PROBLEMAS DE PROBABILIDAD 2º DE BACHILLERATO COLEGIO MARAVILLAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS TERESA GONZÁLEZ
1) El 60% de los habitantes de una ciudad lee el periódico A, el 45% leen el B y el 20% de los habitantes leen ambos periódicos. Si en la ciudad no existen más periódicos. Calcule: a. El porcentaje de los habitantes que leen algunos de los dos periódicos. b. Probabilidad de que un habitante elegido al azar no lea ninguno de los dos periódicos. 2) De 120 estudiantes 50 hablan francés, 60 ingles y 20 hablan ambos idiomas. Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar: a. Hable inglés y francés b. No hable ninguno de los dos idiomas. c. Hable inglés y no francés. d. Hable alguno de los dos idiomas. 3) Se lanzan dos dados al aire y se suman las puntuaciones de las dos caras superiores. Escribir el espacio muestral.a) Calcular la probabilidad de obtener en las caras una suma igual a 7. Calcular la probabilidad de obtener una suma inferior a 5. c)calcular la probabilidad de que la suma de las dos caras sea 5 y primo.d) Calcular la probabilidad de la suma de las dos caras sea 5 o múltiplo de 5. 4) En dos lanzamientos de una moneda, calcular la probabilidad de sacar la primera vez una cara y segunda vez otra cara. 5) Calcular la probabilidad de sacar dos ases al extraer dos cartas consecutivamente de una baraja de 40 cartas con reemplazamiento. 6) Calcular la probabilidad de sacar dos cartas (con las condiciones del problema anterior) las cuales sean un as y la otra un rey. 7) Una persona llama por teléfono a un amigo pero no recuerda ninguna de las nueve cifras y las marca al azar. Cuál es la probabilidad de que marque el número correctamente? 8) Las letras M, G, A, O. Se sacan de una en una y se colocan en una mesa. Cuál es la probabilidad de que pueda leer la palabra MAGO? 9) De dos sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0 3, P(B) = 0 2 y P(AUB) = 0 4. Calcula P(A B) (donde P(A B) indica la intersección de A y B). 10) Se lazan dos dados. Calcula la : a. Probabilidad de que la suma de las caras superiores sea 8. b. Si el primer resultado es un 3, como varía la probabilidad? 11) Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Se extraen a la vez 2 bolas de la urna. Cuál es la probabilidad de A c (donde A c es el complementario de A) sabiendo que A es el suceso alguna bola sea negra? 12) De una baraja de 40 cartas se extraen 2. Calcula la probabilidad de sacar un as o un rey: a. Sin remplazamiento.
b. Con reemplazamiento. 13) En un cajón hay 4 calcetines negros, 6 calcetines de rombos y 2 calcetines azules. Se cogen a oscuras 2 calcetines. Cuál es la probabilidad que sean del mismo color? 14) Un banco tiene 2 sistemas de alarma independientes cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 0 85 de funcionar en caso necesario. Si se produce un robo, calcular: a. Probabilidad de que ninguna alarma funcione. b. Probabilidad de que alguna alarma funcione. 15) Demostrar que para 2 sucesos A y B tal que P(A) = 1 y P(B) = 1 se tiene que P(AUB) = P(A B). 16) Sean A y B dos sucesos de un espacio probabilístico tales que P(A) = 1/2, P(B) =1/2 y P(A B) = 1/6 (siendo P(A B) la intersección entre A y B). Calcular: P(A c B c ). (Siendo P(A c B c ) la intersección entre el complementario de A y el complementario de B). 17) De una urna con 49 bolas numeradas se extraen sin reemplazamiento 7 bolas al azar. Las 6 primeras se denominan de premio y la séptima se llama complementario. Un jugador hace una apuesta que consiste en fijar 7 números. Calcular la probabilidad de que acierte los 6 primeros números de premio. 18) Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 rojas. Se extraen 2 bolas al azar sucesivamente. Calcular la probabilidad de que: a. La primera sea blanca y la segunda roja. b. Una sea blanca y la otra roja. 19) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado al aire 3 veces, se obtenga al menos una vez el número 6. 20) Se lanzan 4 monedas al aire. Se pide calcular la : a. Probabilidad de obtener a lo sumo 3 cruces. b. Probabilidad de obtener exactamente 2 caras. 21) Se lanzan 2 dados al aire. Calcular la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos en las caras superiores en un lanzamiento sea menor que 7. 22) De una baraja de 40 cartas se extraen 3 cartas al azar sin remplazamiento. Calcular la probabilidad que sean un as, un rey y un seis en ese orden. 23) Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. En cada disparo la probabilidad de alcanzar el objetivo es 1/7. Calcular: a. La probabilidad de alcanzar el objetivo con los 7 obuses. b. La probabilidad de alcanzar el objetivo con alguno de los 7 obuses. 24) Sean 2 sucesos A y B de un espacio muestral tal que P(A) = 0 6, P(B) = 0 7 y P(AUB) P(A B) = 0 3. Calcular P(AUB) y P(A B). 25) La probabilidad de que un alumno apruebe matemáticas es 0 6, de que apruebe lengua es de 0 5 y de que apruebe la dos es 0 2. Calcular: a. Probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. b. Probabilidad de que no apruebe ninguna.
c.probabilidad de que apruebe matemáticas y no lengua. 26) Se tienen 3 urnas U 1, U 2 Y U 3 con las siguientes composiciones. La primera urna tiene 2 bolas rojas y 3 blancas, la segunda una roja y 4 blancas y la tercera urna tiene 3 rojas y una blanca. Se elige al azar una urna y de ella se extrae una bola también al azar. Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja? 27) En un país X se concede a los condenados a muerte una oportunidad de salvarse. Se les colocan delante dos urnas idénticas A y B. La A tiene una bola blanca y 4 negras y la B tiene 3 blancas y 2 negras. El preso elige una urna al azar y extrae una bola. Si la bola extraída es blanca se le perdona la vida. Qué probabilidad tiene de salvarse el prisionero? 28) El 30% de los habitantes de una ciudad son socios de su equipo de fútbol. El 80% de los socios practican algún deporte mientras que entre los no socios solamente los practican un 40%. Si elegimos un habitante al azar. Cual es la probabilidad de que practique algún deporte? 29) En un estudio realizado sobre accidentes de automóviles se sabe que el 10% de accidentes se debe a fallos mecánicos, el 60% a fallos humanos y el 30% a defectos en la carretera. Se conocen además la probabilidad de accidentes (B) condicionadas a los sucesos anteriores. P(B/A 1 ) = 0 2, P(B/A 2 ) = 0 32 y P(B/A 3 ) = 0 16. Calcular la probabilidad B, de que un conductor tenga un accidente en un viaje. 30) El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y el 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar ocupe un puesto directivo? Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea ingeniero y ocupe un puesto directivo?. 31) Tenemos 3 cajas: una verde, otra roja y otra amarilla. En cada una de ellas hay una moneda. La moneda de la caja verde está trucada y la probabilidad de obtener cara es el doble de la de sacar cruz. La moneda de la caja roja tiene 2 caras y en la caja amarilla la moneda no está trucada. Se toma una caja al azar y se lanza una moneda de su interior. Calcula la probabilidad de que salga cara. 32) Se tienen tres urnas idénticas con la siguiente composición: U 1 (2 bolas rojas y 3 blancas); U 2 (una bola roja y 4 blancas);u 3 (3 bolas rojas y una blanca). Se elige al azar una urna y de ella se extrae al azar una bola. Si la bola extraída es roja, Qué probabilidad hay de que proceda de la primera urna? 33) Tres máquinas: A, B y C de una fábrica, producen tornillos que se embalan en cajas sin distinción. La máquina A produce un 5% de tornillos defectuosos. La máquina B un 10%, y la C, un 3%. Sabiendo que la mitad de la producción proviene de A, y que B y C se reparten el resto a partes iguales, calcula la probabilidad de que provenga de la máquina B un tornillo extraído al azar de una caja y que sabemos que es defectuoso. 34) Una compañía financiera para la venta de automóviles a plazos opera en 3 ciudades: A, B y C en las siguientes proporciones: El 50% de las operaciones se efectúan en A, el 30% se hacen en B, y el 20% en C. La probabilidad de que un cliente no pague las letras es de 0 001 en A, 0 002 en B y 0 008 en C. Se elige al azar una de las operaciones de venta realizadas en el pasado, y comprobamos que no
había sido pagada. Cuál es la probabilidad de que dicha operación haya sido efectuada en C? 35) Mediante un reconocimiento, un médico cree que un paciente padece la enfermedad A con una probabilidad de 0 7, o la B con una probabilidad de 0 3. Para mayor seguridad ordena realizar un análisis que resulta ser negativo. Como se sabe que el análisis da positivo en el 90% de los casos en que se padezca la enfermedad A y sólo en el 20% en que se padezca la enfermedad B, Qué probabilidad hay de que el paciente padezca la enfermedad A? 36) En cierta facultad el 4% de los hombres y el 1% de las mujeres miden más de 1 85, además el 60% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 1 85, Cuál es la probabilidad de que sea mujer? 37) Se tienen tres urnas con las siguientes composiciones: A (3 rojas y 5 blancas); B (10 rojas y 3 blancas); C (5 rojas y 6 blancas). Se saca una bola al azar que se sabe que es roja. Cuál es la probabilidad que sea de la A? 38) Se cree que un enfermo ha podido tener la enfermedad A y B con probabilidades 0 25, 0 4 respectivamente. Para establecer un diagnóstico diferencial, se somete al paciente a un análisis, del que solo hay dos resultados, positivo y negativo. Por la experiencia acumulada en otros casos se sabe que la probabilidad de que sea positiva para los que padecen A es de 0 04 y para los que padecen B es de 0 07. Se sabe que al enfermo le ha salido positivo el análisis, Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad A? 39) En un hospital especializado en enfermedades del tórax ingresan un 50% de enfermos con bronquitis, un 30% con neumonía, y el 20% con gripe. La probabilidad de curación completa es de 0 7 para la bronquitis, de 0`8 para la neumonía y de 0 9 para la gripe. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente sano. Hallar la probabilidad de que hubiera ingresado con bronquitis. 40) El personal de una fábrica está formado por un 40% de mujeres y un 60% de hombres. Se sabe que, de las mujeres fuman un 20% y de los hombres, un 60%. En la cafetería, un camarero observa que han dejado una colilla en el cenicero. Qué probabilidad hay de que la haya dejado una mujer? 41) Un ladrón es perseguido por la policía, y llega a un garaje que tiene 2 puertas. Una de las puertas conduce a un recinto A, donde hay 5 coches, de los cuales sólo tres tienen gasolina; la otra puerta, conduce a un recinto B, donde hay 4 coches, y sólo uno tiene gasolina. El ladrón elige al azar una puerta, y luego un coche. Cuál es la probabilidad de que escape? 42) Disponemos de cuatro cajas, con un número indeterminado de botones en ella. En la caja 1, hay un 20% de botones blancos, en la caja 2, un 30%, en la caja 3, un 50% y en la caja 4 hay un 70%. Se selecciona una caja al azar, y de ella se extrae un botón. Calcula la probabilidad de que sea blanco. 43) Sean 2 sucesos A y B de un espacio muestral, tales que P(A) = 0 5, P(B) = 0 6 y P(A c UB c )=0 7.(siendo P(A c UB c ) la unión entre A complementario y B complementario) Determinar: a. P(A B) b. P(AUB)
c. P(A c B c ) (siendo P(A c B c ) la intersección entre complementario de A y complementario de B). 44) En unas elecciones a delegado de curso se presentan dos candidatos A y B. El 45% votan a A y de éstos el 54% son chicas. Del 55% de los alumnos que votan a B, el 60% son chicos. Elegido un votante al azar. Calcula: a. Probabilidad de que sea chico. b. Probabilidad de que haya votado al candidato A, sabiendo que la persona elegida es chico. 45) A una carrera en la universidad acceden el 30% de los estudiantes con estudios de tipo A, el 45 %, con estudios del tipo B, y el resto, con estudios del tipo C. Las probabilidades de aprobar en la primera convocatoria una determinada asignatura son de 0 5, 0 6 y 0 7 para cada tipo de estudios previos A, B y C respectivamente. Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar suspenda dicha asignatura en la 1ª convocatoria. 46) Un determinado club tiene un 75% de sus miembros que son hombres y un 25% son mujeres. De este club tienen teléfono móvil un 25% de los hombres y un 50% de las mujeres. Calcular el tanto por ciento de miembros de este club que no tienen móvil. Se pregunta a un socio al azar, y nos dice que tiene móvil. Cuál es la probabilidad de que sea mujer? 47) Un examen de historia consiste en contestar dos temas elegidos al azar de entre 35. Un alumno sólo se ha estudiado 28 temas. Hallar la probabilidad de que: a. El estudiante se haya estudiado los dos temas elegidos. b. El estudiante se haya estudiado solo uno de los temas. c. Que no haya estudiado ninguno. 48) Se toman sin reemplazamiento tres cartas de una baraja de 40. Hallar la probabilidad de que salga el as de oros en una de las tres cartas. 49) Tenemos tres cajas, que contienen bolas : Caja 1, ( 3 rojas, 3 azules y 5 amarillas); Caja 2, ( 4 rojas, una azul y 3 amarillas); Caja 3, (3 rojas, 4 azules y 3 amarillas). Cuál es la probabilidad de sacar bola roja al extraer una bola de una caja seleccionada al azar, si las cajas son indistinguibles? 50) En una reunión hay 60 personas. Veinte de ellas son mujeres y 40 hombres. Entre ellos, 20 hombres fuman y 8 mujeres fuman. a) Calcula la probabilidad de que al elegir una persona al azar no fume. b) Si se elige una persona al azar y se sabe que fuma. Cuál es la probabilidad de que sea hombre? 51) Calcula la probabilidad P(AUB), sabiendo que P(A) = 0 3, P(B) = 0,5 y P(A/B) = 0,2. 52) Una moneda está cargada, de forma que al lanzarla la probabilidad de cara es doble de la de obtener cruz. Calcula la probabilidad de obtener alguna cara en 3 lanzamientos.