El caudal de diseño es una variable que lleva asociada una magnitud y una probabilidad o riesgo

Transcripción

1 Diseño de redes de alcantarillas (II) Agua residual urbana Doméstica o sanitaria (zonas residenciales, comerciales y públicas) Industrial Infiltraciones y aportaciones incontroladas Escorrentía urbana (pluviales) Aguas negras Caudales estables Aguas blancas Caudales más altos y variables, que ocurren de forma episódica El caudal de diseño es una variable que lleva asociada una magnitud y una probabilidad o riesgo 1

2 Objetivos del tema Estudiar cómo analizamos y cuantificamos la variabilidad temporal de la lluvia Revisar los procesos por los cuales se transforma la lluvia en escorrentía superficial y establecer sus escalas de tiempo Diseñar un método que nos permita establecer el caudal de diseño en alcantarillas separativas de aguas blancas o unitarias, y la probabilidad de que éste sea excedido: el método racional Aplicar el método racional en el diseño de una cuenca ejemplo Referencias [1] Hidrología Aplicada. Chow y otros Ed. McGraw-Hill. [2] Cálculo de caudales en las redes de saneamiento. Catalá, F Ed. Paraninfo. Colección Seinor no. 5. [3] Restauración hidrológico-forestal de cuencas y control de la erosión. RAGSA Ed. Mundiprensa. [4] Hydrology and floodplain analysis. Bedient, P. & W. Huber Adison Wesley Ed. [5] Manual de saneamiento URALIA. Hernández, A. & Hernández, A Ed. hompson. [6] Saneamiento y alcantarillado. Vertidos residuales. Hernández, A ª edición. CICCP. Colección Seinor no. 7. [7] Ingeniería de aguas residuales. Redes de alcantarillado y bombeo. Metcalf & Eddy Ed. McGraw-Hill. [8] Máximas lluvias diarias de la España Peninsular. Series Monográficas. Ministerio de Fomento. Dirección General de Carreteras. 2

3 Variabilidad espacial y temporal de la lluvia Mapas de isoyetas Mapa de isoyetas de profundidad total de lluvia (pulgadas) caída desde el 24 al 25 de mayo de 1981 en Austin exas, durante una tormenta. La precipitación máxima de 11 pulg. (280 mm!!) se registró en un período de 3h. 3

4 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum Histograma en la estación 1-Bee (X, USA) Prof. max (pulg.) 0.76 Int. máx. (pulg./h) 9.12 La lluvia: una variable aleatoria, X Cómo asignamos a una profundidad de lluvia dada x, caída en un intervalo de tiempo t (p.ej. 24 h) una probabilidad de ser excedida P(X>x)? 1) Datos crudos probabilidad de excedencia? 2) Existen funciones de probabilidad F( x ) generales que permiten describir la probabilidad de que ocurran eventos de lluvia de una determinada magnitud? 3) Si es así, cómo utilizamos esas funciones tipo para describir la probabilidad de excedencia de un evento de magnitud dada? Cómo estimamos la magnitud del evento que tiene una determinada probabilidad de excedencia? 4

5 La lluvia: una variable aleatoria, X Cómo asignamos a una profundidad de lluvia dada x, caída en un intervalo de tiempo t (p.ej. 24 h) una probabilidad de ser excedida P(X>x)? 1) Datos crudos probabilidad de excedencia? 2) Existen funciones de probabilidad F( x ) generales que permiten describir la probabilidad de que ocurran eventos de lluvia de una determinada magnitud? 3) Si es así, cómo utilizamos esas funciones tipo para describir la probabilidad de excedencia de un evento de magnitud dada? Cómo estimamos la magnitud del evento que tiene una determinada probabilidad de excedencia? Serie anual máxima 5

6 Serie anual máxima X Eventos extremos (X x ) x 30 mm X 6

7 Serie de eventos extremos Intervalo de recurrencia τ Período de retorno, Es el valor esperado de la variable aleatoria intervalo de recurrencia τ, E(τ) Lo estimamos como el valor promedio de τ ( τ ) tomado sobre un número grande de eventos. En Lanjarón, por ejemplo, el período de retorno para lluvias de más de 30 mm en 24 h es años ( 11 valores); y 50 2 años ( 6 valores) El período de retorno y la probabilidad de un evento extremo P(X x ) p están relacionados p 1 / La probabilidad de que haya al menos un evento en N años es 1 - (1 1/) N 7

8 E p ( τ ) τ 1 τ p (1 p) p + 2 p(1 p) + 3p(1 p) p [1 + 2(1 p) + 3(1 p) [ 1 (1 p) ] p Demostración τ p(1 p) + 4(1 p) Supone independencia entre observaciones o eventos ] (1 + x) n 1+ nx + [ n( n 1) / 2!] x n 2; x (1 p) 2 + [ n( n 1)( n 2) / 3!] x Período de retorno, Es el valor esperado de la variable aleatoria intervalo de recurrencia τ, E(τ) Lo estimamos como el valor promedio de τ ( τ ) tomado sobre un número grande de eventos. En Lanjarón, por ejemplo, el período de retorno para lluvias de más de 30 mm en 24 h es años ( 11 valores); y 50 2 años ( 6 valores) El período de retorno y la probabilidad de un evento extremo P(X x ) p están relacionados p 1 / La probabilidad de que haya al menos un evento en N años es 1 - (1 1/) N RIESGO 8

9 Y si la seria máxima anual tiene una duración corta? En este caso, utilizamos, series de excedencia anual 9

10 x 30 Serie de duración parcial 39 eventos (correlacionados) 10

11 Serie de excedencia anual 15 ( no. años) eventos (correlacionados) Intervalo de recurrencia τ E Y si la seria máxima anual tiene una duración corta? En este caso, utilizamos, series de excedencia anual Período de retorno de series de excedencia E, está relacionado con, el período de retorno calculado con series máximas anuales, de acuerdo con la expresión [1] E ln

12 La lluvia: una variable aleatoria, X Cómo asignamos a una profundidad de lluvia dada x, caída en un intervalo de tiempo t (p.ej. 24 h) una probabilidad de ser excedida P(X>x)? 1) Datos crudos probabilidad de excedencia? 2) Existen funciones de probabilidad F( x ) generales que permiten describir la probabilidad de que ocurran eventos de lluvia de una determinada magnitud? 3) Si es así, cómo utilizamos esas funciones tipo para describir la probabilidad de excedencia de un evento de magnitud dada? Cómo estimamos la magnitud del evento que tiene una determinada probabilidad de excedencia? Distribución de valores extremos Hay tres formas asintóticas, conocidas como de ipo I, ipo II y ipo III. Las intensidades máximas de lluvia se ajustan a las de ipo I (EVI), ó distribución de Gumbel, F ( x) P( X 6sx α π u x α x u x) exp exp α s x desv. estándar x media muestral 1 P( X x ) 1 P( X < x ) 1 F( x ) 12

13 13 La lluvia: una variable aleatoria, X Cómo asignamos a una profundidad de lluvia dada x, caída en un intervalo de tiempo t (p.ej. 24 h) una probabilidad de ser excedida P(X>x)? 1) Datos crudos probabilidad de excedencia? 2) Existen funciones de probabilidad F( x ) generales que permiten describir la probabilidad de que ocurran eventos de lluvia de una determinada magnitud? 3) Si es así, cómo utilizamos esas funciones tipo para describir la probabilidad de excedencia de un evento de magnitud dada? Cómo estimamos la magnitud del evento que tiene una determinada probabilidad de excedencia? u y x y x F x F x X P x X P < α 1 ln ln 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ln ln )] exp( exp[ ) ( x F y y x F u x y α Variable reducida ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 x F x X P x X P <

14 Año Pmax(10min) Ejemplo Utiliza la serie de lluvia máxima de 10 minutos en pulg. en Chicago, Illinois , y desarrolla un modelo para el análisis de frecuencia de tormentas de lluvia utilizando la distribución EVI (Gumbel). Calcula los valores máximos de lluvias de 10 min. con periodos de retorno 5, 10 y 50 años s x α π x u F ( x) P( X x x) exp exp P( X x ) 1 P( X < x ) 1 F( x años F( x ) y ln ln x pulg. ) x x pulg pulg. 14

15 Factores de frecuencia La magnitud de un evento extremo x puede representarse como x µ + kσ ó x x + k s x Media Factor de frecuencia (abulados en función Raíz de la varianza de, para distintas distribuciones) Para la distribución de valor extremo ipo I K ln ln π 1 Año Pmax(10min) Ejemplo Utiliza la serie de lluvia máxima de 10 minutos en pulg. en Chicago, Illinois , y calcula los valores máximos de lluvias de 10 min. con periodo de retorno 5 años. UILIZA factores de frecuencia, y supón una distribución de valores extremos de ipo I s x α π x u Para 5, el factor de frecuencia es K ln ln π x x + K s pulg

16 Cómo comprobamos que una serie de datos hidrológicos sigue una determinada distribución de probabilidad? Gráficas de probabilidad Los datos se representan en papel de probabilidad específico para cada distribución ó utilizando una escala que haga lineal la función de distribución: - ordenadas: valor de x - abscisas: P(X x), P(X x), ó y Posición de graficación Las precipitaciones máximas anuales (en un intervalo de tiempo t) se ordenan de mayor a menor. A cada valor se le asigna su rango (orden que ocupa en la serie ordenada) A cada valor de precipitación en la serie se le asigna una probabilidad de excedencia P( X > x), según la ecuación de Weibull m m rango P( X x ) n + 1 n no. de registros En papel de probabilidad (específico para cada distribución) representamos x vs. P(X x). El ajuste a una recta indica que los datos efectivamente siguen la distribución que proponemos. 16

17 Duración P ( X < x ) Datos: Intensidades máximas anuales en Madrid desde durante 1h Curvas IDF En general, la lluvia acumulada h durante un período t depende de la magnitud de t, ó duración del evento, i.e. h C t n 17

18 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum Histograma en la estación 1-Bee (X, USA) Prof. max (pulg.) 0.76 Int. máx. (pulg./h) 9.12 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min

19 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min

20 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min 60 min. 120 min Prof. max (pulg.) Int. máx. (pulg./h)

21 iempo Lluvia Lluvia (min) (pulg.) acum. 30 min 60 min. 120 min Máximas profundidades de lluvia o intensidades de precipitación que se registra en un intervalo de tiempo t de referencia (5, 30, 60 ó 120 min) Prof. max (pulg.) Int. máx. (pulg./h)

22 Curvas IDF En general, la lluvia acumulada h durante un período t depende de la magnitud de t, ó duración del evento, i.e. h C t n dh n 1 Cn i C n t i 1 n dt t c s i c t e ó i e + f t + f a m t C, n, m, c, e, f, s Coef. empíricos / i intensidad / t duración o tiempo de referencia / tiempo de retorno c i t e + f 22

23 10 años 10 años 23

24 Lluvias ( 10 años) con intensidades máximas en España [2, 5] t tiempo en horas Ejemplo de aplicación Calcular la intensidad máxima en 20 min. para Almería con períodos de retorno de 10, 5 y 50 años. i i i M i M M M 0.82 t ( t;10 años) (20 min;10 años) ( 20 min; 5 años) im (20 min;10 años) r l/s/ha l/s/ha ( 20 min; 50 años) im (20 min; 10 años) r l/s/ha l/s/ha l/s/ha 24

25 Ejemplo de cálculo de una curva IDF Una estación pluviométrica ha recogido registros de profundidad de lluvia en intervalos de 5-min durante 32 años. Las profundidades máximas de lluvia en intervalos t de 5, 10, 15, 20, 25 y 30 min han sido calculadas y ordenadas. Las valores máximos de profundidad (mm) para cada valor de t aparecen en la tabla siguiente. Calcula la curva IDF para 20 años de período de retorno. t (min) Rango Curvas IDF: método de la DGC i M im ( t; ) (1440 min; ) im (60 min; ) im (1440 min; ) ( t ) 0.1 Intensidad media máxima (mm/h) durante 24 h y un período de retorno. Intensidad media máxima (mm/h) para una duración t y un período de retorno. Parámetro que representa la relación de la intensidad horaria con la diaria del mismo período de retorno es independiente de, y variable en el espacio (ver mapa 1) t duración (min) del intervalo al que se refiere la intensidad. * El método fue propuesto por émez J.R. (1987). Cálculo hidro-meteorológico de caudales máximos en pequeñas cuencas naturales. Dirección General de Carreteras. MOPU. 25

26 Curvas IDF: método de la DGC i M im ( t; ) (1440 min; ) im (60 min; ) im (1440 min; ) ( t ) 0.1 Intensidad media máxima (mm/h) para una duración t y un período de retorno INCÓGNIA f [, t, I M (1440 min;) ] Análisis de datos locales de precipitación en 24 h (existe suficiente cobertura) Mapas de isolíneas de máxima precipitación en 24 h y distintos tiempos de retorno, que proporcionan las agencias estatales (DGC, Min. Agricultura, ) Mapa de isolíneas I M (60min;-) /I M (1440min;-) [3] 26

27 Ejemplo Calcular la intensidad de precipitación en 10 minutos, con un tiempo de retorno de 25 años para Gérgal (Almería). 25 años 27

28 Profundidad de precipitación promedio sobre un área Profundidad de precipitación promedio sobre un área (mi 2 ) (horas) F 1 exp 1/ 4 1/ 4 ( 1.1t ) + exp( 1.1t 0. A) d d 01 28

29 [2] Objetivos del tema Estudiar cómo analizamos y cuantificamos la variabilidad temporal de la lluvia Revisar los procesos por los cuales se transforma la lluvia en escorrentía superficial y establecer sus escalas de tiempo Diseñar un método que nos permita establecer el caudal de diseño en alcantarillas separativas de aguas blancas o unitarias, y la probabilidad de que éste sea excedido: el método racional Aplicar el método racional en el diseño de una cuenca ejemplo 29

30 Precipitación-Escorrentía i intensidad de lluvia A infiltración f Ec. conservación de masa d dt ρdv + ρv n da V c A c Volumen de control Q caudal 0 En estado estacionario y si ρ cte. V n da 0 0 Q + fa ia 0 A c Q ( i f ) A (1 f / i) ia CiA i e A Coeficiente de escorrentía Intensidad de lluvia efectiva iempo de concentración t c tiempo que transcurre desde el inicio de la lluvia hasta que se alcanza el estado estacionario (o de equilibrio), en que toda la cuenca contribuye al caudal de salida. Para t > t c, Q es constante 30

31 b x d dt t b Conservación de masa y x ( y b x) + Q( x + x) Q( x) i b x 0 y Q( x + dx) Q( x) + i t b dx e x 0 e y q + ie t x Volumen de control ρdv + ρv n da 0 dv + V n da V c A c d dt V c A c 0 qq/b Conservación de la cantidad de movimiento (simplificada) S f S 0 Ec. Manning (R h y) y q y + + αmy t x t x m 1 y ie x q y la ec. de continuidad queda m 1 x0 + αmy t x0 + α mi m 1 e 1 1/ 2 5/ 3 0 y S n 1 2 ó q αy 1/ α S0 ; m 5/3 n t m Si dx dt αmy m 1 y y 0 + i t i t Si la superficie está inicialmente seca e e m dy dt i e 31

32 Decimos que el tiempo de concentración ha transcurrido cuando la señal que arranca en x 0 0 llega a x L, i.e. L t c m 1 m 0 + αmie tc tc m 1 αie El t c para la ecuación de Manning n S L 1/ ie 0.6 L 1/ m El caudal de escorrentía que una cuenca plana rectangular genera en respuesta a una lluvia de intensidad constante i e es m α ( iet) q α ( i t ) e c m para t < t para t t c c Para una lluvia de intensidad i y duración D < t c q α ( i e D) 1 m max Para una lluvia de intensidad i y duración D t c q ( ) α i e t c 2 m max Pero, la intensidad máxima de lluvia i es una variable aleatoria y su valor depende de la duración D (a menor D, mayor es el valor de i). Es posible que q 1 max > q2 max? Recordad también que i x D profundidad de lluvia h, y ésta normalmente es una función creciente de la duración D! Por tanto, esperamos que q 1 max q2 max 32

33 Objetivos del tema Estudiar cómo analizamos y cuantificamos la variabilidad temporal de la lluvia Revisar los procesos por los cuales se transforma la lluvia en escorrentía superficial y establecer sus escalas de tiempo Diseñar un método que nos permita establecer el caudal de diseño en alcantarillas separativas de aguas blancas o unitarias, y la probabilidad de que éste sea excedido: el método racional Aplicar el método racional en el diseño de una cuenca ejemplo Método racional Q CiA K 3.6 Q caudal (m 3 /s) C coeficiente de escorrentía (adimensional) i intensidad de lluvia máxima (mm/h) para una duración igual al tiempo de concentración de la cuenca t c, y para un tiempo de retorno igual al exija la obra de alcantarillado A área de la cuenca de drenaje (km 2 ) K coeficiente corrector (de uniformidad) 33

34 Método racional Q CiA K 3.6 Q caudal (m 3 /s) C coeficiente de escorrentía (adimensional) i intensidad de lluvia máxima (mm/h) para una duración igual al tiempo de concentración de la cuenca t c, y para un tiempo de retorno igual al exija la obra de alcantarillado A área de la cuenca de drenaje (km 2 ) K coeficiente corrector (de uniformidad) Método racional Q CiA K 3.6 Q caudal (m 3 /s) C coeficiente de escorrentía (adimensional) i intensidad de lluvia máxima (mm/h) para una duración igual al tiempo de concentración de la cuenca t c, y para un tiempo de retorno igual al exija la obra de alcantarillado A área de la cuenca de drenaje (km 2 ) K coeficiente corrector (de uniformidad) 34

35 Método racional Q CiA K 3.6 Q caudal (m 3 /s) C coeficiente de escorrentía (adimensional) i intensidad de lluvia máxima (mm/h) para una duración igual al tiempo de concentración de la cuenca t c, y para un tiempo de retorno igual al exija la obra de alcantarillado A área de la cuenca de drenaje (km 2 ) K coeficiente corrector (de uniformidad) 1. iempo de retorno [5] Se determina en función del coste que pudieran ocasionar las inundaciones, multiplicado por el riesgo de inundación R ( 1 1 ) N R 1 / Emisarios y colectores principales 25 años Zonas de alto valor del suelo (zonas históricas, zonas comerciales en centros urbanos, etc) años Zonas de riqueza media del suelo (zona residencial habitual) años Zonas de riqueza baja del suelo (baja densidad demográfica, residencias aisladas, parques, ) 2 años 35

36 2. iempo de concentración Imbornal t t + t c t e tiempo de entrada t r tiempo de recorrido e r n L t e S La n t r V R a 1/ ie a 2/3 h La S 0.6 1/ 2 0a L longitud; S 0 pte; i e intensidad efectiva; n coef. Manning de la cuenca L a longitud; S 0a pte; R h radio hidráulico; n a coef. Manning de la conducción Ecuaciones de tiempo de entrada propuestas en la literatura [1] 36

37 Ecuaciones de tiempo de entrada propuestas en la literatura [1] [5, 6] 37

38 t e n S L 1/ ie 0.6 Método de émez (adoptado por la DCG) t e L 0.3 S 1/ L longitud (km) S 0 pendiente (m/m) Valores guías de tiempos de entrada [7] min. - zonas muy densas con imbornales muy próximos entre sí min. - zonas poco densas y con pendientes relativamente bajas min. - zonas residenciales con imbornales bastante espaciados * émez J.R. (1987). Cálculo hidrometeorológico de caudales máximos en pequeñas cuencas naturales. Dirección General de Carreteras. MOPU. 3. Coeficientes de escorrentía [4] 38

39 En alcantarillas que drenan varias sub-cuencas cada una con distinto coeficiente de escorrentía la fórmula racional se convierte en Q i m j 1 C j 3.6 A j K m núm. de subcuencas 4. Coeficiente corrector de uniformidad A través del factor K acomodamos en el método racional las variaciones temporales de un episodio de lluvia. K 1.2 K 1.25 c c + 14 Método de DGC Ferrer, Recomendaciones para el cálculo hidrométrico de avenidas. Centro de Estudios de Experimentación de Obras Públicas. Monografías del MOPU, 76 pp. 39

40 Objetivos del tema Estudiar cómo analizamos y cuantificamos la variabilidad temporal de la lluvia Revisar los procesos por los cuales se transforma la lluvia en escorrentía superficial y establecer sus escalas de tiempo Diseñar un método que nos permita establecer el caudal de diseño en alcantarillas separativas de aguas blancas o unitarias, y la probabilidad de que éste sea excedido: el método racional Aplicar el método racional en el diseño de una cuenca ejemplo Ejemplo Cuenca Área C e (ha) (min) ramo L S0 (m) AB EB BC CD Almería, 10 años i M t ( t;10años)