.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Félix Rodríguez Física de Ondas, Electricidad y Moderna Grado 11 Guía 8 Movimiento Ondulatorio La energía se puede transferir de un lugar a otro por diversos medios. Al golpear un clavo, la energía cinética del martillo se convierte en trabajo útil sobre el clavo. El viento, los proyectiles y la mayoría de las máquinas simples también realizan trabajo a expensas del movimiento de la materia. Incluso la conducción de calor y la electricidad implican el movimiento de partículas elementales llamadas electrones. Estudiaremos la transferencia de energía de un punto a otro sin que se realice una transferencia física del material entre los puntos. ONDAS MECÁNICAS Cuando se deja caer una piedra en un estanque de agua, se origina una perturbación que se propaga en círculos concéntricos, que al cabo del tiempo se extienden a todas las partes del estanque. Un corcho pequeño, que flota sobre la superficie del agua, se mueve hacia arriba y hacia abajo a medida que se propaga la perturbación. En realidad, se ha transferido energía a través de una cierta distancia, desde el punto del impacto de la piedra en el agua hasta el lugar donde se encuentra el trozo de corcho. Esta energía se transmite mediante la agitación de las partículas de agua que colindan entre sí. Únicamente la perturbación se mueve a través del agua. El movimiento real de cualquier partícula de agua individual es comparativamente pequeño. A la propagación de la energía por medio de una perturbación en un medio, y no por el movimiento del medio mismo, se le llama movimiento ondulatorio. El ejemplo anterior se refiere a una onda mecánica porque su existencia misma depende de una fuente mecánica y de un medio material. Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico. Es importante notar que no todas las perturbaciones son necesariamente mecánicas. Por ejemplo, las ondas luminosas, las ondas de radio y la radiación térmica propagan su energía por medio de perturbaciones eléctricas y magnéticas. De hecho, no hace falta ningún medio físico para la transmisión de las ondas electromagnéticas. Sin embargo, muchas de las ideas básicas que se presentan en este capítulo para las ondas mecánicas también se aplican a las ondas electromagnéticas. TIPOS DE ONDAS Las ondas se clasifican de acuerdo con el tipo de movimiento que generan en una parte determinada del medio en el cual se producen, con respecto a la dirección en la que se propaga la onda. En una onda transversal, la vibración de las partículas individuales del medio es perpendicular a la dirección de la propagación de la onda. Por ejemplo, suponga que se ata el extremo de una cuerda a un poste y que agitamos con la mano el otro extremo, como muestra la fig. 1. Moviendo el extremo libre rápidamente hacia arriba y hacia abajo, enviamos una sola perturbación llamada pulso a lo largo de la cuerda. Tres nudos a iguales distancias en los puntos a, b y c demuestran que las partículas individuales se mueven hacia arriba y hacia abajo mientras que la perturbación se mueve hacia la derecha con una velocidad v. Otro tipo de onda, como la que se genera con un resorte en espiral aparece en la fig. 2. Las espiras cercanas al extremo izquierdo se comprimen formando una condensación. Cuando cesa la fuerza de distorsión, un pulso de condensación se propaga a lo largo del resorte. Ninguna parte del resorte se mueve mucho respecto a su posición de equilibrio, pero el pulso continua recorriendo el resorte. Este tipo de onda se llama onda longitudinal debido a que las partículas del resorte se desplazan en la misma dirección en la que avanza la perturbación. En una onda longitudinal, la vibración de las partículas individuales es paralela a la dirección de la propagación de la onda. Si las espiras del resorte de nuestro ejemplo fueran forzadas a separarse hacia la izquierda, se generaría una rarefacción como la que se muestra en la fig. 3. Después de que cese la fuerza perturbadora, se propagará un pulso de rarefacción a lo largo del resorte. En general, una onda longitudinal 1
consiste en una serie de condensaciones y rarefacciones que se desplazan en determinada dirección. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE ONDA La velocidad a la cual se mueve un pulso a través de un medio depende de la elasticidad del medio y de la inercia de las partículas del mismo. Los materiales más elásticos producen mayores fuerzas de restitución cuando son distorsionados. Los materiales menos densos se resisten menos a moverse. En ambos casos, la capacidad de las partículas para propagar una perturbación a las partículas vecinas es mejor, y el pulso viajará en ese caso a mayor velocidad. Consideremos el movimiento de un pulso transversal a través de una cuerda según la fig. 4. La masa m de la cuerda y su longitud l se mantienen bajo una tensión constan te F por medio de la pesa suspendida. Cuando se da un solo movimiento a la cuerda en su extremo izquierdo, se propaga un pulso transversal a lo largo de la misma. La elasticidad de la cuerda se mide por la tensión F. La inercia de las partículas individuales se determina mediante la masa por unidad de longitud de la cuerda. Se puede demostrar que la velocidad del pulso transversal en una cuerda está dado por La masa por unidad de longitud se conoce generalmente como la densidad lineal de la cuerda. Si F se expresa en newtons y en kilogramos por metro, la velocidad estará expresada en metros por segundo. MOVIMIENTO ONDULATORIO PERIÓDICO Hasta ahora sólo se han considerado las perturbaciones que no se repiten, llamadas pulsos. Qué sucede cuando se repiten periódicamente otras perturbaciones similares? Suponga que atamos el extremo izquierdo de una cuerda al extremo de un vibrador electromagnético, como muestra la fig. 5. El extremo del vibrador metálico se mueve con desplazamiento armónico debido a un campo magnético oscilatorio. Puesto que la cuerda está sujeta a uno de los extremos del vibrador, a lo largo de dicha cuerda se envía una serie de pulsos transversales periódicos. Las ondas resultantes están formadas por muchas crestas y valles que se mueven a lo largo de la cuerda con velocidad constante. La distancia entre dos crestas o valles adyacentes en ese tipo de tren de ondas se llama longitud de onda y se representa por λ. Mientras la onda se desplaza por la cuerda, cada partícula de ésta vibra con respecto a su posición de equilibrio con la misma frecuencia y amplitud que la fuente vibrante. Sin embargo, las partículas de la cuerda no se encuentran en posiciones correspondientes en iguales intervalos de tiempo. Se dice que dos partículas están en fase cuando tienen el mismo desplazamiento y si ambas se mueven en la misma dirección. En la fig. 5b, las partículas A y B están en fase. Puesto que las partículas que se encuentran en las crestas de un determinado tren de ondas también están en fase, es posible dar una definición más general de la longitud de onda. La longitud de onda λ de un tren de ondas periódicas es la distancia entre dos partículas cualesquiera que estén en fase. Cada vez que el punto extremo P del vibrador efectúa una oscilación completa, la onda se moverá a través de una distancia de una longitud de onda. El tiempo requerido para cubrir esta distancia es por lo tanto igual al periodo T de la fuente que vibra. De este modo, la velocidad de la onda v se puede relacionar con la longitud de onda λ y el periodo T por la ecuación La frecuencia f de una onda es el número de ondas que pasan por un punto determinado en la unidad de tiempo. En realidad, es equivalente a la frecuencia de la fuente de la vibración y, por lo tanto, es igual al recíproco del periodo (f = 1/T). Las unidades en las que se expresa la frecuencia pueden ser ondas por segundo, oscilaciones por segundo o ciclos por segundo. La unidad del SI que corresponde a la frecuencia es el hertz (Hz), el cual se define como un ciclo por segundo. 2
Por lo tanto, si pasan por un punto 40 ondas cada segundo, la frecuencia es de 40 Hz. La velocidad de una onda se expresa más frecuentemente en términos de su frecuencia y no de su periodo. Por lo tanto, la ecuación puede escribirse como Esta ecuación representa una importante relación física entre la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda de cualquier onda periódica. Una ilustración de estas cantidades aparece en la fig. 6 para una onda transversal periódica. Con el aparato que muestra la fig. 7 puede generarse una onda periódica longitudinal. El extremo izquierdo del resorte en espiral está unido a una esfera metálica que a su vez se sostiene mediante una hoja de sierra para cortar metales. Cuando la esfera metálica se desplaza hacia la izquierda y se suelta, vibra con movimiento armónico. Las condensaciones y rarefacciones resultantes se transmiten por el resorte generando una onda longitudinal periódica. Cada partícula del resorte en espiral oscila horizontalmente hacia atrás y hacia adelante, con la misma frecuencia y amplitud que la esfera de metal. La distancia entre cualquier par de partículas adyacentes que se encuentran en fase es la longitud de onda. Tal como se ilustra en la fig. 7, la distancia entre dos condensaciones o rarefacciones adyacentes cualesquiera es una medida conveniente de la longitud de onda. La ecuación también se aplica a una onda longitudinal periódica. ENERGÍA DE UNA ONDA PERIÓDICA Hemos visto que cada partícula en una onda periódica oscila con movimiento armónico simple determinado por la fuente de la onda. El contenido de energía de una onda puede analizarse considerando el movimiento armónico de las partículas en forma individual. Por ejemplo, considere una onda transversal periódica en una cuerda en el instante representado en la fig. 8. La partícula a ha alcanzado su máxima amplitud; su velocidad es cero, y está experimentando su máxima fuerza de restitución. La partícula b está cruzando por su posición de equilibrio, donde la fuerza de restitución es igual a cero. En ese instante, la partícula b tiene su mayor velocidad y por consiguiente su máxima energía. La partícula c se encuentra a su máximo desplazamiento en la dirección negativa. Mientras la onda periódica recorre la cuerda, cada partícula oscila hacia atrás y hacia adelante con respecto a su propia posición de equilibrio. En el estudio sobre el movimiento armónico, se encontró que la velocidad máxima de una partícula que oscila con una frecuencia f y una amplitud A está dada por Cuando una partícula tiene esta velocidad, está pasando por su posición de equilibrio, donde su energía potencial es cero y su energía cinética es máxima. De modo que la energía total de la partícula es A medida que una onda periódica pasa a través de un medio, cada elemento de éste realiza trabajo continuamente sobre los elementos adyacentes. Por lo tanto, la energía que se transmite a lo largo de la cuerda vibrante no se confina a una sola posición. Ahora se aplicará el resultado obtenido para una sola partícula a la longitud total de la cuerda que vibra. El contenido de energía de toda la cuerda es la suma de las energías individuales de las partículas que la forman. Si m representa la masa total de la cuerda en vez de la masa de cada partícula, la ecuación representa la energía de la onda total en la cuerda. En una cuerda de longitud l, la energía de la onda por unidad de longitud está dada por Sustituyendo μ para la masa por unidad de longitud, escribimos La energía de la onda es proporcional al cuadrado de la frecuencia f, al cuadrado de la amplitud A, y a la densidad lineal μ de la cuerda. Debe 3
tomarse en cuenta que la densidad lineal no es función de la longitud de la cuerda. Esto es cierto, puesto que la masa aumenta en proporción a la longitud l, de modo que μ es constante para cualquier longitud. Suponga que la onda viaja por la longitud 1 de una determinada cuerda con una velocidad v. El tiempo t necesario para que la onda recorra esta longitud es Si la energía en esta longitud se representa por E, la potencia P de la onda está dada por Esto representa la rapidez de propagación de la energía por la cuerda. La sustitución a partir de la ecuación nos da La potencia de la onda es directamente proporcional a la energía por unidad de longitud y a la velocidad de propagación de la onda. El hecho de que la energía de la onda y la potencia de la onda dependan de f 2 y A 2, como lo indican las ecuaciones, es una conclusión general para todo tipo de ondas. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Hasta aquí hemos considerado el movimiento de un solo tren de pulsos que pasan a través de un medio. Ahora estudiaremos lo que sucede cuando dos o más trenes de ondas pasan simultáneamente a través del mismo medio. Vamos a analizar las ondas transversales en una cuerda que está vibrando. La velocidad de una onda transversal se determina por medio de la tensión de la cuerda y su densidad lineal. Puesto que estos parámetros son función del medio y no de la fuente, cualquier onda transversal tendrá la misma velocidad para una determinada cuerda bajo tensión constante. Sin embargo, la frecuencia y la amplitud pueden variar en forma considerable. Cuando dos o más trenes de ondas existen simultáneamente en el mismo medio, cada onda recorre el medio como si las otras no estuvieran presentes. La onda resultante es una superposición de las ondas componentes. Es decir, el desplazamiento que resulta de una sola partícula en la cuerda que vibra es la suma algebraica de los desplazamientos que cada onda produciría, independientemente de las demás. Este es el principio de superposición: Cuando dos o más ondas existen simultáneamente en el mismo medio, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instante es la suma algebraica de los desplazamientos de cada onda. Debe observarse que el principio.de superposición, tal como se ha enunciado aquí, se aplica únicamente para medios de tipo lineal: es decir, a aquellos cuya respuesta es directamente proporcional a la causa. Además, la suma de los desplazamientos es algebraica sólo si las ondas tienen el mismo plano de polarización. Para nuestros propósitos, vamos a suponer que una cuerda vibrante satisface ambas condiciones. La aplicación de este principio se muestra gráficamente en la fig. 21-9. Las dos ondas, representadas por líneas continuas y discontinuas, se superponen para formar la onda resultante indicada por la línea gruesa. En la fig. 9a la superposición da por resultado una onda de mayor amplitud. Se dice que estas ondas interfieren constructivamente. La interferencia destructiva se presenta cuando la amplitud resultante es más pequeña, como se ve en la fig. 9b. ONDAS ESTACIONARIAS Consideremos ahora la reflexión de un pulso transversal, como se muestra en la cuerda de la fig. 10. Cuando el extremo de la cuerda se ata fuertemente al soporte, el pulso que llega golpea el soporte y ejerce sobre él una fuerza ascendente. La fuerza de reacción que ejerce a su vez el soporte tira entonces en dirección de la cuerda hacia abajo, lo cual origina un pulso reflejado. Tanto el desplazamiento como la velocidad se invierten en el pulso reflejado. Esto quiere decir que si un pulso llega como una cresta, se refleja 4
como un valle, con la misma rapidez pero en la dirección opuesta, y viceversa. Supongamos que ahora se hace vibrar una cuerda cuyos extremos están fijos, como se muestra en la fig. 11. Se puede aplicar el principio de superposición para analizar en cualquier instante la onda resultante que se forma. En la fig. 11a se han considerado las ondas que inciden y que se reflejan en un tiempo determinado t = 0. La onda incidente, que viaja a la derecha, se indica por una línea continua delgada. La onda reflejada, que viaja a la izquierda, se indica por una línea discontinua. Las dos ondas tienen la misma velocidad y longitud de onda, pero tienen direcciones opuestas. En este instante todas las partículas de la cuerda se encuentran en una línea horizontal, como muestra la línea gruesa. Observe que la línea gruesa es una superposición de las ondas incidente y reflejada en el momento en que la suma de sus desplazamientos es igual a cero. Si se toma una instantánea de la cuerda un instante después mostraría que, con unas cuantas excepciones, todas las partículas han cambiado de posición. Esto se debe a que las ondas componentes se han movido una distancia finita. Consideremos ahora la onda resultante en un tiempo t igual a un cuarto de periodo posterior, como en la figura 11b. La onda componente indicada mediante una línea continua se moverá a la derecha una distancia de un cuarto de longitud de onda. La onda componente indicada por la línea discontinua se habrá movido a la izquierda una distancia de un cuarto de longitud de onda. La onda resultante y, por lo tanto, la forma de la cuerda en este momento se indica mediante una línea continua gruesa. La interferencia constructiva ha dado como resultado una onda del doble de amplitud de cualquiera de las ondas componentes. Cuando el tiempo t es de la mitad de un periodo, se presenta la interferencia destructiva total, y una vez más la forma de la cuerda es una línea recta, como en la figura 11c. Cuando la forma de la cuerda alcanza su máxima amplitud en dirección opuesta. Esta interferencia constructiva se muestra mediante una línea gruesa en la fig. 11d. Una serie de fotografías instantáneas de la cuerda vibrante, tomadas a intervalos de tiempo muy pequeños, revelaría cierto número de ondas como muestra la fig. 11e. A una onda así se le llama onda estacionaria. Observe que hay ciertos puntos a lo largo de la cuerda que permanecen en reposo. Estas posiciones, llamadas nodos, se han indicado como N en la figura. Un insecto pequeño posado en un nodo sobre la cuerda vibrante no se movería hacia arriba y abajo a causa del movimiento ondulatorio. Entre los puntos nodales, las partículas de la cuerda se mueven hacia arriba y hacia abajo con movimiento armónico simple. Los puntos de máxima amplitud se presentan a la mitad de la distancia entre los nodos y se llaman antinodos. Si un insecto pequeño descansara sobre la cuerda en cualesquiera de estos puntos, indicados por A, experimentarían velocidades y deslizamientos máximos en la oscilación de la cuerda hacia arriba y hacia abajo. La distancia entre nodos alternados o antinodos alternados en una onda estacionaria es una medida de la longitud de onda de las ondas componentes. Las ondas estacionarias longitudinales también se presentan debido a una reflexión continua de pulsos de condensación y rarefacción. En este caso los nodos existen donde las partículas del medio son estacionarias, y los antinodos se presentan donde las partículas del medio oscilan con una amplitud máxima en la dirección de la propagación. FRECUENCIAS CARACTERÍSTICAS Consideremos las posibles ondas estacionarias que se pueden originar en una cuerda de longitud l cuyos extremos están fijos, como se muestra en la fig. 12. Cuando la cuerda empieza a vibrar, los trenes de onda incidente y reflejado viajan en direcciones opuestas, con una misma longitud de onda. Los puntos extremos fijos representan las condiciones de frontera que restringen el número de posibles longitudes de onda que producirán las ondas estacionarias. Estos puntos extremos deben ser nodos de desplazamiento para cualquier patrón de ondas resultante. La onda estacionaria más sencilla posible se presenta cuando las longitudes de onda de las ondas incidentes y reflejadas son equivalentes al doble de la longitud de la cuerda. La onda estacionaria consiste en un bucle que tiene puntos nodales en cada extremo, como se ve en la fig. 12a. Este patrón de vibración se conoce como el modo fundamental de oscilación. Los modos superiores de oscilación se producirán para longitudes de onda cada vez más cortas. En la figura se observa que las longitudes de onda permitidas son las siguientes: 5
F I G U R A S o, en forma de ecuación, Las frecuencias correspondientes de vibración son, partiendo de que v = fλ, donde v es la velocidad de las ondas transversales. Esta velocidad es la misma para todas las longitudes de onda, puesto que depende tan sólo de las características del medio vibrante. A las frecuencias que se obtienen mediante la ecuación se les llama frecuencias características de vibración. En términos de la tensión F de la cuerda y de la densidad lineal µ, las frecuencias características son las siguientes: Fig. 1 En una onda de tipo transversal, cada una de las partículas se mueve perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. La frecuencia más baja posible (v/21) se conoce como la frecuencia fundamental f1. Las otras frecuencias, que son múltiplos enteros de la fundamental, se conocen como sobretonos. La serie completa, está conformada por la frecuencia fundamental y sus sobretonos, y se le conoce como la serie armónica. La fundamental es la primera armónica; el primer sobretono (f2 = 2f1) es la segunda armónica; el segundo sobretono (f3 = 3f1 es la tercera armónica, y así sucesivamente. Fig. 2 En una onda longitudinal el movimiento de las partículas individuales es paralelo a la dirección de propagación de la onda. La ilustración muestra el movimiento de un pulso de condensación. 6
Fig. 6 Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de una onda transversal periódica. Fig. 3 Movimiento longitudinal de un pulso de rarefacción en un resorte en espiral. Fig. 7 Producción y propagación de una onda longitudinal de tipo periódico. Fig. 4 Cálculo de la velocidad de un pulso transversal en una cuerda. Fig. 5 (a) Producción y propagación de una onda transversal periódica. (b) La longitud de onda A es la distancia entre cualquier par de partículas en fase, como las que se ubican en dos crestas adyacentes o entre los puntos A y B. Fig. 8 Fuerzas de restitución que actúan sobre las partículas de una cuerda vibrante. 7
Fig. 9 Principio de superposición. (a) Interferencia constructiva. (b) lnterferencia destructiva. l Fig. 10 Reflexión de un pulso transversal en una frontera fija. Fig. 11 Producción de una onda estacionaria Fig. 12 Modelos posibles de ondas estacionarias en una cuerda vibrante. 8
E J E M P L O 1 La longitud l del cordel de la figura 4 es de 2 m, y su masa es de 0.3 g. Calcule la velocidad del pulso transversal en el cordel si éste se encuentra bajo una tensión de 20 N. Solución Primero calculamos la densidad lineal de la cuerda: E J E M P L O 3 Una cuerda de acero para piano de 50 cm de longitud tiene una masa de 5 g y se encuentra bajo una tensión de 400 N. Cuáles son las frecuencias de su modo fundamental de vibración y de los primeros dos sobretonos? Así, la ecuación da Solución Su modo fundamental se determina estableciendo que n = 1 en la ecuación E J E M P L O 2 Un hombre se sienta a pescar en el borde de un muelle y cuenta las ondas de agua que golpean uno de los postes de soporte de la estructura. Si una cresta determinada recorre 20 m en 8 s, cuál es la longitud de onda? El primero y el segundo sobretonos son Solución La frecuencia y la velocidad de las ondas se calculan en la siguiente forma: A partir de la ecuación, la longitud de onda es 9
T R A B A J O E N C L A S E (Vale por Sello) 6. Si el alambre del problema 5 se corta a la mitad, cuál será su nueva masa? Demuestre que la velocidad de la onda no cambia. Por qué? 1. Una onda transversal tiene una longitud de onda de 30 cm y vibra con una frecuencia de 420 Hz. Cuál es la rapidez de esta onda? 2. En un muelle, una persona cuenta los choques de una ola cuando las crestas golpean un poste. Si escucha 80 choques en 1 min y una cresta en particular recorre una distancia de 8 m en 4 s, cuál es la longitud de una sola ola? 7. Una cuerda de 3 m sometida a una tensión de 200 N mantiene una velocidad de onda transversal de 172 m/s. Cuál es la masa de la cuerda? 8. Una cuerda de 200 g se estira sobre una distancia de 5.2 m y se somete a una tensión de 500 N. Calcule la rapidez de una onda transversal en esa cuerda. 3. En el caso de la onda longitudinal de la figura del problema anterior, halle la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la rapidez de la onda si ésta tiene una frecuencia de 8 Hz. Si la amplitud se duplicara, cambiaría cualquiera de los demás factores? 9. Qué tensión se requiere para producir una rapidez de onda de 12.0 m/s en una cuerda de 900 g y 2 m de longitud? 4. Un flotador de madera colocado al extremo de una cuerda para pescar describe ocho oscilaciones completas en 10 s. Si una sola onda tarda 3.60 s para recorrer 11 m, cuál es la longitud de onda de las ondas en el agua? 10. Qué frecuencia se requiere para que una cuerda vibre con una longitud de onda de 20 cm cuando está bajo una tensión de 200 N? Suponga que la densidad lineal de la cuerda es de 0.008 kg/m. 5. Un alambre de metal de 500 g tiene una longitud de 50 cm y está bajo una tensión de 80 N. Cuál es la rapidez de una onda transversal en ese alambre? 10
T R A B A J O E N C A S A (Vale por Sello) 1. Una tensión de 400 N hace que un alambre de 300 g y 1.6 m de longitud vibre con una frecuencia de 40 Hz. Cuál es la longitud de onda de las ondas transversales? 6. Una cuerda de 300 g tiene 2.50 m de longitud y vibra con una amplitud de 8.00 mm. La tensión en la cuerda es de 46 N. Cuál debe ser la frecuencia de las ondas para que la potencia promedio sea 90.0 W? 7. Una cuerda vibra con una frecuencia fundamental de 200 Hz. Cuál es la frecuencia de la segunda armónica y la del tercer sobretono? 2. Una cuerda horizontal es sacudida hacia delante y atrás en uno de sus extremos mediante un dispositivo que completa 80 oscilaciones en 12 s. Cuál es la rapidez de las ondas longitudinales si las condensaciones están separadas por 15 cm a medida que la onda desciende por la cuerda? 8. Si la frecuencia fundamental de una onda es de 330 Hz, cuál es la frecuencia de su quinta armónica y la de su segundo sobretono? 3. Un trozo de cuerda de 2 m tiene una masa de 300 g y vibra con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 50 mm. Si la tensión en la cuerda es de 48 N, cuánta potencia es necesario impartirle? 9. La densidad lineal de una cuerda es 0.00086 kg/m. Cuál deberá ser la tensión de la cuerda para que un tramo de 2 m de longitud vibre a 600 Hz en su tercera armónica? 4. Una cuerda de 80 g tiene una longitud de 40 m y vibra con una frecuencia de 8 Hz y una amplitud de 4 cm. Encuentre la energía por unidad de longitud que pasa a lo largo de la cuerda. 10. Una cuerda de 10 g y 4 m de longitud tiene una tensión de 64 N. Cuál es la frecuencia de su modo de vibración fundamental? Cuáles son las frecuencias del primero el segundo sobretonos? 5. Si la longitud de onda de la onda transversal del problema 11 es de 1.6 m, qué potencia es suministrada por la fuente? 11
P R O F U N D I Z A C I Ó N BIBLIOGRAFÍA 1. La segunda armónica de una cuerda vibratoria es de 200 Hz. La longitud de la cuerda es 3 m y su tensión es de 200 N. Calcule la densidad lineal de la cuerda. Mc Graw Hill Serway, Física Tomo II Publicaciones Cultural, Física General Prentice Hall, Wilson - Buffa, Física 2. Una cuerda de 0.500 g tiene 4.3 m de longitud y soporta una tensión de 300 N. Está fija en ambos extremos y vibra en tres segmentos, cuál es la frecuencia de las ondas estacionarias? 3. Una cuerda vibra con ondas estacionarias en cinco antinodos cuando la frecuencia es 600 Hz. Qué frecuencia hará que la cuerda vibre en sólo dos antinodos? Editorial Voluntad Física Investiguemos Wikipedia. Enciclopedia libre Apuntes de Física Luis Alfredo Caro Fisicanet Ver FÍSICA OLIMPIADAS 11 (Editorial Voluntad) Ejercicios de página de Internet fuerzas mecánicas. Ejercicios y laboratorios virtuales PIME Editores, Física 1, Mecánica y Calorimetría www.educaplus.org www. Ibercajalav.net/ Santillana, Física 1 Nueva edición. 4. Un alambre de 120 g fijo por ambos extremos tiene 8 m de longitud y soporta una tensión de 100 N. Cuál es la longitud de onda más grande posible para una onda estacionaria? Cuál es la frecuencia? Limusa Noriega Editores, Física Recreativa Diseño_Lucho_Acevedo 12