Unidad 11 Formas de contar. Números para contar

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Unidad 11 Formas de contar. Números para contar"

Margarita Cruz Romero
hace 6 años
Vistas:

Unidad 11 Formas de contar. Números para contar PÁGINA 59 SOLUCIONES 1. Utilizando una bandera, podemos hacer 5 señales diferentes. Utilizando dos banderas, podemos hacer 5 4 = 0 señales distintas.

1 Unidad 11 Formas de contar. Números para contar PÁGINA 59 SOLUCIONES 1. Utilizando una bandera, podemos hacer 5 señales diferentes. Utilizando dos banderas, podemos hacer 5 4 = 0 señales distintas. De igual forma, para tres, cuatro y cinco banderas se tendrán: = 60, = 10 y = 60, = 10 señales distintas, respectivamente. En total, se podrán hacer: = 35 señales distintas.. Los números de ocho cifras son de la forma ABCDDCBA. La cifra A puede ser ocupada por cualquier cifra que no sea cero. Las cifras BCD pueden ser cualesquiera. Por el principio de multiplicación, se pueden formar = 9000 números capicúas de ocho cifras. 3. Las seis personas en las seis butacas pueden sentarse de = 70 maneras diferentes. Si los padres se sientan en los extremos, pueden hacerlo de formas y dejan cuatro butacas para cuatro personas que las pueden ocupar de 4 3 1= 4 formas distintas. Por el principio de multiplicación, habrá 4 = 48 formas distintas de sentarse si los padres lo hacen en los extremos. Si los padres no se sientan en los extremos, deben hacerlo en las cuatro butacas centrales. En estas butacas pueden hacerlo de 4 3 = 1 formas. En cada una de estas dejan cuatro butacas que son ocupadas por los hijos de 4 3 1= 4 formas. En total, podrán sentarse en esta nueva disposición de 1 4 = 88 formas distintas. 1

2 PÁGINA 71 SOLUCIONES 1. En el rectángulo del dibujo, de orden 5 x 4, la diagonal corta en 8 cuadrados pequeños. Podrías enunciar una ley que determine el número de cuadrados que cortará la diagonal de un rectángulo de orden a x b? Experimentamos con los casos particulares más sencillos y ordenamos los resultados. Llamando a (altura) y b (base) a las dimensiones del rectángulo, podemos construir la tabla En el elemento en el que se cruzan la fila a con la columna b aparece el número de cuadrados pequeños atravesados por la diagonal, para un rectángulo de dimensión a x b. Por ejemplo, la fila 4 y la columna 3 se cruzan en el número 6, luego, en un rectángulo de orden 4 x 3 la diagonal atraviesa 6 cuadrados. Si analizamos los valores de la tabla anterior podemos plantear la siguiente conjetura: El número de cuadrados pequeños que atraviesa la diagonal de un rectángulo de orden a x b es igual a: a + b-1, si a y b son primos entre si; si los números a y b no son primos entre sí, entonces el número es: a + b da, siendo d el máximo común divisor de m y n.

3 . El producto de tres números naturales consecutivos no puede ser un cubo perfecto ya que si lo 3 fuese se tendría: k = n( n + 1)( n + ) Por otra parte son válidas las siguientes desigualdades: n < n( n + 1)( n + ) < ( n + 1) 3 3 La desigualdad primera 3 n n n n < ( + 1)( + ) 3 3 n n 3n n < + +, es inmediata. Para probar la segunda n( n 1)( n ) ( n 1) < +, basta comprobar que: n( n + ) < ( n + 1) Pero esto también es inmediato porque: n( n + ) = n + n < n + n + 1 = ( n + 1) Luego el número n( n + 1)( n + ) no puede ser un cubo perfecto ya que se encuentra comprendido entre dos cubos perfectos consecutivos. 3

4 PÁGINA 76 4

5 SOLUCIONES 1. Asociando a cada extracción una pareja de números que se correspondan con los números obtenidos en las bolas y llamando A, B y C a los conjuntos de los resultados que dan nueve, diez u once, tenemos: Utilizando el principio de adición, las formas de obtener nueve, diez u once es: = 6. Realizando un recuento exhaustivo, se obtiene: Las puntuaciones que sumadas permiten obtener siete son: 511, , 3, y son 15. Las puntuaciones que sumadas dan once puntos son: 651, 64, 633, 55, 543, 444 y son Teniendo en cuenta que existen 7 letras y 10 dígitos, pueden formarse como combinación de todas ellas: = placas distintas. 4. Serán números de 4 cifras que pueden empezar por 5, 6, 7, 8, 9. a) Si las cifras son diferentes hay V , 3 = b) Si las cifras se pueden repetir hay 5 V 10, 3 = 5000 R 5. VR 0 3,0 = 3 formas distintas. 6. Podemos formar VR = 64 palabras diferentes. 6,6 = 7. Podemos formar V 60 los números de tres cifras distintas. Serán múltiplos de 5 los que 5,3 = terminen en 5, es decir V 1números. 4, = 8. Podemos formar V 10 banderas diferentes. 7,3 = 9. 5 ratones pueden ser perseguidos por 5 gatos de P = 5! 10 formas distintas. Si el gato 5 = 4 = 4! = 4 3 1= pequeño persigue al ratón pequeño son P 4 formas distintas. 10. Puede colocarlo de 1! formas distintas suponiendo que los coches sean diferentes entre sí. 5

6 3,,3 8! 11. Se los pueden repartir de: P 8 = = 560 formas diferentes 3!! 3! 3,,1 6! 1. Se pueden pintar: P6 = = 60 banderines diferentes. 3!! 1! Podemos hacerlo de C1,3 = = 0 3 formas diferentes. 14. Si las tomamos de 1 en 1 podemos hacer C 8 pesadas diferentes; de en : C 8 pesadas diferentes; de 3 en 3: C 56 ; de 4 en 4: C 70 ; de 5 en 5: C 56 ; de 6 8, = 8,3 = en 6: C 8,6 = 8 ; de 7 en 7: C8, 7 y de 8 en 8: C 8,8 = 1. En total: = 55 pesadas diferentes. 15. Podemos formar C 84 triángulos diferentes. 9.3 = 8,1 = 8,4 = 8,1 = 16. En cada caso queda: Puede vender C 66 helados diferentes de sabores. 1, = Puede vender C + C + C = helados diferentes de 1, o 3 sabores. 1,1 1, 1,3 = 6

7 PÁGINA 77 7

8 SOLUCIONES 17. Podemos formar C 5 equipos distintos. Cuando uno es el capitán y debe jugar siempre, 10,5 = entonces podemos formar C 16 equipos distintos. 9,4 = 18. En cada caso: a) n ( n 1) + ( n )( n 3) + ( n 4)( n 5) = 96 n 5n 4 = 0 n = 8 b) 16 + n ( n 1) = ( n + 1) n n = 8 x ( x 1) c) x ( x 1) = x x 380 = 0 x = 0 d) x! = 6 ( x 1)! x = 6 e) Por la segunda propiedad de los números combinatorios podemos escribir la igualdad: n n 1= 9 n = f) Por la misma propiedad del apartado anterior: = 3n 1 n = Queda: a) Podemos formar = 168 números. b) Podemos formar = 56 números. c) Existen 4 5 = 0 números. 0. Queda: a) Puede haber P = 8! 4030 clasificaciones diferentes. 8 = b) Se pueden repartir de V = maneras diferentes. 8,3 = 5,3 8! c) Existen P8 = = 56 clasificaciones diferentes. 5! 3! d) Puede haber P P P 1440 clasificaciones diferentes. 5 3 = 8

9 1. Queda: a) Tiene C 45 formas distintas de contestar. 10,8 = b) En este caso C 1 formas distintas. 7,5 = c) C C 6 formas distintas. 4, 6,6 = x ( x 1). Llamando x a los alumnos: C x, = 378 = 378 x = 8 Hay 8 alumnos en clase. 3. La solución es:,3,.1,1,1,1 11 = Podemos formar P palabras distintas. 1,3,.1,1,1,1 10 = Empiezan por consonante las que empiezan por M que son P , por T,3,1.1,1,1,1 10 =,3,.1,1,1 10 = que son P , por C que son P y por S que son P,3,.1,1,1 10 = En total empiezan por consonante palabras. Delante de MATEMATICAS están: 9

10 La siguiente ya es MATEMATICAS. Por tanto ocupa el lugar: = El lugar será el Queda: a) Se pueden formar C grupos distintos 30,5 = b) Si han de entrar chicos y 3 chicas se pueden formar: C C , 18,3 = 5. De P 9 = formas distintas suponiendo que las botellas son diferentes. Si son iguales 4,3, son P 9 = 160 formas distintas. 10

11 PÁGINA 78 11

12 SOLUCIONES 6. Hay 333 múltiplos de 3; 14 múltiplos de 7; 90 múltiplos de 11; 47 múltiplos de 3 y 7; 30 múltiplos de 3 y 11; 1 múltiplos de 7 y 11; 4 múltiplos de 3, 7 y 11. Por tanto utilizando diagramas de Venn obtenemos: Hay 480 números enteros del 1 al que son múltiplos de 3, 7, 11, luego no son múltiplos Se pueden formar VR 56 bytes distintos. Tendrán 6 ceros y unos: P 8 bytes distintos. 8. En cada caso:,8 = 6, 8 = a) Se pueden hacer P 1 =1! fotos distintas. b) Se pueden hacer P P P P fotos distintas = c) Se pueden hacer P P fotos distintas. 5 7 = 9. Podemos contestar de VR = 4096 formas distintas. 1,1 = 30. De V 56 formas distintas. 8, = 31. Tienen alguna cifra repetida 5 10,5 = VR números de seis cifras. Tienen cifras distintas y terminan y empiezan en cifra impar: 0 V8, 4 = números. 1

13 3. Podemos distinguir que: Veamos 1 sola cara y hay 6 formas distintas. Si vemos caras hay 1 formas distintas que son: ( 1,)(1,3)(1,4)(1,5)(,3)(,4)(,6)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6 ) De 8 formas distintas si vemos 3 caras que son: ( 6,,3)(6,, 4)(6,5,3)(5,1,3)(5,1, 4)(4,1,)(3,,1)(6,5, 4) Luego en total hay 6 formas distintas de ver el dado. 33. queda en cada caso: a) Podemos formar C 10 productos diferentes. 5,3 = b) Serán negativos los productos en los que entre un numero negativo, es decir: C C 6 c) Serán positivos si entran positivos y negativos C C 3 productos distintos. 3,, =,1 3, = 34. Se pueden formar: C C C comités diferentes. 0,3 1, 18,4 = 35. Llamando x al número de casas de la urbanización obtenemos: La urbanización tiene 18 casas. 36. Podemos hacer C apuestas diferentes. 49,6 = 13

Documentos relacionados

Objetivo: Repasar los conceptos de análisis Combinatorio

Objetivo: Repasar los conceptos de análisis Combinatorio 1. Con las letras de la palabra UNIVERSO se forman palabras de 6 letras distintas. a) Cuántas son? b) Cuántas empiezan con E? c) Cuántas tienen