CAPÍTULO 1 CIENCIA E INGENIERÍA DE LOS MATERIALES CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES

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1 CIENCIA E INGENIERÍA DE LOS MATERIALES Es un campo interdisciplinario que se encarga de crear nuevos materiales y mejorar los ya conocidos mediante el desarrollo de un conocimiento más profundo entre microestructura, composición, síntesis y procesamiento. CAPÍTULO 1 CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES METALES Caracterizados por ser buenos conductores de calor y la electricidad, poseen alta densidad y son sólidos a temperaturas normales (excepto el mercurio) sus sales forman iones electropositivos (cationes) en disolución. Ejemplo: Au, Ag, Al, Ti, Fe, Na, etc. 1

2 CERÁMICOS Son materiales duros, frágiles, con alto punto de fusión, baja conductividad eléctrica, resistencia a la compresión y buena estabilidad química. POLÍMEROS Son macromoléculas (generalmente orgánicas) formadas por la unión de moléculas más pequeñas llamadas monómeros. Estos tienen gran aplicación en toda la industria. Ejemplos: Polietileno que es usado para el empacado de alimentos. 2

3 Epóxico que es usado para encapsular y empacar diversos materiales y alimentos. Fenólicos que son usados como adhesivos. SEMICONDUCTORES Son materiales que tienen propiedades de materiales conductores y no conductores, estos son muy usados en la industria eléctrica para crear componentes de aparatos que todos usamos diariamente. Ejemplo: Panel fotovoltaico usado como una alternativa a energías más limpias. 3

4 COMPUESTOS Es la combinan de dos o más de los materiales anteriores, la mezcla de los materiales se usa para crear un compuesto con mejores propiedades físicas o químicas que las propiedades que ofrecen los materiales por separado. Ejemplo: La fibra de carbón. Es un ejemplo del siglo XXI de los materiales compuestos inicialmente fue usada en la tecnología espacial, pero después su costo bajó y fue usado en casi todos los campos de la ciencia. RELACIÓN, ESTRUCTURA, PROPIEDADES Y PROCESAMIENTO PROPIEDADES Puede ser definido los materiales en dos categorías, mecánicas y físicas. A. PROPIEDADES MECÁNICAS. Describe la forma en que los materiales responden a una fuerza aplicada, incluye resistencia, rigidez, a cargas repentinas (impacto), a cargas cíclicas (fatiga), a altas temperaturas (termofluencia) de fluidos o sujeto a condiciones abrasivas (desgaste). B. PROPIEDADES FÍSICAS. Incluye contra miento eléctrico, magnético, óptico, térmico, elástico y químico. 4

5 Propiedades De Los Materiales Mecánicas Físicas Resistencia Rigidez Fatiga Termo fluencia Desgaste Eléctrico Magnético Óptico Térmico Elástico Químico COMPOSICIÓN Indica la composición química de un material. ESTRUCTURA Significa una descripción del arreglo atómico. SÍNTESIS Indica la manera de fabricar los materiales a partir de elementos naturales o hechos por el hombre. 5

6 PROCESAMIENTO Modo en que se conforman los materiales componentes útiles y como pueden causar cambios en las propiedades de los distintos materiales. ALEACIÓN Material metálico que se obtiene mediante combinaciones químicas de distintos elementos, como el acero se hace con el hierro y carbono, comúnmente las aleaciones tienen mejores propiedades que los metales puros. CERÁMICOS Grupos de materiales cristalinos caracterizados por su buena resistencia a la compresión y temperaturas de fusión altas. Tienen buenas propiedades de aislamiento eléctrico y térmico (regularmente son formados por óxidos metálicos y no metálicos). CIENCIA DE LOS MATERIALES Campo de la ciencia que se ocupa de los estudios de las relaciones entre estructura interna o microestructura, la síntesis, el procesamiento de los materiales y las propiedades de este. DENSIDAD Es la magnitud que se expresa de la relación entre la masa y el volumen de un cuerpo. ESTRUCTURA Descripción de los arreglos de los átomos o de los iones en un material. La estructura de los materiales tiene una influencia profunda sobre muchas de sus propiedades aunque no cambien su comisión química. ESTRUCTURA CRISTALINA Arreglo de los átomos en un material cristalino. 6

7 FALLA POR FATIGA Colapso de un material (ruptura) debido a la carga y descarga repetida. GRANOS Son los cristales de un material policristalino. LIMITE DE GRANO Es una región entre los granos de un material policristalino. 7

8 MATERIAL CRISTALINO Material formado por uno o muchos cristales, en cada cristal los átomos o los iones tienen un arreglo periódico en gran escala. MATERIAL INTELIGENTE Es el material que puede sentir un estimulo externo o un cambio de temperatura, la aplicación de un esfuerzo, un cambio de humedad o de ambiente químico y responde a él. MATERIAL COMPUESTO O COMPOSITO. Es un grupo de materiales contenidos con mezclas metálicas, cerámicas o de polímeros de tal forma que se obtenga transformaciones no frecuentes como por ejemplo: plásticos reforzados con fibra de vidrio y fibra de carbono. METAL Material que tiene enlace metálico, buena ductilidad, resistencia y buena conductividad eléctrica. 8

9 MONOCRISTAL Elemento que tienen material cristalino formado por un cristal que no tiene límites de grano. PLÁSTICO Grupo de materiales que normalmente se obtienen uniendo moléculas orgánicas para formar cadenas o redes gigantes que se caracterizan por tener bajo punto de fusión y nula conductividad eléctrica. PROPIEDADES FÍSICAS Las que describen características como calor, conductividad eléctrica y térmica, magnetismo y el comportamiento óptico. PROPIEDADES MECÁNICAS Propiedades de un material como la resistencia que describe tanto la resistencia de material a las fuerzas aplicadas, incluyendo fuerzas de tensión, compresión, de impacto, de fatiga, y las fuerzas aplicadas a altas y bajas temperaturas. RELACIÓN DE RESISTENCIA-PESO Es la resistencia de un material dividido entre su densidad. Los materiales con gran relación de resistencia-peso son fuertes y ligeros. 9

10 Ejemplo: el acero tiene mayor resistencia que el hormigón y es más ligero. Su relación resistencia, peso es mayor que la del hormigón y puede resistir mayores compresiones y tracciones. SEMICONDUCTORES Grupo de materiales cuya conductividad eléctrica es intermedio entre los materiales metálicos y los cerámicos. El semiconductor es una sustancia que se comporta como conductor o como aislante dependiendo de la temperatura del ambiente en el que se encuentre. POLÍMEROS TERMOFIJOS Grupo especial de polímeros que al calentarse se descompone en vez de fundirse, son frágiles debido a que tienen una estructura de red tridimensional rígida, ejemplo: el poliuretano. Existen poliuretanos que son elastómeros, adhesivos y selladores de alto rendimiento ejemplo: pinturas, fibras, etc. 10

11 TERMOPLÁSTICOS Es un grupo especial de polímeros en los cuales las cadenas moleculares están enredadas pero no interconectadas, se funden con facilidad y se moldea en formas útiles. Los polímeros termoplásticos difieren de los polímeros termoestables en que después de calentarse y moldearse pueden calentarse y formar otros objetos, mientas que en el caso de los termoestables o termoduros, después de enfriarse la forma no cambia. VIDRIO Materiales amorfos derivados el estado fundido en general, pero no siempre son a base de silicio. El vidrio se obtiene por fusión a unos 1500º C de arena fe sílice (SiO2), carbonato de sodio (Na2CO3) y caliza (Ca2CO3). 11

12 VIDRIO CERÁMICO Clase especial de materiales que se obtiene moldeando un vidrio y tratando con calor para formar cristales pequeños. Ejemplo: lozas, platos y tazas. CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES Los materiales funcionales se clasifican en 8 categorías: AEROESPACIALES Se utilizan materiales compuestos. Ejemplo: Carbón-carbón, silicio, aleaciones de aluminio, súper aleaciones. 12

13 BIOMÉDICOS Aleaciones de titanio, aceros inoxidables, aleaciones de memoria, de forma y plásticos. ELECTRÓNICOS Silicio, galio, germanio, aluminio, cobre, polímeros y conectores. TECNOLOGÍA DE ENERGÍA Y MEDIO AMBIENTE Óxido de uranio, cadmio, oxido de zirconio. 13

14 MAGNÉTICOS Hierro, hierro-silicio, níquel-zinc, ferrita de manganeso y zinc y óxidos de hierro gama. ÓPTICOS Sílice, galio, arsénico, vidrios, alúmina e itrio. MATERIALES INTELIGENTES Aleaciones de níquel, titanio con memoria de forma, geles, polímeros, aleaciones de cobre, aluminio y níquel. ESTRUCTURALES Aceros, aleaciones de aluminio, concreto, plásticos reforzados con fibra de vidrio y madera. 14

15 CAPÍTULO 2 ESTRUCTURA ATÓMICA MACROESTRUCTURA Son estructuras con un tamaño mayor que 100 ηm. MICROESTRUCTURA Son las estructuras desde un tamaño entre ηm. NANOESTRUCTURA Son las que tienen un tamaño de 1 ηm. ARREGLOS ATÓMICOS DE LARGO Y CORTO ALCANCE. AMORFOS Tienen un ordenamiento estructural de corto alcance. 15

16 AMORFOS Y CRISTALINOS Tienen un ordenamiento estructural de corto y largo alcance respectivamente. MOL Es una unidad de masa atómica alternativa conocida como UMA que es 1/12 de la masa del carbono, es decir, un átomo con 12 protones. 1 mol = 6.023x10 23 atm #átomos = #moles #avogadro Ejemplo: Calcular la cantidad de átomos en 100g de plata. Ag= 108 g/mol 108g 1 mol = 100g x = mol x #átomos = mol 6.023x1023 atm 1 mol #átomos = 5.57x10 23 atm Masa Atómica Carga Protón 1.67x10 24 kg +1.6x10 19 C Neutrón 1.67x10 24 kg Electrón 9.11x10 28 kg 1.6x10 19 C La estructura electrónica del átomo tiene varios niveles de energía las cuales pertenecen a cada electrón y se determinan con 4 números cuánticos. Los números cuánticos son los que deben describir la energía en los átomos, estos resultan del tratamiento mecánico y son: SPIN (ms) Indica el giro relativo de los electrones. MOMENTO ANGULAR (l) Designa la capa o serie de orbitales (spdf) de una capa principal donde reside el electrón. MAGNÉTICO (ml) Designa el orbital en particular de una subcapa dada (s, p, d, f, g, h, etc.). 16

17 PRINCIPAL (n o N) Designa la capa principal o nivel de energía donde reside el electrón. CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA. s = 2e p = 6e d = 10e f = 14e Ejemplo: Configuración electrónica del Hierro. Fe{26} = 1s 2, 2s 2, 2p 6, 3s 2, 3p 6, 4s 2, 3d 6 *Nota: el nivel 3d que queda sin llenar es el que causa el comportamiento magnético del hierro produciendo esa estructura. VALENCIA La valencia de un átomo es la cantidad de electrones de un átomo que participa en el enlace o reacciones. En general la valencia es la cantidad de electrones en los niveles de energía más externos s y p. La valencia de un átomo se relaciona con su habilidad de participar en una combinación química con otros elementos. Ejemplo: Al{13} = 1s 2, 2s 2, 2p 6, 3s 2, 3p 1 Ge{32} = 1s 2, 2s 2, 2p 6, 3s 2, 3p 6, 3d 10, 4s 2, 4p 2 O{8} = 1s 2, 2s 2, 2p 4 17

18 ESTABILIDAD ATÓMICA Y ELECTRONEGATIVIDAD. Si un átomo tiene valencia cero, el elemento es inerte, es decir, no es reactivo. Ejemplo: Ar{18} = 1s 2, 2s 2, 2p 6, 3s 2, 3p 6 Otros átomos prefieren comportarse como sus niveles s y p estuvieran llenos con 8e o completamente vacios. Ejemplo: El aluminio tiene 3e externos (Al +3 ) en sus niveles s y p este cede fácilmente sus 3e y quedan vacios estos niveles. Por otra parte el cloro (Cl 7 ) contiene 7e en sus niveles 3s y 3p por lo cual acepta un e para volverse estable. La reactividad del cloro se debe a su aptitud de llenar sus niveles externos de energía aceptando un e. La electronegatividad describe la tendencia de un átomo para ganar o aceptar electrones. Los átomos con niveles de energía externa como el cloro son fuertemente electronegativos y acepta electrones con facilidad. Sin embargo átomos como el sodio (Na) con sus niveles externos casi vacíos ceden sus electrones y tienen baja electronegatividad. TABLA PERIÓDICA. La tabla periódica contiene información valiosa de elementos específicos y también puede ayudar a identificar tendencias en tamaño de los átomos y otras propiedades. Los materiales como los polímeros (plásticos) a base principalmente de carbón el cual aparece en el grupo 4A, los cerámicos normalmente basados en combinaciones de muchos elementos 1A-5B se combinan con elementos como oxígeno, carbón o nitrógeno. Los materiales metálicos basados comúnmente en los elementos de los grupos 1,2 y en los elementos metálicos de transición. Otra información que se obtiene en la tabla periódica es la que se muestra en la siguiente figura. ENLACES Hay ciertos mecanismos importantes mediante los cuales los átomos se enlazan o se unen en los materiales y son los siguientes: 18

19 ENLACE METÁLICO. Los elementos mecánicos tienen más átomos electropositivos los cuales ceden o donan sus electrones de valencia para formar un mar o nube de electrones que rodean el átomo. ENLACE COVALENTE. Se caracterizan por que los enlaces se forman compartiendo electrones de valencia entre 2 o más átomos. Para que se formen los enlaces covalentes se deben orientar de tal manera que tengan una relación direccional específica entre sí, tienen puntos de fusión muy elevados. ENLACE IÓNICO. Cuando en un material está presente más de una cantidad de átomos unos pueden donar sus electrones de valencia a otros distintos para llenar la capa externa de energía de la segunda clase de átomos. Los dos átomos tienen entonces, llenos o vacíos sus niveles externos de energía, pero los dos han adquirido una carga eléctrica y se comportan como iones. Catión. El átomo aporta los electrones que da una carga positiva neta. Anión. El átomo que acepta los electrones adquiere una carga negativa. ENLACE DE VAN DER WAALS El origen de las fuerzas entre los átomos y moléculas es de naturaleza mecánica y cuántica. Cuando un átomo está expuesto a un campo electromagnético interno o externo este se polariza, es decir, se separan sus centros de carga positiva y negativa. A estas moléculas se les llama moléculas polares. Hay 3 clases de interacciones polares: 19

20 DE VAN DER WAALS. es la fuerza atractiva o repulsiva entre moléculas (o entre partes de una misma molécula) distintas a aquellas debidas al enlace covalente o a la interacción electrostática de iones con otros o con moléculas neutras. FUERZA DE LONDON O INTERACCIÓN DE DEBYE. Son fuerzas de London si las interacciones son entre 2 dipolos inducidos entre átomos y moléculas, cuando un átomo inducido interacciona con una molécula que tiene dipolo permanente se trata de interacción de Debye. FUERZA DE KEESOM. Si las interacciones son entre moléculas polares en forma permanente. Por ejemplo las moléculas de agua. ENLACE MIXTO. Entre los átomos de la mayoría de los materiales el enlace se forma en una mezcla de dos o más tipos de elementos y enlaces. Ejemplo. El Hierro (Fe) esta enlazado en una combinación de enlaces metálicos que evita que los átomos se empaqueten en la forma eficiente que se espera de ellos. Los compuestos formados por dos o más metales se les llaman compuesto intermetálico, se pueden unir por una mezcla de enlaces metálicos e iónicos, en especial cuando hay gran diferencia de electronegatividad por parte de los elementos. ENERGÍA DE ENLACE Y DISTANCIA INTERATÓMICA. DISTANCIA INTERATÓMICA. Es la distancia de equilibrio entre átomos que se deben a un balance entre fuerzas de atracción y repulsión. La distancia interatómica o separación interatómica en un material solido es aproximadamente igual al diámetro atómico, es decir, 2r del átomo. Enlace Energía de enlace Iónico Covalente Metálico Van Der Waals <10 La energía mínima es la energía de enlace que se requiere para formar o romper el enlace. Por consecuencia los materiales que tienen una gran energía de enlace también tienen una gran resistencia y temperaturas de fusión elevadas. Hay 2 propiedades que se pueden considerar entre las relaciones fuerza-distancia y entre energía distancia por ejemplo el modulo de elasticidad de un material que es la pendiente de la curva esfuerzo-deformación también conocida como módulo de elasticidad o módulo de Young. 20

21 Un punto interesante para mencionar es que no todas las propiedades de los materiales diseñados son sensibles a loa microestructura, el módulo de elasticidad es una. Otra propiedad que se puede vincular con la energía de enlace o las curvas fuerza-distancia interatómica es si el coeficiente de dilatación térmica o coeficiente de expansión térmica, donde las dimensiones del material aumenta al aumentar la temperatura. 21

22 CAPÍTULO 3 ARREGLOS ATÓMICOS E IÓNICOS. ESTRUCTURAS DE LAS REDES CRISTALINAS. En los distintos estados de la materia se pueden encontrar cuatro clases de arreglos atómicos o iónicos. Sin orden. En los gases monoatómicos como el argón o el plasma que se forma en el tubo de luz fluorescente los átomos o iones no tienen un arreglo ordenado. Orden de corto alcance. Si el arreglo especial de los átomos solo se extiende a su vecindad inmediata. Ejemplo. Moléculas de vapor de agua. Orden de largo alcance. La mayoría de los metales, aleaciones, semiconductores, cerámicos y algunos polímeros tienen una estructura cristalina de largo alcance porque su arreglo atómico especial abarca escalas de longitud mucho mayor a 100 ηm. Los átomos o iones en esos materiales forman un patrón regular y repetitivo semejante a una red en 3 dimensiones a esos materiales se les llama cristalinos. Si un material cristalino está formado por un solo cristal grande se le llama monocristal. Un material policristalino está formado por muchos cristales pequeños con diferentes orientaciones en el espacio a estos cristales más pequeños se le llama granos. CRISTALES LÍQUIDOS. Son materiales poliméricos, que tienen un orden especial, en ciertos estado los polímeros de cristal liquido se comportan como materiales amorfos (semejantes a un liquido), sin embargo cuando se les aplica un estimulo externo como un campo eléctrico o un cambio de temperatura, algunas moléculas de los polímeros se alinean y forman pequeñas regiones que son cristalinas. 22

23 MATERIALES AMORFOS Es todo aquel material que solo muestra ordenamiento de átomos o iones de corto alcance. Ejemplo: Los vidrios, algunas clases de geles, polímeros, coloidales o materiales parecidos a los geles. REDES, CELDAS UNITARIAS BASES Y ESTRUCTURAS CRISTALINAS. Una red es una colección de puntos llamados puntos de red, ordenados en un patrón periódico de tal modo que los alrededores de cada punto de la red son idénticos. Una red puede ser uni, bi o tridimensional según se observe. Un grupo de uno o más átomos ubicados de forma determinada, entre si y asociados con cada punto de red llama motivo o base. Se obtiene una estructura cristalina sumando la red y la base. La celda unitaria es la subdivisión de una red que sigue conservando las características de toda la red. Apilar celdas unitarias idénticas se puede construir toda la red. Hay 7 arreglos únicos llamados sistemas cristalinos que llenan el espacio tridimensional. Cúbico Tetragonal Ortorrómbico 23

24 Hexagonal Romboédrico Monoclínico Triclínico PARÁMETROS DE RED Los parámetros de red describen el tamaño y forma incluyendo las dimensiones de las aristas de la celda unitaria y los ángulos entre estas. Las longitudes, el parámetro de red, de la estructura, es decir la distancia de átomo a átomo. La longitud se expone en nanómetros o unidades de Armstrong, y sus equivalencias son: 1nm = 10 9 m = 10 7 cm = 10 A⁰ 1 A⁰ = 0.1nm = 10 ¹⁰m = 10 ⁸cm CANTIDAD DE ÁTOMOS POR CELDA UNITARIA Se define como una cantidad específica de puntos de red, cuando se cuenta la cantidad específica de puntos de red que pertenece a cada celda se debe tener en cuenta que esos puntos de red pueden estar compartidos por más de una celda unitaria; un punto de red en un vértice de una celda unitaria está compartido con 7 celdas unitarias adyacentes y en consecuencia compartido con un total de 8 celdas; por lo tanto, cada vértice pertenece a una celda unitaria. 24

25 [ 1 Punto de Red 8 Vertices ] [ 8 Vertices 1 Celda ] = 1 Punto de Red 1 Celda Unitaria FORMAS MÁS SIMPLES: Cúbica Simple (CS) (SC). Cúbico Centrado en el Cuerpo (CC) (BCC) Cúbico Centrado en las Caras (CCC) (FCC). RADIO ATÓMICO CONTRA PARÁMETRO DE RED En la celda unitaria, en las direcciones a lo largo de las cuales los átomos están en contacto continuo son direcciones de empaquetamiento compacto o direcciones compactas. En las estructuras simples en las que solo hay 1 átomo por punto de red, se utilizan esas direcciones para calcular la relación entre el tamaño aparente del átomo y el tamaño de la celda unitaria. Determine la relación entre el radio atómico y el parámetro de red de las estructuras cubica simple, centrada en el cuerpo y centrada en dos caras. 25

26 CS a 0 = Parametro de Red = 2r BCC a 0 = 4π 3 FCC a 0 = 4r 2 NÚMERO DE COORDINACIÓN Es la cantidad de átomos que tocan a determinado átomo, o sea la cantidad de vecinos más cercanos a ese átomo en particular. Para los sólidos iónicos, el número de coordinación de los cationes se define como la cantidad de aniones más cercanos, el número de coordinación de los aniones es la cantidad de los cationes más cercanos. En las estructuras cúbicas que solo contienen 1 átomo por punto de red, los átomos tienen un número de coordinación que se relaciona a la estructura de red. FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO Es la tracción de espacio por átomos, suponiendo que son esferas duras que tocan a su vecino más cercano. La ecuación general del factor de empaquetamiento: Cantidad de Átomos [ ] Celda [Volumen de Átomos] Factor de Empaquetamiento = Volumen de Celda Unitaria 26

27 V átomo = 4 = Esfera de Átomo 3πr3 El arreglo FCC presenta una estructura con un empaquetamiento compacto. Las estructuras cúbica simple y CCC son relativamente abiertas. La densidad teórica de un material se puede calcular con las propiedades de su estructura cristalina, cuya fórmula general es: Densidad(ρ) = Cantidad de Átomos [ ] Celda [Masa Átomica] [Volumen de la Celda][Número de Avogadro] = Kg m 3 = gr cm 3 Los materiales que pueden tener más de 1 estructura se llaman alotrópicos o polimorfos. El término alotropía suele reservarse a los elementos puros, mientras que polimorfismo se usa para compuestos. PUNTOS, DIRECCIONES Y PLANOS DE LA CELDA UNITARIA DIRECCIONES EN LA CELDA UNITARIA Hay ciertas direcciones en las celdas unitarias que tienen interés especial y se les conoce como índices de Miller. Los índices de Miller de las direcciones son la notación abreviada para describir esas direcciones, el procedimiento para determinar los índices de Miller es el siguiente. Usar un sistema coordenado de mano derecha y determinar las coordenadas que estén en la dirección. Restar las coordenadas del punto cola de las coordenadas del punto cabeza, para obtener la cantidad de parámetros de red recorridos en la dirección de cada eje del sistema de coordenadas. Eliminar las fracciones o reducir los resultados obteniendo hasta los enteros mínimos. Encerrar los números entre corchetes y si se produce un signo negativo representar con una raya sobre el número. Las direcciones cristalográficas se usan para identificar determinando orientación de un solo cristal o un material policristalino. 27

28 DISTANCIA DE REPETICIÓN, DENSIDAD LINEAL Y FRACCIÓN DE EMPAQUETAMIENTO. LA DISTANCIA DE REPETICIÓN Es la distancia entre puntos de red a lo largo de la dirección. LA DENSIDAD LINEAL Es la cantidad de puntos de red por unidad de longitud a lo largo de la dirección. LA FRACCIÓN DE EMPAQUETAMIENTO Es la cantidad de puntos de red por unidad de longitud. PLANOS EN LA CELDA UNITARIA Para identificar estos planos se usan los índices de Miller como notación abreviada siguiendo el siguiente procedimiento. Identificar los puntos donde el plano cruza los ejes x, y, z. Si el plano pasa por el origen, hay que mover el origen del sistema de coordenadas. Sacar los recíprocos de esas intersecciones. Simplificar fracciones, pero no reducir a enteros mínimos. Encerrar entre paréntesis los números que resulten y de nuevo los números negativos se deben escribir con una raya sobre ellos. Se deben hacer notar algunos aspectos importantes de los índices de Miller: Para los planos y sus negativos son idénticos. Los planos y sus múltiplos no son idénticos. En cada celda unitaria, los planos y su familia representan grupos de planos equivalentes que tienen sus índices particulares debido a la orientación de sus coordenadas. En los sistemas cúbicos una dirección que tiene los mismos índices que el plano es perpendicular a ese plano. CONSTRUCCIÓN Y DIRECCIÓN DE PLANOS Para construir una dirección o plano en la celda unitaria tan solo se procede a la inversa. 28