ECUACIONES RECORRIENDO UN CAMINO PARA DEVELAR INCÓGNITAS MÓDULO 4
En este módulo vamos ver: * Qué es una ecuación entera de primer grado. * Cómo se la resuelve. * La relación entre las soluciones de una ecuación y el conjunto numérico en que la misma está planteada. * Cuántas soluciones puede tener una ecuación entera de 1 grado. * La importancia del contexto en que se resuelven las ecuaciones. * Qué es el pasaje del lenguaje coloquial al simbólico para plantear una ecuación y resolver un problema.
ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO (O LINEALES) CON UNA INCÓGNITA Una escuela de gastronomía cobra $ 1100 de inscripción más $ 150 por cada clase. Queda entonces establecida una correspondencia entre la cantidad de clases recibidas y la suma de dinero que se debe abonar. Como estas magnitudes pueden variar se las llama variables. Si a cada variable le asignamos una letra (llamaremos x a la cantidad de clases recibidas e y a la cantidad de dinero que se debe abonar) esta correspondencia queda planteada como:
A este tipo de correspondencias se las llama función (En el bloque: Funciones podrás conocer más acerca de este tema). Una persona tiene destinado para este curso $ 2150 Cuántas clases podrá recibir? Una forma de resolver este sencillo problema podría ser calculando el costo por una clase, dos, tres,.hasta encontrar el número que produce un costo de $ 2150. El inconveniente que trae este camino para resolver el problema es que muchas veces resulta poco eficaz ya que no siempre es posible encontrar rápidamente el valor que estamos buscando.
Si en la función planteada anteriormente, a nuestra variable y la reemplazamos por $ 2150 tendremos: Esta última expresión recibe el nombre de: ECUACIÓN Este tipo de ecuaciones se denominan: Ecuación entera de primer grado (o lineal) con una incógnita.
Una ecuación es una igualdad donde hay uno o más números que no se conocen a los que se los llama incógnitas. A estas incógnitas se les asigna una letra. Resolver la ecuación significa determinar el valor de esos números desconocidos para que esta igualdad se cumpla.
Para resolver ecuaciones de primer grado como la de nuestro ejemplo debemos recordar algunas propiedades que se cumplen en las igualdades.
O sea: 7=x
Hemos encontrado el valor buscado. Estamos en condiciones de responder que con $ 2150 podremos recibir 7 clases de este curso de gastronomía (inscripción incluida).
Verificamos la solución hallada Si x = 7 es solución de la ecuación entonces debe satisfacer la igualdad planteada: Esta última operación, la de reemplazar en la ecuación a la incógnita por su solución para constatar que la igualdad se cumple, se la llama verificación.
Conjunto numérico de las soluciones de una ecuación: Cuando se plantea una ecuación debemos conocer previamente sobre qué conjunto numérico estamos resolviendo la misma. Por ejemplo si resolvemos la ecuación: 2. x 4 5 2. x 4 5 2. x 5 4 2. x 1 x La solución de esta ecuación no es un número entero, es un número racional: O sea: En el conjunto de los números enteros esta ecuación no tiene solución. O lo que es lo mismo: En Z (conjunto de los números enteros) el conjunto de soluciones de la ecuación es vacío S En cambio: En Q (conjunto de los números racionales) la ecuación tiene como conjunto solución: 1 S 2 De aquí en adelante las ecuaciones se considerarán planteadas para nosotros en R (conjunto de números reales). 1 2
Una ecuación y una incógnita. Cuántas soluciones? En los siguientes ejemplos veremos que una ecuación entera de 1 grado con una incógnita no siempre tiene una única solución. 1) 7. x 3 6. x 1 7. x 6. x 1 3 x 2 La ecuación tiene solución única. 2) 3x 2x 5x 5x 5x 5x 5x 0 0 0 Esta ecuación tiene infinitas soluciones Y las infinitas soluciones son: Todos los números reales! Si una igualdad se cumple para cualquier valor (sea cual fuere) que tome cada una de las variables que figuran en la misma se la denomina identidad. 3) 3x 2 3x 5 3x 3x 5 2 0 3 Esta ecuación no tiene solución. Absurdo S
Qué ocurre si una ecuación entera de 1 grado tiene dos incógnitas? Supongamos la siguiente ecuación: 3. x 2. y 7 Este tipo de ecuaciones tiene infinitas soluciones en R: se trata de todos los pares de números reales tales que la suma entre el triple de uno de ellos y el doble del otro da como resultado 7. Veamos algunos ejemplos de estas soluciones: x 1 y 2 Pues: 3.1 2.2 7 O sea que el par (1;2) es una de las infinitas soluciones de esta ecuación. x 0 y 3,5 también es un par satisface la igualdad ya que: 3.0 2.3,5 7 Por lo tanto el par (0;3,5) es otra de las infinitas soluciones que tiene esta ecuación.
En símbolos podemos decir que el conjunto solución de esta ecuación 3. x 2. y 7 es: Lo que significa que el conjunto de las soluciones de esta ecuación está formado por todos los pares de números reales llamados genéricamente x e y tales que el triple de x más el doble de y es igual a 7.
Lenguaje coloquial y simbólico: El lenguaje simbólico que utiliza la Matemática permite modelizar situaciones. Si en esta situación figura algún interrogante este lenguaje matemático nos permitirá realizar el planteo de una ecuación. Por ejemplo: Se debe construir en un parque un cantero con forma de triángulo isósceles como muestra la figura:
Las condiciones para su construcción son las siguientes: La longitud de los lados congruentes AC y BC debe ser el doble de la longitud del lado no congruente AB y el perímetro del triángulo debe ser de 5 metros. Qué dimensiones deberán tener los lados del cantero? Si llamamos x a la longitud del lado AB,la longitud del lado AC y la del lado BC es 2.x. Sabiendo además que el perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados tenemos: 5 x 2x 2x 5 5x 5 x x 1 5 AB 1m, AC 2m, BC 2m O sea: El lado no congruente debe medir 1 metro mientras que los otros dos lados deberán tener una longitud de 2 metros cada uno.
Otro ejemplo: Un fabricante de calzado tiene por día $ 2000 de gastos fijos y además fabricar cada par de zapatos le genera un costo de $ 300. a) Plantear la función de Costo Total Diario (que establece la correspondencia entre la cantidad de pares de zapatos fabricados por día y el costo total diario que se genera) b) El presupuesto destinado a los gastos en un determinado día es de $ 8000. Cuántos pares de zapatos se podrán fabricar? a) Llamamos y al costo diario total y x a la cantidad de pares de zapatos fabricados por día. Entonces la función Costo Total Diario es: y=300.x+2000 b) Si reemplazamos a nuestra variable y por 800 tenemos: 8000 300. x 2000 8000 2000 300. x 6000 300. x 6000 300 x 20 x En consecuencia: Con un presupuesto de $ 8000 este fabricante podrá producir ese día 20 pares de zapatos.
HASTA LA PRÓXIMA!!!!! GRACIAS!!!!!