Transferencia de Masa 213-5-16 14ª
# Coeficiente de transferencia de masa de largo alcance k g. # Introducción; # Modelo de la película estancada; # Modelo de Higbie teoría de penetración; # Modelo de Danckwerts teoría de la superficie renovada. 213-5-16 2
fluido que fluye fase fluida (bulk) C b T b fluido que moja al sólido interfase C s T s C(y) T(y) sólido poroso sólido poroso intrafase intrafase
Revisión de conceptos básicos 1 Balance general ecuación de conservación la mas importante del curso para que sea útil se requieren sus condiciones límite [entrada] [salida] + [generación] = [acumulación] Condiciones limite Parte importante (indispensable) del modelo Se conoce algo de la propiedad conservativa de interés en una región del elemento de control; Dos tipos condiciones límite importantes: 1) En una región del elemento de control se conoce el valor de la variable del proceso; por ejemplo: en z = se sabe que C = C 2) En una región del elemento de control se conoce el valor del flux de la variable del proceso; por ejemplo: en z = se sabe que: " d flux difusivo desde un sólido: w w dx esta frontera del elemento de control se considera que no hay ni acumulación ni reacción. 1 Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 21 w 4
Convección (generalidades) Transporte por convección implica que la propiedad conservativa se transporta debido a que viaja en el seno de un material que se mueve. Condiciones limite convectivas (CLC): ubicadas en la interfase que separa al fluido (material que transporta la propiedad conservativa de interés PC) y un segundo material que es inmiscible con dicho fluido; La segunda fase que puede estar fija o en movimiento. demás, el elemento de control (aquella región pequeña en donde se analiza el proceso) puede ser la interfase solamente. El espesor de la interfase es muy pequeño comparado con las otras dimensiones del sistema, y no tiene capacidad de almacenamiento (estado estacionario) ni de reacción. 5
Condición limite convectiva CLC Sea el caso de un fluido que transporta un propiedad conservativa PC; Dicho fluido fluye en la vecindad de un sólido (figura siguiente): La PC (masa, energía, momentum, carga) se representa por ϑ; Lejos del sólido, el fluido se mueve con una velocidad constante v ; Lejos del sólido la PC también tiene un valor constante ϑ ; La interfase entre el sólido y el fluido Δ f se define arbitrariamente; a través de dicha región ocurre el flux de la PC. En la interfase se debe cumplir: [flux difusivo en el sólido] = [flux convectivo en el fluido]
Condición limite convectiva CLC En la interfase no hay reacción ni acumulación; por lo tanto, se debe cumplir: [flux difusivo sólido] = [flux convectivo fluido] flux difusivo en el sólido: " w w d dx w El flux convectivo en el fluido se modela con la aproximación de largo alcance: d gradiente convectivo en el fluido dx flux convectivo en el fluido: d f f " f f f dx f f Como: d w dx " " w f w
d " " w f w dx w Condición limite convectiva, CLC; en ella están acoplados los procesos de transporte de momentum y el de la otra propiedad conservativa de interés. Las características de la interfase no se conocen con precisión porque dependen de las del fluido (distribución de la velocidad, características del mojado de la pared, etcétera), así como los procesos de transporte de la otra propiedad conservativa de interés (energía, masa, carga). Por lo tanto, para obtener la solución completa del sistema, se deben resolver simultáneamente los balances de las propiedades conservativas que estén acopladas; este enfoque presenta no solo la dificultad de plantear y resolver las ecuaciones de cada proceso, sino también la necesidad de disponer de los parámetros propios del sistema. Por la dificultad que ello implica, y con el propósito de tener una idea del valor de los coeficientes de transporte convectivo (de largo alcance), se utilizan los números adimensionales.
CLC convectiva dentro del fluido en términos adimensionales: " d como: f w dx Considerando las siguientes variables adimensionales: x S S x f Para energía: S d d ds S f f f dx w d f f d ds w f d T T T T C C Para masa: S C C f ds d ds hf d Nu ds kgf Sh d D m f w 9
Teoría de la película ntecedentes: modelo de enfriamiento de Newton, aplicado a describir el transporte de calor entre paredes compuestas, tales como el intercambio de calor en cambiadores de calor: q Ua T T C f Considere el caso de dos fluidos que son parcialmente inmiscibles entre sí; uno de ellos (el de la izquierda) tiene un componente que esta disuelto en él, pero que es soluble en el otro fluido. C o C 1... (1) N k C C L o 1 x = x =δ
Coeficiente de transferencia de masa k g Sea el sistema compuesto por un tanque con agua perfectamente agitado al cual se adicionan pastillas de un colorante soluble en agua. Obtener el modelo de la rapidez con la cual un líquido se colorea. Esquema z=δ C=C δ z= C=C Modelo (Premisas): 1.- Cada pastilla está mojada con una película de espesor constante δ; 2.- La solución está perfectamente agitada, y por ello la concentración de colorante en la solución C δ es la misma en todo el tanque; 3.- La cantidad de colorante que sale de la pastilla pasa a través de la película estancada y llega a la solución, la cual está perfectamente agitada.
Balance de masa en la solución perfectamente agitada: Restricciones: 1.- La solución perfectamente agitada: no hay gradientes de posición; 2.- No hay entradas ni salidas: no hay transporte por convección; 3.- Sistema isotérmico: solo el balance de masa; 4.- Estado no-estacionario; 5.- No hay reacción química; 6.- Si hay transporte desde una interfase; C t D C vc R S B C S t Para que esta ecuación pueda resolverse (conocer C en función de t), se debe conocer el flujo de colorante que entra al agua S. Para obtener la expresión del flujo S se puede hacer un balance de colorante en la película estancada, aprovechando que la cantidad de colorante que sale de la pastilla debe pasar a través de la película δ.
Balance de masa en la película estancada: Restricciones: 1.- La película estancada tiene un tamaño constante (espesor δ) ; 2.- No hay transporte por convección, solo por difusión; 3.- Sistema isotérmico: solo el balance de masa; 4.- Estado no-estacionario; 5.- No hay reacción química; 6.- No hay transporte desde una interfase; 7.- Flujo unidireccional, en z. Z=δ C=C δ Z= C=C C t D B C vc R S C t D B 2 C z 2 Cuando t : C en z Cuando t : C C en z y C C en z Este modelo permite conocer el flujo de colorante que entra al agua, y que es una función del tiempo t.
Una manera sencilla de tener un valor aproximado del flujo es considerar al sistema en estado pseudo-estacionario, en cuyo caso: Balance de masa en la película estancada: Restricciones: 1.- Película estancada y de tamaño constante (espesor δ) ; 2.- No hay transporte por convección: 3.- Sistema isotérmico: solo balance de masa; 4.- Estado pseudo-estacionario; 5.- No hay reacción química; 6.- No hay transporte desde una interfase; 7.- Flujo unidireccional, en z. Z=δ C=C δ Z= C=C C t D B C vc R S D B d 2 C dz 2 C C en z y C C en z Ya lo hemos resuelto película estancada pueden terminarlo?.
Otra manera sencilla de tener un valor aproximado del flujo es expresar al flujo que ocurre en una interfase de las carácterísticas de la película que moja a la pastilla con una función del tipo: S kga C C z=δ C=C δ S es el flujo diferencial del material que se trasporta desde (o hacia, según sea el caso) un interfase, por unidad de volumen; z= C=C k g es el coeficiente de transferencia de masa del material de interés, el cual esta determinado por las condiciones del sistema, es decir, por las carácterísticas de la película; C y C δ son la concentración del componente de interés en este caso de los planos definidos por z= y z=δ, respectivamente; a es el área de sección transversal de flujo.
Por lo tanto, para tener un valor aproximado del flujo se puede considerar el transporte desde una interfase en términos del coeficiente de transferencia de masa S =k g (C C δ ). Balance de masa en la solución agitada: Restricciones: 1.- Película estancada y de tamaño constante, δ ; 2.- No hay transporte por convección: 3.- Sistema isotérmico: solo balance de masa; 4.- Estado no-estacionario; 5.- No hay reacción química; 6.- Si hay transporte desde una interfase; 7.- Flujo unidireccional, en z. C t Como: S kg C C D C vc R S B dc dt g k C C hora, el chiste es disponer de valores de k g. Z=δ C=C δ Z= C=C C en z @ t
Fenomenológicamente, los coeficientes globales de transferencia de masa k g y energía h se definen como el flux difusivo de la propiedad conservativa dividida por la fuerza motriz correspondiente: flux difusivo de masa flux difusivo de calor kg y h C C T T Interfase C T C S T S S Modelo de la película estacada (ya se presentó). Para explicar k g, considere una película está estancada (u=v=); isotérmica (T=constante); en le cual el transporte de masa ocurre en la dirección y; Balance de masa: δ 2 2 C C C C u v D 2 2 x y x y 2 C dc D a 2 y dy con: C C en y y C C en y S C CS C CS y
y como: C CS C CS dc dy y C C S Como el flux de reactivo que sale de la interfase debe ser igual al flux de reactivo que entra en la intrafase: dc kg C CS D dy y l comparar estas dos ecuaciones se tiene una expresión para k g : k g Cualitativamente, esta igualdad confirma que el coeficiente global de transferencia de masa k g es un coeficiente de transporte. Sin embargo, este modelo tiene la incertidumbre que implica la evaluación del espesor de la película estancada δ. D
Modelo de la Superficie Renovada [1]. Modelo Enfoque Semi-empírico: Pared fija que tiene una temperatura relativamente alta T w ; debido a la turbulencia que priva en el fluido, llegan a ella remolinos de un fluido que tienen una temperatura menor que la de la pared: T b <T w ; Cada remolino se mantiene en contacto con la pared un tiempo relativamente corto, pero lo suficiente para que ocurra la transferencia molecular de una cantidad finita de calor. Conociendo (balanceando) la cantidad de calor que transporta cada remolino y contabilizando (de alguna manera) la contribución de los demás remolinos, se estima la cantidad total de calor transferida. [1] Introduction to transport phenomena, W. J. Thomson, Prentice Hall, 2, Caps. 7,9 1.
Modelos para la transferencia de masa en la interfase Teoría de penetración (Higbie, 1935); Pretende tomar en cuenta la inestabilidad que existe en la interfase de sistemas fluido-fluido (no lo puede hacer el modelo de la película estacada); Sea el caso de un sistema gas-líquido; El modelo consiste en considerar que en el líquido B hay paquetes de fluido que se ponen en contacto con el gas durante un tiempo que es suficiente para que ocurra el transporte de las especie de interés (hacia o desde la fase gas); después de lo cual dichos paquetes se mueven hacia el seno del líquido, y son reemplazados por otros. En este sentido, este modelo supone el transporte del soluto dentro de una capa de líquido de espesor infinito en estado no-estacionario. Gas, Líquido,B
El modelo matemático de Higbie tiene las siguientes restricciones: 1) Transporte por difusión; 2) Unidireccional: x; 3) Estado no-estacionario; 4) Isotérmico 5) Espesor de la capa de líquido es infinito: x= Balance de masa: Condiciones límite: La solución es 1 : C t = D 2 d C B 2 dx C C @ x cuando: t C C @ x cuando: t C C @ x cuando: t i C C x =1-erf C C 4tD i B 1 Hines. L., Mass Transfer Fundamentals and pplications, Prentice Hall, 1984. bramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1972.
El transporte es por difusión, entonces el flux de esta dado por: C C C x N = D como: 1- erf x= B z C x= i C 4tD B 2 C 1 x i x td 4tD B B C C exp... (*) Por lo tanto, el flux de que entra (o sale) instantáneamente del paquete líquido es: 1 D 2 B N = Ci C x= t El flux promedio de que se transporta en el tiempo t s, que el paquete líquido está en contacto con la fase gas, se obtiene aplicando el concepto de valor medio: 1 N = N dt t s N = C C prom t t prom s t 1 s 2 1 D dt B i 12 s t
Como: N C C B i prom ts dc Por otro lado: k g C C S D dx Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de penetración de Higbie, la cual considera que los paquetes de líquido que entran en contacto con el gas un tiempo de contacto constante t s cada uno de ellos, permiten la transferencia del soluto, predice la expresión de k g siguiente: k g 4D t B s 1 2 4D Esta expresión es diferente que la que predice la modelo de la película estancada, la cual es: D kg 1 2
Teoría de renovación en la superficie (Danckwerts, 1951) Objetivo: mejorar la teoría de penetración de Higbie. En el modelo de Danckwerts se considera que no todos los paquetes de líquido tienen el mismo de tiempo de contacto t s, sino que el tiempo total de contacto puede describirse con una función de distribución τ(t), en lugar del t s que se considera en la teoría de penetración de Higbie. Por lo tanto, el flux promedio de se calcula con una función de la forma: 1 2 t 4D N C C dt B prom i 1/ 2 ts t Se han propuesto diferentes funciones τ(t); Danckwerts propuso una que implica que la rapidez con la que desaparecen los paquetes de cierta edad es de primer orden con respecto al número de elementos de esa edad: d t S dt
Teoría de renovación en la superficie (Danckwerts, 1951) Como: 1 2 t 4D B N Ci C dt prom 1/ 2 ts t y: d dt t S Donde S es la rapidez de renovación de remolinos en la superficie; es igual al recíproco del tiempo de exposición de dichos elementos. K exp St Para evaluar la constante de integración K se aprovecha el hecho de que τ(t) es una cantidad fraccional, y por lo tanto debe cumplir con: t dt 1 como: t K exp St K exp( S )dt 1
Pero: K exp( S )dt 1 K S t S exp S Entonces, aplicando esta función de distribución de tiempos de contacto a la expresión de flux molar promedio se tiene: Como: 4D 1 2 t B N C C dt prom i 1/ 2 ts t 1 D 2 S exp B i prom 12 t S N C C dt
Como: 1 D 2 B S exp i prom 12 t S N C C dt Resolviendo la integral se obtiene el flux promedio de de acuerdo con el modelo de Danckwerts: 12 N C C SD prom i B comparando con: N k C C ' c i k ' c SD 12 B S es un parámetro empírico. Este modelo es diferente que los de la película estancada y de la teoría de penetración de Higbie: 1 D 2 4D k B g kg ts
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