EjerciciosMSS_ Ejercicios de Sistemas Mecánicos Traslación. Dibujar el diagrama de cuerpo libre y obtener el modelo matemático del sistema mostrado en la figura. Considerar únicamente el movimiento horizontal, cojinetes sin fricción y resorte y amortiguador lineales.. Dibujar los diagramas de cuerpo libre y obtener el modelo matemático del sistema mostrado en la siguiente figura. 3. A un sistema compuesto por una masa, un muelle y un atenuador de rozamiento viscoso se le aplica una fuerza f. Calcula su función de transferencia. 4. Asociación de elementos (serie y paralelo). Resuelve los siguientes sistemas e intenta sacar conclusiones de los resultados obtenidos. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
EjerciciosMSS_ K K M f a (t) M f a (t) (a) (b) f a (t) K K K K M M f a (t) (c) (d) 5. Referencias absolutas y relativas. Calcula las ecuaciones diferenciales utilizando las variables absolutas x y x. Calcula las ecuaciones diferenciales utilizando las variables relativas x y z. x x K M z f a (t) M K 3 6. En el sistema mostrado en la siguiente figura, x y x representan las elongaciones de los muelles K y K respectivamente. Destacar que x es el desplazamiento de la masa M con respecto a un punto de referencia fijo, mientras que x es el desplazamiento relativo de la masa M con respecto a M. Cuando x =x =0, los tres muelles de la figura se encuentran en su posición de reposo (sin sufrir ni estiramiento ni compresión). a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de cada una de las masas y hallar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema. b. Determinar los valores de x y x que corresponden con la posición de equilibrio estático (f(t)=0) 7. Una polea puede emplearse para cambiar la dirección del movimiento en un sistema mecánico de traslación, de horizontal a vertical y viceversa. Una polea básica consiste en un cilindro que puede rotar sobre su eje sobre el cual se apoya un cable. En una polea ideal, despreciaremos su masa y su fricción. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
EjerciciosMSS_ También se considerará que no existe deslizamiento entre el cable y la superficie del cilindro, es decir, que ambos se mueven con la misma velocidad. El cable ideal, aunque trabajará a tracción no sufrirá estiramiento y, si se desea tener en cuenta este estiramiento, se representará mediante un muelle conectado a un cable ideal. Por ejemplo: Sistemas mecánicos de rotación 8. Par aplicado a un sistema compuesto por un disco, una barra de torsión de rigidez K y rozamiento viscoso. 0 (t) K P(t) I Sistemas mecánicos complejos. 9. Sistema anti choque. Supongamos un sistema antichoque diseñado para un equipo de medida. Se desea aislar la masa M del chasis del vehículo, mediante una masa M de absorción de choque conectada al chasis y al equipo de medida mediante muelles y amortiguadores con rozamiento viscoso. Los desplazamientos y(t) e y(t) se miden con respecto a la posición del chasis, considerado en la posición estática de equilibrio, es decir y (t)=0. K K M M y(t) (salida) y(t) Se desea obtener la función de transferencia que relaciona la posición del chasis, y 3 (t), con la posición de la masa M,y (t). CHASIS y3(t) (entrada) Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática 3
EjerciciosMSS_ G ( s) Y ( s) Y ( s) 3 0. El sistema de la figura representa un disipador de energía. Hallar la función de transferencia que relaciona la fuerza externa f(t) con el desplazamiento x(t) de la masa M. La masa M es relativamente pequeña y está unida a la masa principal M a través de un muelle de constante K y un amortiguador de constante, con objeto de reducir vibraciones en el desplazamiento x(t) de la masa M por acción de la fuerza f(t). x(t) [x(t)>x (t)] x(t) f(t) M M K K Trenes de engranajes Los trenes de engranajes se utilizan con frecuencia en los sistemas mecánicos como elementos capaces de producir una modificación en la relación par velocidad entre el elemento motor y la carga consiguiendo una transferencia de potencia más eficiente. El caso típico es el de los servomotores, donde se utilizan trenes de engranajes para el acoplamiento de la carga al motor, reduciendo la velocidad de giro en la misma medida que se amplifica el par útil disponible.. Sea un tren de engranajes sencillo formado por dos ruedas dentadas de radios R y R con un número de dientes N y N respectivamente, sobre las que actúan dos pares P y P. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática 4
EjerciciosMSS_ P(t) P(t) En el sistema se supone que: Entrada (t) P(t) R N (t) La inercia de los ejes es despreciable. El rendimiento de la transmisión es perfecto (rozamiento cero) R N I Salida El eje motor y el tren de engranajes han sido seleccionados de forma que suministran el par necesario para obtener la aceleración d d h i l l El dispositivo actúa inicialmente según los siguientes principios: a) Distribución uniforme de los dientes de los engranajes: El número de dientes de cada engranaje es proporcional al radio del mismo: N N de forma que podemos asegurar que, si N / N <, entonces la relación de engranajes reducirá la velocidad a la vez que aumentará el par. b) La distancia lineal recorrida sobre la periferia de cada engranaje es la misma trivialmente: R R R R c) El trabajo realizado por un engranaje es igual al realizado por el otro: P P Es decir, al despreciar las pérdidas por fricción, el tren de engranajes transmite la potencia sin cambios. De estos tres principios de deduce la relación primaría de un tren de engranajes formado por dos ruedas dentadas: P N P N Expresión que nos permite relacionar los parámetros de ambos engranajes. La ecuación del par del lazo secundario es: d d P ( t) I dt dt Podemos referir a los parámetros del engranaje primario: N P P N N N d N d Pt ( ) I N N N dt N dt N N d N d () N dt N dt Pt I Según esta ecuación podemos sustituir el sistema original por el siguiente equivalente: Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática 5
EjerciciosMSS_ eq= (N /N ) P(t) I eq=i (N /N ) (t) Por tanto, se deduce directamente que la inercia o el coeficiente de fricción pueden referirse a un eje común, sin más que multiplicar estos por el cuadrado de la relación entre el número de dientes de los engranajes del eje común y del eje a reducir. De la misma forma, si se tratara de un sistema de más de dos ejes, habría que multiplicar por el cuadrado de la relación total existente entre el eje considerado y el eje común.. Considerar el tren de engranajes de tres ejes representado en la figura, en el cual se asume que no existen holguras ni deformaciones elásticas y que el número de dientes de cada engranaje es proporcional al radio del mismo. Obtener el momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa equivalentes referidos al eje motor. P motor(t), I P(t) (t) R N P(t) R N (t), I P(t) 4 R4 N4 R3 N3 P(t) 3 3, I3 (t) P carga(t) Conversión Rotación traslación 3. Giro Traslación por Piñón Cremallera Hallar la función de transferencia que relaciona el par aplicado en el eje del piñón con la velocidad de desplazamiento horizontal de la cremallera P r I v 4. Se trata de hallar la función de transferencia que relaciona el desplazamiento x 4 producido en la parte superior de la palanca con el desplazamiento de la masa M (x ): Se considerará la palanca rígida, sin masa y con un desplazamiento angular lo suficientemente pequeño como para ser considerado horizontal. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática 6
EjerciciosMSS_ Los muelles K y K simulan la torsión de la barra de la palanca. 5. El control de posición primario del propulsor de un cohete espacial se puede modelar, de manera sencilla y restringiendo el movimiento a dos dimensiones, mediante un péndulo invertido montado sobre un carro tal y como se ilustra en la figura. y u(t) x L M (t) m El objetivo es controlar el sistema de forma que el péndulo conserve la posición vertical frente a perturbaciones, para lo cual se debe aplicar una fuerza de control adecuada [u(t)]. Así, la entrada al sistema será la fuerza aplicada al carro u(t) y la salida será la posición angular del péndulo (t) Sabiendo que la masa del carro es M=Kg, la longitud del péndulo es L=m y que la masa de éste se encuentra uniformemente distribuida y es de m=0,kg, calcular la función de transferencia del sistema. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática 7