En qué consiste el principio de superposición para ondas? Cómo depende la amplitud de la onda resultante de la interferencia de dos ondas? Cómo se puede controlar la interferencia de dos ondas experimentalmente? Cuál es la característica más importante de las ondas estacionarias? Qué son los modos normales de vibración? De qué dependen las frecuencias naturales de vibración en una cuerda? Qué es una serie armónica?
Una diferencia importante entre ondas y partículas es que dos o más ondas se pueden combinar en un mismo punto del espacio, mientras que dos partículas se combinan en diferentes posiciones. El Principio de Superposición dice que si dos o más ondas se mueven por un medio, la función de onda completa en un punto del espacio corresponde a la suma algebraica de las funciones de onda individuales en ese punto. y total ( x, t) y1( x, t) y2( x, t)... El principio de superposición se aplica para ondas lineales. http://www.youtube.com/watch?v=pcyv0_qpk-4 http://prospect.rsc.org/blogs/cw/wpcontent/uploads/2009/12/efemux01.png
En general, la función de onda que describe una onda armónica es: y( x, t) Asin kx t Si se tienen dos ondas armónicas con la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, sus funciones de onda son: k x t; y ( x, t) Asink x t y1( x, t) Asin 2 Usando la identidad trigonométrica: a b a b sin a sin b 2cos sin 2 2 La interferencia de las dos ondas armónicas es: k x t (, ) 2 cos sin y total x t A 2 2 Serway, Jewett, Physics for scientists and engineers, 6th Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 547
En el caso anterior la onda resultante tiene la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas originales. k x t (, ) 2 cos sin y total x t A 2 2 La amplitud de la onda resultante depende de la diferencia de fase entre las ondas originales. Los casos extremos son cuando: 2n 2n 1 interferencia totalmente constructiva interferencia totalmente destructiva Serway, Jewett, Physics for scientists and engineers, 6th Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 547
Una forma de controlar la interferencia de dos ondas (por ejemplo sonoras) es a través de una diferencia de trayectoria. En la figura se muestra que la onda sonora puede viajar a través de las trayectorias r 1 y r 2. A la salida, las ondas se combinan y la diferencia de fase estará determinada por: r r 2 r 1 En términos de la diferencia de fase de las ondas: r 2n 2 Serway, Jewett, Physics for scientists and engineers, 6th Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 548 r 2 interferencia totalmente constructiva r 2n 1 2 interferencia totalmente destructiva
Si se toman dos ondas con la misma longitud de onda y frecuencia, pero viajando en direcciones opuestas: y1 Asin( kx t) y2 Asin( kx t) La interferencia de estas dos ondas se obtiene a partir de la identidad trigonométrica: a b a b sin a sin b 2cos sin 2 2 El resultado de esta interferencia se conoce como ondas estacionarias: y 2Asin( kx)cos t Es importante notar que en este tipo de ondas la parte espacial es independiente de la parte temporal. En una onda estacionaria, no se percibe la dirección de propagación como en una onda viajera. Serway, Jewett, Physics for scientists and engineers, 6th Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 550
y 2Asin( kx)cos t Serway, Jewett, Physics for scientists and engineers, 6th Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 550 Cada elemento del medio oscila como un Oscilador Armónico Simple con frecuencia ω. La amplitud del movimiento oscilatorio depende de la posición x del elemento que oscila (porque la amplitud está dada por el factor 2A sin kx). Cuando sin kx = 0 A=0 y se tiene un nodo: Cuando sin kx = ±1 A es máxima y se tiene un antinodo: k x http://faraday.physics.utoronto.ca/iyearlab/intros /StandingWaves/Flash/standwave.html 2n 1 k x n x x 2 (2n n 2 1) 4
En una cuerda de longitud L con los extremos fijos se pueden presentar ondas estacionarias debidas a la reflexión de las ondas generadas en la cuerda. Las condiciones a la frontera resultan en patrones naturales de oscilación llamados modos normales de vibración. La longitud de onda correspondiente a cada modo normal de vibración es: n 2L n Lo que determina los modos normales de vibración es la longitud de la cuerda. http://faraday.physics.utoronto.ca/iyearlab/intros /StandingWaves/Flash/standwave.html http://faraday.physics.utoronto.ca/iyearlab/intros/ StandingWaves/Flash/sta2fix.html
Las frecuencias naturales correspondientes a los modos normales de vibración son: v f n n Utilizando la relación entre la velocidad y la tensión y n f n densidad lineal de la cuerda: 2L La frecuencia fundamental del sistema es: 1 2L Se puede ver que las frecuencias naturales de vibración son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. A esta serie de frecuencias se le conoce como una serie armónica (múltiplos enteros) y a cada modo normal de vibración se le conoce como armónico (primer armónico, segundo armónico, etc.) f 1
En otros sistemas: Serway, Jewett, Physics for scientists and engineers, 6th Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 560 http://www.isvr.soton.ac.uk/spcg/tutorial/tutorial/tutorial_files/membranecirccirc.gif NO EN TODOS LOS CASOS, las frecuencias naturales de vibración son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Cuando no hay una serie armónica de frecuencias, los modos normales de vibración no son armónicos.
1. Una cuerda fija en ambos extremos tiene una longitud de 8.36 m y una masa de 122 g. Está sujeta a una tensión de 96.7 N y se pone en vibración. a) Cuál es la velocidad de las ondas en la cuerda? b) Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria más larga posible? Y su frecuencia? 2. Una cuerda de guitarra de nylon tiene una densidad lineal de 7.16 g/m y está bajo una tensión de 152 N. Los soportes de la cuerda son fijos y están separados por una distancia de 89.4 cm. La cuerda vibra como onda estacionaria dividida en tres segmentos. Calcule la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda de las ondas componentes cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria. (Sugerencia, usar la identidad trigonométrica para interferencia de dos ondas)
3. Las vibraciones que parten de un diapasón de 622 Hz producen ondas estacionarias en una cuerda sujeta en ambos extremos. La velocidad de la onda generada en la cuerda es de 388 m/s. La onda estacionaria presenta 4 antinodos y una amplitud de 1.90 mm. Cuál es la longitud de la cuerda? 4. Dos altavoces transmiten el sonido generado por una misma fuente con una frecuencia de 200 Hz, y están colocados sobre un poste vertical a una distancia de 5.0 m uno del otro como se muestra en la figura. Un hombre camina en línea recta a lo largo del punto C. Considerando que la rapidez del sonido es 342 m/s, a qué distancia del poste escuchará el primer mínimo de intensidad?