Unidad 9: Vectores. 1. Sistemas de coordenadas y lugares geométricos. 1.1. Introducción.

Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Departamento de Matemática Escuela de Ciencias Exactas y Naturales GEOMETRÍA I Licenciatura en Matemática - Profesorado en Matemática - Año 2014 Equipo docente: Dr. Francisco Vittone - Prof. Ana Laura Alet - Melani Barrios Unidad 9: Vectores 1. Sistemas de coordenadas y lugares geométricos. 1.1. Introducción. Los temas que hemos desarrollado hasta el momento en la materia constituyen la base de la geometría clásica. A partir del sistema axiomático que hemos introducido hemos sido capaces de describir de manera precisa muchas propiedades interesantes de figuras geométricas elementales y cómo se relacionan entre ellas. Así por ejemplo, sabemos que dos rectas se intersecan en un punto, dos planos se intersecan en una recta, que por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia y existe un único plano que los contiene, etc. Sin embargo esta teoría, que tiene una extremada belleza y un desarrollo teórico importante, tiene también una falla muy grande a la hora de intentar aplicaciones prácticas. El ejemplo del área de figuras planas es un ejemplo claro que ya hemos resuelto. Recordemos que para definir el área de una figura plana hemos dado un cuadrado unidad, que es la unidad de área, y de alguna manera el área de la figura plana se calcula determinando cuántos cuadrados unidad entran en la figura. Este concepto nos hubiese bastado para hacer un tratamiento teórico del área. Así el área de cualquier figura sería una determinada cantidad de unidades de área. Pero para poder menejar el área en la vida cotidiana de forma práctica y útil, necesitamos asociar la unidad de área a alguna unidad de longitud y así, sabiendo cuales son las medidas de los lados de alguna figura plana por ejemplo, poder determinar cuál es su área de manera que todos entendamos que quiere decir. Observemos que tomar un cuadrado unidad y tratar de cubrir la figura con cuadrados congruentes a él es una empresa imposible. Con problemas más sencillos ocurre lo mismo. Supongamos que queremos determinar de forma exacta el punto de intersección de dos rectas. Cómo podemos hacerlo? La teoría nos dice que si las rectas no son paralelas este punto es único, pero encontrarlo con exactitud dependerá entre otras cosas del grosor del lápiz que estemos utilizando, de la habilidad que tengamos para dibujar, sin hablar de que para indicarle a cualquier otra persona cuál es el punto de intersección en cuestión deberemos mostrarle el dibujo que hemos realizado. Hoy es muy común hablar de coordenadas. Los GPS nos dicen de manera precisa en qué punto de la tierra nos encontramos en un momento determinado, repecto de un sistema de coordenadas fijo, que todo el mundo conoce y entiende. De modo que si queremos trasmitir nuestra posición a cualquier persona del mundo, bastará dar estos números y ellos sabrán donde encontrarnos. Observemos que las coordenadas no son más que eso: números. Números que aislados carecerían de sentido, pero una vez que fijamos un marco de referencia que todos sabemos 1

interpretar, se vuelven una manera de describir entes geométricos: en nuestro ejemplo, un punto. Así, para determinar el punto de intersección de dos rectas en el plano, bastará fijar un sistema de coordenadas común a todos nosotros e indicar cuales son las coordenadas del punto en ese sistema. De esta manera cualquiera puede localizar el punto de forma exacta. Esta idea tan simple de vincular objetos geométricos con números constituye una de las ideas más brillantes de la historia de la matemática y abre las puertas a una maquinaria de trabajo potente que ha permitido resolver problemas que son impensables desde el punto de vista sintético que hemos desarrollado hasta ahora (por ejemplo, demostrar la imposibilidad de resolver los tres problemas clásicos de construcción). A partir de esta unidad nos dedicaremos al estudio de la denominada geometría anaĺıtica, cuya base fundamental es utilizar ideas del álgebra para describir objetos geométricos. La geometría anaĺıtica se basa en la introducción de coordenadas cartesianas, que como vermos en seguida consiste en tomar dos rectas perpendiculares (llamadas ejes) y asociar a los puntos de cada una de ellas todos los números reales de una manera determinada. Las coordenadas cartesianas fueron introducidas por el célebre filósofo francés René Descartes (1596-1650) quien quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un punto de partida evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento. En la geometría anaĺıtica, este punto de partida es el origen de coordenadas que se obtiene de intersecar los dos ejes. Comenzamos esta unidad introduciendo estos conceptos. 1.2. Coordenadas en una recta. En esta sección veremos cómo se vinculan los puntos de una recta, del plano o del espacio con los números reales. Dada una recta r cualquiera y un punto O fijo de r, quedan determinadas dos semirrectas con origen en O. Elegimos un punto P arbitrario distinto de O (en general representamos a r como una recta horizontal y elegimos un punto P a la derecha de O). Queda así determinado un segmento OP que denominamos segmento unitario y que determina una escala en la recta r. Definiremos a través de esta escala una correspondencia entre los puntos de r y el conjunto de números reales R. Al punto O le asignamos el número 0 y al punto P le asignamos el número 1. O se denomina origen de coordenadas. Dado un punto Q O cualquiera de r, existirá un único número real positivo x de modo que la longitud del segmento OQ es x respecto de una función de longitud que tenga a OP como segmento unidad, esto es OQ = x Existen dos opciones: Q OP, en cuyo caso asociamos a Q el número real positivo x o Q / OP, en cuyo caso asociamos a Q el número real negativo x. De esta manera, hemos asociado a cada punto de r un número real, de modo que a dos puntos distintos corresponden números distintos (es decir, hemos establecido una correspondencia inyectiva entre r y R). 2

Recíprocamente dado un número real x cualquiera (positivo o negativo), existe un punto Q r de modo que Q tiene asociado el número x. Si x = 0, Q = O, y si x 0, basta considerar un punto Q de modo que OQ = x y Q OP si x > 0 o Q / OP si x < 0. Esto es, la correspondencia que acabamos de definir es biyectiva o biunívoca. r R P x El número x se denomina la coordenada del punto P. 1.3. Coordenadas en un plano. Consideremos ahora dos rectas perpendiculares r y s en un plano π, que se cortan en un punto O. Elijamos un punto P 1 sobre r y un punto P 2 sobre s de modo que OP 1 = OP 2 y establezcamos un sistema de coordenadas en r y s con origen en O de modo que OP 1 y OP 2 definan la escala en r y s respectivamente. Denotamos por R 2 al conjunto de pares ordenados (x, y) de números reales, esto es, R 2 = {(x, y) : x, y R}. Estableceremos una correspondencia biunívoca entre los puntos de π y los elementos de R 2. Consideremos un punto P π cualquiera, y sea A el pie de la perpendicular a r por P. Por la correspondencia que hemos definido en la sección anterior, a A le corresponde un número real x. Sea ahora B el pie de la perpendicular a s por P. Nuevamente, a B le corresponde un número real y. Así, al punto P le corresponde el par ordenado de números reales (x, y). Los números x e y se denominan coordenadas de P : x se denomina la abscisa de P e y se denomina la ordenada de P. Hemos definido así una correspondencia entre π y R 2 que también es claramente biunívoca. Las rectas r y s se denominan ejes coordenados y determinan un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Usualmente nos referimos a ellas como eje de abscisas, o simplemente eje x para la recta r y eje de ordenadas, o simplemente eje y para s. El punto O se denomina origen de coordenas. Exhibimos algunos ejemplos en la siguiente figura: 3

Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes, que están caracterizadas por el signo de la abscisa y la ordenada de los puntos que las componen. Las ilustramos en la siguiente figura: 1.4. Coordenadas en el espacio. Consideremos ahora tres rectas r, s y t en el espacio, perpendiculares dos a dos y concurrentes en un punto O. Elegimos tres puntos P 1, P 2 y P 3 sobre r, s y t respectivamente de modo que OP 1 = OP 2 = OP 3 como se muestra en la figura. En cada una de las rectas tenemos coordenadas cuyo origen común es O y la escala está dada por los segmentos OP i, i = 1, 2, 3. Consideremos ahora un punto P cualquiera del espacio. El (único) plano perpendicular a la recta r que pasa por P corta a r en un punto A de coordenada x. El plano perpendicular a s por P corta a s en un punto B de coordenada y y el plano perpendicular a la recta t por P corta a t en un punto C de coordenada z. 4

La terna de puntos (A, B, C) está unívocamente determinada por el punto P, y recíprocamente dados tres puntos A, B y C sobre las rectas r, s y t, existe un único punto P que los determina de la manera que hemos descripto. Cada uno de los puntos A, B y C están caracterizados por sus coordenadas x, y y z. Luego hemos establecido una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio y el conjunto de ternas ordenadas de números reales R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} dada por P (x, y, z). x, y y z se denominan las coordenadas de P. La recta r se denomina eje x, la recta s eje y y la recta t eje z. El plano que determinan el eje x y el eje y se denomina plano xy, el plano que determinan el eje y y el eje z se denomina plano yz y el plano que determinan el eje y y el eje z se denomina plano xz. 1.5. Lugares geométricos Se denomina lugar geométrico a todo subconjunto del plano o del espacio formado por todos los puntos que satisfacen una o más condiciones geométricas determinadas. Así por ejemplo, dado un punto Q fijo del plano decimos que la circunferencia de centro Q y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a distancia r de Q. O dado Q en el espacio, la esfera de centro Q y radio r es el lugar geométrico de los puntos del espacio que están a distancia r de Q. Dados dos puntos Q y R, la recta QR puede definirse como el lugar geométrico de los puntos que están alineados con Q y R. El hecho de introducir coordenadas, nos plantea la siguiente pregunta: así como los puntos del espacio que pertenecen a un lugar geométrico cumplen una determinada condición geométrica, las coordenadas de estos puntos (que son números reales) cumplirán alguna condición algebraica? Este es el objetivo principal de la geometría anaĺıtica: determinar qué condiciones algebraicas verifican las coordenadas de los puntos que pertenecen a un deteminado lugar geométrico. 5

Consideremos algunos ejemplos. Tomemos los puntos Q(1, 0) y R(1, 2) del plano. Si P (x, y) es un punto de la recta QR es evidente que x = 1. Recíprocamente, cualquier punto del plano cuya abscisa es 1, está alineado con Q y R. Luego QR = {P (x, y) : x = 1} Por lo tanto, esta recta está caracterizada por la ecuación x = 1, que de hecho se denomina ecuación de la recta QR. Sean ahora P (x, y) y Q(x, y ) son dos puntos del plano cualesquiera, determinaremos en función de x, y, x e y la distancia entre ellos. Sea R el punto de intersección entre la perpendicular al eje x por Q y la perpendicular al eje y por P. Entonces P RQ es un triángulo rectángulo, y aplicando el Teorema de Pitágoras resulta d(p, Q) = P Q = P R 2 + RQ 2. Observemos que P R = x x y RQ = y y. Reemplazando en la ecuación anterior, resulta d(p, Q) = (x x) 2 + (y y) 2. Consideremos la circunferencia centrada en el origen O y radio 1, esto es, C = {P : d(p, O) = 1}. Entonces P (x, y) C d(p, O) = 1 (x 0) 2 + (y 0) 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 Luego C = {P (x, y) / x 2 + y 2 = 1}. 6

Por lo tanto x 2 + y 2 = 1 es la ecuación que caracteriza el lugar geométrico C: las coordenadas de todo punto de C la satisfacen, y recíprocamente si (x, y) es un par ordenado de números reales que la satisfacen, el punto P (x, y) pertenece a C. Sea ahora r la mediatriz del segmento AB, siendo A(1, 1) y B(2, 3). Dado un punto P de coordenadas (x, y), tenemos: P r d(p, A) = d(p, B) (x 1) 2 + (y 1) 2 = (x 2) 2 + (y 3) 2 (x 1) 2 + (y 1) 2 = (x 2) 2 + (y 3) 2 x 2 2x + 1 + y 2 2y + 1 = x 2 4x + 4 + y 2 6y + 9 2x + 4y 11 = 0 Luego r = {P (x, y) : 2x + 4y 11 = 0}. Carcaterizaremos ahora algunos lugares geométricos en el espacio. Antes determinaremos una fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del espacio, conociendo sus coordenadas. Veremos que es análoga a la que ya hemos encontrado para los puntos del plano. 7

Sean P (x 0, y 0, z 0 ) y Q(x 1, y 1, z 1 ) dos puntos del espacio. Recordemos que d(p, Q) = P Q, la longitud del segmento P Q. Sean P 0 y Q 0 las proyecciones de los puntos P y Q sobre el plano xy y sea R el punto de intersección de la perpendicular al eje z por P con la recta Q 0 Q. Entonces P RQ es rectángulo y QR = z 1 z 0. Luego d(p, Q) = P R 2 + RQ 2 = P R 2 + (z 1 z 0 ) 2 (1) Por otra parte, P RQ 0 P 0 es un rectángulo y por lo tanto P R = P 0 Q 0 = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2. Reemplazando en (1), resulta d(p, Q) = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 + (z 1 z 0 ) 2 Sea E = {P : d(p, O) = 1} la esfera centrada en el origen de coordenadas y de radio 1. Entonces P (x, y, z) E (x 0) 2 + (y 0) 2 + (z 0) 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 Con lo cual E = {P (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Consideremos ahora el plano π en el espacio, paralelo al plano xy que pasa por el punto Q(0, 0, 2). Es claro que P (x, y, z) π si y sólo si z = 2, y por lo tanto π = {P (x, y, z) : z = 2}. Consideremos finalmente la recta r en el plano yz que pasa por el punto Q(0, 0, 2) y es paralela al eje y. Como la recta está contenida en el plano yz, un punto P (x, y, z) de r debe verificar x = 0. Y como es paralela 8

al eje y y pasa por el punto Q, es fácil ver que también debe verificarse z = 2. Recíprocamente, cualquier punto cuyas coordenadas verifiquen x = 0 y z = 2 es un punto de r. Luego r = {P (x, y, z) : x = 0 z = 2}. Vemos con este ejemplo que un lugar geométrico puede estar definido por más de una ecuación. La o las ecuaciones que definen un lugar geométrico se denominan ecuaciones del lugar geométrico. Como ya hemos mencionado, el objetivo principal de la geometría anaĺıtica es caracterizar lugares geométricos a través de sus ecuaciones y utilizar herramientas algebraicas para estudiar propiedades geométricas. Nos abocaremos a esto en las unidades siguientes, primero debemos presentar y estudiar una herramienta muy importante a la cual dedicaremos el resto de esta unidad: los vectores. 1.6. Ejercicios propuestos 1. a) Marcar en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos: A(2, 3); B(0, 4); C( 2, 3); D(3, 3); E ( 12, 1 ) ; F ( 1, 1); G(3, 2); H ( 32, 0 ). b) A partir del gráfico anterior, hallar las coordenadas de los puntos: 1) simétricos de A, B C y D respecto al eje y. 2) simétricos de B, D, E y H respecto al eje x. 3) simétricos de A, B C y D respecto al origen. 2. En cada uno de los siguientes items, realizar un gráfico de la situación y razonar geométricamente sobre el mismo para encontrar las coordenadas de todos los puntos que verifican: a) están en el segundo o tercer cuadrante, a distancia 3 del eje x y distancia 2 del eje y. b) están a distancia 7 del eje x y 4 del eje y. c) están en el tercer cuadrante, a distancia 5 del origen y a distancia 3 del eje x. d) están a distancia 13 del punto (1, 0) y a distancia 5 del eje x. 3. a) Marcar en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos: A(1, 1, 1); B(1, 1, 1); C(0, 3, 2); D(2, 1, 2); E( 1, 1, 1); F ( 1, 0, 2) b) A partir del gráfico anterior, hallar las coordenadas de los siguientes puntos: 1) simétricos de A y B respecto del plano xy. 2) simétricos de C y D respecto del plano xz. 3) simétricos de E y F respecto del plano yz. 4) simétricos de A y B respecto del eje x. 5) simétricos de E y F respecto del eje z. 9

6) simétricos de A, B y F respecto del origen. 4. En este ejercicio se describen distintos lugares geométricos del plano. Hallar en cada caso una o más condiciones algebraicas que solo cumplen las coordenadas (x, y) de sus puntos. a) Recta paralela al eje x que contiene al punto (3, 6). b) Recta paralela al eje y que contiene al punto (10, 3). c) El eje y. d) El semiplano que determina la unión del primero y el cuarto cuadrante. e) El semiplano que determina la unión del primero y el segundo cuadrante. f ) La recta r que determinan los puntos P (2, 1) y Q(2, 1000). g) El semiplano que tiene como frontera la recta r del item anterior y contiene al punto R(3, 200). h) Un cuadrado de lado 6 con centro en el origen. i) Circunferencia con centro en P (7, 1) y radio 5. j) Círculo con centro en el origen y radio 1. k) Puntos que distan del origen más que 5. 5. En este ejercicio se describen distintos lugares geométricos del espacio. Hallar en cada caso una o más condiciones algebraicas que solo cumplan las coordenadas (x, y, z) de sus puntos. a) Plano paralelo al plano xy que contiene al punto (1, 3, 2). b) Plano paralelo al plano yz que contiene al punto (2, 1, 1). c) El eje x. d) Recta paralela al eje x que contiene al punto (1, 2, 3). e) Puntos del cubo cuyos vértices son (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1) y (1, 1, 1). f ) Puntos de la esfera con centro en (1, 1, 1) y radio 2. g) Circunferencia contenida en el plano xy con centro en el origen y radio 1. 2. Vectores libres Dados dos puntos A y B en el espacio (o el plano) éstos determinan un único segmento, el segmento AB, que es el mismo que el segmento BA. Sin embargo, en muchos casos, es importante decidir una orientación para el segmento, determinar hacia dónde apunta. Ya hemos visto, por ejemplo, que esto es últil para definir una traslación en el plano. Analicemos otro ejemplo. Un satélite revela que un auto circula por una ciudad a 40 km/h en ĺınea recta, en el mapa que se muestra en la Figura 1. A qué hora llegará al río? Si analizamos un instante, vemos que la 10

información que nos da no es suficiente para obtener una respuesta certera. Aún si tuviesemos un mapa con los caminos (Figura 2). Debemos saber en primera instancia si circula por el camino 1 o por el camino 2, o sea en qué dirección circula. Pero todavía la información no es suficiente: aunque sepamos por qué camino circula, nos falta saber con qué sentido lo hace. Este problema nos muestra que en muchas situaciones, las magnitudes escalares (como longitudes, ángulos o, en este caso, la velocidad media) no nos aportan la información adecuada para su resolución. Necesitamos de otras magnitudes que además de un valor escalar nos brinde otros dos datos: dirección y sentido. Estas magnitudes se denominan magnitudes vectoriales y son representadas por un vector. Definiciones: Un vector es un segmento orientado, es decir, determinado por un par ordenado de puntos distintos A y B. A se denomina el origen del vector, y B el extremo. Todo vector está caracterizado por: su origen; su dirección, determinada por la recta que lo contiene; su sentido, dado por la orientación de la flecha ; su módulo, que es la longitud del segmento que lo determina. En la mayoría de los problemas matemáticos, el origen del vector no es importante. En general, cuando se considera el punto de origen del vector como un elemento característico se habla de vectores puntuales y cuando no, se habla de vectores libres. Definiciones: Decimos que dos vectores AB y CD tienen igual dirección si las rectas AB y CD son paralelas. La recta AB se denomina recta sostén del vector AB. Dos vectores con igual dirección se denominan paralelos. Decimos que dos vectores AB y CD de igual dirección tienen igual sentido: si las rectas sostén son paralelas y no coincidentes, si los segmentos AC y BD no se intersecan. 11

si las rectas sostén son coincidentes, si existe un vector P Q cuya recta sostén no es AB, y P Q tiene igual sentido que AB y CD. Se denomina módulo del vector AB, y se lo denota AB, a la longitud de AB. En la Figura 1, AB y CD no tienen la misma dirección, y por lo tanto no tiene sentido establecer si tienen o no el mismo sentido. En las Figura 2 y 4, AB y CD tienen igual dirección y sentido, y en la Figura 3, AB y CD tienen igual dirección y sentidos opuestos. Observemos que para todo vector AB se tiene AB > 0. Observemos que en la definición de vector no hemos permitido tener A = B, pues en ese caso no tendríamos un segmento. Sin embargo será importante permitir que esto ocurra: Definición: Se denomina vector nulo a un punto del espacio (o sea, un vector cuyo origen y extremo coinciden). El vector nulo no tiene dirección ni sentido y su módulo es 0. Por conveniencia, diremos que el vector nulo es paralelo a cualquier otro vector. Tenemos además AB 0, y AB = 0 si y sólo si A = B. Definición: Dos vectores se dicen iguales si ambos son el vector nulo, o si tienen igual dirección, igual sentido e igual módulo. Lema 1: La igualdad de vectores define una relación de equivalencia en el conjunto de vectores. Dejamos la demostración como ejercicio. 12

Los vectores definidos según este criterio de igualdad se denominan vectores libres. Si nos interesara trabajar con vectores puntuales, deberíamos agregar como condición de igualdad que los vectores tengan además el mismo origen. La idea principal de trabajar con vectores libres es la siguiente: dos vectores que tengan igual dirección, sentido y módulo serán considerados iguales, independientemente del origen que tengan. Podemos de alguna manera trasladarlos y ubicarlos con el origen que nos convenga para cada caso. De ahora en más, cuando nos refiramos a un vector estaremos indicando un vector libre. En lo que resta del capítulo denotaremos un vector indicando sus extremos, o directamente con una letra minúscula: El vector nulo se denota como 0. u = AB. Probaremos la propiedad fundamental que define los vectores libres en el siguiente teorema: Teorema 2: Dado un vector AB y un punto P cualquiera, existe un punto Q tal que P Q = AB Demostración: Sea AB un vector y P un punto cualquiera. Tenemos dos opciones: P AB o bien P / AB. Analicemos primero el caso P / AB. Sea s la única paralela a AB que pasa por P. Existe entonces un único punto Q s tal que ABQP es un paralelogramo. Luego P Q tiene la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo que AB y por lo tanto P Q = AB. Si ahora P AB, consideremos un punto P / AB cualquiera y un punto Q tal que P Q = AB. Como ahora P / P Q podemos encontrar un punto Q tal que P Q = P Q. Luego, por transitividad, resulta P Q = AB. Finalizamos esta sección introduciendo algunas definiciones que nos serán útiles más adelante. Definiciones: Dado un vector u 0, se denomina versor asociado a u, a un vector u 0 con igual dirección y sentido que u y de módulo 1. Dado un vector u 0, se denomina vector opuesto a u, y se lo denota u a un vector de igual dirección y módulo que u pero de sentido opuesto. Si u = 0, se define u = 0. Observemos que si u = AB, entonces u = BA. Sean ahora u y v dos vectores no nulos cualesquiera. Fijado un punto P, existen puntos R y Q tales que P R = u y P Q = v. Se denomina ángulo entre u y v al ángulo QPˆ R. Se lo denota ( u, ˆv). 13

Observar que 0 ( ˆ u, v) 180 y además ( ˆ u, v) = 0 si y sólo si u y v tienen la misma dirección y sentido, y ( ˆ u, v) = 180 si y sólo si u y v tienen igual dirección y distino sentido. Si u = 0 o v = 0, definimos el ángulo entre u y v como ( ˆ u, v) = 0. Debemos probar que la definición de ángulo es una buena definición, es decir, no depende del punto que elijamos como origen de los vectores u y v. Esto es claro si u y v son paralelos. Supongamos entonces que elegimos otro punto P y puntos R, Q de modo que u = P R y v = P Q como en la figura. Debemos probar que RPˆ Q = R P ˆ Q. Para ello, consideremos el punto T de intersección de las rectas P R y P Q. Entonces, como P Q y P Q son paralelas, resulta RPˆ Q = P T ˆ P. Por otro lado, como P Q y P Q son paralelas, resulta P Tˆ P = R P ˆ Q, de donde obtenemos RPˆ Q = R P ˆ Q como queríamos probar. Finalizamos esta sección con una definición: Definición: Dos vectores u y v se dicen perpendiculares si ˆ (u, v) = 90. 14

2.1. Ejercicios propuestos 1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente la respuesta. a) Para cualquier vector u se verifica u u 0. b) Si ABCD es un paralelogramo, AB = DC. c) Si ABC es un triángulo equilátero, entonces el ángulo entre AB y CB es 30. d) Si u y v son vectores paralelos de igual sentido, entonces u 0 = v 0. e) Si u 0 = v 0, entonces u y v son vectores paralelos de igual sentido. f ) Si u 0 = v 0 entonces u y v son vectores paralelos de sentido opuesto. 2. Sea ABCDEF un hexágono regular de lado 1. a) Agrupar los vectores que determinan los vértices en conjuntos de vectores iguales. b) Calcular el módulo del vector AC. c) Determinar los siguientes ángulos: ˆ 1) ( BC, BA); ˆ 2) ( BA, DE); ˆ 3) ( BA, F E); ˆ 4) ( BA, CB); 3. Dada una pirámide regular de vértice V y base cuadrada ABCD, nombrar un representante de cada una de las clases de equivalencia entre los vectores que definen sus aristas. 15

3. Operaciones con vectores 3.1. Suma de vectores Sean u y v dos vectores cualesquiera. Fijemos un punto P cualquiera. Existirá entonces un único punto Q tal que u = P Q. Si ahora tomamos como origen a Q, existirá un único punto R tal que v = QR definimos el vector suma de los vectores u y v y lo denotamos u + v al vector u + v = P R. Debemos verificar que la anterior es una buena definición, es decir, que no depende del punto P que hemos elegido. Para ello, consideremos otro punto P cualquiera, y sean Q y R tal que u = P Q y v = Q R. Debemos probar que P R = P R. Tenemos que ver que P R y P R tienen igual dirección, sentido y módulo. Para ello bastará probar que P P RR es un paralelogramo. Como P Q = P Q, tenemos en particular P Q = P Q y P Q P Q. Luego P QQ P es un paralelogramo, y por lo tanto P P = QQ y P P QQ. Por otra parte, como QR = Q R, resulta QR = Q R y QR Q R y por lo tanto QRR Q es un paralelogramo. Luego QQ = RR y QQ RR. Por transitividad tenemos P P = RR y P P RR. Concluimos que P P RR es un paralelogramos, como queríamos probar, y por lo tanto la suma de vectores está bien definida. Reunimos en el siguiente teorema las principales propiedades de la suma de vectores. Teorema 3: Dados tres vectores u, v, w se verifican: 1. u + v es un vector (propiedad de clausura o cierre); 16

2. (u + v) + w = u + (v + w) (propiedad asociativa); 3. u + 0 = 0 + u = u (existencia de elemento neutro); 4. u + ( u) = u + u = 0 (existencia de opuesto); 5. u + v = v + u (propiedad conmutativa). Demostración: Consideremos los vectores u, v y w. 1. Sigue de la misma definición de suma. 2. Para probar la asociatividad, fijemos un punto P del plano y consideremos puntos Q, R y T de modo que u = P Q, v = QR y w = RT. Entonces u + v = P R y (u + v) + w = P R + RT = P T. Por otra parte, (v + w) = QR + RT = QT, y entonces u + (v + w) = P Q + QT = P T. 3. Dados P y Q tales que v = P Q, observemos que 0 = P P = QQ. Luego u + 0 = P Q + QQ = P Q = u y 0 + u = P P + P Q = P Q = u. 4. Si P y Q son tales que u = P Q, entonces por definición u = QP. Luego u + ( u) = P Q + QP = P P = 0. La segunda igualdad es análoga. 5. Consideremos puntos P, Q, R y T tales que u = P Q, v = QR = P T como en la figura. Observemos entonces que u = T R pues el cuadrilátero P QRT así construido es un paralelogramo. Luego u + v = P Q + QR = P R y v + u = P T + T R = P R lo que concluye la prueba. La existencia de elemento opuesto nos permite definir la resta o diferencia de vectores: 17

Definición: Dados dos vectores u y v, se define el vector u v = u + ( v). Dados u y v, si elegimos puntos P, Q y S de modo que u = P Q y v = P S, es fácil ver que u v = SQ. 3.2. Producto de un escalar por un vector. Sea v un vector. Si realizamos la suma v + v obtenemos un vector w que tiene la misma dirección, el mismo sentido y el doble del módulo que v. Denotamos a este vector como w = 2v. Nos interesa definir qué entendemos por λ v cualquiera sea λ R. Lo hacemos motivados por el análisis anterior: Definiciones: Dado un vector v y un número real λ, se define el vector λ v como el vector que verifica: λ v = λ v ; Si λ 0 y v 0, la dirección de λ v es la misma que la de v. λ v tiene el mismo sentido que v si λ > 0 y tiene sentido opuesto al de v si λ < 0. En la siguiente figura mostramos algunos productos de escalares por el vector u. Es importante observar que: dado un número real λ y un vector v, el producto v λ se define como λ v. a veces λ v se denota directamente por λ v. 18

Teorema 4: Dados α, β R y dos vectores u y v, se verifican: 1. α u = 0 si y sólo si α = 0 o u = 0. 2. α (u + v) = α u + α v. 3. (α + β) u = α u + β u. 4. α (β u) = (α β) u. Demostración: 1. Supongamos que α u = 0. Esto implica en particular que 0 = α u = α u. Luego α = 0 o u = 0, o sea α = 0 o u = 0. La recíproca es automática de la definición de producto de un escalar por un vector. 2. La haremos para el caso en que u y v no están alineados y α, β > 0. Los otros casos quedan como ejercicios. Fijemos un punto P y sean Q, Q, R y R tal que u = P Q, α u = P Q, v = QR y α v = Q R. Entonces u + v = P R y α u + α v = P R. Por otra parte P, Q y Q están alinedos y QR Q R con lo cual que P Q P Q = α u u Entonces por criterio CS-LAL, los triángulos = α = α v v P QR ˆ = P Q ˆ R. Observemos además = Q R QR. P QR y P Q R son semejantes, con razón de semejanza α. En particular, QPˆ R = Q Pˆ R y entonces P, R y R están alineados y sobre la misma semirrecta con origen en P. Luego P R y P R tienen la misma dirección y sentido. Además P R = α P R. Concluimos entonces que P R = α P R como queríamos probar. 3. La haremos para el caso α, β > 0. Los otros casos quedan como ejercicio. Observemos primero que (α + β) u tiene la misma dirección y sentido que u y lo mismo ocurre con α u + β u. Debemos entonces verificar que ambos vectores tienen el mismo módulo. Pero (α + β) u = α + β u = ( α + β ) u = α u + β u = α u + β u = α u + β u. 19

4. Ejercicio. Las siguientes propiedades son fáciles de demostrar y quedan como ejercicio: Teorema 5: Dado un vector u y un número real α se verifican: 1. 1 u = u y ( 1) u = u. 2. (α u) = ( α) u. 3. u 0 = 1 u u. Finalizamos esta sección caracterizando los vectores paralelos. Teorema 6: Dos vectores no nulos u y v son paralelos si y sólo si existe un número real λ tal que u = λ v. Demostración: Si u = λ v, entonces de la definición de producto de un escalar por un vector u y v tienen la misma dirección, o sea, son paralelos. Supongamos ahora que u y v son paralelos, y probemos que uno es el producto de un escalar por el otro. Observemos que si lo fuera, se devería verificar u = λ v y por lo tanto λ = u v. Como u y v son paralelos, tienen la misma dirección. Definamos entonces λ = u v si u y v tienen el mismo sentido, y λ = u v si u y v tienen sentidos opuestos. Definamos w = λ v. Entonces w tienen la misma dirección que v y por lo tanto tiene la misma dirección que u. Si λ > 0, entonces w tiene el mismo sentido que v y, por como se definió λ, tiene también el mismo sentido que u. Si λ < 0, entonces w tiene sentido opuesto al de v. Pero λ < 0 implica que u y v tienen sentidos opuestos, y por lo tanto u y w tienen el mismo sentido. Nos falta sólo probar que w y u tienen el mismo módulo, y entonces serán iguales como queremos demostrar. Pero w = λ v = u v = u. v Observemos que si u = 0, entonces tomando λ = 0 resulta u = λ v cualquiera sea el vector v. 3.3. Proyección ortogonal de un vector sobre otro Definición: Sean u y v dos vectores. Fijado un punto O, sean A y B puntos tales que v = OA y u = OB. Se denomina vector proyección ortogonal de u sobre v al vector OC, donde C es el pie de la perpendicular a la recta sostén de OA que pasa por B. Se denota OC = proy v (u). 20

Dejamos como ejercicio probar que la anterior es una buena definición, es decir, que el vector obtenido no depende del punto O de origen elegido para los vectores u y v. Teorema 7: Dados dos vectores u y v, se tiene ( ) proy v u = u cos (u, ˆv) v 0 Demostración: Analizaremos tres casos, ilustrados en la siguiente figura: En cualquiera de los tres casos, el vector proy v u es paralelo a v y a v 0. Luego, por el Teorema 6, existirá un número real λ tal que proy v u = λ v 0 siendo λ > 0 en el caso I, λ < 0 en el caso II y λ = 0 en el caso III. Observemos además que siendo v 0 = 1, resulta λ = λ v 0 = λ v 0 = proy v u. Luego λ = proy v u en el caso I y λ = proy v u en el caso II. Por otra parte, el triángulo OCB es rectángulo. Tenemos entonces en el caso I, cos (u, ˆv) = proy v u y u cos(180 (u, ˆ v)) = proy v u en el caso II. Como cos(180 (u, ˆ v)) = cos (u, ˆv) se tiene proy v u = u u cos (u, ˆv) en el caso I y proy v u = u cos (u, ˆv) en el caso II, lo que completa la prueba. Probaremos finalmente una propiedad que será de gran utilidad en la sección siguiente. 21

Teorema 8: Dados los vectores u 1, u 2 y v, se tiene proy v (u 1 + u 2 ) = proy v u 1 + proy v u 2. Demostración: Consideremos puntos O, A, B 1 y B 2 tales que v = OA, u 1 = OB 1 y u 2 = B 1 B 2. Sea A 2 tal que v = B 1 A 2. Sean s y t las rectas perpendiculares a OA por B 1 y B 2 respectivamente. Entonces, si s OA = {C 1 } y t B 1 A 2 = {C 2 }, se tiene proy v u 1 = OC 1 y proy v u 2 = B 1 C 2. Sea D tal que t OA = {D}. Como u 1 + u 2 = OB 2, resulta proy v (u 1 + u 2 ) = OD. Por construcción, el cuadrilátero C 1 DC 2 B 1 es un rectángulo, y por lo tanto proy v u 2 = B 1 C 2 = C 1 D. Luego proy v (u 1 + u 2 ) = OD = OC 1 + C 1 D = proy v u 1 + proy v u 2 3.4. Ejercicios propuestos 1. Determinar los vectores indicados en función de u y v basándose en la siguiente figura. a) CD = ; b) DB = ; c) DA = ; d) AC =. 2. Obtener gráficamente, sobre el mismo dibujo, los siguientes vectores: a) x = 2 u + v; b) y = 3 u 2 3 v; c) z = 2 u; d) w = z + x. 22

3. Sea ABCD un paralelogramo y sea M el punto medio de la diagonal AC. Demostrar que AM = 1 2AB + 1 2BC. 4. Siendo m, n y p los vectores indicados en la figura, expresar en función de los vértices del cubo los vectores: a) m + n + p = ; b) m n p = ; c) m n + p =. 5. Dibujar en cada caso un par de vectores u y v de modo que el vector proyección de u sobre v tenga las propiedades pedidas en cada caso. Determinar cuántos vectores verifican las condiciones pedidas. a) Tenga igual sentido que v y su módulo sea el doble que el de v. b) Sea el vector nulo. c) Tenga sentido opuesto al de v y módulo la mitad del módulo de v. 6. a) Determinar el módulo del vector proyección de un vector a de módulo 3 sobre un vector c sabiendo que ( a, ˆc) = 30. b) Determinar el módulo de un vector b que determina un ángulo de 45 con un vector c, sabiendo que proy c a = proy c b. 7. Basandose en el cubo del ejercicio 4, determinar: a) proy AB AG; b) proy AC AE; ˆ c) ( AG, ˆ AC); d) ( AH, AC). 23

4. Producto escalar Así como el producto de un escalar por un vector nos permitió caracterizar cuándo dos vectores son paralelos, definiremos una nueva operación entre vectores, denominado el producto escalar que nos permitirá caracterizar cuándo dos vectores son perpendiculares, así como calcular el ángulo entre dos vectores y determinar la proyección de un vector sobre otro. Definición: Dados dos vectores u y v, se denomina producto escalar o producto interno entre u y v al número real que denotaremos u v, definido por u v = 0 si u = 0 o v = 0 y u v = u v cos (u, ˆv) si u y v son ambos no nulos. A partir de la definición, se obtienen las siguientes consecuencias inmediatas: 1. Si u 0 y v 0, entonces 2. Como ˆ (u, u) = 0, resulta cos (u, ˆv) = u v u v u u = u 2 3. Si u y v son ambos no nulos, entonces u v = 0 si y sólo si cos (u, ˆv) = 0, o sea (u, ˆv) = 90. Luego u v u v = 0. 4. En función del Teorema 7, y teniendo en cuanta que ( ˆ u, v) = ( ˆ u, v 0 ), se tiene proy v u = (u v 0 ) v 0. (2) En el siguiente teorema reunimos las propiedades más importantes del productor escalar. Resultará de gran utilidad cuando hagamos el tratamiento algebraico de los vectores: Teorema 9: Dados α R y los vectores u, v y w se verifican: 1. u v = v u 2. u u 0; y u u = 0 si y sólo si u = 0. 3. α (u v) = (α u) v = u (α v). 4. u (v + w) = u v + u w. 24

Demostración: 1. Es inmediata de la definición observando que (u, ˆv) = (v, ˆ u). 2. Es inmediata de la observación que u u = u 2. 3. Probemos que α (u v) = (α u) v. Si α = 0, se tiene 0 = α (u v) = (α u) v. Si α > 0, entonces α u tiene igual dirección y sentido que u y por lo tanto (α ˆ u, v) = ˆ (u, v). Luego (α u) v = α u v cos(α ˆ u, v) = α u v cos ˆ (u, v) = α (u v) Si α < 0, entonces α u tiene igual dirección y sentido contrario al de u, y por lo tanto (α 180 (u, ˆ v). Luego ˆ u, v) = (α u) v = α u v cos(α u, ˆv) = α u v cos(180 (u, ˆ v)) = α u v ( cos (u, ˆv)) = α (u v) La otra igualdad surge de la simetría del producto escalar (propiedad 1). 4. De la propiedad 1, tenemos u (v + w) = (v + w) u. De la propiedad 3, y del hecho que u 0 = u u, se tiene (v + w) u = (v + w) ( u u 0 ) = u ((v + w) u 0 ) En función de la ecuación (2) y del Teorema 8 se tiene [(v + w) u 0 ] u 0 = proy u (v + w) = proy u v + proy u w = (v u 0 ) u 0 + (w u 0 ) u 0 = (v u 0 + w u 0 ) u 0. Concluimos que y por lo tanto [(v + w) u 0 (v u 0 + w u 0 )] u 0 = 0 (v + w) u 0 = v u 0 + w u 0. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por u, y aplicando la propiedad 3, obtenemos (v + w) u = v u 0 + w u como queríamos probar. 25

4.1. Ejercicios propuestos 1. Sabiendo que u = 2, v = 3 y ( ˆ u, v) = 45, calcular a) (3 u + v) (2u v); b) (u + v) (u v). 2. Sabiendo que u = 5, v = 8 y ( ˆ u, v) = 60, calcular u + v y u v. 3. En cada caso determinar anaĺıticamente qué condiciones geométricas deben cumplir los vectores u y v para que resulta: a) u + v = u v ; b) u + v > u v ; c) u + v < u v. Analizar si las condiciones obtenidas son necesarias y/o suficientes e interpretar gráficamente. 4. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente la respuesta: a) Si a + b = a + c, entonces b = c. b) Si a b = a c entonces b = c. c) Existen vectores a y b tales que ( a, (a ˆ + b)) = 45. d) Existe un vector a tal que a a = 1. e) Si α a = α b entonces a = b. f ) Si α a = β b entonces α = β. 5. Demostrar que a b = 1 2 ( a + b 2 ( a 2 + b 2 ) ). 5. Descomposición de un vector en el plano 5.1. Bases en el plano Fijemos una recta r en el plano y consideremos dado un sistema de coordenadas en r con origen en el punto O. Sea P 0 el punto que define la escala, esto es, el punto de coordenada 1, y consideremos el versor u 0 = OP 0. Dado cualquier otro vector u de r, en función del Teorema 6 existirá un único número real α de modo que u = α u 0. Recíprocamente, cualquier vector de la forma λ u 0 es un vector cuya recta sostén es r, pues es por definición paralelo a u 0. De esta manera hemos establecido una nueva correspondencia biunívoca, esta vez entre el conjunto de vectores que tienen como recta sostén a r y el conjunto de números reales: V 1 := {u : u es un vector de r} R 26 u = α u 0 α

Esta correspondencia depende del versor u 0, pero una vez fijado u 0 resulta claro que para determinar un vector de r basta conocer el número real α tal que u = α u 0. Nos interesa realizar un análisis semejante con los vectores del plano. Para ello caracterizaremos cuándo tres vectores son coplanares. Definición: Sean u, v y w tres vectores tales que u y v son no paralelos (en particular son no nulos). Consideremos un punto P y los puntos P 1, P 2 y P 3 tales que u = P P 1, v = P P 2 y w = P P 3. Decimos que u, v y w son coplanares si los puntos P, P 1, P 2 y P 3 son coplanares. Dejamos como ejercicio probar que la anterior es una buena definición. Podemos entonces probar la siguiente caracterización de tres vectores coplanares: Teorema 10: Sean u, v y w tres vectores tales que u y v son no paralelos (en particular son no nulos). Entonces u, v y w son coplanares si y sólo si existen únicos números reales α y β tales que w = α u + β v. Demostración: ) Supongamos que u, v y w son coplanares. Consideremos un punto P y los puntos P 1, P 2 y P 3 tales que u = P P 1, v = P P 2 y w = P P 3. Consideremos la paralela a P P 1 por P 3 que cortará a P P 2 en un punto B, y la paralela a P P 2 por P 3 que cortará a P P 1 en un punto A. Entonces P AP 3 B es un paralelogramo por construcción y por lo tanto P A + AP 3 = P P 3 = w. Observemos que AP 3 = P B y por lo tanto w = P A + P B. (3) Por otra parte P A es paralelo a u y por lo tanto existe un número real α tal que P A = α u. De la misma manera, existe un número real β tal que P B = β v. Reemplazando en (3), resulta w = α u + β v. 27

Debemos ver que los escalares α y β en esta descomposición son únicos. Supongamos que existen números reales α, β, α y β tales que w = α u + β v = α u + β v. Entonces en particular tenemos (α α ) u + (β β ) v = 0. Si α α = 0, o sea α = α, entonces (β β ) v = 0 y como v es no nulo deberá ser β = β como queríamos probar. Supongamos por el absurdo que α α 0. Entonces tendremos u = β β α α v lo que implica que u y v son paralelos, en contra de la hipótesis. Concluimos que α = α y β = β. ) Es inmediata de como construimos la suma de vectores. Definiciones: Un conjunto ordenado de vectores {u, v} no nulos ni paralelos del plano se denomina una base de los vectores del plano. Dado un vector w coplanar con u y v, sean α y β los únicos escalares tales que w = α u + β v. La descomposición anterior se denomina descomposición del vector w en la base {u, v} y α y β (en ese orden) se denominan las componentes del vector w en la base {u, v}. Si los vectores u y v son versores (tienen norma 1) y son ortogonales, la base {u, v} se denomina una base ortonormal. La unicidad de la descomposición de un vector en una base fija nos permite probar de manera inmediata el siguiente resultado: Teorema 11: Fijada una base del plano, dos vectores w de componentes (α 1, α 2 ) y z de componentes (β 1, β 2 ) son iguales si y sólo si α 1 = β 1 y α 2 = β 2. Observemos que entonces fijada una base {u, v} en un plano, podemos definir una correspondencia biunívoca entre los vectores del plano y el conjunto R 2 dada por {vectores de un plano } R 2 w = α u + β v (α, β) Supongamos que hemos fijado una base cualquiera del plano y que un vector w tiene componentes α y β en esa base, entonces para simplificar la notación escribiremos directamente w = (α, β). 28

Obviamente existen infinitas correspondencias biunívocas entre los vectores de un plano y el conjunto de pares ordenados de números reales, una por cada base. Es importante observar que esta correspondencia es diferente de la correspondencia biunívoca que existe entre los puntos del plano y R 2, pero como veremos a continuación estas dos están intimamente relacionadas. En efecto, existe una base ortonormal del plano que merece una atención especial. Consideremos un sistema de coordenadas dado en el plano con origen en el punto O, y consideremos los puntos P 1 y P 2 de coordenadas (1, 0) y (0, 1) respectivamente. Quedan así determinados dos versores ortogonales OP 1 y OP 2. Definición: Los versores OP 1 y OP 2 se denominan versores canónicos y se denotan i y j respectivamente. El conjunto {i, j} se denomina base canónica del plano. Supongamos entonces que hemos fijado un sistema de coordenadas en el plano y sea {i, j} la base canónica para este sistema. Consideremos un punto P (α, β) del plano y consideremos el vector u = OP. Nos proponemos determinar las componentes de u. Sean Q y R los pies de las perpendiculares a los ejes x e y por P respectivamente. Entonces resulta claro, por el modo en que hemos asignado coordenadas al punto P, que OQ = α i y OR = β j. Como u = OQ + OR = α i + β j, resulta P : (α, β) = OP = (α, β) Es decir que las coordenadas de un punto P del plano coinciden con las componentes del vector OP en la base canónica del plano. Es importante notar lo siguientes: las componentes de un vector dependen de la base con la que estemos trabajando. Por lo tanto cuando escribimos w = (α, β) debemos aclarar en qué base estamos considerando las componentes del vector. Supondremos que siempre que escribamos w = (α, β) sin aclarar la base en la que trabajamos, las componentes del vector están dadas en la base canónica. 5.2. Operaciones en componentes Una vez que hemos identificado un vector del plano con sus componentes, nos interesa determinar cuáles son las componentes del resultado de realizar las distintas operaciones que hemos visto entre vectores. Por ejemplo, si z = (α 1, α 2 ) y w = (β 1, β 2 ), cuáles son las componentes del vector z +w? La respuesta no las da el siguiente resultado: Teorema 12: Sean z = (α 1, α 2 ) y w = (β 1, β 2 ) dos vectores cuyas componentes están dadas en una base B = {u, v} y sea λ R. Entonces en la base B resulta: 1. z + w = (α 1 + β 1, α 2 + β 2 ); 29

2. λ z = (λ α 1, λ α 2 ) Demostración: Queda como ejercicio justificar qué propiedades de las presentadas en los Teoremas 3, 4 y 9 se utilizan en cada paso. Como z = (α 1, α 2 ) y w = (β 1, β 2 ), se tiene z = α 1 u + α 2 v, w = β 1 u + β 2 v. Luego: 1. z+w = (α 1 u+α 2 v)+(β 1 u+β 2 v) = (α 1 +α 2 )u+(β 1 +β 2 ) v y por lo tanto z+w = (α 1 +α 2, β 1 +β 2 ). 2. λ z = λ (α 1 u+α 2 v) = λ (α 1 u)+λ (α 2 v) = (λ α 1 ) u+(λ α 2 )v, y por lo tanto λ z = (λ α 1, λ α 2 ). Corolario 13: Si u = (α 1, α 2 ) y v = (β 1, β 2 ) en una base fija B, entonces: 1. u = ( α 1, α 2 ); 2. u v = (α 1 β 1, α 2 β 2 ). Dejamos la demostración como ejercicio. Teorema 14: Sea B = {u, v} una base ortonormal y sean z = (α 1, α 2 ), w = (β 1, β 2 ) dos vectores cuyas componentes están dadas en esta base. Entonces: 1. z w = α 1 β 1 + α 2 β 2. 2. u = α1 2 + α2 2 ; Demostración: 1. Observemos primero que u u = u 2 = 1, v v = v 2 = 1 y u v = 0 pues son perpendiculares. Luego, z w = (α 1 u + α 2 v) (β 1 u + β 2 v) = α 1 β 1 u u + α 1 β 2 u v + α 2 β 1 v u + α 2 β 2 v v = α 1 β 1 + α 2 β 2. 2. Es inmediata de 1., observando que z 2 = z z. Determinaremos ahora las componentes de un vector P Q en la base canónica en función de las coordenadas de los puntos P y Q. Teorema 15: Dados dos puntos P (x 0, y 0 ) y Q(x 1, y 1 ), el vector P Q tiene, en la base canónica {i, j}, componentes P Q = (x 1 x 0, y 1 y 0 ) Demostración: 30

Observemos primero que OP + P Q = OQ, y por lo tanto P Q = OQ OP. Como OP = (x0, y 0 ) y OQ = (x1, y 1 ), resulta P Q = (x 1 x 0, y 1 y 0 ). El hecho de trabajar en componentes nos permite realizar las operaciones que definimos en las secciones anteriores de forma precisa. Analizaremos a continuación algunos ejemplos. 1. Sean u = ( ( ) 3 3, 1) y v = 3, 1. Entonces ( ) 2 u = 3 + 1 2 = ) 2 4 = 2, v = ( 3 4 + 1 3 2 = 3 = 2 3 3 Podemos entonces determinar de manera exacta los versores asociados a u y v: ( ) u 0 = 1 u u = 1 3 2 ( 3, 1) = 2, 1, v 0 = 1 ( ) 3 3 2 v v = 2 3, 1 = ( 1 2, ) 3 También podemos calcular de forma exacta el ángulo que forman u y v, recordando que ( ) ( cos (u, ˆv) = u v 3 u v = u 0 v 0 = 2, 1 ) 1 3 3 2 2, = 2 2 1 2 + 1 3 3 2 2 = 2 Luego ˆ (u, v) = 30. Determinemos finalmente el vector proy v u. Tenemos Calculamos u v 0 = ( 3, 1) ( 1 2, proy v u = (u v 0 ) v 0 ) 3 = 3 1 2 2 + 1 proy v u = 3 ( 1 2, ) 3 = 2 3 2 = 3. y por lo tanto ( ) 3 2, 3 2 Les proponemos graficar todos los vectores con los que hemos trabajado y verificar gráficamente los resultados obtenidos. 2. Consideremos los puntos P (1, 2), Q(241, 122) y R(1801, 902). Queremos determinar si están o no alinedos. Resolver este problema gráficamente presenta grandes dificultades, debido a que los puntos están muy distantes unos de los otros. Si analizamos bien, la condición de que P, Q y R estén alineados es equivalente a que los vectores P Q y P R sean paralelos. Por el Teorema 15, tenemos P Q = (241 1, 122 2) = (240, 120), 31 y P R = (1801 1, 902 2) = (1800, 900) 2.

Ahora bien, P Q y P R están alineados si uno es un múltiplo por un escalar del otro. O sea, si existe λ tal que (240, 120) = λ (1800, 900) = (lambda 1800, λ 900) λ = 240 1800 = 120 900 Realizamos los cocientes 1800 900 240 = 7,5 y 120 = 7,5. Como coinciden, los vectores resultan paralelos y por lo tanto P, Q y R están alineados. 3. Consideremos los vectores cuyas componentes dadas en la base canónica son u = (1, 5), v = (0, 6), u = (3, 15) y v = (0, 3). Es fácil verificar que u y v no están alineados y lo mismo ocurre con u y v. Por lo tanto B = {u, v} y B = {u, v } son bases. Consideremos el vector z = (1, 11), cuyas componentes están dadas en la base canónica {i, j}. Es fácil observar que z = u+v, y por lo tanto z tiene componentes (1, 1) en la base B. Encontremos ahora las componentes de z en la base B. Observemos que u = 3 u y que v = 1 2 v. Tenemos entonces z = u + v = 1 3 u + 2 v y por lo tanto z tiene componentes ( 1 3, 2) en la base B. 4. Consideremos la base B del item anterior y el vector w cuyas componentes en la base B son (2, 4). Cuáles son las componentes de w en la base canónica? Para poder responder a esta pregunta, debemos descomponer a w en la base canónica. Observemos que u = i+5j y v = 6j. Por otra parte, como w tiene componentes (2, 4) en la base B, entonces w = 2 u+4v. Reemplazando, obtenemos: w = 2 (i + 5j) + 4 (6 j) = 2 i + (10 + 24) j. Concluimos que w tiene componentes (2, 34) en la base canónica. 5. Sean ahora u = (1, 2) y v = (3, 1), cuyas componentes están dadas en la base canónica, y consideremos la base B = {u, v}. Sea z un vector cuyas componentes en la base canónica son (2, 5). Cuáles son las componentes de z en la base B?. Nuevamente debemos descomponer a z en la base B. Para ello, observemos que u = i + 2j y v = 3i j. Por otra parte, z = 2i+5j. Por lo tanto, para poder escribir a z en función de u y v, necesitamos expresar a i y j en función de u y v. Tenemos, i = u 2 j y j = 3i v. Reemplazando en la primer ecuación, resulta i = u 2 (3 i v) i = u 6 i + 2 v 7 i = u + 2 v i = 1 7 u + 2 7 v Reemplazando en la expresión que tenemos para j, resulta j = 3 i v j = 3 7 u + 6 7 v v j = 3 7 u 1 7 v. 32

Tenemos entonces z = 2 i + 5 j = 2 ( 1 7 u + 2 7 v) + 5(3 7 u 1 7 v) = 2 7 u + 4 7 v + 15 7 u 5 7 v = 17 7 u 1 7 v. ( ) 17 con lo cual z tiene componentes 7, 1 en la base B. 7 5.3. Ejercicios propuestos 1. Dados los puntos A(2, 3), B(7, 5), C(4, 1), D(9, 1), E( 1, 3) y F ( 6, 5): a) hallar las componentes de los vectores AB, CD, EC, EF, ED y BA. b) hallar las coordenadas del único punto P tal que OP = AB, siendo O el origen de coordenadas. c) determinar el módulo de EC, ED y EF. d) dar las componentes de los versores asociados a cada uno de los vectores AB y ED. e) determinar las coordenadas del punto M tal que AM = 1 2AB. 2. Sabiendo que OP = RS = T O = (2, 3), siendo O el origen de coordenadas, hallar las coordenadas de P, S y T. 3. Dado u = (2, 3), hallar un vector v cuya primera componente sea 2 y tal que proy u v = 4. 4. Sean A(0, 0) y B( 2, 0). a) Determinar las coordenadas de un punto C en el primer cuadrante tal que equilátero. b) Determinar el vector proy AB AC. ABC sea un triángulo 5. Sean P (x 0, y 0 ) y Q(x 1, y 1 ). Hallar, utilizando el álgebra vectorial, las coordenadas del punto medio de P Q. 6. Dado un vector u = (a, b), demostrar que v = ( b, a) y w = (b, a) son vectores ortogonales a u. 7. Demostrar que dos vectores no nulos u = (α 1, α 2 ) y v = (β 1, β 2 ), cuyas componentes están dadas en una base arbitraria B, son paralelos si y sólo si se verifica una de las siguientes condiciones: α 1 = β 1 = 0; α 2 = β 2 = 0; α 1 0, α 2 0 y β 1 α 1 = β 2 α 2. 8. Consideremos el vector u = (6, 8). Determinar para i = 2,, 6, si B i = {u, u i } es una base del plano. En ese caso, determinar las componentes del vector z = (3, 2) en la base B i. 33

a) v 1 = ( 2, 4). b) v 2 = ( 3, 4). c) v 3 = (2, 8 3 ). d) v 4 = (6, 0). e) v 5 = (6, 8). f ) v 6 = (12, 16). 9. Sean u = (2, 2), v = ( 3, 3), cuyas componentes están dadas en la base canónica {i, j}. a) Determinar proy v u. b) Determinar (uˆ,v). c) Sea w = ( 2, 1+ 3), cuyas componentes están dadas en la base {i, j}. Determinar las componentes de w en la base {u, v}. 10. Sean u y v vectores no nulos. Probar que {u, v} es una base del plano si y sólo si proy v u < u. 11. Sea B = {u, v} una base en el plano. a) Indicar las coordenadas de u y v en la base B. b) Demostrar que B = {u, u + v} es una base del plano. c) Si z tiene componentes (1, 3) en la base B, hallar las componentes de z en la base B. 12. Sean u y v vectores tales que u = 2, v = 3 y ( ˆ u, v) = 30. Sean z y w los vectores cuyas componentes en la base {u, v} son (1, 2) y (2, 3) respectivamente. Determinar z w. 6. Descomposición de un vector en el espacio 6.1. Bases en el espacio Haremos en esta sección un tratamiento análogo al que hemos hecho para vectores en el plano. Fijaremos tres vectores con ciertas características que nos permitirán escribir a cualquier vector del espacio como una suma de productos de determinados escalares por ellos. Teorema 16: Sean u, v y w tres vectores no coplanares en el espacio. Dado un vector z en el espacio, existen únicos escalares α, β y γ tales que z = α u + β v + γ w. Demostración: Fijemos un punto O del espacio y consideremos puntos Q 1, Q 2 y Q 3 tales que u = OQ 1, v = OQ 2 y w = OQ 3. Existirá además un único punto P tal que z = OP. Sea π el plano que determinan O, Q 1 y Q 2 y sea Q la intersección de la paralela a OQ 3 con π. 34

Observemos que entonces QP es un vector paralelo a w = OQ 3 y por lo tanto existe un escalar γ tal que QP = γ w. Por otra parte, los puntos O, Q 1, Q 2 y Q son coplanares, por lo tanto los vectores u, v y OQ son coplanares, y en función del Teorema 10, existirán números reales α y β tales que OQ = α u + β v. Finalmente, observemos que z = OP = OQ + QP y por lo tanto z = α u + β v + γ w. Sólo nos queda probar que los escalares α, β y γ son únicos. Para ello, supongamos que existen α, β, γ R tales que u = α u + β v + γ w = α u + β v + γ w. Entonces tendríamos (γ γ ) w = (α α) u + (β β) v. Si γ γ = 0, (α α) u + (β β) v = 0 y por lo tanto, en función del Teorema 10, resultan α α = 0 y β β = 0, con lo cual α = α, β = β y γ = γ. Si fuera γ γ 0, tendríamos que w = α α γ γ u + β β γ γ w y por lo tanto los vectores u, v y w deberían ser coplanares, lo que contradice la hipótesis. Al igual que lo que ocurre en el plano, si fijamos tres vectores no coplanares en el espacio podemos describir de manera única cualquier otro vector del espacio como combinación lineal de estos, es decir, como suma de múltiplos de ellos por escalares. Queda así definida una correspondencia biunívoca {vectores del espacio} R 3 z = α 1 u + α 2 v + α 3 w (α 1, α 2, α 3 ) 35

Definiciones: Si u, v y w son tres vectores no complanares del espacio, el conjunto {u, v, w} se denomina una base del conjunto de vectores del espacio. La descomposición única z = α 1 u + α 2 v + α 3 w se denomina descomposición del vector w en la base {u, v, w} y la terna ordenada (α 1, α 2, α 3 ) son las componentes del vector z en la base {u, v, w}. Siempre que la base esté fija, denotaremos directamente z = (α 1, α 2, α 3 ). Si los vectores u, v y w tienen módulo 1 y son ortogonales 2 a 2, decimos que la base {u, v, w} es una base ortonormal. Consideremos ahora un sistema de coordenadas en el espacio con origen en el punto O y sean P 1, P 2 y P 3 los puntos sobre los ejes x, y y z respectivamente que determinan la escala en cada uno. Denotaremos por i = OP 1, j = OP 2 y k = OP 3. Definición: Los versores i, j y k se denominan versores canónicos, y la base ortonormal {i, j, k} se denomina base canónica del espacio. Siempre que no aclaremos los contrario, cuando escribamos z = (α 1, α 2, α 3 ), sobreentenderemos que las componentes están dadas en la base canónica. De manera análoga a lo hecho en el plano, puede verse que si el punto P tiene coordenadas (x, y, z), entonces el vector OP tiene componentes (x, y, z) en la base canónica. 6.2. Operaciones en componentes De manera completamente análoga a la que hicimos para vectores en el plano, pueden probarse los siguientes resultados. Dejamos las demostraciones como ejercicio. Teorema 17: Sean x = (α 1, α 2, α 3 ) y z = (β 1, β 2, β 3 ) dos vectores cuyas componentes están dadas en una base fija, y sea λ R. Entonces: 1. x + z = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, α 3 + β 3 ); 2. λ x = (λ α 1, λ α 2, λ α 3 ) 3. x = ( α 1, α 2, α 3 ); 4. x z = (α 1 β 1, α 2 β 2, α 3 β 3 ). Teorema 18: Si x = (α 1, α 2, α 3 ) y z = (β 1, β 2, β 3 ), y las componentes están dadas en una base ortonormal cualquiera, entonces 36

1. x z = α 1 β 1 + α 2 β 2 + α 3 β 3 2. x = α1 2 + α2 2 + α2 3 ; Finalmente, tenemos: Teorema 19: Dados dos puntos P (x 0, y 0, z 0 ) y Q(x 1, y 1, z 1 ), el vector P Q tiene, en la base canónica, componentes P Q = (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ). 6.3. Ejercicios propuestos 1. Determinar las componentes del vector v de módulo 32 que es colineal con a = (3, 1, 1 3 ) y que forma un ángulo agudo con el versor j. 2. Dados dos puntos P (x 0, y 0, z 0 ) y Q(x 1, y 1, z 1 ), determinar las coordenadas del punto medio M de P Q. 3. Dados los puntos A( 1, 2, 4), B(5, 1, 2) y C(2, 3, 5): a) determinar tres puntos P, Q y R tales que cada uno de ellos es el cuárto vértice de un paralelogramo del cual A, B y C son tres vértices. b) en el triángulo ABC calcular la mediana del segmento BC. ˆ c) Calcular ( AB, AC). 4. a) Mostrar que el ángulo que forman entre sí los vectores a = i + 2j + k y b = 2i + j k es el doble del ángulo que forman entre sí los vectores c = i + 4j + k y d = 2i + 5j + 5k. b) Calcular a b, c d, (a + 3c) d y proy j c. 5. Determinar las componentes del vector v de módulo 32 que es colineal con a = (3, 1, 1 3 ) y que forma un ángulo agudo con el versor j. 6. Probar que los puntos A(4, 2, 1), B(7, 5, 3) y C(2, 2, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo. Calcular el área del triángulo ABC. 7. Determinar las coordenadas de dos puntos A y B tales que los puntos C(2, 0, 2) y D(5, 2, 0) dividen el segmento AB en tres segmentos congruentes. 8. Determinar qué valores debe tomar el escalar m para que u = 2i + mj sea ortogonal a a) a = 3i + 2j + k. b) b = k. 9. Determinar los vectores proy v u y proy u v siendo u = ( 1, 1, 1) y v = (2, 1, 3). 10. Determinar a b + b c + c a sabiendo que a + b + c = 0, a = 3, b = 1 y c = 4. 37

7. Producto vectorial y mixto Introduciremos en esta sección una nueva operación entre vectores, denominada producto vectorial. Esta operación es particular del espacio, es decir, no tiene sentido entre dos vectores del plano. Dados dos vectores u y v, el producto vectorial entre u y v nos devolverá un nuevo vector, perpendicular tanto a v como a w. Si u y v son no paralelos, una vez que fijamos un origen común para ambos, éstos determinan un único plano. Por el origen común de los vectores existe una única recta perpendicular al plano, que será la dirección del producto vectorial entre ellos. Pero para definir un vector, necesitamos además dar su sentido y su módulo. Es evidente que existen dos sentidos posibles. Para poder decidir cuál de ellos elegiremos, debemos antes determinar la orientación de una base del espacio. La definición geométrica de la orientación es un poco informal, se denomina la regla de la mano derecha, y la explicaremos a continuación. Pese a lo informal que pueda parecer, es la manera más simple y clara que podemos definir. Consideremos una base {u, v, w} cualquiera del espacio. Apoyamos ahora la mano derecha extendida sobre el vector u, con el pulgar separado de los otro cuatro dedos, de modo que los dedos apunten en el sentido del vector u y la palma de la mano apunte al vector w. Si consideramos el plano que determinan u y v, existen dos opciones: el dedo pulgar apunta hacia el semiespacio (que determina este plano) que contiene al vector w, o bien apunta en el sentido opuesto. En el primer caso, decimos que {u, v, w} es una base positiva. En caso contrario, decimos que es una base negativa. En el siguiente dibujo mostramos una base positiva. Es fácil verificar que si {i, j, k} es la base canónica, entonces {i, j, k}, {j, k, i} y {k, i, j} son bases positivas, mientras que {j, i, k}, {i, k, j} y {k, j, i} son bases negativas. Definición: Sean u y v dos vectores del espacio. Se denomina producto vectorial de u y v a un vector w del espacio que verifica: w = 0 si u y v son paralelos (en particular si alguno de los dos es el vector nulo); si u y v son ambos no nulos ni paralelos, entonces: la dirección de w es perpendicular a las direcciones de u y v; el sentido de w es tal que {u, v, w} es una base positiva del espacio; el módulo de w es w = u v sen( ˆ u, v). 38

El producto vectorial de u y v se denota w = u v. Haremos algunos ejemplos: 1. Consideremos los versores canónicos i y j. La única dirección perpendicular a las direcciones de i y j es la dirección del versor k. Por otra parte, como la base canónica es positiva, el producto vectorial i j deberá tener la misma dirección y sentido que k. Pero i j = i j sen( ˆ i, j) = 1 1 sen(90 ) = 1, con lo cual i j = k. Si ahora buscamos j i, tenemos que {j, i, k} es una base negativa, y por lo tanto {j, i, k} es una base positiva. Luego j i deberá tener la misma dirección pero el sentido opuesto a k. Un cálculo simple muestra que j i = 1 y por lo tanto j i = k. De manera análoga se prueba que: j k = i, k i = j, k j = i, i k = j. 2. Consideremos ahora los vectores u = (1, 1, 0) y v = (3, 1, 0). Aplicando la regla de la mano derecha, vemos que u v tiene la misma dirección y el sentido opuesto de k. Luego u v = λ k, λ < 0. Por otra parte, u = 1 2 + 1 2 + 0 2 = 2 y v = 3 2 + 1 2 + 0 2 = 10. Además u v = 1 3+1 1+0 0 = 4. Luego cos( u, ˆv) = u v u v = 4 = 2 ( ) sen( u, ˆ 2 2 1 v) = 1 5 = 2 10 5 5. Concluimos que y por lo tanto u v = 2 10 1 5 = 2 u v = 2k = (0, 0, 2). 39

Vemos que determinar el producto vectorial de dos vectores, incluso en un caso simple como el del segundo ejemplo donde pudimos determinar de manera simple su dirección y sentido, puede ser complicado. Encontraremos por lo tanto una manera anaĺıtica de hacerlo en función de las componentes de los vectores en la base canónica. Para ello necesitamos antes probar algunas propiedades: Teorema 20: Sean u y v dos vectores del espacio. Entonces: 1. u v = v u; 2. α (u v) = (α u) v = u (α v). 3. u (v + w) = u v + u w. Demostración: 1. Observemos que u v = u v sen( ˆ u, v) = v u sen( ˆ v, u) = v u. Por otra parte, u v y v u tienen claramente la misma dirección. Finalmente, como {u, v, u v} es una base positiva, {v, u, u v} es una base negativa. Luego u v debe tener sentido opuesto al de v u y como ambos vectores tienen igual dirección y módulo, resulta u v = v u. 2. El caso α = 0 es trivial. Haremos entonces la demostración para el caso en que α > 0 y dejamos como ejercicio el caso α < 0. En cualquier caso, como u v es perpendicular a u y a v, resulta claro que también es perpendicular a α u y a v pues (α u) (u v) = α(u (u v)) = 0. Esto implica que u v tiene la misma dirección que (αu) v. Luego dirección(α (u v)) = dirección(u v) = dirección((αu) v). Si α > 0, como {u, v, u v} es una base positiva, resulta claro que {α u, v, u v} también es positiva. Esto implica que (α u) v tiene el mismo sentido que u v y este a su vez tiene el mismo sentido que α (u v). Batará entonces probar que (α u) v = α (u v). Para ello observemos que (α u) v = α u v sen(α ˆ u, v) = α u v sen( ˆ u, v) = α u v = α (u v) lo que concluye la prueba. 40

3. No la haremos, puede verse en Lecciones de álgebra y geometría anaĺıtica, Vol. 1, Nasini, A.; Lopez, R., Ediciones EUCA. Determinaremos a partir del teorema anterior cómo determinar el producto vectorial de dos vectores a partir de sus componentes en la base canónica. Supongamos que u = (u 1, u 2, u 3 ) y v = (v 1, v 2, v 3 ). Entonces: u = u 1 i + u 2 j + u 3 k; v = v 1 i + v 2 j + v 3 k. Aplicando las propiedades del Teorema 20, resulta: u v = (u 1 i + u 2 j + u 3 k) (v = v 1 i + v 2 j + v 3 k) = u 1 v 1 (i i) + u 1 v 2 (i j + u 1 v 3 (i k) + u 2 v 1 (j i) + u 2 v 2 (overlinej j) + u 2 v 3 (j k) + u 3 v 1 (k i) + u 3 v 2 (k j) + u 3 v 3 (k k) = (v 2 u 3 u 3 v 2 ) i + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) j + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) k. Una forma sencilla de recordar esta fórmula, es a través de los determinantes. Una matriz cuadrada es una tabla de números. Una matriz de 2 2 consiste de dos filas y dos columnas, una de 3 3 de tres filas y tres columnas, etc. ( a c b d ), a b c d e f g h i Toda matriz tiene asociado un número real que se denomina su determinante. El determinante nos da información importante de la matriz, que no analizaremos en este momento. Para una matriz de dos por dos se denota y se calcula de la manera siguiente: a c b d = ad bc y para una matriz de tres por tres: a b c d e f g h i = a e h f i b d g f i + c d g e h Si observamos la fórmula que hemos hallado para las componentes del producto vectorial de dos vectores, tenemos que si u = (u 1, u 2, u 3 ) y v = (v 1, v 2, v 3 ), entonces ( ) u 2 u 3 u v = v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k 41

Haciendo un abuso de notación, escribimos u v = Hagamos algunos ejemplos. i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 1. Consideremos los verores i = (1, 0, 0) y j = (0, 1, 0). Sabemos que i j = k = (0, 0, 1). Verifiquémoslo con el cálculo anterior: i j k 0 0 i j = 1 0 0 = 0 1 0 1 0 i 1 0 0 0 j + 1 0 k = 0 i 0 j + 1 k = (0, 0, 1). 0 1 2. Sean ahora u = (1, 1, 0) y v = (3, 1, 0). Hemos visto que u v = (0, 0, 2). En efecto: i j k 1 0 u v = 1 1 0 = 3 1 0 1 0 i 1 0 3 0 j + 1 1 = 0 i 0 j +(1 3) k = 2k = (0, 0, 2). 3 1 k 3. Consideremos ahora los vectores u = (1, 3, 2) y v = (2, 1, 1). Entonces i j k 3 2 u v = 1 3 2 = 2 1 1 1 1 i 1 2 2 1 j + 1 3 k = 5 i 5 j 5 k = (5, 5, 5). 2 1 Veremos ahora que el producto vectorial nos permite calcular el área de un paralelogramo. Consideremos un paralelogramo ABCD y sea h su altura como se muestra en la siguiente figura. Entonces A(ABCD) = AD h. Observemos que sen( DAB) ˆ = h AB y por lo tanto h = AB sen( DAB). ˆ Concluimos que A = AB AD sen( DAB) ˆ = AB AD sen( DAB) ˆ = AB AD. Finalizamos esta sección introduciendo el producto mixto Definición: Se denomina producto mixto de los vectores u, v y w al número real (u v) w 42

Observemos que si u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) y w = (w 1, w 2, w 3 ), entonces ( ) u 2 u 3 (u v) w) = v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 (w 1, w 2, w 3 ) v 1 v 2 u 2 u 3 = w 1 v 2 v 3 w u 1 u 3 2 v 1 v 3 + w u 1 u 2 3 v 1 v 2 w 1 w 2 w 3 = u 1 u 2 u 3. v 1 v 2 v 3 Dejamos como ejercicio probar el siguiente resultado: Teorema 21:Dados los vectores u, v y w se verifica (u v) w = u (v w) Esto motiva denotar al producto mixto de la siguiente manera: [u, v, w] = (u v) w = u (v w) Es posible verificar anaĺıticamente que el producto mixto es invariante por permutaciones cíclicas de los vectores. Esto es: [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]. Finalizamos este capítulo mostrando cómo el producto mixto nos permite calcular el volumen de un paralelepípedo. Consideremos un paralelepípedo P cualquiera y sean u, v y w los vectores que definen tres aristas que concurren en un vértice como en la figura. Entonces el volumen de P es el área de la base por su altura. Observemos que la base es un paralelogramo, y como ya hemos visto su área es el módulo del producto vectorial u v. Por otra parte, sea z = u v, entonces resulta claro que su altura es proy z w. Por lo tanto V(P) = u v proy z w 43