SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 Pág. 1 Página 36 PRACTICA 1 Obtén estos resultados por dos métodos: 1. Primero quita paréntesis y después opera. 2. Opera dentro de los paréntesis antes de suprimirlos. a) (4 6) 7 ( 8 + 3) b) ( ) + 3 (5 3 2) 1. a) = = 24 b) = a) ( 2) 7 ( 5) = = 24 b) ( 1) = 12 3 = 15 2 Calcula mentalmente: a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y b) Los cuadrados de los números del 1 al 12. c) Los cubos de los números del 1 al 5. d) Las potencias de base 2 hasta a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente. b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 c) 1, 8, 27, 64, 125 d) 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16, 2 5 = 32, 2 6 = 64, 2 7 = 128, 2 8 = 256, 2 9 = 512, 2 10 = Ordena estos números de menor a mayor: 17, 2, 1, 5, 4, < 5 < 2 < 0 < 1 < 4 4 Calcula: a) ( 2) 5 = 32 b) ( 2) 8 = 256 c) ( 1) 10 = 1 d) ( 1) 23 = 1 5 Escribe en forma de potencia buscando la base adecuada: a) 8 = 2 3 b) 27 = 3 3 c) 121 = 11 2 d) 125 = 5 3 e) 128 = 2 7 f ) 169 = 13 2 g) 343 = 7 3 h) 625 = 5 4

2 Pág. 2 6 Calcula mentalmente el mínimo común múltiplo de estos números: a) m.c.m. (4, 3 y 5) = 60 b) m.c.m. (4, 6 y 12) = 12 c) m.c.m. (8 y 12) = 24 d) m.c.m. (9 y 15) = 45 e) m.c.m. (6, 9 y 4) = 36 f ) m.c.m. (12, 18 y 6) = 36 7 Halla el máximo común divisor de: a) M.C.D. (40 y 60) = 20 b) M.C.D. (30, 45 y 90) = 15 c) M.C.D. (25 y 36) = 1 d) M.C.D. (12, 18 y 24) = 6 8 Cuáles de estos pares de números son primos entre sí? a) 12 y 21 b) 15 y 22 c) 100 y 101 d) 111 y 121 a) 12 y 21 no son primos entre sí. b) 15 y 22 son primos entre sí. c) 100 y 101 son primos entre sí. d) 111 y 121 son primos entre sí. 9 Comprueba si son primos los siguientes números: a) 323 = No es primo. b) 119 = 7 17 No es primo. c) 193 Sí es primo. 10 Busca mentalmente, en cada caso, el número n que verifica la igualdad: a) n + 17 = 22 n = 5 b) n + 8 = 3 n = 5 c) n 18 = 3 n = 21 d) 3n = 18 n = 6 e) n ( 5) = 20 n = 4 f) n 7 = 2 n = 14 g) 7n = 21 n = 3 h) n 3 = 8 n = 2 11 Simplifica: a) = 2 2 = 4 b) = 3 2 = 9 2 c) = = 4 27 = Calcula: a) ( 4) 2 = 16 b) 4 2 = 16 c) 4 3 = 64 d) ( 4) 3 = 64

3 Pág RESUELTO EN EL LIBRO 14 Extrae factor común: a) 8m 28m + 20m = 4m ( ) b) 55b 60b + 15b = 5b( ) c) 5a 2 3a + 2a 3 = a(5a 3 + 2a 2 ) PIENSA Y RESUELVE 15 Calcula la diferencia de altura entre el Everest, que está a m, y la Fosa de las Marianas, que está a m. La distancia será la diferencia entre ambas alturas: ( ) = m 16 La temperatura de un congelador desciende 2 grados cada 5 minutos hasta llegar a 20 C. Cuánto tardará en llegar a 12 C si, cuando lo enchufamos, la temperatura es de 18 C? De 18 C a 12 C hay 30 C. Si cada 5 minutos desciende 2 C, entonces tardará: = 75 minutos (1 hora 15 minutos) Página Un caracol está en el fondo de un pozo de 10 m. Para salir del pozo, asciende 3 m cada día, pero por la noche desciende 2 m. Cuántos días tardará en llegar al borde del pozo? Ojo! La respuesta no es 10 días. Cada día sube 3 m y resbala 2 m. Asciende, por tanto, 1 m cada día. El último asciende 3 m, pero no resbala porque ya ha llegado al borde. Tarda, por lo tanto: 18 RESUELTO EN EL LIBRO 7 días 7 m 1 día 3 m 8 días 19 Una máquina, trabajando 8 horas diarias, tarda 3 días en fabricar botellas. En la empresa tienen un pedido urgente de botellas y ponen la máquina a trabajar 10 horas diarias. Cuántos días tardarán en fabricar el pedido?

4 Pág. 4 Idea clave: Cuántas botellas fabrica la máquina en una hora? En 8 3 = 24h hacen botellas. Por lo tanto, en una hora hacen : 24 = 250 botellas. Así, harán botellas en : 250 = 60h Como en un día la máquina trabaja 10h, entonces 60 : 10 = 6 días se tardará en fabricar el pedido de botellas. 20 Tres personas, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en 15 días. Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo cinco personas en jornadas de 9 horas? En total trabajan = 360 h Cinco personas en jornadas de 9 h son 45 h diarias de trabajo. Por lo tanto, 360 : 45 = 8 días tardarán en hacer el mismo trabajo. 21 RESUELTO EN EL LIBRO 22 En un concurso de radio se reparten 180 entre dos concursantes que han acertado 32 y 28 preguntas, respectivamente. Cómo se debe repartir el dinero? En total se reparten 180 entre = 60 preguntas. Luego por cada pregunta se dan 180 : 60 = 3. Así, se dan 3 32 = 96 al primer concursante y 3 28 = 84 al segundo concursante. 23 Para recaudar fondos para UNICEF, tres amigas han reunido 156 por la venta de tarjetas. Si Elena ha vendido 3 paquetes, María 5 paquetes y Cristina 4 paquetes, cuánto ha recaudado cada una? Se han recaudado 156 por vender = 12 paquetes. Luego por cada paquete se recaudan 156 : 12 = 13. Entonces: 13 3 = 39 recauda Elena = 65 recauda María = 52 recauda Cristina.

5 Pág En una parada de autobuses coinciden dos líneas, A y B. Los vehículos de la línea A pasan cada 15 minutos, y los de B, cada 20 minutos. Son las ocho y veinte de la mañana y hay un autobús de cada línea en la parada. A qué hora volverán a coincidir? m.c.m. (15, 20) = 60 Luego vuelven a coincidir al cabo de 60 minutos, es decir, a las nueve y veinte de la mañana. 25 Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada km y le hace una revisión general cada km. Cada cuántos kilómetros coinciden las dos operaciones? m.c.m. (3 500, 8 000) = Las dos operaciones coinciden cada km. 26 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro tipo. Quieren envasar el aceite con el menor número posible de garrafas iguales. Qué capacidad tendrá cada garrafa? M.C.D. (420, 225) = 15. Luego cada garrafa ha de tener 15 litros. Página Se desea cubrir con baldosas cuadradas el suelo de una habitación que mide 330 cm de ancho por 390 cm de largo. Se quiere realizar el trabajo utilizando baldosas lo más grandes que sea posible y sin cortar ninguna. Cuál debe ser el tamaño de las baldosas? M.C.D. (330, 390) = 30. Luego las baldosas son de El número de empleados de una empresa está comprendido entre 150 y 200. Con ellos se pueden formar equipos de 15, de 12 o de 20 personas, sin que sobre o falte ninguno en cada caso. Cuántos empleados son? m.c.m. (15, 12, 20) = 60 Luego el número de empleados es múltiplo de 60, y está entre 150 y 200. Vemos que 60 3 = 180. Por lo tanto, hay 180 empleados. 29 Eduardo observa que al contar sus discos de 3 en 3, de 4 en 4 o de 5 en 5, siempre le sobran 2. Calcula cuántos discos tiene Eduardo si sabes que son menos de 75. m.c.m. (3, 4, 5) = 60 Como sobran 2 discos cada vez y son menos de 75, Eduardo tiene 62 discos.

6 1 Pág Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cuadrado para que se verifique la igualdad: a) = b) = 8970 c) = Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estas igualdades sean verdaderas: a) = 318 b) (25 16) 45 5 = Con los dígitos 3, 4, 5 y 6, forma dos números de dos cifras de modo que al multiplicarlos obtengas el mayor producto posible. Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que buscamos, y nos quedan dos opciones: = = El producto mayor es Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que indica la flecha: a) a) (6 + 3) = 53 b) b) (5 + 8) = 45 c) c) (5 1) = 19 d) d) (7 + 3) (5 1) = 40 e) e) (7 + 3) 5 1 = 49 f ) 18 6 : 2 6 f ) (18 6) : 2 = 6 34 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, cómo podrías conseguir que apareciese en la pantalla cada uno de estos números? a) 180 = 5 * 36 b) 108 = 3 * 36 c) = 135 * 8 d) = 25 * Si en la pantalla de tu calculadora está el número , qué operación harías para transformar el 3 en un 0? Y para que en lugar del 6 hubiera un 8? Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300: = Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000: =

7 Pág. 7 REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 36 Si el producto de dos números a b es igual a 48, di cuál es el valor de: a) 2a 3b = 6 48 = 288 b) (2ab) 2 = (2 48) 2 = 96 2 = c) a 2 b 2 = (a b) 2 = 48 2 = Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades: 3 < 8; 5 < 9; 8 < 1. Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo? 3 < 8. Multiplicamos por 2: 3 2 < < 16 5 < 9. Multiplicamos por 3: 5 3 < < 27 8 < 1. Multiplicamos por 4: 8 4 < < 4 Con los números negativos no ocurre lo mismo. Por ejemplo, en la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos por 2 nos queda 2 3 < < 16, que no es cierto. 38 Qué dirías de un número que solo tiene dos divisores? Cuáles serían? Un número con solo dos divisores es un número primo. Los divisores serían él mismo y la unidad. 39 Busca dos números cuyo máximo común divisor sea 8 y que sumen 56. Los números son 8 y 48. M.C.D. (8, 48) = 8 Se cumplen las dos condiciones = Un número n tiene como factores primos 2, 3 y 5. Los de otro número m son 2, 3 y 7. Calcula m y n sabiendo que su máximo común divisor es 36. Hay solo una solución? 36 = Luego m y n son dos números que han de tener 2 2 y 3 2 como factores. Por lo tanto, serían: m = = 180 n = = 252 Además, cualquier otro par de números que además de estos tuvieran otros factores distintos de 2 y 3 a la vez, también valdría, luego hay infinitas soluciones. 41 Si dos números son múltiplos de 7, razona si también es múltiplo de 7: a) Su suma. b) Su diferencia. c) Su producto. d) Su cociente.

8 Pág. 8 a) Sí lo es, porque de esa suma se podría sacar el 7 factor común y, así, obtendremos un número multiplicado por 7. b) Sí lo es. Razonamiento análogo al apartado a). c) Sí lo es. Tendrá como factor 7 2 es múltiplo de 7. d) No tiene por qué. Por ejemplo: 21 = 3 3 no es múltiplo de = sí es múltiplo de 7 7 El cociente será múltiplo de 7 si el dividendo tiene, al menos, una potencia de 7 con exponente una unidad más que el divisor. Página 39 PROFUNDIZA 42 Cuántos múltiplos de 5 hay entre 100 y 500, incluidos estos dos? Entre 100 y 195 hay 20 múltiplos de 5. Lo mismo entre 200 y 295, 300 y 395, 400 y 495. Aquí hay 80 múltiplos de 5 en total. Si, además, contamos el 500, tendremos 81 múltiplos de 5 entre 100 y 500, ambos incluidos. 43 a) Comprueba que la suma de tres números consecutivos es siempre múltiplo de = = =... b) Demuestra que esa propiedad se cumple con tres números consecutivos cualesquiera. n + (n +...) + ( ) =... a) Cada uno de los sumandos es: n, n + 1, n + 2. Al sumarlos nos da: n + n n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1), que es múltiplo de 3. b) Está ya hecho en el apartado a). 44 Demuestra que la suma de dos números impares consecutivos es siempre múltiplo de 4. Los números impares consecutivos son 2n + 1 y 2n + 3. Al sumarlos, queda: 2n n + 3 = 4nn + 4 = 4(n + 1), que es múltiplo de 4.

9 Pág Cuántos divisores tiene el número 120? Escríbelos todos. Los divisores son todos los productos de los factores primos de 120: 120 = En total, RESUELTO EN EL LIBRO 47 Resuelve las siguientes ecuaciones en las que x es una clase residual módulo 6. a) (3) + x = (1) b) x + (5) = (0) c) (4) = x + (5) d) (5) x = (2) e) (3) x = (2) f) (3) x = (0) a) x = (4), pues (3) + (4) = (1) b) x = (1), pues (1) + (5) = (0) c) x = (5), pues (5) + (5) = (4) d) x = (4), pues (5) (4) = (2) e) No tiene solución. f) x = (0), x = (2), x = (4) (tres soluciones) 48 Haz la tabla de la suma y de la multiplicación para clases residuales módulo 5. Mirando dicha tabla, resuelve estas ecuaciones: a) (2) + x = (1) b) (3) x = (2) c) (4) x = (1) d) (4) x = (0) + (0) (1) (2) (3) (4) (0) (0) (1) (2) (3) (4) (1) (1) (2) (3) (4) (0) (2) (2) (3) (4) (0) (1) (3) (3) (4) (0) (1) (2) (4) (4) (0) (1) (2) (3) (0) (1) (2) (3) (4) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (2) (3) (4) (2) (0) (2) (4) (1) (3) (3) (0) (3) (1) (4) (2) (4) (0) (4) (3) (2) (1) a) x = (4), pues (2) + (4) = (1) b) x = (4), pues (3) (4) = (2) c) x = (4), pues (4) (4) = (1) d) x = (0), pues (4) (0) = (0)

10 Pág a) Haz las tablas de la suma y de la multiplicación de clases residuales módulo 4. b) Observando las tablas anteriores, realiza las siguientes operaciones: I) [(2) + (3)] (3) II) [(3) + (1)] (2) (3) III) [(2) (3) + (1)] (2) IV) [(2) + (1)] [(3) + (3)] c) Resuelve las ecuaciones: I) (2) x =(0) II) (2) x =(3) III) (3) x +(1) = (2) a) + (0) (1) (2) (3) (0) (0) (1) (2) (3) (1) (1) (2) (3) (0) (2) (2) (3) (0) (1) (3) (3) (0) (1) (2) (0) (1) (2) (3) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (2) (3) (2) (0) (2) (0) (2) (3) (0) (3) (2) (1) b) I) (3) II) (0) III) (2) IV) (2) c) I) x = (0), x = (2) II) No tiene solución. III) (3) x = (1), porque (1) + (1) = (2) Si (3) x = (1), entonces x = (3) COMPROBACIÓN: (3) (3) + (1) = (1) + (1) = (2) 50 a) Haz las tablas de la suma y de la multiplicación de clases residuales módulo 7. b) Observando las tablas anteriores, realiza las siguientes operaciones: I) [(3) + (4) ] (2) II) [(3) + (5) (2)] (4) III) [(1) + (2)] (3) (4) IV) (4) + [(5) (4)] (3) c) Resuelve las ecuaciones: I) [(3) x +] (2) = (1) II) (2)[x +] + (5) = (3) a) + (0) (1) (2) (3) (4) (0) (0) (1) (2) (3) (4) (1) (1) (2) (3) (4) (5) (2) (2) (3) (4) (5) (3) (3) (4) (5) (0) (4) (4) (5) (0) (1) (5) (5) (0) (1) (2) (0) (1) (2) (3) (0) (1) (2) (3) (4) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (2) (3) (4) (2) (0) (2) (4) (1) (3) (0) (3) (2) (5) (4) (0) (4) (1) (5) (2) (5) (5) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (0) (5) (3) (1) (4) (2) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (0) (5) (4) (3) (2) (1) (5) (0) (5) (3) (1) (0) (5) (4) (3)

11 Pág. 11 b) I) (5) II) (3) III) (1) IV) (0) c) I) (3) x + = (4), pues (4) (2) = (1) (3) x = (5), pues (5) + = (4) x = (4), pues (3) (4) = (5) Solución: x = (4) II) (3) [x + ] = (5), pues (5) + (5) = (3) x + =, pues (2) = (5) x = (0), pues (0) + = Solución: x = (0)