiores o superiores o ambas) con un sensor físico (como el sensor de tiempo Photogate), la exactitud en la toma podría haber ocasionado una importante disminución de los errores y por ende, obtener resultados idealmente aceptables. Para finalizar este informe, se deja claro en cuestión la importancia de las propiedades fundamentales de los fluidos, siendo la viscosidad una de las más destacadas. En el caso del aceite (el fluido con menor error), se considera una gran ventaja debido a que en el ámbito mecánico, el aceite cubre gran parte para la protección de maquinarias en que se usan partes móviles, donde la fricción tiene que ser mínima. APENDICE En esta sección se encuentra un pequeño material que sirvió de apoyo a la confección de este informe y de los datos a calcular. Número de Reynolds: El número de Reynolds es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un número de Reynolds crítico distingue entre los diferentes regímenes de flujo, tales como laminar (si es que es menor a 2100), o turbulento (si es mayor a 4000) en tuberías, en la capa límite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación. Es un número adimensional que indica el grado de turbulencia de un fluido. Densidades y Viscosidades: En la siguiente tabla se resume los datos que teóricamente deberían dar. Densidad Viscosidad Fluido Agua 1000 0,00105 Diesel 680 0,000673 Aceite 880 0,460 Cifras Significativas: Son aquellas cifras que resultan al medir una cantidad, ya sea por medición directa o indirecta, y que realmente representan una información confiable.
Error Sistemático: Son aquellos que hacen que las medidas resulten mayores o menores que el valor verdadero. Tienen el carácter de evitables o corregibles y están presentes en los instrumentos de medición (por ejemplo, un micrómetro descalibrado). Error Aleatorio: Son aquellos que hacen que no haya seguridad de que la medición resulte mayor o menor que el valor verdadero. Todo instrumento proporciona un número limitado de cifras, siendo incierta toda cifra de menor magnitud.