Tema 3: Teoría media varianza de selección de carteras. 3.2: Utilidad y actitud frente al riesgo. Por Act. Martín Galván Mendoza Última actualización: 19/4/1 El comportamiento de un consumidor con relación a las elecciones que toma al elegir algún bien puede explicarse mediante un grupo de axiomas que se detallarán de forma breve a continuación. 3.2.1: Axiomas de elección racional. Se basan en la idea de que un consumidor (se llamará de ahora en adelante al consumidor el inversionista ) puede elegir en cualquier situación y dichas elecciones son congruentes, consistentes y racionales. Es decir, tomará decisiones cuyo objetivo es proporcionar el bien mayor posible al inversionista. Con base en lo anterior, se dirá que de todo universo de elecciones (o lotería ), la elección (o el activo) α será preferido al activo β si el primero le proporciona un bien mayor que el segundo (α > β). Si ambos son tan similares, se dirá cualquiera le proporcionará la misma satisfacción (α β). a) Axioma de completitud: Sean α,β є, entonces se debe cumplir alguna de las siguientes: α β β α α β Es decir, el inversionista siempre será capaz de ordenar sus preferencias de acuerdo a las características que posea cada activo. b) Axioma de reflexividad: Para cualquier α є, α α. Es decir, cualquier activo dentro de lotería es al menos tan preferible como sí mismo. c) Transitividad: Sean α, β, γ є. Entonces: Si α β y β γ, entonces α γ. Si α β y β γ, entonces α γ. Es decir, si α es más preferible/igualmente preferible que β y a su vez β es más preferible/igualmente preferible que γ, entonces se deberá cumplir que α sea más preferible/igualmente preferible que γ. d) Continuidad: Sean α, β, y є. Si α β y a su vez existe γ muy similar (pero no igual) a β. Entonces existe una vecindad ε > de activos tal que si γ vive en esa vecindad entonces γ β. Es decir, pueden existir dos activos γ y β muy similares entre sí, sin embargo si γ posee alguna característica extra de la que β carece (por muy pequeña que sea) γ será más preferido que β. Un ejemplo en la vida real de este axioma es la elección de dos autos de lujo de marcas distintas. Ambos autos poseen características similares pero no iguales.
3.2.2: Axiomas de utilidad. La utilidad no es otra cosa que la representación matemática de la relación de preferencia que existe entre dos activos. Es decir, si para un inversionista α es preferida a β, entonces la utilidad que le produce α al inversionista es estrictamente mayor que la utilidad que le produce β. En otras palabras, se debe cumplir lo siguiente: 2 Donde U(x) será una determinada función. α β <=> U(α) U(β) (1) Cabe destacar que esta relación se cumplirá siempre y cuando la preferencias del inversionista sean racionales, es decir, si siempre busca el bien mayor. 1. Utilidad Total: Se define como la Felicidad o satisfacción que se obtiene de consumir un bien en cantidad y a un periodo determinado. 2. Utilidad Marginal: Se define como el cambio en la Utilidad Total (positivo o negativo) después de consumir una unidad adicional de determinado bien. Por ejemplo, una persona sedienta acude a una tienda a comprar botellas de agua. La Utilidad Total será toda la saciedad que le proporcione a la persona el consumir una determinada cantidad de botellas de agua (suponga por un momento que tomó 2 botellas de agua). La Utilidad Marginal será el cambio que le proporcione a la persona el consumir una tercera botella de agua. Quizá la persona haya satisfecho su sed después de la segunda botella, por lo que la tercera botella en lugar de ayudarlo lo perjudique. Se obtendrá la Utilidad Total o simplemente Utilidad (U) y la Utilidad Marginal (UM) de la siguiente forma: U U(x) (2) UM U(x) x = U (x) (3) Si la Utilidad Marginal (es decir, la derivada de la función U(x)) es positiva, el consumir una unidad más de activo le producirá satisfacción al inversionista, si es negativa le producirá un mal y si resulta en una constante, el inversionista será indiferente ante este cambio. Lo anterior se aprecia mejor en los siguientes gráficos: 2
3 3 5, 1, 15, 2, 25, 3, 15 U(X) U(X)=1X+X^2-3, -2, -1, 1, 2, 3, 15 U(X) U(X)=1X-X^2 2, 4, 6, 8, 1, 12,, 15 U(X) U(X)=1X
4 4 5 1 15 2 25 3 4 15 U'(X) U'(X)=1+2X -2-15 -1-5 5 1 15 8 16 24 32 4 48 64 2 8 88 96 12 U'(X) U'(X)=1-2X 2 4 6 8 1 12 6 12 18 24 3 36 48 54 6 66 2 8 9 96 12 18 1 12 U'(X) U'(X)=1
Una Función de Utilidad que resulta interesante es la Función CES (Constant Elasticity of Substitution) que se define mediante la siguiente ecuación: n δ U CES = [ α i x i ] i=1 1 δ 5 (4) Dónde: n i=1 α i = 1 x i es el i-ésimo activo dentro de la cartera. Cada α i representa el peso que tiene el i-ésimo activo dentro de la cartera. δ es la elasticidad a la sustitución. Cada bien x i será un sustituto perfecto (ie, le dará igual al inversionista consumir i o j) mientras δ sea más cercano 1, complemento perfecto (ie, consumirá i en conjunto con j) si δ se acerca al infinito negativo o si el inversionista decide gastar en proporciones planeadas sus recursos en cada x i si δ se acerca al. (Lo anterior se explicará más a detalle adelante). Un caso particular de la fórmula (4) es cuando sólo se consideran 2 bienes. En este caso se obtiene la fórmula CES más conocida: Dónde: α+β=1 U CES = [αx δ + βy (1 δ) 1 δ ] (5) A partir de la ecuación (5) se puede demostrar lo siguiente: lim U CES = x α y β δ También llamada la función Cobb-Douglas (bienes proporcionales). (6) lim U CES = mín(αx, βy) δ También llamada la función Leontief (complementos perfectos). () lim U CES = αx + βy δ 1 También llamada la función lineal o de sustitutos perfectos. (8) 5
Unas explicaciones para estas funciones son las siguientes: Un inversionista normalmente escogerá una función Cobb-Douglas si quiere invertir siempre determinado capital en un solo activo (de acuerdo a sus preferencias) y el remanente de sus recursos en el resto de el/ellos. El inversionista escogerá una función de Leontief cuando los bienes x y y sean complementarios. Es decir, sólo compará un número m de activos de x si hay el mismo número m de activos y. 6 El inversionista escogerá una función lineal siempre y cuando desee invertir todo su capital en el activo más barato. Lo que quede será invertido en el resto de los activos. 3.2.3: Curvas de indiferencia. Son la representación gráfica de la utilidad que nos proporciona el combinar determinada cantidad combinada de ciertos bienes. Suponiendo que la utilidad es cuantificable y se le puede asignar un valor con base en el consumo de los bienes, la curva de indiferencia marcará la cantidad a consumir de esos bienes de tal forma que siempre se tenga la misma satisfacción. Tomando por ejemplo la función de utilidad de Cobb-Douglas, la ecuación (6) es posible notar lo siguiente: Suponga que se consumen 1 unidades del bien x y 25 del bien y. Si sustituimos esos valores en la ecuación de Cobb-Douglas y piense que la distribución de la riqueza es la misma (es decir, α y β valen.5 ambas) se obtendrá una utilidad de 5. Sin embargo es importante notar que no es la única forma de obtener una utilidad de 5. Si, por ejemplo, se compran 25 unidades del bien y y 1 unidades del bien x se llegará a lo mismo. De hecho existe una infinidad de soluciones para el problema y todas ellas se pueden obtener mediante la siguiente ecuación: y = ( U x α) 1 β La cual se obtiene de igualar la ecuación (6) a U y despejar y. Posteriormente se puede sustituir 5 en U y dar valores a x para poder graficar. Sin repitiéramos el proceso para Utilidades de 3, 5 y y se graficara, se llegaría a lo siguiente: 6
Cobb-Douglas 5 4 3 Y 2 1 U=3 U=5 u= 2 4 6 8 1 X Donde se observa claramente que las posibles soluciones a las ecuaciones de utilidad de Cobb- Douglas son infinitas. Se pueden observar las siguientes características de la función de utilidad Cobb-Douglas: Las curvas de indiferencia no se intersectan. Se trata de una función densa. Las curvas son estrictamente convexas. Fuertemente monótonas. Pendientes negativas Es una función homotética. Ejercicios: 3. Demostrar lo siguiente: a) lim δ U CES = x α y β b) lim δ U CES = mín(αx, βy) c) lim δ 1 U CES = αx + βy TIP: Utilizar el teorema fundamental del cálculo. 4. Graficar en Excel las curvas de indiferencia de las funciones de utilidad Lineal y de Leontief y enlistar las características que cumplen.