FÍSICA de 2º de BACHILLERATO

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1 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA I.E.S. EMILIO CASTELAR MADRID Inscrito en el Registro de la Propiedad Intelectual de la Comunidad de Madrid. Referencia: 16 / 2013 / 6357

2 Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Este volumen comprende los enunciados de los 531 ejercicios que integran los 58 exámenes de FÍSICA de 2º de Bachillerato que han sido propuestos en las PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS en la Comunidad de Madrid, entre los años 1996 y 2014, junto con sus correspondientes soluciones, de acuerdo a la siguiente distribución según los temas que constituyen el programa: Mecánica y Vibraciones Gravitación y Ondas Interacción Electromagnética Óptica -Geométrica- Física Relativista Física Cuántica Física Nuclear AÑO Examen 1996 Junio Septiembre Junio Septiembre Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Continúa en la página siguiente. Página 2

3 Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Cuestiones Problemas Mecánica y Vibraciones Gravitación y Ondas Interacción Electromagnética Óptica -Geométrica- Física Relativista Física Cuántica Física Nuclear AÑO Examen Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Septiembre Modelo Junio (G) Junio (E) Junio (C) Septiembre (G) Septiembre (E) Modelo Junio Septiembre Septiembre (C) Continúa en la página siguiente. (G) : Fase General (E) : Fase Específica (C) : Coincidencia Página 3

4 Preguntas Preguntas Preguntas Preguntas Preguntas Preguntas Preguntas Mecánica y Vibraciones Gravitación y Ondas Interacción Electromagnética Óptica -Geométrica- Física Relativista Física Cuántica Física Nuclear AÑO Examen Total Modelo Junio Septiembre Modelo Junio Junio (C) Septiembre Modelo Junio Junio (C) Cuestiones Preguntas Problemas TOTAL (G) : Fase General (E) : Fase Específica (C) : Coincidencia Página 4

5 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO MECÁNICA E INTERACCIÓN GRAVITATORIA ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA I.E.S. EMILIO CASTELAR MADRID Inscrito en el Registro de la Propiedad Intelectual de la Comunidad de Madrid. Referencia: 16 / 2013 / 6357

6 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO D.A.G.F. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) MECÁNICA E INTERACCIÓN GRAVITATORIA Cuestiones 1 Una partícula de masa m está describiendo una trayectoria circular de radio R con velocidad lineal constante v. a) Cuál es la expresión de la fuerza que actúa sobre la partícula en este movimiento?. Cuál es la expresión del momento angular de la partícula respecto al centro de la trayectoria?. b) Qué consecuencias sacas de aplicar el teorema del momento angular en este movimiento?. Por qué?. Septiembre v Solución. a) Fcp m r ; F 2 cp = m v 2 r ; L r m v ; L = rmv r b) Trayectoria circular plana; movimiento siempre en el mismo sentido y barrido por el radio de sectores circulares iguales en tiempos iguales. 2 a) Qué condición debe cumplir un campo de fuerzas para ser conservativo?. b) Ponga un ejemplo de campo de fuerzas conservativo y demuestre que se cumple la citada condición. Septiembre 1999 Solución. a) Que sea central ; b) El campo gravitatorio (es central). 3 Cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas conservativo sometida a la acción de la fuerza del campo, existe una relación entre las energías potencial y cinética. Explica qué relación es ésta y efectúa su demostración. Junio 1996 Solución. ΔE c = ΔE p ; ΔE c + ΔE p = ΔE tot = 0. Página 2

7 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 4 Define los conceptos de: intensidad de campo, potencial, línea de fuerza y superficie equipotencial en un campo de fuerzas gravitatorio. Bajo qué ángulo cortan las líneas de fuerza a las superficies equipotenciales?. Por qué?. Septiembre 1996 Solución. Intensidad de campo gravitatorio: Fuerza gravitatoria por kilogramo. Potencial gravitatorio: Línea de fuerza: Superficie equipotencial: Energía potencial gravitatoria por kilogramo. La tangente en cada uno de sus puntos al vector intensidad de campo. La integran todos los puntos en los que el potencial vale igual. Las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales son perpendiculares entre sí. 5 a) Enuncie la Primera y la Segunda Ley de Kepler sobre el movimiento planetario. b) Compruebe que la Segunda Ley de Kepler es un caso particular del Teorema de conservación del momento angular. Junio 2000 Solución. Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas y planas alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de los focos de dicha elipse. Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. (Es consecuencia de la constancia del módulo del momento angular del planeta respecto al Sol). 6 a) Enuncie la Tercera Ley de Kepler y demuéstrela para el caso de órbitas circulares. b) Aplique dicha Ley para calcular la masa del Sol suponiendo que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular con un radio medio de 1, km. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2009 Solución. Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de los distintos planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas elípticas descritas por los respectivos planetas. m Sol = 1, kg. Página 3

8 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 7 a) Enuncie la Segunda Ley de Kepler. Explique en qué posiciones de la órbita elíptica la velocidad del planeta es máxima y dónde es mínima. b) Enuncie la Tercera Ley de Kepler. Deduzca la expresión de la constante de esta Ley en el caso de órbitas circulares. Junio 2010 (Fase General) Solución. Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. La velocidad del planeta es máxima en el perihelio (posición más próxima al Sol) y mínima en el afelio (posición más alejada del Sol). Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de los distintos planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas elípticas descritas por los respectivos planetas. T 2 = k r T 4π k = 3 = r GmSol. 8 a) Enuncie las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. b) Si el radio de la órbita de la Tierra es 1, m y el de la de Urano 2, m, calcule el período orbital de Urano. Modelo 2006 Solución. Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas y planas alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de los focos de dicha elipse. Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de los distintos planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas elípticas descritas por los respectivos planetas. T U = 2, s. Página 4

9 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 9 La luz solar tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las órbitas descritas por ambos planetas son circulares, determine: a) el período orbital de Venus en torno al Sol, sabiendo que el de la Tierra es de 365,25 días; b) la velocidad con que se desplaza Venus en su órbita. Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Septiembre 2004 Solución. T = 1, s ; v = 3, m s a) Cuál es el período de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra en una órbita circular cuyo radio es un cuarto del radio de la órbita lunar?. b) Cuál es la relación entre la velocidad del satélite y la velocidad de la Luna en sus respectivas órbitas?. Dato: Período de la órbita lunar: T L = 27,32 días. Modelo 2010 Solución. T sat = 3,42 días = 2, s ; v v sat L = 2 11 Dos masas iguales: m = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de 2 m, según indica la figura. Una tercera masa, m = 0,2 kg, se suelta desde el reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las une (AB = 1 m). Si no actúan más que las acciones gravitatorias entre estas masas, determine: a) la fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m en la posición A; b) las aceleraciones de la masa m en las posiciones A y B. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Septiembre 2005 m A B m m Solución. F(A) ,89 10 j (N) ; a(a) 9,43 10 j (m s 2 ) ; a(b) = 0. Página 5

10 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 12 Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcule: a) el campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado; b) el potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2008 Solución. a) Campo gravitatorio en el centro de cada lado del cuadrado: vector perpendicular a dicho lado, apuntando al centro del cuadrado y con módulo igual a: 1, N kg 1. b) V total (centro del cuadrado) = 1, J kg a) Cómo se define la gravedad en un punto de la superficie terrestre?. Dónde será mayor la gravedad: en los Polos o en un punto del Ecuador?. b) Cómo varía la gravedad con la altura?. Qué relación existe entre la gravedad a una altura h y la gravedad en la superficie terrestre?. Razona las respuestas. Septiembre 1997 Solución. a) m T g = G 2 R ; g Ecuador < g Polo T b) g(h) = 2 T m G ; h R T 2 g(sup) h R = T g(h) R. T 14 a) Exprese la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta en función de la masa del planeta, de su radio y de la constante de gravitación universal G. b) Si la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre vale 9,8 m s 2, calcule la aceleración de la gravedad a una altura sobre la superficie terrestre igual al radio de la Tierra. Septiembre 2011 m planeta Solución. a) g = G ; b) g(h = R 2 T ) = 2,45 m s 2. R planeta Página 6

11 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 15 Llamando g 0 y V 0 a la intensidad del campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la superficie terrestre respectivamente, determine en función del radio de la Tierra: a) la altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad del campo gravitatorio es g 0 /2; b) la altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V 0 /2. Junio 2006 g 0 Solución. a) h g 2 V = 0,41 R T ; b) h V 0 2 = R T. 16 a) A qué altitud tendrá una persona la mitad del peso que tiene sobre la superficie terrestre?. Exprese el resultado en función del radio terrestre. b) Si la fuerza de la gravedad actúa sobre todos los cuerpos en proporción a sus masas, por qué no cae un cuerpo pesado con mayor aceleración que un cuerpo ligero?. Modelo 2002 Solución. a) R T 2 (desde el centro de la Tierra) -R T 1 2 (desde la superficie)- b) La aceleración de la gravedad no depende de la masa del objeto. 17 a) Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico cuyo radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media?. b) Cuál sería el período de la órbita circular de un satélite situado a una altura de 400 km respecto a la superficie del planeta?. Datos: Radio de la Tierra: R T = km Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m s 2. Septiembre 2007 Solución. a) g = 4,9 m s 2 ; b) T = 6.049,63 s. 18 a) Cuál es la velocidad de escape de un objeto situado en la superficie de la Tierra?. b) Cómo influye la dirección con que se lanza un objeto desde la superficie de la Tierra en su velocidad de escape?. Septiembre 1998 Solución. v esc = 2GmT R = ,74 m s 1 T La dirección de lanzamiento no influye en el valor de la velocidad de escape. Página 7

12 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 19 a) A partir de su significado físico, deduzca la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie terrestre en función de la masa y el radio del planeta. b) Sabiendo que la intensidad del campo gravitatorio en la Luna es 1/6 de la de la Tierra, obtenga la relación entre las velocidades de escape de ambos astros. Datos: R T = 4 R L (R T = radio de la Tierra ; R L = radio de la Luna). Junio 2010 (Materias coincidentes) Solución. a) v esc = 2Gm R T T ; b) v v esc esc (T) (L) = Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El valor de la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de la Tierra depende de la masa del objeto. b) En el movimiento elíptico de un planeta en torno al Sol la velocidad del planeta en el perihelio (posición más próxima al Sol) es mayor que la velocidad en el afelio (posición más alejada del Sol). Septiembre 2009 Solución. a) Falsa ; b) Verdadera. 21 Un planeta esférico tiene un radio de km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s 2. a) Cuál es su densidad media?. b) Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta?. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2002 Solución. a) ρ m = 7.158,39 kg m 3 ; b) v esc = m s Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 R T (siendo R T el radio terrestre), calcule: a) la relación entre las densidades medias ρ Luna / ρ Tierra ; b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (v e ) Luna / (v e ) Tierra. Junio 2007 Solución. a) ρ m (Luna) vesc (Luna) = 0,62 ; b) ρ (Tierra) v (Tierra) = 0,21. m esc Página 8

13 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 23 Suponiendo un planeta esférico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la Tierra, calcule: a) la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta; b) la velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11,2 km/s. Dato: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,81 m s 2. Junio 2003 Solución. a) g = 4,91 m s 2 ; b) v esc = 5, m s Un planeta esférico tiene una masa igual a 27 veces la masa de la Tierra, y la velocidad de escape para objetos situados cerca de su superficie es tres veces la velocidad de escape terrestre. Determine: a) la relación entre los radios del planeta y de la Tierra; b) la relación entre las intensidades de la gravedad en los puntos de la superficie del planeta y de la Tierra. Modelo 2003 Solución. R P = P R T GT G = a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. A qué conclusión llegas?. b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp, cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna?. Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna. La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es de 60 radios terrestres. El radio de la Luna es 0,27 veces el radio de la Tierra. Junio 1997 Solución. a) F L FT = 2, (F L es despreciable frente a F T -el peso-) b) P L = 165,96 N. 26 a) Con qué frecuencia angular debe girar un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra?. b) A qué altura sobre la superficie terrestre se encontrará el satélite citado en el apartado anterior?. Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m s 2 Radio medio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2000 Solución. a) ω = 7, rad s 1 ; b) h = 3, m. Página 9

14 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 27 Un satélite que gira con la misma velocidad angular que la Tierra (geoestacionario) de masa: m = kg, describe una órbita circular de radio: r = 3, m. Determine: a) La velocidad areolar del satélite. b) Suponiendo que el satélite describe su órbita en el plano ecuatorial de la Tierra, determine el módulo, la dirección y el sentido del momento angular respecto de los polos de la Tierra. Dato: Período de rotación terrestre = 24 h. Junio 2011 Solución. a) v areolar = 4, m 2 s 1 b) Momento angular respecto a los polos: vector de módulo: 4, kg m 2 s 1, que forma un ángulo de 10º (aproximadamente) con la dirección Sur-Norte -hacia el Norte-. NOTA. Las soluciones anteriores se han obtenido a partir de los datos que aporta el enunciado. Sin embargo esa información es errónea, ya que 3, m no es el radio de la órbita del satélite geoestacionario, sino su altura sobre la superficie terrestre. Si se tiene en cuenta esta corrección, la solución verdadera es: a) v areolar = 6, m 2 s 1 b) Momento angular respecto a los polos: vector de módulo: 6, kg m 2 s 1, que forma un ángulo de 8º con la dirección Sur-Norte -hacia el Norte-. 28 Un satélite artificial de 500 kg que describe una órbita circular alrededor de la Tierra se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcule: a) la energía mecánica del satélite; b) la altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Junio 2009 Solución. a) E tot = 1, J ; b) h = 3, m. 29 Un cometa se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Explique en qué punto de su órbita: afelio (punto más alejado del Sol) o perihelio (punto más cercano al Sol) tiene mayor valor: a) la velocidad; b) la energía mecánica. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. a) v(perihelio) > v(afelio) ; b) E tot (perihelio) = E tot (afelio). Página 10

15 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 30 El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio (posición más próxima) el cometa está a 8, km del Sol y en el afelio (posición más alejada) está a 5, km del Sol. a) En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?. Y mayor aceleración?. b) En qué punto tiene mayor energía potencial?. Y mayor energía mecánica?. Junio 1999 Solución. v(p) > v(a) ; a(p) > a(a) ; E p (p) < E p (a) ; E tot (p) = E tot (a). 31 Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol): a) momento angular respecto a la posición del Sol; b) momento lineal; c) energía potencial; d) energía mecánica. Junio 2004 Solución. L(a) = L(p) ; p(a) < p(p) ; E p (a) > E p (p) ; E tot (a) = E tot (p). 32 La velocidad de un asteroide es de 20 km/s en el perihelio y de 14 km/s en el afelio. Determine en estas posiciones cuál es la relación entre: a) las distancias al Sol en torno al cual orbita; b) las energías potenciales del asteroide. Modelo 2004 Solución. r(a) = r(p) E E p p (p) (a) 10 = a) Deduzca la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular alrededor de un planeta en función del radio de la órbita y de las masas del satélite y del planeta. b) Demuestre que la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial. Junio 2005 y Junio 2010 (Fase Específica) Solución. m m E c = G p s 2r. 34 Determine la relación que existe entre la energía mecánica de un satélite que describe una órbita circular en torno a un planeta y su energía potencial. Modelo 2001 Solución. E p = 2 E total. Página 11

16 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 35 En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determine: a) la expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del radio de la órbita; b) la relación que existe entre su energía mecánica y su energía potencial. Junio 2001 mt ms Solución. E c = G ; E p = 2 E total. 2r 36 Dos satélites de masas: m A y m B describen sendas órbitas circulares alrededor de la Tierra, siendo sus radios orbitales: r A y r B respectivamente. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Si m A = m B y r A > r B, cuál de los dos satélites tiene mayor energía cinética?. b) Si los dos satélites estuvieran en la misma órbita (r A = r B ) y tuviesen distinta masa (m A < m B ), cuál de los dos tendría mayor energía cinética?. Modelo 2011 Solución. El satélite B en los dos casos. 37 Considerando que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una órbita circular, deduzca: a) la relación entre la energía potencial gravitatoria y la energía cinética de la Luna en su órbita; b) la relación entre el período orbital y el radio de la órbita descrita por la Luna. Septiembre 2010 (Fase General) Solución. E p = 2 E c ; T = 2π r r GmT. 38 Un asteroide está situado en una órbita circular alrededor de una estrella y tiene una energía total de J. Determine: a) La relación que existe entre las energías potencial y cinética del asteroide. b) Los valores de ambas energías potencial y cinética. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. E p = 2 E c ; Ec = J ; Ep = J. Página 12

17 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Mecánica e Interacción Gravitatoria 39 Calcule el módulo del momento angular de un objeto de kg respecto al centro de la Tierra en los siguientes casos: a) Se lanza desde el polo Norte perpendicularmente a la superficie de la Tierra con una velocidad de 10 km/s. b) Realiza una órbita circular alrededor de la Tierra en el plano ecuatorial a una distancia de 600 km de su superficie. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2008 Solución. a) L = 0 b) L = 5, kg m 2 s Una sonda de masa kg se encuentra en órbita circular a una altura sobre la superficie terrestre de 1,5 R T. Determine: a) el momento angular de la sonda en esa órbita respecto al centro de la Tierra; b) la energía que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: M T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Junio 2008 Solución. a) Momento angular: vector perpendicular al plano de la órbita descrita cuyo módulo vale: L = 3, kg m 2 s 1. b) ΔE (mínima) = 6, J. 41 Un objeto de 5 kg de masa posee una energía potencial gravitatoria: E p = J cuando se encuentra a cierta distancia de la Tierra. a) Si el objeto a esa distancia estuviera describiendo una órbita circular, cuál sería su velocidad?. b) Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, cuál sería su energía mecánica?. Podría el objeto estar describiendo una órbita elíptica en este caso?. Modelo 2007 Solución. a) v = 6.324,56 m s 1 b) E tot = 2, J (la trayectoria sería abierta, no elíptica). Página 13

18 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones y Preguntas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 42 Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad de m/s. a) Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?. b) En qué posición se alcanza?. Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m s 2 Radio medio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2001 Solución. a) E p máx = 5, J b) r f = 6, m (desde el centro de la Tierra). 43 a) Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcule el valor de v necesario para que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra. b) Si se lanza el objeto desde la superficie de la Tierra con una velocidad doble a la calculada en el apartado anterior, escapará o no del campo gravitatorio terrestre?. Datos: Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = km Constante de Gravitación: G = 6, N m 2 kg 2. Septiembre 2006 Solución. a) v = 7.913,05 m s 1 b) Sí escaparía del campo gravitatorio terrestre. 44 Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Un objeto de masa m 1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble que la que necesita otro objeto de masa m 2 = m 1 /2. b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m 1 que otro satélite de masa m 2 = m 1 /2, lanzados desde la superficie de la Tierra. Modelo 2005 Solución. a) Falso ; b) Verdadero. Preguntas 45 Urano es un planeta que describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El módulo del momento angular, respecto a la posición del Sol, en el afelio es mayor que en el perihelio y lo mismo ocurre con el módulo del momento lineal. b) La energía mecánica es menor en el afelio que en el perihelio y lo mismo ocurre con la energía potencial. Junio 2013 Solución. Las dos afirmaciones son falsas. Página 14

19 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 46 Se ha descubierto un planeta esférico de km de radio y con una aceleración de la gravedad en su superficie de 7,2 m s 2. a) Calcule la masa del planeta. b) Calcule la energía mínima necesaria que hay que comunicar a un objeto de 3 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y situarlo a km de altura de la superficie, en una órbita circular en torno al mismo. Dato: Constante de Gravitación: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2012 Solución. a) m planeta = 1, kg ; b) ΔE = 5, J. 47 Calcule: a) La densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un radio de km y una intensidad de campo gravitatorio en su superficie de 3,7 N kg 1. b) La energía necesaria para enviar una nave espacial de kg de masa desde la superficie del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad de campo gravitatorio sea la cuarta parte de su valor en la superficie. Dato: Constante de la Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2013 Solución. a) ρ m Mercurio = 5.427,47 kg m 3 ; b) E = 3, J. 48 El planeta A tiene tres veces más masa que el planeta B, y cuatro veces su radio. Obtenga: a) La relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas. b) La relación entre las aceleraciones gravitatorias en las superficies de ambos planetas. Junio 2014 Solución. a) v v esc esc (A) (B) = 3 4 ; b) g g sup sup (A) (B) = Dos planetas, A y B, tienen la misma densidad. El planeta A tiene un radio de km, y el planeta B un radio de km. Calcule: a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de cada planeta. b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta. Septiembre 2013 Solución. g g sup sup (A) (B) = v v esc esc (A) (B) = 6 7. Página 15

20 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 50 La Tierra tiene un diámetro 2,48 veces mayor que el de Titán, y su masa es 44,3 veces mayor. Considerando que ambos astros son esféricos, calcule: a) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Titán. b) La relación entre las velocidades de escape en Titán y en la Tierra. Dato: Aceleración de la gravedad en la superficie terrestre: g = 9,81 m s 2. Junio 2014 (Materias coincidentes) Solución. a) g sup (Titán) = 1,36 m s 2 ; b) v v esc esc (Titán) (Tierra) = 0, Un cierto planeta esférico tiene una masa: m = 1, kg y un radio. R = 1, m. Desde su superficie se lanza verticalmente hacia arriba un objeto, el cual alcanza una altura máxima de R/2. Despreciando rozamientos, determine: a) La velocidad con que fue lanzado el objeto. b) La aceleración de la gravedad en el punto más alto alcanzado por el objeto. Dato: Constante de la Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2013 Solución. a) v = 1, m s 1 b) g(h = R/2) = 1,65 m s Un cohete de masa: 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre, de tal manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule: a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la superficie terrestre. b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento. Datos: Radio terrestre: R T = 6, m Masa de la Tierra: m T = 5, kg Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2014 Solución. a) v i = 3.016,49 m s 1 = 0,27 v esc sup b) r = 6, m. Página 16

21 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 53 La aceleración de la gravedad en la Luna es 0,166 veces la aceleración de la gravedad en la Tierra y el radio de la Luna es 0,273 veces el radio de la Tierra. Despreciando la influencia de la Tierra y utilizando exclusivamente los datos aportados, determine: a) La velocidad de escape de un cohete que abandona la Luna desde su superficie. b) El radio de la órbita circular que describe un satélite en torno a la Luna si su velocidad es de 1,5 km s 1. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2012 Solución. a) v esc = 2, m s 1 b) r = 2, m. 54 Una nave espacial de kg de masa describe, en ausencia de rozamiento, una órbita circular en torno a la Tierra a una distancia de 2, km de su superficie. Calcule: a) El período de revolución de la nave espacial alrededor de la Tierra. b) Las energías cinética y potencial de la nave en dicha órbita. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Junio 2012 Solución. a) T = 5, s = 15 h 21 min 16 s b) E c = 1, J ; E p = 3, J. 55 Un satélite artificial está situado en una órbita circular en torno a la Tierra a una altura de su superficie de km. Si el satélite tiene una masa de kg: a) Calcule la energía cinética del satélite y su energía mecánica total. b) Calcule el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. Datos: Constante de Gravitación: G = 6, N m 2 kg 2 Radio de la Tierra: R T = km Masa de la Tierra: m T = 5, kg. Modelo 2012 Solución. a) E c = 2, J ; E tot = 2, J b) L = 6, kg m 2 s 1. Página 17

22 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 56 Los satélites Meteosat son satélites geoestacionarios, situados sobre el ecuador terrestre y con un período orbital de un día. a) Suponiendo que la órbita que describen es circular y poseen una masa de 500 kg, determine el módulo del momento angular de los satélites respecto del centro de la Tierra y la altura a la que se encuentran estos satélites respecto de la superficie terrestre. b) Determine la energía mecánica de los satélites. Datos: Radio terrestre: R T = 6, m Masa de la Tierra: m T = 5, kg Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2014 Solución. a) L = 6, kg m 2 s 1 ; h = 3, m b) E tot = 2, J. 57 Un satélite, de masa: 800 kg, orbita alrededor de la Luna con una velocidad angular de 4, rad s 1. Despreciando rozamientos, determine: a) La altura, medida desde la superficie de la Luna, a la que se encuentra el satélite orbitando, así como su período de revolución alrededor de la misma. b) La energía mecánica del satélite a dicha altura. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Radio de la Luna: R L = km Masa de la Luna: m L = 7, kg. Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. a) h = 1, m : T = 1, s b) E tot = 6, J. 58 Una nave espacial de 800 kg de masa realiza una órbita circular de km de radio alrededor de un planeta. Sabiendo que la energía mecánica de la nave es: E m = 3, J, determine: a) La masa del planeta. b) La velocidad angular de la nave en su órbita. Dato: Constante de la Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2013 Solución. a) m = 7, kg b) ω = 1, rad s 1. Página 18

23 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 59 Un satélite artificial de masa: 100 kg describe una órbita circular alrededor de cierto planeta. La energía mecánica del satélite en dicha órbita es de J y su período de revolución es de 24 horas. Calcule: a) El radio de la órbita. b) La masa del planeta. Dato: Constante de la Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2014 (Materias coincidentes) Solución. a) r = 1, m b) m planeta = 2, kg. 60 Un satélite de masa m gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular a una altura de km sobre su superficie. a) Calcule la velocidad orbital del satélite alrededor de la Tierra. b) Suponga que la velocidad del satélite se anula repentina e instantáneamente y éste empieza a caer sobre la Tierra. Calcule la velocidad con la que llegaría el satélite a la superficie de la misma. Considere despreciable el rozamiento con el aire. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Junio 2012 Solución. a) v = 3, m s 1 b) v f = 1, m s Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular de radio: 2 5 RT alrededor de la Tierra. Determine: a) El trabajo que hay que realizar para llevar al satélite desde la órbita circular de radio: 5 RT a otra órbita circular de radio: 5R T y mantenerlo en dicha órbita. 2 b) El período de rotación del satélite en la órbita de radio: 5R T. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2012 Solución. a) W = 2, J b) T = 5, s = 15 h 42 min 30 s. Página 19

24 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas y Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 62 Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un planeta cuyo radio es de km. El primero de ellos orbita a km de la superficie del planeta y su período orbital es de 2 h. La órbita del segundo tiene un radio 500 km mayor que la del primero. Calcule: a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta. b) El período orbital del segundo satélite. Septiembre 2013 Solución. a) g = 5,42 m s 2 b) T = 8.591,35 s = 2 h 23 min 11,35 s. 63 La masa del Sol es veces mayor que la de la Tierra y la distancia que separa sus centros es de 1, km. Determine si existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se anule: a) El potencial gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra. b) El campo gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la Tierra. Modelo 2014 Solución. a) En ningún punto el potencial gravitatorio total es nulo. b) La intensidad del campo gravitatorio resultante es nula a 2, m del centro de la Tierra. Problemas 64 Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en el afelio (la posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1, m y su velocidad orbital es de 2, m/s. Hallar: a) el momento angular de la Tierra respecto al Sol; b) la velocidad orbital en el perihelio (la posición más cercana al Sol), siendo en este punto su distancia al Sol de 1, m. Dato complementario: masa de la Tierra: m T = 5, kg. Junio 1997 Solución. a) L = 2, kg m 2 s 1 b) v(p) = 3, m s 1. Página 20

25 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 65 Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6, m y su velocidad orbital es de 3, m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4, m. a) Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio. b) Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio. c) Calcule el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio. d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en el afelio. Datos: Masa de Mercurio: m M = 3, kg Masa del Sol: m S = 1, kg Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2003 Solución. a) v(p) = 5, m s 1 b) E c (p) = 5, J ; E p (p) = 9, J E tot (p) = 3, J -igual que en el afelioc) p(p) = 1, kg m s 1 L(p) = 8, kg m 2 s 1 -igual que en el afelio-. 66 Suponiendo que los planetas Venus y la Tierra describen órbitas circulares alrededor del Sol, calcule: a) el período de revolución de Venus; b) las velocidades orbitales de Venus y de la Tierra. Datos: Distancia de la Tierra al Sol = 1, m Distancia de Venus al Sol = 1, m Período de revolución de la Tierra = 365 días. Junio 2009 Solución. a) T V = 1, s b) v V = 3, m s 1 ; v T = 2, m s 1. Página 21

26 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 67 Un satélite artificial de masa 200 kg se mueve alrededor de la Tierra en una órbita elíptica definida por una distancia al perigeo (posición más próxima al centro de la Tierra) de 7, m y una distancia al apogeo (posición más alejada del centro de la Tierra) de 10, m. Si en el perigeo el módulo de la velocidad es 8, m/s: a) Cuál es el módulo de la velocidad en el apogeo?. b) Determine el módulo y dirección del momento angular del satélite. c) Determine la velocidad areolar del satélite. d) Determine la energía mecánica del satélite. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. a) v(apogeo) = 5, m s 1 b) Momento angular -respecto al centro de la Tierra-: vector de dirección perpendicular al plano de la órbita descrita por el satélite y de módulo: L = 1, kg m 2 s 1 c) v areolar = 2, m 2 s 1 d) E tot = 4, J. 68 Io, un satélite de Júpiter, tiene una masa de 8, kg, un período orbital de 1,77 días y un radio medio orbital de 4, m. Considerando que la órbita es circular con este radio, determine: a) la masa de Júpiter; b) la intensidad del campo gravitatorio, debida a Júpiter, en los puntos de la órbita de Io; c) la energía cinética de Io en su órbita; d) el módulo del momento angular de Io respecto al centro de su órbita. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2010 (Fase General) Solución. a) m J = 1, kg b) G = 0,71 N kg 1 (dirigida hacia el centro de Júpiter) c) E c = 1, J d) L = 6, kg m 2 s 1. Página 22

27 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 69 Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de km de radio, respecto al centro del planeta, con un período de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de km de radio. Determine: a) la masa de Marte; b) el período de revolución del satélite Deimos; c) la energía mecánica del satélite Deimos, y d) el módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de Fobos = 1, kg Masa de Deimos = 2, kg. Junio 2007 Solución. a) m M = 6, kg b) T D = 1, s c) E tot D = 2, J ; d) L D = 7, kg m 2 s Un planeta tiene dos satélites, A y B, que describen órbitas circulares de radios: km y km, respectivamente. El satélite A, en su desplazamiento en torno al planeta, barre un área de km 2 en un segundo. Sabiendo que la fuerza que ejerce el planeta sobre el satélite A es 37 veces mayor que sobre el satélite B: a) Determine el período del satélite A. b) Halle la masa del planeta. c) Obtenga la relación entre las energías mecánicas de ambos satélites. d) Calcule el vector momento angular del satélite A, si tiene una masa de: 1, kg. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2010 (Materias coincidentes) Solución. a) T A = 2, s b) m P = 4, kg c) E tot (A) = 13,23 E (B) tot d) L A : vector perpendicular al plano de la órbita descrita por el satélite A y de módulo: L A = 1, kg m 2 s 1. Página 23

28 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 71 Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio m y período 2 años. El planeta 2 se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia en la posición más próxima a la estrella m y en la más alejada 1, m. a) Cuál es la masa de la estrella?. b) Halle el período de la órbita del planeta 2. c) Utilizando los principios de conservación del momento angular y de la energía mecánica, hallar la velocidad del planeta 2 cuando se encuentra en la posición más cercana a la estrella. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2002 Solución. a) m estrella = 1, kg b) T 2 = 1, s c) v máx 2 = ,76 m s Un planeta orbita alrededor de una estrella de masa M. La masa del planeta es: m = kg y su órbita es circular de radio: r = 10 8 km y período: T = 3 años terrestres. Determine: a) La masa M de la estrella. b) La energía mecánica del planeta. c) El módulo del momento angular del planeta respecto al centro de la estrella. d) La velocidad angular de un segundo planeta que describiese una órbita circular de radio igual a 2r alrededor de la estrella. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Considere un año terrestre = 365 días. Modelo 2011 Solución. a) M = 6, kg b) E tot = 2, J c) L = 6, kg m 2 s 1 d) ω = 2, rad s Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar: a) la velocidad del satélite, y b) su energía mecánica. Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m s 2 Radio medio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2000 Solución. a) v = 6.643,93 m s 1 b) E tot = 4, J. Página 24

29 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 74 Un satélite de kg de masa describe una órbita ecuatorial alrededor de la Tierra, de km de radio. Determinar: a) su momento angular respecto al centro de la órbita; b) sus energías cinética, potencial y total. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg. Junio 1996 Solución. a) L = 1, kg m 2 s 1 -vector paralelo al eje N-S de la Tierrab) E c = 4, J ; Ep = 9, J ; Etot = 4, J. 75 Un satélite artificial de la Tierra de 100 kg de masa describe una órbita circular a una altura de 655 km. Calcule: a) el período de la órbita; b) la energía mecánica del satélite; c) el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra; d) el cociente entre los valores de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en el satélite y en la superficie de la Tierra. Datos: Masa de la Tierra: m T = 5, kg. Radio de la Tierra: R T = 6, m Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2005 Solución. T = 5.857,82 s ; E tot = 2, J ; L = 5, kg m 2 s 1 G(h) ; G(sup) = 0, Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 400 kg de masa hasta situarlo en una órbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a las 7/6 partes del radio terrestre. Calcule: a) la intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del satélite; b) la velocidad y el período que tendrá el satélite en la órbita; c) la energía mecánica del satélite en la órbita; d) la variación de la energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta situarlo en su órbita. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2005 Solución. G = 7,22 N kg 1 (dirigido hacia el centro de la Tierra) v = 7, m s 1 ; T = 6, s ; E tot = 1, J ; ΔE p = 3, J. Página 25

30 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 77 Un satélite de kg de masa describe una órbita circular de km de radio alrededor de la Tierra. Calcule: a) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. Cambian las direcciones de estos vectores al cambiar la posición del satélite en su órbita?. b) El período y la energía mecánica del satélite en la órbita. Datos: Masa de la Tierra: m T = 5, kg Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Junio 2010 (Fase Específica) Solución. p = 5, kg m s 1 Cambia su dirección (tangente a la órbita). L = 6, kg m 2 s 1 Dirección constante. T = 1, s ; E tot = 1, J. 78 Un satélite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en una órbita circular de km de radio. Determine: a) el período de revolución del satélite; b) el momento lineal y el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra; c) la variación de energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta esa posición; d) las energías cinética y total del satélite. Datos: Masa de la Tierra: m T = 5, kg. Radio de la Tierra: R T = 6, m Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Septiembre 2003 Solución. a) T = 5, s b) p = 7, kg m s 1 ; L = 5, kg m 2 s 1 c) ΔE p = 6, J d) E c = 2, J ; E tot = 2, J. 79 Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En esta órbita la energía mecánica del satélite es 4, J y su velocidad es m s 1. Calcule: a) el módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra; b) el período de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Junio 2006 Solución. a) p = 1, kg m s 1 ; L = 8, kg m 2 s 1 b) T = 5, s ; h = 5, m. Página 26

31 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 80 La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus es ω 1 = 1, rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L 1 = 2, kg m 2 s 1. a) Determine el radio r 1 de la órbita del satélite y su masa. b) Qué energía será preciso invertir para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular ω 2 = 10 4 rad/s?. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de Venus: m V = 4, kg. Junio 2002 Solución. a) r 1 = 2, m ; m = 24,46 kg b) ΔE = 3, J. 81 Desde un punto de la superficie terrestre se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 100 kg que llega hasta una altura de 300 km. Determine: a) la velocidad del lanzamiento; b) la energía potencial del objeto a esa altura. Si estando situado a la altura de 300 km queremos convertir el objeto en satélite de forma que se ponga en órbita circular alrededor de la Tierra, c) qué energía adicional habrá que comunicarle?; d) cuál será la velocidad y el período del satélite en esa órbita?. Datos: Constante de Gravitación: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = km. Modelo 2010 Solución. a) v = 2, m s 1 b) E p = 5, J c) ΔE = 2, J d) v = 7, m s 1 ; T = 5, s. 82 Se coloca un satélite meteorológico de kg en órbita circular, a 300 km sobre la superficie terrestre. Determine: a) la velocidad lineal, la aceleración radial y el período en la órbita; b) el trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite. Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m s 2 Radio medio terrestre: R T = km. Junio 1999 Solución. a) v = 7.721,28 m s 1 ; a n = 8,94 m s 2 ; T = 5.427,70 s b) W = ΔE = 3, J. Página 27

32 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 83 Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El radio de la órbita. b) La energía potencial del satélite. c) La energía mecánica del satélite. d) La energía que habría que suministrar al satélite para que describa una órbita circular con radio doble que el de la órbita anterior. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Septiembre 2008 y Septiembre 2010 (Fase General) Solución. a) r = 7, m b) E p = 5, J c) E tot = 2, J d) ΔE = 1, J. 84 Una sonda espacial de masa m = kg se encuentra situada en una órbita circular alrededor de la Tierra de radio: r = 2,26 R T, siendo R T el radio de la Tierra. a) Calcule la velocidad de la sonda en esa órbita. b) Cuánto vale su energía potencial?. c) Cuánto vale su energía mecánica?. d) Qué energía hay que comunicar a la sonda para alejarla desde dicha órbita hasta el infinito?. Datos: Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Septiembre 2011 Solución. a) v = 5, m s 1 b) E p = 2, J c) E tot = 1, J d) ΔE = 1, J. 85 Un satélite de masa 20 kg se coloca en órbita circular sobre el ecuador terrestre de modo que su radio se ajusta para que dé una vuelta a la Tierra cada 24 horas. Así se consigue que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la Tierra (satélite geoestacionario). a) Cuál debe ser el radio de su órbita?. b) Cuánta energía es necesaria para situarlo en dicha órbita?. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: M T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = km. Septiembre 2007 Solución. a) r = 4, m b) ΔE = 1, J. Página 28

33 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 86 Se pretende colocar un satélite artificial de forma que gire en una órbita circular en el plano del ecuador terrestre y en el sentido de rotación de la Tierra. Si se quiere que el satélite pase periódicamente sobre un punto del ecuador cada dos días, calcule: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satélite; b) la relación entre la energía que hay que comunicar a dicho satélite desde el momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa órbita y la energía mínima de escape. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Radio de la Tierra: R T = km Masa de la Tierra: m T = 5, kg. Septiembre 2002 Solución. a) h = 6, m ; b) E c sup = 0,95 E esc (95 %). 87 Un planeta esférico tiene km de radio y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6,2 m s 2. Calcule: a) la densidad media del planeta y la velocidad de escape desde su superficie; b) la energía que hay que comunicar a un objeto de 50 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y ponerlo en órbita circular alrededor del mismo, de forma que su período sea de 2 horas. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Septiembre 2004 Solución. ρ m = 6.934,69 kg m 3 ; v esc = 6.299,2 m s 1 ; ΔE = 6, J. 88 El período de revolución del planeta Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximadamente doce veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos planetas, determine: a) la razón entre los radios de las respectivas órbitas; b) la razón entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas. Modelo 2001 Solución. a) r(júpiter) a(júpiter) = 5,24 ; b) = 0,04. r(tierra) a(tierra) 89 Las distancias de la Tierra y de Marte al Sol son, respectivamente, 149, km y 228, km. Suponiendo que las órbitas son circulares y que el período de revolución de la Tierra en torno al Sol es de 365 días: a) Cuál será el período de revolución de Marte?. b) Si la masa de la Tierra es 9,6 veces la de Marte y sus radios respectivos son km y km, cuál será el peso en Marte de una persona de 70 kg?. Dato: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m s 2. Modelo 1999 Solución. a) T M = 5, s ; b) P M = 252,56 N. Página 29

34 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 90 La sonda espacial Mars Odissey describe una órbita circular en torno a Marte a una altura sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satélite de Marte describe órbitas circulares de km de radio y tarda en cada una de ellas 7,7 h, calcule: a) el tiempo que tarda la sonda espacial en dar una vuelta completa; b) la masa de Marte y la aceleración de la gravedad en su superficie. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Radio de Marte: R M = km. Modelo 2004 Solución. a) T = 7, s b) m M = 6, kg ; g M = 3,70 m s Júpiter tiene aproximadamente una masa 320 veces mayor que la de la Tierra y un volumen veces superior al de la Tierra. Determine: a) a qué altura h sobre la superficie de Júpiter debería encontrarse un satélite, en órbita circular en torno a este planeta, para que tuviera un período de 9 horas 50 minutos; b) la velocidad del satélite en dicha órbita. Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m s 2 Radio medio de la Tierra: R T = 6, m. Modelo 2003 Solución. a) h = 8, m b) v = 2, m s La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describía en torno a la Tierra una órbita circular con una velocidad de 7,62 km s 1. a) A qué altitud se encontraba?. b) Cuál era su período?. Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 horas los astronautas que viajaban en el interior de la nave?. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio medio de la Tierra: R T = km. Septiembre 1999 Solución. a) h = 4, m b) T = 5.663,94 s -los astronautas contemplaban 15(,25) amaneceres cada 24 horas-. Página 30

35 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 93 Dos satélites artificiales de la Tierra S 1 y S 2 describen en un sistema de referencia geocéntrico dos órbitas circulares, contenidas en un mismo plano, de radios r 1 = km y r 2 = km, respectivamente. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado. a) Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites?. b) Qué relación existe entre los períodos orbitales de los satélites?. Qué posición ocupará el satélite S 2 cuando el satélite S 1 haya completado seis vueltas, desde el instante inicial?. Junio 2001 Solución. vsat 1 Tsat 1 = 1,06 ; v T = 0,83. sat 2 sat 2 Al cabo del tiempo indicado los dos satélites vuelven a estar como en la situación inicial -alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado-. 94 El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de la Luna, 113 km por encima de su superficie. Calcular: a) el período del movimiento; b) las velocidades lineal y angular del vehículo; c) la velocidad de escape a la atracción lunar desde esa posición. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Luna: m L = 7, kg Radio medio lunar: R L = km. Septiembre 1996 Solución. a) T = 7.153,06 s b) v = 1.627,66 m s 1 ; ω = 8, rad s 1 c) v esc = 1.627,66 m s 1 95 La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determine: a) la velocidad lineal de la nave y el período del movimiento; b) la velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Luna: m L = 7, kg Radio medio lunar: R L = km. Junio 1998 Solución. a) v = 1.633,40 m s 1 ; T = 7.077,91 s b) v esc = 1.633,40 m s 1. Página 31

36 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 96 Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg a una altura de km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule: a) cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite; b) qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio medio de la Tierra: R T = 6, m. Junio 2000 Solución. a) ΔE p = 5, J b) ΔE = 1, J. 97 Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esa órbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre. a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite. b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite. c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita. d) Se trata de un satélite geoestacionario?. Justifique la respuesta. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Modelo 2008 Solución. a) F = 491,49 N b) V = 3, J kg 1 c) E tot = 3, J d) No es un satélite geoestacionario. 98 Si se considera que la Tierra tiene forma esférica, con un radio aproximado de km, determine: a) la relación existente entre las intensidades del campo gravitatorio sobre la superficie terrestre y a una altura de 144 km por encima de la misma; b) la variación de energía cinética de un cuerpo de 100 kg de masa al caer libremente desde la altura de 144 km hasta 72 km por encima de la superficie terrestre. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2 Masa de la Tierra: m T = 5, kg. Solución. a) G(sup) = 1,0455 G(h) b) ΔE c = 6, J. Septiembre 1998 Página 32

37 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Mecánica e Interacción Gravitatoria 99 Se lanza una nave de masa m = kg desde la superficie de un planeta de radio R 1 = km y masa m 1 = kg, con una velocidad inicial v 0 = m/s, en dirección hacia otro planeta del mismo radio R 2 = R 1 y masa m 2 = 2 m 1, siguiendo la línea recta que une los centros de ambos planetas. Si la distancia entre dichos centros es D = 4, m, determine: a) la posición del punto P en el que la fuerza neta sobre la nave es cero; b) la energía cinética con la que llegará la nave a la superficie del segundo planeta. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6, N m 2 kg 2. Modelo 2006 Solución. a) Punto P: a m del centro del planeta 1 b) E c fin = 1, J. 100 Sabiendo que el período de revolución lunar es de 27,32 días y que el radio de la órbita es: R L = 3, m, calcule: a) La constante de gravitación universal: G (obtener su valor a partir de los datos del problema). b) La fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra y la de la Tierra sobre la Luna. c) El trabajo necesario para llevar un objeto de kg desde la Tierra hasta la Luna. (Despreciar los radios de la Tierra y de la Luna, en comparación con su distancia). d) Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna, a una distancia de la Tierra de R L /4, cuál es la relación de fuerzas debidas a la Tierra y a la Luna?. Datos: Masa de la Tierra: m T = 5, kg Masa de la Luna: m L = 7, kg Radio de la Tierra: = 6, m Radio de la Luna: = 1, m. Junio 2011 Solución. a) G = 6, N m 2 kg 2 b) F = 2, N (ambas) c) W = 3, J trabajo realizado contra el campo gravitatorio- d) F T = 732,24. F L Página 33

38 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO VIBRACIONES Y ONDAS ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA I.E.S. EMILIO CASTELAR MADRID Inscrito en el Registro de la Propiedad Intelectual de la Comunidad de Madrid. Referencia: 16 / 2013 / 6357

39 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO D.A.G.F. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) VIBRACIONES Y ONDAS Cuestiones 1 La aceleración del movimiento de una partícula viene expresada por la relación: a = ky, siendo y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y k una constante. De qué movimiento se trata?. Qué representa k?. Cuál es la ecuación del citado movimiento?. Junio 1997 Solución. Es un movimiento armónico simple. k = ω 2 (ω: pulsación o frecuencia angular). Ecuación del movimiento: y = y(t) = A sen(ωt + θ 0 ). 2 Una partícula de masa 3 g oscila con movimiento armónico simple de elongación en función del tiempo: x = 0,5 cos(0,4t + 0,1), en unidades SI. Determine: a) la amplitud, la frecuencia, la fase inicial y la posición de la partícula en t = 20 s; b) las energías cinéticas máxima y mínima de la partícula que oscila, indicando en qué posiciones se alcanzan. Modelo 2003 Solución. a) A = 0,5 m ; ν = 0,06 s 1 ; θ 0 = 0,1 rad ; x(t = 20 s) = 0,12 m b) E c máx = J (en el centro) ; E c mín = 0 (en los extremos). 3 Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine: a) la expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo; b) la velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Septiembre 2008, Septiembre 2009 y Septiembre 2010 (Fase General) Solución. a) π x = x(t) = 0,10 sen π t (SI) 2 b) v(t = 0,25 s) = 0,22 m s 1 ; a(t = 0,25 s) = 0,70 m s 2. Página 2

40 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 4 Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo período es igual a 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule: a) la amplitud y la fase inicial; b) la máxima aceleración de la partícula. Septiembre 2001 Solución. a) A = 9, m ; θ 0 4 π rad b) a máx = 0,39 m s 2. 5 Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 8 cm y un período de 4 s. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación máxima: a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo. b) Cuáles son los valores de la velocidad y de la aceleración 5 s después de que la partícula pase por un extremo de la trayectoria?. Septiembre 1998 π π Solución. a) x = x(t) = 0,08 sen t (unidades SI) 2 2 b) v(t = 5 s) = 0,13 m s 1 ; a(t = 5 s) = 0. 6 Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 m/s 2. Calcule: a) la frecuencia y el período del movimiento; b) la velocidad máxima de la partícula. Septiembre 2006 Solución. a) ν = 5,51 s 1 ; T = 0,18 s b) v máx = 1,39 m s 1. 7 Una partícula que realiza un movimiento armónico simple recorre una distancia total de 20 cm en cada vibración completa y su máxima aceleración es de 50 cm/s 2. a) Cuáles son los valores de su amplitud, período y velocidad máxima?. b) En qué posiciones de la trayectoria consigue los valores máximos de la velocidad y de la aceleración?. Modelo 1999 Solución. a) A = 0,05 m ; T = 1,99 s ; v máx = 0,16 m s 1 b) Velocidad máxima (en valor absoluto): en el centro de la oscilación. Aceleración máxima (en valor absoluto): en los extremos. Página 3

41 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 8 a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se desplaza 5 cm; de qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la aceleración de la gravedad?. b) Calcule el período de oscilación del sistema muelle-masa anterior si se deja oscilar en posición horizontal (sin rozamiento). Dato: Aceleración de la gravedad: g = 9,81 m s 2. Junio 2004 x m Solución. a) = (k: constante elástica del muelle) g k b) T = 0,45 s. 9 Se tienen dos muelles de constantes elásticas k 1 y k 2, en cuyos extremos se disponen dos masas m 1 y m 2 respectivamente, y tal que m 1 < m 2. Al oscilar, las fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función de la elongación aparecen representadas en la figura. a) Cuál es el muelle de mayor constante elástica?. b) Cuál de estas masas tendrá mayor período de oscilación?. 1 2 F 2 x 1 Septiembre 2005 Solución. a) El muelle 1 b) La masa Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine: a) el valor del período de las oscilaciones T y su frecuencia angular ω; b) las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la elongación del movimiento del sistema oscilante. Junio 2001 Solución. a) T = 2π m ; ω = k 1 b) E c = k x k m A ; E p = 2 1 kx 2 ; E total = 2 1 ka 2. Página 4

42 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 11 Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira verticalmente del cuerpo desplazando éste una distancia X respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos casos, entre: a) las velocidades máximas del cuerpo; b) las energías mecánicas del sistema oscilante. Junio 2008 v máx (A 2 2X) Solución. a) 2 v (A X) máx E tot (A 2 2X) b) 4. E (A X) tot Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle, realiza un movimiento armónico simple con un período de 0,25 s. Si la energía total del sistema es 8 J: a) cuál es la constante elástica del muelle?; b) cuál es la amplitud del movimiento?. Modelo 2010 Solución. a) k = 126,33 N m 1 b) A = 0,36 m. 13 Un cuerpo de masa: 250 g unido a un muelle realiza un movimiento armónico simple con una frecuencia de 5 Hz. Si la energía total de este sistema elástico es 10 J: a) cuál es la constante elástica del muelle?; b) cuál es la amplitud del movimiento?. Modelo 2011 Solución. a) k = 246,74 N m 1 b) A = 0,28 m. 14 Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine: a) el período del movimiento y la constante elástica del muelle; b) la velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Junio 2007 Solución. a) T = 0,30 s ; k = 1.074,80 N m 1 b) v máx = 1,04 m s 1 ; a máx = 21,50 m s 2. Página 5

43 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 15 La gráfica muestra el desplazamiento horizontal: x = x(t) respecto del equilibrio de una masa de 0,5 kg unida a un muelle. a) Obtenga la constante elástica del muelle. b) Determine las energías cinética y potencial del sistema en el instante: t = 0,25 s. Junio 2010 (Materias coincidentes) Solución. k = 123,37 N m 1 ; E c (t = 0,25 s) = 0,077 J ; E p (t = 0,25 s) = 0,077 J. 16 Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa, de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine: a) el valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte; b) el valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos. Septiembre 1999 Solución. a) m = 0,1 kg ; k = 3,95 N m 1 ; b) A 2 = A 1 = 0,05 m. 17 Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué ocurre con: a) el período; b) la velocidad máxima; c) la aceleración máxima; d) la energía mecánica de la partícula. Junio 2010 (Fase Específica) Solución. ν 2 = 2 ν 1 ; T2 = 2 T 1 ; v máx,2 = a máx,2 = a máx, 1 ; E tot,2 = 4 E tot, 1. 4 v máx, Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explique qué efecto tiene: a) en la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones; b) en la velocidad y el período de oscilación. Junio 1998 Solución. E tot 2 = 2 E tot 1 ; A 2 = 2 A 1 ; ν 2 = ν 1 ; v 2 = 2 v 1 ; T 2 = T 1. Página 6

44 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 19 Se dispone de un oscilador armónico formado por una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Si en ausencia de rozamientos se duplica la energía mecánica del oscilador, explique qué ocurre con: a) la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones; b) la velocidad máxima y el período de oscilación. Septiembre 2011 Solución. E tot 2 = 2 E tot 1 ; A 2 = 2 A 1 ; ν 2 = ν 1 ; v máx 2 = 2 v máx 1 ; T 2 = T Se tiene una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa. Si se reduce a la mitad su frecuencia, razone qué ocurre con: a) el período; b) la velocidad de propagación; c) la longitud de onda, y d) la amplitud. Septiembre 2002 Solución. ν 2 = 2 ν 1 ; T2 = 2 T 1 ; v 2 = v 1 ; λ 2 = 2 λ 1 ; A 2 = A a) Si el oído humano puede percibir sonidos de frecuencias comprendidas en el intervalo de 20 Hz a Hz aproximadamente, cuáles son las longitudes de onda en el aire que corresponden a estas frecuencias?. b) Si el oído humano es capaz de distinguir aproximadamente dos sonidos que se emiten con un intervalo de 0,1 s, cuál es la distancia mínima a la que debe estar de una pared una persona para que perciba el eco?. Dato: Velocidad del sonido en el aire: v = 340 m s 1. Junio 1997 Solución. a) λ(20 Hz) = 17 m ; λ( Hz) = 0,017 m b) s mín = 17 m. 22 El período de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa es de s. Sabiendo, además, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale π/2 rad están separados una distancia de 10 cm, calcule: a) la longitud de onda, y b) la velocidad de propagación. Junio 2003 Solución. a) λ = 0,40 m b) v = 200 m s 1. Página 7

45 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 23 Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6 m de longitud, oscila transversalmente con un movimiento armónico simple de frecuencia: 60 Hz. Las ondas generadas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Determine: a) la longitud de onda y el número de onda de las ondas en la cuerda; b) la diferencia de fase de oscilación existente entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm. Septiembre 2000 Solución. a) λ = 0,20 m ; k = 10π rad m 1 b) Δθ = π rad. 24 Una onda armónica que se propaga por un medio unidimensional tiene una frecuencia de 500 Hz y una velocidad de propagación de 350 m/s. a) Qué distancia mínima hay, en un cierto instante, entre dos puntos del medio que oscilan con una diferencia de fase de 60º?. b) Cuál es la diferencia de fase de oscilación, en un cierto punto, para un intervalo de tiempo de 10 3 s?. Junio 1999 Solución. a) Δx = 0,12 m b) Δθ = π rad. 25 a) Escriba la expresión matemática de una onda armónica transversal unidimensional: y = y(x,t), que se propaga en el sentido positivo del eje X. b) Defina los conceptos de las siguientes magnitudes: amplitud, período, longitud de onda y fase inicial. Junio 2010 (Fase General) Solución. y = y(x,t) = A sen (ωt kx + θ 0 ) Amplitud: Período: Longitud de onda: Es el valor máximo del desplazamiento transversal. Es la duración de un ciclo de onda -el tiempo al cabo del cual la onda se repite-. Es la distancia que recorre la onda en un período -la distancia al cabo de la cual la onda se repite-. Fase inicial: Ángulo de fase (ωt kx + θ 0 ) para x = 0 en t = 0. Página 8

46 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 26 Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados: a) frecuencia angular ω y velocidad de propagación v; b) período T y longitud de onda λ; c) frecuencia angular ω y número de onda k. d) Explique por qué es una función doblemente periódica. Junio 2002 Solución. a) ω t x ψ(x,t) = A sen ω t x υ0 ; b) ψ(x,t) = A sen v 2 π υ0 T λ c) ψ(x,t) = A sen (ωt kx + θ 0 ) d) La onda es periódica en el tiempo (período: T) y periódica en el espacio ( período : λ -longitud de onda-). 27 Una onda armónica transversal de longitud de onda: λ = 1 m se desplaza en el sentido positivo del eje X. En la gráfica se muestra la elongación (y) del punto de coordenada x = 0 en función del tiempo. Determine: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La expresión matemática que describe esta onda. Septiembre 2010 (Fase General) Solución. v = 0,33 m s 1 2π ; y(x,t) = ψ(x,t) = 0,8 sen t 2πx 3 (unidades SI). 28 Una partícula oscila con movimiento armónico simple según el eje Y en torno al origen de coordenadas, originando una onda transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de 20 m s 1, una amplitud de 0,02 m y una frecuencia de 10 Hz. Determine: a) el período y la longitud de onda; b) la expresión matemática de la onda, si en t = 0 la partícula situada en el origen de coordenadas está en la posición de máxima elongación positiva. Septiembre 2004 π Solución. T = 0,10 s ; λ = 2 m ; ψ(x,t) = 0,02 sen 20 πt πx (unidades SI). 2 Página 9

47 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 29 Una onda transversal de amplitud: A = 5 cm que se propaga por un medio material tarda 2 s en recorrer una distancia de 50 cm, y sus puntos más próximos de igual fase distan entre sí 25 cm. Determine: a) La expresión matemática de la función de onda, si en el instante t = 0 la elongación en el origen: x = 0 es nula. b) La aceleración de un punto de la onda situado en: x = 25 cm, en el instante: t = 1 s. Junio 2011 Solución. a) ψ(x,t) = 0,05 sen(2πt ± 8πx) (unidades SI) b) a = La expresión matemática de una onda armónica es: y(x,t) = 3 sen(200πt 5x + π), estando todas las magnitudes en unidades SI. Determine: a) la frecuencia y la longitud de onda; b) la amplitud y la velocidad de propagación de la onda. Septiembre 2003 Solución. a) ν = 100 s 1 ; λ = 1,26 m ; b) A = 3 m ; v = 40π m s Una onda armónica unidimensional está dada, en el Sistema Internacional de unidades, por la expresión: y(x,t) = 4 sen(50t 4x). Determine: a) la amplitud; b) el período; c) la longitud de onda, y d) la velocidad de propagación. Modelo 2004 Solución. A = 4 m ; T = 0,13 s ; λ = 1,57 m ; v = 12,5 m s La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa coincidente con el eje X es: y = 0,2 sen(100πt 200πx), en unidades SI. Determine: a) los valores del período, la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda; b) la expresión matemática de la onda en términos de la función coseno. Modelo 2001 Solución. a) T = 0,02 s ; A = 0,2 m ; λ = 0,01 m ; v = 0,50 m s 1 π b) y = y(x,t) = 0,2 cos 100 πt 200πx (unidades SI) 2 Página 10

48 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 33 Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por expresión matemática: y(x,t) = 2 sen(7t 4x), en unidades SI. Determine: a) la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda; b) el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda. Junio 2000 Solución. a) v = 1,75 m s 1 ; v vibración máxima = 14 m s 1 b) T = 0,90 s. 34 La expresión matemática que representa una onda armónica en unidades SI es: π y(x,t) = 0,04 sen 2 πt x. 4 Determine: a) la frecuencia de la onda y su velocidad de propagación; b) la distancia mínima entre dos puntos que vibran con una diferencia de fase de 120º. Modelo 2008 Solución. a) ν = 1 s 1 ; v = 8 m s 1 b) Δx mín = 2,67 m. 35 Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un período de 0,2 s y se propaga en el sentido negativo del eje X a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0, la partícula de la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento positivo de 0,02 m y una velocidad de oscilación negativa de 2 m/s. a) Cuál es la amplitud de la onda?. b) Cuál es la fase inicial?. c) Cuál es la máxima velocidad de oscilación de los puntos de la cuerda?. d) Escriba la función de onda correspondiente. Septiembre 2007 Solución. a) A = 6, m b) θ 0 = 2,84 rad c) v máx = 2,10 m s 1 d) y(x,t) = 6, sen(31,42t + 1,05x + 2,84) (unidades SI). Página 11

49 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 36 Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz. a) Describa la naturaleza de la onda sonora e indique cuál es la dirección en la que tiene lugar la perturbación, respecto a la dirección de propagación. b) Calcule el período de esta onda y su longitud de onda. Dato: Velocidad del sonido en el aire: v = 340 m s 1. Junio 2006 Solución. El sonido es una onda de presión longitudinal, en la que la dirección en la que vibran las partículas del medio coincide con la dirección de propagación de la onda. T = 3, s ; λ = 1,31 m. 37 Qué cualidades distinguen entre sí los diferentes sonidos?. Cómo dependen dichas cualidades de las magnitudes que caracterizan la onda sonora?. Razona la respuesta. Septiembre 1996 Solución. Intensidad; depende de la frecuencia, amplitud y distancia. Tono; depende de la frecuencia fundamental. Timbre; depende de la combinación de armónicos. 38 a) Qué es la intensidad y el tono de un sonido?. b) De qué parámetros de la onda dependen?. Junio 1998 Solución. Intensidad: Energía transportada por unidad de tiempo y de superficie perpendicular al sentido de propagación. Depende de la frecuencia, amplitud y distancia. Tono: Está dado por la frecuencia fundamental. 39 Una bolita de 0,1 g de masa cae desde una altura de 1 m, con velocidad inicial nula. Al llegar al suelo el 0,05 por ciento de su energía cinética se convierte en un sonido de duración 0,1 s. a) Halle la potencia sonora generada. b) Admitiendo que la onda sonora generada puede aproximarse a una onda esférica, estime la distancia máxima a la que puede oírse la caída de la bolita si el ruido de fondo solo permite oír intensidades mayores de 10 8 W/m 2. Dato: Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m s 2. Septiembre 2002 Solución. a) P = 4, W b) r máx = 6,24 m. Página 12

50 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 40 Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W. Calcule: a) La intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente. b) A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 130 db?. Dato: Intensidad umbral de audición: I 0 = W m 2. Modelo 2007 Solución. a) I(r = 10 m) = 0,06 W m 2 b) r(s = 130 db) = 0,80 m. 41 Un altavoz emite con una potencia de 80 W. Suponiendo que el altavoz es una fuente puntual y sabiendo que las ondas emitidas son esféricas, determine: a) La intensidad de la onda sonora a 10 m del altavoz. b) A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 60 db?. Dato: Intensidad umbral: I 0 = W m 2. Junio 2011 Solución. a) I = 6, W m 2 b) r = 2.523,13 m. 42 Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 10 6 W. a) Determine el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora. b) A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad del valor anterior?. Dato: La intensidad umbral de audición es: I 0 = W m 2. Modelo 2002 Solución. a) S(r = 1 m) = 49 db b) r(s = 24,5 db) = 16,80 m. 43 La potencia de la bocina de un automóvil, que se supone foco emisor puntual, es de 0,1 W. a) Determine la intensidad de la onda sonora y el nivel de intensidad sonora a una distancia de 8 m del automóvil. b) A qué distancias desde el automóvil el nivel de intensidad sonora es menor de 60 db?. Dato: Intensidad umbral de audición: I 0 = W m 2. Modelo 2009 Solución. a) I(r = 8 m) = 1, W m 2 ; S(r = 8 m) = 80,95 db b) S < 60 db para r > 89,21 m. Página 13

51 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 44 Un búho que se encuentra en un árbol a una altura de 20 m emite un sondo cuya potencia sonora es de W. Si un ratón se acerca a las proximidades del árbol: a) Determine a qué distancia del pie del árbol el ratón comenzará a oír al búho. b) Halle el nivel de intensidad sonora percibido por el ratón cuando esté junto al árbol. Suponga que la intensidad umbral de audición del ratón es: I 0 = W m 2. Junio 2010 (Materia coincidentes) Solución. a) d = 44,58 m b) S = 7,76 db. 45 Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes: a) La intensidad de una onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente proporcional a la distancia a la fuente. b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del sonido en un factor Modelo 2006 Solución. Afirmación verdadera: b) Afirmación falsa: a). 46 Una fuente puntual emite un sonido que se percibe con nivel de intensidad sonora de 50 db a una distancia de 10 m. a) Determine la potencia sonora de la fuente. b) A qué distancia dejaría de ser audible el sonido?. Dato: Intensidad umbral de audición: I 0 = W m 2. Junio 2009 Solución. a) P = 4π 10 5 W b) r mín (S = 0) = 3.162,28 m. 47 El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 db a 10 m de distancia. Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule: a) el nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia; b) la distancia a la que la sirena deja de ser audible. Dato: Intensidad umbral de audición: I 0 = W m 2. Junio 2005 Solución. a) S(r = 1 km) = 20 db b) r mín (S = 0) = 10 4 m. Página 14

52 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 48 El sonido producido por la sirena de un barco alcanza un nivel de intensidad sonora de 80 db a 10 m de distancia. Considerando la sirena como un foco sonoro puntual, determine: a) la intensidad de la onda sonora a esa distancia y la potencia de la sirena. b) El nivel de intensidad sonora a 500 m de distancia. Dato: Intensidad umbral de audición: I 0 = W m 2. Junio 2010 (Fase General) Solución. a) I(r = 10 m) = 10 4 W m 2 ; P = 4π 10 2 W b) S(r = 500 m) = 46,02 db. 49 Una persona situada entre dos montañas dispara una escopeta y oye el eco procedente de cada montaña al cabo de 2 s y 3,5 s. a) Cuál es la distancia entre las dos montañas?. b) Si la potencia sonora inicial producida en el disparo es de 75 W, y suponiendo que el sonido se transmite como una onda esférica sin fenómenos de atenuación o interferencia, calcule el nivel de intensidad sonora con el que la persona escuchará el eco del disparo procedente de la montaña más próxima. Datos: Velocidad del sonido: v = 343 m s 1 Intensidad umbral: I 0 = W m 2. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. a) d = 943,25 m b) S = 71,03 db. 50 Dos sonidos tienen niveles de intensidad sonora de 50 db y 70 db respectivamente. Calcule cuál será la relación entre sus intensidades. Junio 1999 Solución. I(70 db) = 100 I(50 db). 51 Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s, cuáles son los valores de la frecuencia fundamental y de los otros armónicos en el caso de las ondas estacionarias en un tubo de 1 m de longitud cerrado por ambos extremos?. Cuáles son los valores de las longitudes de onda correspondientes a dichas frecuencias?. Justifica las respuestas. Septiembre 1997 Solución. Sonido fundamental: ν 1 = 170 s 1 ; λ 1 = 2 m Armónicos: ν n = n ν 1 ; λ n = n 2 m (n = 2,3,4...) Página 15

53 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 52 Enuncia el Principio de Huygens y utiliza dicho principio para construir el frente de onda refractado en el fenómeno de la refracción de ondas planas. Deduce, asimismo, la Ley fundamental de la refracción en este caso. Junio 1996 Solución. Principio de Huygens: La onda avanza porque cada punto del frente de onda actúa como reemisor de ondas secundarias de igual longitud de onda que la primitiva en el sentido de avance de la onda, siendo el nuevo -siguiente- frente de onda tangente - envolvente - a esas ondas esféricas secundarias reemitidas. 53 Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire penetra en el agua de un estanque. a) Qué fenómeno luminoso se origina al pasar la luz del aire al agua?. Enuncie las Leyes que se verifican en este fenómeno. b) Explique si la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda cambian al pasar la luz de un medio a otro. Modelo 2003 Solución. Se verifica la refracción de la luz. Primera Ley: El rayo incidente, el rayo refractado y la normal son coplanarios. Segunda Ley: n 1 senα = n 2 sen β (Snell) Al pasar del aire al agua disminuyen la velocidad de propagación y la longitud de onda, pero la frecuencia permanece invariable. 54 Explica por qué cuando se observa desde el aire un remo sumergido parcialmente en el agua parece estar doblado. Ayúdate de construcciones geométricas en la explicación. Junio 1996 Solución. Se debe a la refracción de la luz al pasar del agua al aire. Página 16

54 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Vibraciones y Ondas 55 a) Indique las diferencias que a su juicio existen entre los fenómenos de refracción y de dispersión de la luz. Puede un rayo de luz monocromática sufrir ambos fenómenos?. b) Por qué no se observa dispersión cuando la luz blanca atraviesa una lámina de vidrio de caras plano-paralelas?. Junio 1998 Solución. Refracción: Desviación de los rayos luminosos al cambiar la luz de medio de propagación. Dispersión: Separación de las diferentes ondas monocromáticas - colores - que componen la luz inicial. Un rayo de luz monocromática puede refractarse, pero no dispersarse. Al atravesar la luz blanca una lámina de caras plano-paralelas no se observa dispersión dado que los rayos salientes van paralelos -y juntos- respecto a los incidentes. 56 Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío: λ 0 = m (luz roja), que se propaga en el agua, de índice de refracción: n = 1,34. Determine: a) la velocidad de propagación de la luz en el agua; b) la frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua. Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Septiembre 1999 Solución. a) v = 2, m s 1 b) ν = s 1 ; λ = 4, m. 57 Considérese un haz de luz monocromática, cuya longitud de onda en el vacío es: λ 0 = 600 nm. Este haz incide, desde el aire, sobre la pared plana de vidrio de acuerdo con un ángulo de incidencia de 30º. Determine: a) El ángulo de refracción en el vidrio, sabiendo que su índice de refracción es: n 1 = 1,5. b) La longitud de onda de dicho haz en el agua, sabiendo que su índice de refracción es: n 2 = 1,33. Junio 2011 Solución. a) β = 19º b) λ(agua) = 4, m. Página 17

55 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones y Preguntas de Vibraciones y Ondas 58 Un haz luminoso está constituido por dos rayos de luz superpuestos: uno azul, de longitud de onda 450 nm, y otro rojo, de longitud de onda 650 nm. Si este haz incide desde el aire sobre la superficie plana de un vidrio con un ángulo de incidencia de 30º, calcule: a) el ángulo que forman entre sí los rayos azul y rojo reflejados; b) el ángulo que forman entre sí los rayos azul y rojo refractados. Datos: Índice de refracción del vidrio para el rayo azul: n AZUL = 1,55 Índice de refracción del vidrio para el rayo rojo: n ROJO = 1,40. Junio 2003 Solución. a) 0º ; b) 2º Qué analogías y diferencias esenciales se pueden establecer entre los rayos X y los rayos γ?. Explica brevemente el origen de ambas radiaciones. Septiembre 1997 Solución. Rayos X: Radiaciones electromagnéticas cuya longitud de onda está comprendida en el intervalo: m λ 10 9 m (en el vacío). Se originan en transiciones electrónicas internas en los átomos, y en frenados bruscos de haces de electrones acelerados por grandes diferencias de potencial. Rayos γ: Las radiaciones electromagnéticas de mayor energía, con longitud de onda en el intervalo: m λ m (en el vacío). Se originan en ciertas desintegraciones de núcleos radiactivos. Preguntas 60 La velocidad de una partícula que describe un movimiento armónico simple alcanza un valor máximo de 40 cm s 1. El período de oscilación es de 2,5 s. Calcule: a) La amplitud y la frecuencia angular del movimiento. b) La distancia a la que se encuentra del punto de equilibrio cuando su velocidad es de 10 cm s 1. Septiembre 2013 Solución. a) A = 0,16 m ; ω = 2,51 rad s 1 b) x = ±1, m. Página 18

56 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Vibraciones y Ondas 61 En el extremo libre de un resorte colgado del techo, de longitud: 40 cm, se cuelga un objeto de 50 g de masa. Cuando el objeto está en posición de equilibrio con el resorte éste mide 45 cm. Se desplaza el objeto desde la posición de equilibrio 6 cm hacia abajo y se suelta desde el reposo. Calcule: a) El valor de la constante elástica del resorte y la función matemática del movimiento que describe el objeto. b) La velocidad y la aceleración al pasar por el punto de equilibrio cuando el objeto asciende. Junio 2013 Solución. a) k = 9,8 N m 1 y(t) = 0,45 + 0,06 sen 14 t (unidades SI) 2 -tomando y positiva desde el techo hacia abajob) v = v máx = 0,84 m s 1 ; a = Un objeto está unido a un muelle horizontal de constante elástica: N m 1. Despreciando el rozamiento: a) Qué masa ha de tener el objeto si se desea que oscile con una frecuencia de 50 Hz?. Depende el período de las oscilaciones de la energía inicial con que se estire el muelle?. Razone la respuesta. b) Cuál es la máxima fuerza que actúa sobre el objeto, si la amplitud de las oscilaciones es de 5 cm?. Modelo 2013 Solución. a) m = 0,20 kg. El período no depende de la energía inicial. b) F máx = N. 63 Una masa m oscila en el extremo de un muelle con una frecuencia de 1 Hz. Calcule: a) El valor de la masa m y el de la constante elástica k del muelle si, cuando se añade otra masa de 0,3 kg, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. b) La masa que hay que añadir, a la ya existente m, para que el período de oscilación se triplique. Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. a) m = 0,1 kg ; k = 3,95 N m 1 b) m = 0,8 kg. Página 19

57 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Vibraciones y Ondas 64 Un objeto de 2 kg de masa unido al extremo de un muelle oscila a lo largo del eje X con una amplitud de 20 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El objeto tarda 9 s en completar 30 oscilaciones, y en el instante de tiempo: t = 0 su posición era: x 0 = +10 cm y su velocidad positiva. Determine: a) La velocidad del objeto en el instante: t = 1,2 s. b) Le energía cinética máxima del objeto. Modelo 2012 Solución. a) v = 3,63 m s 1 ; b) E c máx = 17,55 J. 65 Un objeto de 100 g de masa, unido al extremo libre de un resorte de constante elástica k, se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se estira, suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo con un período de 0,25 s. Determine: a) La constante elástica y escriba la función matemática que representa la oscilación. b) La energía cinética cuando han transcurrido 0,1 s. Septiembre 2012 Solución. a) k = 63,17 N m 1 ; x(t) = 0,25 sen 8 t (unidades SI) 2 b) E c (t = 0,1 s) = 0,69 J. 66 Un muelle, de longitud en reposo: 25 cm y cuya constante elástica es: k = 0,2 N cm 1, tiene uno de sus extremos fijos a una pared. El extremo libre del muelle se encuentra unido a un cuerpo de masa: 300 g, el cual oscila sin rozamiento sobre una superficie horizontal, siendo su energía mecánica igual a 0,3 J. Calcule: a) La velocidad máxima del cuerpo. Indique en qué posición, medida con respecto al extremo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad. b) La máxima aceleración experimentada por el cuerpo. Junio 2014 Solución. a) v máx = 1,41 m s 1 Se da en la posición central de equilibrio -a 25 cm del extremo fijo del muelleb) a máx = 11,55 m s Un objeto de 100 g de masa describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje X, en torno a x = 0. Cuando el objeto se encuentra en el origen de coordenadas, el módulo de su velocidad es: 4 m s 1, y cuando está en el punto x = +40 cm es de 2 m s 1. Calcule: a) La energía mecánica y la amplitud del movimiento. b) La aceleración de la partícula en x = +40 cm y su período de oscilación. Junio 2014 (Materias coincidentes) Solución. a) E tot = 0,8 J ; A = 0,46 m b) a(+40 cm) = 30 m s 2 -dirigida de +X a X- ; T = 0,73 s. Página 20

58 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Vibraciones y Ondas 68 Sobre la superficie de la Tierra y a nivel del mar se coloca un péndulo simple de longitud: l = 2 m, y se obtiene experimentalmente un valor de la aceleración local de la gravedad: g 0 = 9,81 m s 2. El experimento se realiza haciendo oscilar el péndulo en régimen de pequeñas oscilaciones. a) Calcule la Constante de Gravitación Universal y el período del péndulo cuando se encuentra oscilando a nivel del mar. b) Repetimos el experimento en la cima de una montaña, de 8 km de altura. Calcule la aceleración local de la gravedad en ese punto, así como la longitud que tendría que tener el péndulo para que su período fuese el mismo que el que tiene a nivel del mar. Datos: Masa de la Tierra: m T = 5, kg Radio de la Tierra: R T = 6, m. Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. a) G = 6, N m 2 kg 2 ; T = 2,84 s b) g(h = 8 km) = 9,79 m s 2 ; l = 1,99 m. 69 Una onda transversal se propaga por un medio elástico con una velocidad v, una amplitud A 0 y oscila con una frecuencia ν 0. Conteste razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Determine en qué proporción cambiarían la longitud de onda, la velocidad de propagación, el período y la amplitud, si se actúa sobre el foco emisor de ondas reduciendo a la mitad la frecuencia de oscilación. b) Sin alterar su frecuencia ν 0, se modifica la amplitud de la onda, haciendo que aumente al doble. En qué proporción cambiarían la velocidad de la onda, la velocidad máxima de las partículas del medio y la longitud de onda?. Modelo Solución. a) ν 1 = ; λ1 = 2 λ 0 ; v 1 = v 0 ; T 1 = 2 T 0 ; A 1 = A 0 2 b) A 2 = 2 A 0 ; v 2 = v 0 ; v máx 2 = 2 v máx 0 ; λ 2 = λ Una onda sinusoidal con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 100 Hz viaja a una velocidad de 200 m/s en la dirección positiva del eje X y oscila en la dirección del eje Y. En el instante: t = 0 la elongación es máxima y positiva en el punto: x = +3 m. a) Calcule la longitud de onda: λ y el número de onda: k de la onda. b) Determine la expresión matemática que representa la onda. Modelo 2012 Solución. a) λ = 2 m ; k = π rad m 1 3π b) y(x,t) = 1,5 sen 200 πt πx (unidades SI) 2 Página 21

59 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Vibraciones y Ondas 71 Una onda armónica transversal de frecuencia angular: 4π rad s 1 se propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 40 cm s 1, en la dirección positiva del eje X. En el instante inicial: t = 0, en el extremo de la cuerda: x = 0, su elongación es de +2,3 cm y su velocidad de oscilación es de 27 cm s 1. Determine: a) La expresión matemática que representa la onda. b) El primer instante en el que la elongación es máxima en x = 0. Septiembre 2012 Solución. a) y(x,t) = 3, sen(4πt 10πx + 0,82) (unidades SI) b) t = 5, s. 72 En una cuerda se genera una onda armónica transversal de 20 cm de amplitud, velocidad de propagación: 5 m s 1 y frecuencia: 30 Hz. La onda se desplaza en el sentido positivo del eje X, siendo en el instante inicial la elongación nula en la posición: x = 0. a) Escriba la expresión matemática que describe dicha onda si en t = 0 y x = 0 la velocidad de oscilación es positiva. b) Calcule la velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda. Junio 2012 Solución. a) y(x,t) = 0,20 sen(60πt 12πx) (unidades SI) b) v máx = 12 π m s 1 ; a máx = 720 π 2 m s Una onda armónica transversal se propaga por un medio elástico a lo largo del eje X (sentido positivo), produciendo un desplazamiento en las partículas del medio a lo largo del eje Y. La velocidad de propagación de la onda es de 30 m s 1, siendo su longitud de onda igual a 3 m. En el instante t = 0 s el desplazamiento inducido por la onda en el origen de coordenadas es nulo, siendo la velocidad de vibración positiva. Si el desplazamiento máximo inducido por la onda es igual a 0,2 cm: a) Escriba la expresión matemática que describe la onda. b) Determine la máxima velocidad y aceleración de una partícula del medio. Junio 2014 Solución. a) y(x,t) = sen 20 t x 3 (unidades SI) b) v máx = 0,04 π m s 1 ; a máx = 0,8 π 2 m s 2. Página 22

60 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Vibraciones y Ondas 74 Una onda armónica transversal se propaga en la dirección positiva del eje de las X, con una velocidad de 3 m s 1, siendo su amplitud de 2 cm y su longitud de onda de 1 m. En el instante inicial, un punto de la perturbación, situado en x = 0, se encuentra 2 cm por encima del punto de equilibrio. Determine: a) La función matemática que representa dicha onda. b) La velocidad y aceleración de la perturbación en el punto: x = 0,75 m, en el instante: t = 2 s. Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. a) y(x,t) = 0,02 sen 6 t 2 x (unidades SI) 2 b) v(x = 0,75 m, t = 2 s) = 0,12π m s 1 ; a(x = 0,75 m, t = 2 s) = Una onda armónica transversal, de longitud de onda: 1 m y amplitud A, se propaga en el sentido negativo del eje X. En el instante inicial, para el punto situado en x = 0 la elongación es: y = A, y la velocidad de oscilación es nula, y 2 s después su velocidad alcanza (por primera vez) el valor máximo de 0,5 m s 1. a) Calcule la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda. b) Escriba la expresión matemática de la onda. Junio 2014 (Materias coincidentes) Solución. a) ν = 0,125 s 1 ; v = 0,125 m s 1 b) 2 3 y(x,t) = sen t 2 x 4 2 (unidades SI) 76 Una onda transversal, que se propaga en el sentido positivo del eje X, tiene una velocidad de propagación de 600 m s 1 y una frecuencia de 500 Hz. Determine: a) La mínima separación entre dos puntos del eje X que tengan un desfase de 60º, en el mismo instante. b) El desfase entre dos elongaciones, en la misma coordenada x, separadas por un intervalo de tiempo de dos milésimas de segundo. Junio 2013 Solución. a) Δx = 0,2 m b) Δθ = 2π rad. Página 23

61 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Vibraciones y Ondas 77 La función matemática que representa una onda transversal que avanza por una cuerda es: y(x,t) = 0,3 sen(100πt 0,4πx + φ 0 ), donde todas las magnitudes están expresadas en unidades del SI. Calcule: a) La separación entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es de π/5 radianes. b) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio separadas por un intervalo de tiempo de 5 ms. Modelo 2013 Solución. a) Δx = 0,5 m b) Δθ = 2 π rad. 78 La potencia sonora del ladrido de un perro es aproximadamente 1 mw y dicha potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones. Calcule: a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora a una distancia de 10 m del lugar donde se produce el ladrido. b) El nivel de intensidad sonora generada por el ladrido de cinco perros a 20 m de distancia de los mismos. Suponga que todos los perros emiten sus ladridos en el mismo punto del espacio. Dato: Intensidad umbral: I 0 = W m 2. Junio 2012 Solución. a) I = 7, W m 2 ; S = 59 db b) S 60 db. 79 Un espectador que se encuentra a 20 m de un coro formado por quince personas percibe el sonido con un nivel de intensidad sonora de 54 db. a) Calcule el nivel de intensidad sonora con que percibiría a un solo miembro del coro cantando a la misma distancia. b) Si el espectador sólo percibe sonidos por encima de 10 db, calcule la distancia a la que debe situarse del coro para no percibir a éste. Dato: Umbral de audición: I 0 = W m 2. Suponga que el coro emite ondas esféricas, como un foco puntual y todos los miembros del coro emiten con la misma intensidad. Modelo 2014 Solución. a) S(un cantante) = 42,24 db b) r = 3, m. Página 24

62 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas y Problemas de Vibraciones y Ondas 80 Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d, el sonido se percibe con un nivel de intensidad sonora de 30 db. Determine: a) El factor en el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 20 db. b) El factor en el que debe incrementarse la potencia del altavoz para que a la distancia d el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 70 db. Dato: Umbral de audición: I 0 = W m 2. Septiembre 2013 Solución. a) d -a)- = 10 d ; b) P -b)- = 10 4 P a) Describa brevemente los fenómenos de refracción y dispersión de la luz. Con un rayo de luz monocromática se pueden poner de manifiesto ambos fenómenos?. b) Por qué no se observa dispersión cuando un haz de rayos paralelos de luz blanca atraviesa una lámina de caras planas y paralelas?. Modelo 2013 Solución. Refracción: Desviación de los rayos luminosos al cambiar la luz de medio de propagación. Dispersión: Separación de las diferentes ondas monocromáticas - colores - que componen la luz inicial. Un rayo de luz monocromática puede refractarse, pero no dispersarse. Al atravesar la luz blanca una lámina de caras planas y paralelas no se observa dispersión dado que los rayos salientes van paralelos -y juntos- respecto a los incidentes. Problemas 82 Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio, calcule: a) la fuerza ejercida sobre el bloque; b) la aceleración del bloque; c) la energía potencial elástica del sistema, y d) la velocidad del bloque. Junio 2003 Solución. F = 0,35 N ; a = 7 m s 2 -ambas, con sentido contrario al movimiento- E p = 1, J ; v = 1,02 m s 1. Página 25

63 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 83 Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable y una masa en el extremo de valor: 40 g tiene un período de oscilación de 2 s. a) Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, constituido por un muelle idéntico al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique?. b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, cuánto vale, en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa?. Septiembre 2000 Solución. m 2 = 0,01 kg E p máx 1 = E p máx 2 = 1, J ; v máx 1 = 0,10π m s 1 ; v máx 2 = 0,20π m s Un sistema masa-muelle está formado por un bloque de 0,75 kg de masa, que se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante recuperadora k. Si el bloque se separa 20 cm de la posición de equilibrio, y se le deja libre desde el reposo, éste empieza a oscilar de tal modo que se producen 10 oscilaciones en 60 s. Determine: a) La constante recuperadora k del muelle. b) La expresión matemática que representa el movimiento del bloque en función del tiempo. c) La velocidad y la posición del bloque a los 30 s de empezar a oscilar. d) Los valores máximos de la energía potencial y de la energía cinética alcanzados en este sistema oscilante. Junio 2010 (Fase General) Solución. k = 0,82 N m 1 π π ; x = x(t) = 0,20 sen t (unidades SI) 3 2 x(t = 30 s) = 0,20 m ; v(t = 30 s) = 0 ; E c,máx = E p,máx = 0,016 J. 85 a) Determine la constante elástica k de un muelle, sabiendo que si se le aplica una fuerza de 0,75 N éste se alarga 2,5 cm con respecto a su posición de equilibrio. Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema elástico que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el cuerpo se encuentra en la posición de máximo desplazamiento: x = 30 cm, respecto a su posición de equilibrio, determine: b) la expresión matemática del desplazamiento del cuerpo en función del tiempo; c) la velocidad y la aceleración máximas del cuerpo; d) las energías cinética y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la posición de equilibrio. Modelo 2006 Solución. a) k = 30 N m 1 b) π x = x(t) = 0,30 sen 4,47t 2 (unidades SI) c) v máx = 1,34 m s 1 ; a máx = 6 m s 2 d) E c (x = 15 cm) = 1,01 J ; E p (x = 15 cm) = 0,34 J. Página 26

64 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 86 Una pequeña esfera homogénea de masa 1,2 kg, que cuelga de un resorte vertical, de masa despreciable y constante recuperadora k = 300 N/m, oscila libremente con una velocidad máxima de 30 cm/s. Determinar: a) el período del movimiento; b) el desplazamiento máximo de la esfera respecto de la posición de equilibrio; c) las energías cinética, potencial y total de la esfera cuando se encuentra en la posición de desplazamiento máximo. Septiembre 1996 Solución. a) T = 0,40 s b) x máx = 1, m c) E c = 0 ; E p = E tot = 5, J. 87 Un punto material está animado de un movimiento armónico simple a lo largo del eje X, alrededor de su posición de equilibrio en x = 0. En el instante t = 0 el punto material está situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40 cm s 1. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz. a) Determine la posición en función del tiempo. b) Calcule al posición y la velocidad en el instante t = 5 s. Junio 1998 Solución. a) x = x(t) = 1, sen(10πt) (unidades SI) b) x(t = 5 s) = 0 ; v(t = 5 s) = 0,40 m s Un cuerpo de 200 g unido a un resorte horizontal oscila, sin rozamiento, sobre una mesa, a lo largo del eje de las X, con una frecuencia angular ω = 8,0 rad/s. En el instante t = 0 el alargamiento del resorte es de 4 cm respecto de la posición de equilibrio y el cuerpo lleva en ese instante una velocidad de 20 cm/s. Determine: a) la amplitud y la fase inicial del movimiento armónico simple realizado por el cuerpo; b) la constante elástica del resorte y la energía mecánica del sistema. Modelo 2002 Solución. a) A = 4, m ; θ 0 = 2,13 rad b) k = 12,80 N m 1 ; E tot = 1, J. Página 27

65 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 89 Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es: k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determine: a) la expresión de la posición de la masa en función del tiempo: x = x(t); b) los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio; c) la fuerza recuperadora cuando al masa se encuentra en los extremos de la trayectoria; d) la energía mecánica del sistema oscilante. Nota: Considere que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle está estirado. Junio 2002 Solución. a) 3π x(t) = 0,05 sen 2,24t 2 (unidades SI) b) v(x = 0,02 m) = 0,10 m s 1 ; a(x = 0,02 m) = 0,10 m s 2 c) F(x = A) = 0,5 N d) E tot = 0,012 J. 90 Se tiene una masa: m = 1 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle, de masa despreciable, fijo por su otro extremo a la pared. Para mantener estirado el muelle una longitud: x = 3 cm, respecto de su posición de equilibrio, se requiere una fuerza: F = 6 N. Si se deja el sistema masa-muelle en libertad: a) Cuál es el período de oscilación de la masa?. b) Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posición inicial: x = 3 cm, hasta su posición de equilibrio: x = 0. c) Cuál será el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm de su posición de equilibrio?. d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm, cuál sería su frecuencia de oscilación?. Junio 2011 Solución. a) T = 0,44 s b) W = 0,09 J c) v = 0,4 m s 1 d) ν = 2,25 s 1. Página 28

66 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 91 Una partícula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = 10 cm y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto de x = 10 cm. Si el período de las oscilaciones es de 1,5 s, determine: a) la fuerza que actúa sobre la partícula en el instante inicial; b) la energía mecánica de la partícula; c) la velocidad máxima de la partícula; d) la expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo. Junio 2009 Solución. a) F (t = 0) = 0,18 i (N) b) E tot = 8, J c) v máx = 0,42 m s 1 π d) x = x(t) = 0,10 sen 4,19t (unidades SI) Una partícula de 5 g de masa se mueve con movimiento armónico simple de 6 cm de amplitud a lo largo del eje X. En el instante inicial (t = 0) su elongación es de 3 cm y el sentido del desplazamiento hacia el extremo positivo. Un segundo más tarde su elongación es de 6 cm por primera vez. Determine: a) la fase inicial y la frecuencia del movimiento; b) la función matemática que representa la elongación en función del tiempo: x = x(t); c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de la partícula, así como las posiciones donde los alcanza; d) la fuerza que actúa sobre la partícula en t = 1 s y su energía mecánica. Modelo 2004 Solución. a) θ 0 = 6 π rad ; ν = 0,17 s 1 π π b) x = x(t) = 0,06 sen t (unidades SI) 3 6 c) v máx = 0,06 m s 1 (en el centro de la oscilación) a máx = 0,07 m s 2 (en los extremos) d) F(t = 1 s) = 3, N (dirigida hacia X) ; E tot = 9, J. Página 29

67 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 93 Una partícula de masa 100 g realiza un movimiento armónico simple de amplitud 3 m y cuya aceleración viene dada por la expresión: a = 9π 2 x en unidades SI. Sabiendo que se ha empezado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo en los desplazamientos positivos, determine: a) el período y la constante recuperadora del sistema; b) la expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo: x = x(t); c) los valores absolutos de la velocidad y de la aceleración cuando el desplazamiento es la mitad del máximo; d) las energías cinética y potencial en el punto donde tiene velocidad máxima. Modelo 2005 Solución. a) T = 0,67 s ; k = 8,88 N m 1 b) π x = x(t) = 3 sen 3 πt (unidades SI) 2 c) A v x = 24,49 m s 1 A ; a x = 133,24 m s d) E c (v máx : x = 0) = 39,97 J ; E p (v máx : x = 0) = Una partícula se mueve en el eje X, alrededor del punto x = 0, describiendo un movimiento armónico simple de período: 2 s, e inicialmente se encuentra en la posición de elongación máxima positiva. Sabiendo que la fuerza máxima que actúa sobre la partícula es 0,05 N y su energía total: 0,02 J, determine: a) la amplitud del movimiento que describe la partícula; b) la masa de la partícula; c) la expresión matemática del movimiento de la partícula; d) el valor absoluto de la velocidad cuando se encuentre a 20 cm de la posición de equilibrio. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. a) A = 0,8 m b) m = 6, kg c) π x(t) = 0,8 sen π t 2 (unidades SI) d) v(x = ±20 cm) = 2,43 m s 1. Página 30

68 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 95 Una masa puntual de valor 150 g unida a un muelle horizontal de constante elástica k = 65 N m 1 constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, determine: a) la expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación; b) la energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula; c) la energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima; d) la energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración de la masa es igual a 13 m s 2. Junio Solución. a) v = ω A x b) y c) E p (v = 0) = E c (v máx ) = 8, J d) E c ( a = 13 m s 2 ) = 5, J ; E p ( a = 13 m s 2 ) = 2, J. 96 En la figura se muestra la representación gráfica de la energía potencial (E p ) de un oscilador armónico simple constituido por una masa puntual de valor 200 g unida a un muelle horizontal, en función de su elongación (x). a) Calcule la constante elástica del muelle. b) Calcule la aceleración máxima del oscilador. c) Determine numéricamente la energía cinética cuando la masa está en la posición: x = +2,3 cm. d) Dónde se encuentra la masa puntual cuando el módulo de su velocidad es igual a la cuarta parte de su velocidad máxima?. Solución. k = 80 N m 1 ; a máx = 20 m s 2 E c (x = +2,3 cm) = 7, v J ; x v 4 máx = ±4, m. Modelo Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa de gran longitud, y por ello una partícula de la misma realiza un movimiento armónico simple en la dirección perpendicular a la cuerda. El período de dicho movimiento es de 3 s y la distancia que recorre la partícula entre posiciones extremas es de 20 cm. a) Cuáles son los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima de oscilación de la partícula?. b) Si la distancia mínima que separa dos partículas de la cuerda que oscilan en fase es de 60 cm, cuál es la velocidad de propagación de la onda?; cuál es el número de onda?. Junio 2005 Solución. v máx = 0,21 m s 1 ; a máx = 0,44 m s 2 ; v = 0,20 m s 1 ; k = 10,47 rad m 1. Página 31

69 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 98 Dada la expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa de gran longitud: y = 0,03 sen (2πt πx), donde x e y están expresados en metros y t en segundos. a) Cuál es la velocidad de propagación de la onda?. b) Cuál es la expresión de la velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda?; cuál es la velocidad máxima de oscilación?. c) Para t = 0, cuál es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda cuando x = 0,5 m y x = 1 m?. d) Para x = 1 m, cuál es el desplazamiento cuando t = 0,5 s?. Septiembre 2005 Solución. a) v = 2 m s 1 b) v = v(t) = 0,19 cos(2πt πx) (m s 1 ) ; v máx = 0,19 m s 1 c) y d) y(x = 0,5 m, t = 0) = 0,03 m ; y(x = 1 m, t = 0) = y(x = 1 m, t = 0,5 s) = La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa orientada según el eje X es: y = 0,5 sen(6πt 2πx) (x, y en metros ; t en segundos). Determine: a) los valores de la longitud de onda y de la velocidad de propagación de la onda; b) las expresiones que representan la elongación y la velocidad de vibración en función del tiempo, para un punto de la cuerda situado a una distancia x = 1,5 m del origen; c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de vibración de los puntos de la cuerda; d) la distancia mínima que separa dos puntos de la cuerda que, en un mismo instante, vibran desfasados 2π radianes. Septiembre 2001 Solución. λ = 1 m ; v = 3 m s 1 y(x = 1,5 m, t) = 0,5 sen(6πt 3π) (m); v(x = 1,5 m, t) = 3π cos(6πt 3π) (m s 1 ) v máx = 3π m s 1 ; a máx = 18π 2 m s 2 Δx = 1 m. Página 32

70 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 100 La expresión matemática que representa una onda armónica que se propaga a lo largo de una cuerda tensa es: y(x,t) = 0,01 sen(10πt + 2πx + π), donde x e y están dados en metros y t en segundos. Determine: a) el sentido y la velocidad de propagación de la onda; b) la frecuencia y la longitud de onda; c) la diferencia de fase de oscilación entre dos puntos de la cuerda separados 20 cm; d) la velocidad y la aceleración de oscilación máximas de un punto de la cuerda. Modelo 2007 Solución. a) La onda va de +X a X ; v = 5 m s 1 b) ν = 5 s 1 ; λ = 1 m c) Δθ = 0,4π rad d) v máx = 0,1π m s 1 ; a máx = π 2 m s Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda tensa de gran longitud y está representada por la siguiente expresión: y(x,t) = 0,5 sen(2πt πx + π) (x e y en metros y t en segundos). Determine: a) la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda; b) la diferencia de fase en un mismo instante entre las vibraciones de dos puntos separados entre sí: Δx = 1 m; c) la diferencia de fase de oscilación entre dos posiciones de un mismo punto de la cuerda cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 s; d) la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda. Septiembre 2008 Solución. λ = 2 m ; v = 2 m s 1 ; Δθ(Δx = 1 m) = π rad ; Δθ(Δt = 2 s) = 4π rad ; v máx = π m s Un tren de ondas armónicas se propaga en un medio unidimensional de forma que las partículas del mismo están animadas de un movimiento armónico simple representado por: π y = 4 sen t υ (y en centímetros y t en segundos). 3 Determine: a) la velocidad de propagación de las ondas, sabiendo que su longitud de onda es igual a 240 cm; b) la diferencia de fase en un instante dado correspondiente a dos partículas del medio separadas una distancia de 210 cm. Modelo 1999 Solución. a) v = 0,40 m s 1 b) Δθ = 7π 4 rad. Página 33

71 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 103 Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la expresión: π π y = 2 sen t (y en cm ; t en s), 4 2 originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm, determine: a) la amplitud y la frecuencia de la onda armónica; b) la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda; c) la expresión matemática que representa la onda armónica; d) la expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X de coordenada x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s. Junio 2007 y Modelo 2010 Solución. a) A = 0,02 m ; ν = 0,125 s 1 b) λ = 0,40 m ; v = 0,05 m s 1 c) π π ψ(x,t) = 0,02 sen t 5πx 4 2 d) π 7π v(x = 80 cm, t) = 0,005π cos t 4 2 (unidades SI) (m s 1 ) ; v(x = 80 cm, t = 20 s) = Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la expresión: π π y = 5 sen t (y en cm ; t en s), 3 4 originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 30 cm, determine: a) la amplitud y la frecuencia de la onda armónica; b) la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda; c) la expresión matemática que representa la onda armónica; d) la expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X de coordenada x = 90 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s. Modelo 2011 Solución. a) A = 0,05 m ; ν = 0,17 s 1 b) λ = 0,60 m ; v = 0,10 m s 1 c) π π ψ(x,t) = 0,05 sen t 3,33πx 3 4 d) π 11π v(x = 90 cm, t) = 0,052 cos t 3 4 v(x = 90 cm, t = 20 s) = 0,05 m s 1. (unidades SI) (unidades SI) Página 34

72 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 105 Una partícula de masa 5 g oscila con movimiento armónico simple, en torno a un punto O, con una frecuencia de 12 Hz y una amplitud de 4 cm. En el instante inicial la elongación de la partícula es nula. a) Si dicha oscilación se propaga según una dirección que tomamos como eje X, con una velocidad de 5 m/s, escribir la ecuación que representa la onda unidimensional originada. b) Calcular la energía que transmite la onda generada por el oscilador. Septiembre 1997 Solución. a) ψ(x,t) = x sen 24 π t (unidades SI) 5 (El signo + o depende del sentido de propagación de la onda) b) E = 2, J. 106 Una onda armónica transversal que se propaga a lo largo de la dirección positiva del eje de las X tiene las siguientes características: amplitud A = 5 cm, longitud de onda λ = 8π cm, velocidad de propagación v = 40 cm/s. Sabiendo que la elongación de la partícula de abscisa x = 0, en el instante t = 0, es de 5 cm, determinar: a) el número de onda y la frecuencia angular de la onda; b) la ecuación que representa el movimiento vibratorio armónico simple de la partícula de abscisa x = 0; c) la ecuación que representa la onda armónica transversal indicada. Junio 1996 Solución. a) k = 25 rad m 1 ; ω = 10 rad s 1 b) ψ(x = 0, t) = π sen 10t 2 (unidades SI) c) ψ(x,t) = π sen 10t 25x 2 (unidades SI). Página 35

73 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 107 Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje X en sentido positivo y tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine: a) la velocidad de propagación de la onda; b) la fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación es y = 2 cm; c) la expresión matemática que representa la onda; d) la distancia mínima de separación entre dos partículas del eje X que oscilan desfasadas π/3 rad. Septiembre 2006 Solución. a) v = 0,32 m s 1 3π b) θ 0 = 2 rad c) 3π ψ(x,t) = 0,02 sen 16 πt 50πx 2 (unidades SI) d) d mín = 6, m. 108 Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine: a) la velocidad de propagación de la onda; b) la fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación es: y = +1 cm y la velocidad positiva; c) la expresión matemática que representa la onda, como una función de x y t; d) la distancia mínima de separación entre dos puntos del eje X que tienen un desfase de π/3 rad. Septiembre 2011 Solución. a) v = 0,32 m s 1 b) θ 0 = 6 π rad c) π ψ(x,t) = 0,02 sen 16 πt 50πx 6 (unidades SI) d) d mín = 6, m. Página 36

74 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 109 Una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda en la dirección del eje X en el sentido positivo tiene un período de 0,2 s y una longitud de onda de 1 m. Si en el instante: t = 0, en la posición: x = 0, el desplazamiento vertical es de 0,1 m y la velocidad de ese punto de la cuerda es nula, determine: a) La velocidad de propagación. b) La función que describe la onda. c) El desplazamiento vertical de un punto que dista +0,4 m del extremo de la cuerda: x = 0, en el instante: t = 4 s. d) Determine la expresión matemática de la velocidad de oscilación de un punto cualquiera de la onda, en función del tiempo. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. a) v = 5 m s 1 b) π y(x,t) = 0,1 sen 10 πt 2πx 2 (unidades SI) c) y(x = 0,4 m, t = 4 s) = 0,081 m d) π v(x,t) = π cos 10 πt 2πx 2 (unidades SI) 110 Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal, en el sentido negativo del eje de abscisas, siendo 10 cm la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase. Sabiendo que la onda está generada por un foco emisor que vibra con un movimiento armónico simple de frecuencia 50 Hz y una amplitud de 4 cm, determine: a) la velocidad de propagación de la onda; b) la expresión matemática de la onda, si el foco emisor se encuentra en el origen de coordenadas, y en t = 0 la elongación es nula; c) la velocidad máxima de oscilación de una partícula cualquiera de la cuerda; d) la aceleración máxima de oscilación en un punto cualquiera de la cuerda. Junio 2004 Solución. a) v = 5 m s 1 b) y(x,t) = 0,04 sen(314,16t + 62,83x) (unidades SI) c) v máx = 12,57 m s 1 d) a máx = 3, m s 2. Página 37

75 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 111 Una onda armónica transversal, de período: T = 2 s, se propaga con una velocidad de 60 cm/s en una cuerda tensa orientada según el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la dirección del eje Y, de forma que en el instante t = 1 s la elongación es nula y la velocidad con la que oscila positiva, y en el instante t = 1,5 s su elongación es 5 cm y su velocidad de oscilación nula, determine: a) La frecuencia y la longitud de onda. b) La fase inicial y la amplitud de la onda armónica. c) La expresión matemática de la onda armónica. d) La diferencia de fase de oscilación de dos puntos de la cuerda separados un cuarto de longitud de onda. Junio 2010 (Fase Específica) Solución. a) ν = 0,5 s 1 ; λ = 1,20 m 3π b) θ 0 = rad ; A = 0,05 m 2 5π 3π c) y(x,t) = 0,05 sen π t x (unidades SI) 3 2 d) Δθ = 2 π rad. 112 Una onda armónica transversal de amplitud 8 cm y longitud de onda 140 cm se propaga en una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una velocidad de 70 cm/s. El punto de la cuerda de coordenada x = 0 (origen de la perturbación) oscila en la dirección del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongación de 4 cm y una velocidad de oscilación positiva. Determine: a) Los valores de la frecuencia angular y del número de onda. b) La expresión matemática de la onda. c) La expresión matemática del movimiento del punto de la cuerda situado a 70 cm del origen. d) La diferencia de fase de oscilación, en un mismo instante, entre dos puntos de la cuerda que distan entre sí 35 cm. Septiembre 2009 Solución. a) ω = π rad s 1 ; k = 4,49 rad m 1 b) π y(x,t) = 0,08 sen ( πt 4,49x 6 (unidades SI) c) 5π y(x = 0,70 m, t) = 0,08 sen π t 6 (unidades SI) d) Δθ = 2 π rad. Página 38

76 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 113 Una onda armónica transversal de frecuencia 80 Hz y amplitud 25 cm se propaga a lo largo de una cuerda tensa de gran longitud, orientada según el eje X, con una velocidad de 12 m/s en su sentido positivo. Sabiendo que en el instante t = 0 el punto de la cuerda de abscisa x = 0 tiene una elongación y = 0 y su velocidad de oscilación es positiva, determine: a) La expresión matemática que representa dicha onda. b) La expresión matemática que representa la velocidad de oscilación en función del tiempo del punto de la cuerda de abscisa x = 75 cm. c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de oscilación de los puntos de la cuerda. d) La diferencia de fase de oscilación en un mismo instante entre dos puntos de la cuerda separados 37,5 cm. Modelo 2003 Solución. a) y(x,t) = 0,25 sen(502,65t 41,89x) (unidades SI) b) v(x = 75 cm, t) = 125,66 cos(502,66t 31,42) (unidades SI) c) v máx = 125,66 m s 1 ; a máx = 6, m s 2 d) Δθ = 5π (equivalente a π) rad. 114 Una onda armónica cuya frecuencia es de 50 Hz se propaga en la dirección positiva del eje X. Sabiendo que la diferencia de fase, en un instante dado, para dos puntos separados 20 cm es de π/2 radianes, determinar: a) El período, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. b) En un punto dado, qué diferencia de fase existe entre los desplazamientos que tienen lugar en dos instantes separados por un intervalo de 0,01 s?. Junio 1997 Solución. a) T = 0,02 s ; λ = 0,80 m ; v = 40 m s 1 b) Δθ = π rad. 115 El sonido emitido por un altavoz tiene un nivel de intensidad de 60 db a una distancia de 2 m de él. Si el altavoz se considera como una fuente puntual, determine: a) La potencia del sonido emitido por el altavoz. b) A qué distancia el nivel de intensidad sonora es de 30 db, y a qué distancia es imperceptible el sonido?. Dato: El umbral de audición es: I 0 = W m 2. Modelo 2001 Solución. a) P = 5, W b) r(s = 30 db) = 63,25 m ; r(s = 0) = m. Página 39

77 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 116 Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 db a una distancia x del foco, y la segunda de 80 db al alejarse en la misma dirección 100 m más. a) Obtenga las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones. b) Determine la potencia sonora del foco. Dato: Intensidad umbral de audición: I 0 = W m 2. Junio 2008 Solución. a) r 1 = x = 11,11 m ; r 2 = x = 111,11 m b) P = 15,51 W. 117 Se tienen tres medios transparentes de índices de refracción: n 1, n 2 y n 3, separados entre sí por superficies planas y paralelas. Un rayo de luz de frecuencia: ν = Hz incide desde el primer medio (n 1 = 1,5) sobre el segundo formando un ángulo: θ 1 = 30º con la normal a la superficie de separación. a) Sabiendo que el ángulo de refracción en el segundo medio es: θ 2 = 23,5º, cuál será la longitud de onda de la luz en este segundo medio?. b) Tras atravesar el segundo medio el rayo llega a la superficie de separación con el tercer medio. Si el índice de refracción del tercer medio es: n 3 = 1,3, cuál será el ángulo de emergencia del rayo?. Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Modelo 2005 Solución. a) λ 2 = 2, m b) θ 3 = 35º Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 30º. a) Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul, componentes de la luz blanca, si los valores de los índices de refracción del vidrio para estos colores son, respectivamente: n rojo = 1,612 y n azul = 1,671?. b) Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspondientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de onda en el vacío son, respectivamente: λ rojo = 656,3 nm y λ azul = 486,1 nm?. Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Junio 1999 Solución. a) Ángulo: 0º b) ν rojo = 4, s 1 ; λ rojo = 4, m ν azul = 6, s 1 ; λ azul = 2, m. Página 40

78 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Vibraciones y Ondas 119 Un láser de longitud de onda: λ = 630 nm tiene una potencia de 10 mw y un diámetro de haz de 1 mm. Calcule: a) la intensidad del haz; b) el número de fotones por segundo que viajan con el haz. Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Constante de Planck: h = 6, J s. Junio 1999 Solución. a) I = 1, W m 2 b) n = 3, fotones / segundo. Página 41

79 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA I.E.S. EMILIO CASTELAR MADRID Inscrito en el Registro de la Propiedad Intelectual de la Comunidad de Madrid. Referencia: 16 / 2013 / 6357

80 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO D.A.G.F. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Cuestiones 1 Efectúe un estudio comparativo entre el campo gravitatorio, el campo eléctrico y el campo magnético, contemplando los siguientes aspectos: fuentes del campo, líneas de fuerza y carácter conservativo. Modelo 1999 Solución. Fuentes del campo Líneas de fuerza Campo gravitatorio Campo eléctrico Masa Abiertas y entrantes Carga eléctrica Campo magnético variable Abiertas: entrantes ( q) salientes (+q) Campo magnético Carga eléctrica en movimiento (corriente eléctrica) Campo eléctrico Variable Cerradas (de N a S) Carácter conservativo Conservativo Conservativo No conservativo 2 a) Defina las superficies equipotenciales en un campo de fuerzas conservativo. b) Cómo son las superficies equipotenciales del campo eléctrico creado por una carga puntual?. c) Qué relación geométrica existe entre las líneas de fuerza de un campo conservativo y las superficies equipotenciales?. d) Indique un ejemplo de campo de fuerzas no conservativo. Septiembre 2003 Solución. a) Una superficie equipotencial es la constituida por todos los puntos en los que el potencial asociado al campo conservativo tiene el mismo valor. b) Esferas concéntricas con la carga puntual. c) Son perpendiculares entre sí. d) El campo magnético. Página 2

81 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 3 Puede existir diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de una región en la cual la intensidad del campo eléctrico es nula?. Qué relación general existe entre el vector intensidad de campo eléctrico y el potencial eléctrico?. Junio 1997 V(x, y,z) V(x, y,z) V(x, y,z) Solución. No ; E i j k. x y z 4 Si una carga eléctrica negativa se desplaza en un campo eléctrico uniforme a lo largo de una línea de fuerza bajo la acción de la fuerza del campo: a) Cómo varía la energía potencial de la carga al pasar ésta desde un punto A a un punto B del campo?. b) Dónde será mayor el potencial eléctrico del campo: en A o en B?. Razona las respuestas. Septiembre 1997 Solución. a) E p B < E p A b) V B > V A. 5 Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) en el plano XY en el vacío. En un punto A del eje X el potencial es: V = 120 V y el campo eléctrico es: E = 80 i N/C, siendo i el vector unitario en el sentido positivo del eje X. Si las coordenadas están dadas en metros, calcule: a) la posición del punto A y el valor de Q; b) el trabajo necesario para llevar un electrón desde el punto B (2,2) hasta el punto A. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Constante de la Ley de Coulomb en el vacío: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2006 Solución. a) A (1,5, 0) (m) ; Q = C b) W B A = 9, J. 6 Dos cargas puntuales de +6 μc y 6μC están situadas en el eje X, en dos puntos A y B distantes entre sí 12 cm. Determine: a) el vector campo eléctrico en el punto P de la línea AB, si AP = 4 cm y BP = 8 cm; b) el potencial eléctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento AB y distante 8 cm de dicho segmento. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Modelo 2005 Solución. a) E(P) = 4, N C 1 (dirigido hacia la carga negativa) b) V tot C =0. Página 3

82 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 7 Se disponen tres cargas de 10 nc en tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Determine en el centro del cuadrado: a) el módulo, la dirección y el sentido del vector campo eléctrico; b) el potencial eléctrico. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2008 Solución. a) Intensidad del campo eléctrico total: vector según la diagonal que une la carga intermedia con el vértice del cuadrado donde no hay carga, sentido hacia dicho vértice sin carga y módulo: E total = 180 N C 1. b) Potencial total: V total = 381,84 V. 8 Se tienen tres cargas eléctricas situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado: l = 0,25 m, tal y como se muestra en la figura. Si: q 1 = q 2 = 5 nc y q 3 = 5 nc: a) Dibuje el diagrama de fuerzas de la carga q 3 debido a la presencia de q 1 y q 2 y calcule el vector fuerza resultante que experimenta q 3. b) Calcule el trabajo necesario para llevar la carga q 3 desde el punto donde se encuentra a una distancia muy grande (considere que la distancia es infinita). Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. a) F = 5, i + 3, j (N) b) W = 1, J -contra el campo eléctrico debido a q 1 y q Dos cargas puntuales e iguales, de valor 2 μc cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (0,5) y (0, 5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros. a) En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?. b) Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (1,0) al punto ( 1,0)?. Junio 2000 Solución. a) En el origen de coordenadas b) W = 0. Página 4

83 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 10 Dos cargas puntuales e iguales, de valor: C, están situadas respectivamente en los puntos (0,8) y (6,0). Si las coordenadas están expresadas en metros, determine: a) la intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas (0,0); b) el trabajo que es necesario realizar para llevar una carga: q = C desde el punto P (3,4), punto medio del segmento que une ambas cargas, hasta el origen de coordenadas. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. a) E = 500 i 281,25 j (N C 1 ) b) W = 5, J -contra el campo eléctrico-. 11 Se crea un campo eléctrico uniforme de intensidad N/C entre dos láminas metálicas planas y paralelas que distan entre sí 2,5 cm. Calcule: a) La aceleración a la que está sometido un electrón situado en dicho campo. b) Si el electrón parte del reposo de la lámina negativa, con qué velocidad llegará a la lámina positiva?. Nota: Se desprecia la fuerza gravitatoria. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Masa del electrón: m = 9, kg. Modelo 2004 Solución. a) a = 1, m s 2 (dirigida de la placa negativa a la positiva) b) v f = 2, m s a) Enuncie el Teorema de Gauss y escriba su expresión matemática. b) Utilice dicho Teorema para deducir la expresión matemática del campo eléctrico en un punto del espacio debido a una carga puntual. Modelo 2008 Solución. Teorema de Gauss del campo eléctrico: El flujo del campo eléctrico debido a una distribución de carga a través de una superficie (gaussiana) que la envuelve es igual a la carga total encerrada por dicha superficie dividida entre la permitividad eléctrica del medio. q interior Ф = E ds = S ε 1 q E (carga puntual) = 2. 4πε r Página 5

84 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 13 a) Enuncie y exprese matemáticamente el Teorema de Gauss. b) Deduzca la expresión del módulo del campo eléctrico creado por una lámina plana, infinita, uniformemente cargada con una densidad superficial de carga ζ. Junio 2010 (Fase Específica) Solución. Teorema de Gauss del campo eléctrico: El flujo del campo eléctrico debido a una distribución de carga a través de una superficie (gaussiana) que la envuelve es igual a la carga total encerrada por dicha superficie dividida entre la permitividad eléctrica del medio. Ф = E ds = S q interior ε E (lámina plana infinita uniformemente cargada) = σ 2ε q σ. S 14 En una región del espacio el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero. a) Se puede afirmar que el campo eléctrico es cero en todos los puntos de la superficie?. Razone la respuesta. b) Si se disponen dos cargas eléctricas puntuales, una de +2 μc colocada en el punto ( 1,0) cm y la otra de 8 μc en el punto (1,0) cm, determine el flujo de campo eléctrico que atraviesa una esfera de radio 2 cm centrada en el origen de coordenadas. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. a) No se puede asegurar. b) Φ = 6, N C 1 m Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida uniformemente en ella. a) Deduzca la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado en el exterior a dicha superficie haciendo uso del Teorema de Gauss. b) Cuál es la razón entre los módulos de los vectores campo eléctrico en dos puntos situados a las distancias del centro de la esfera: r 1 = 2 R y r 2 = 3 R?. Septiembre 2009 Solución. a) 1 Q Q E ext = K 2 2 4πε R R b) E(r1 2R) = 2,25. E(r 3R) 2 Página 6

85 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 16 a) Puede ser cero la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula cargada que se mueve en el seno de un campo magnético?. b) Puede ser cero la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada que se mueve en el seno de un campo eléctrico?. Junio 1998 Solución. a) Sí, cuando v y B son paralelos ; b) No. 17 Una partícula cargada se mueve en una región del espacio donde únicamente existe un campo magnético constante. a) Qué se puede afirmar del módulo de su velocidad?. Razone la respuesta. b) Razone en qué casos la fuerza sobre la partícula podría ser nula. Si la fuerza no es nula, cuál es el ángulo que se forma entre la velocidad de la partícula y dicha fuerza?. Razone la respuesta. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. a) El módulo de la velocidad se mantiene constante. b) La fuerza magnética es nula cuando v y B tienen la misma dirección. La fuerza y la velocidad son perpendiculares. 18 Analice si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Una partícula cargada que se mueve en un campo magnético uniforme aumenta su velocidad cuando se desplaza en la misma dirección de las líneas del campo. b) Una partícula cargada puede moverse en una región en la que existe un campo magnético y un campo eléctrico sin experimentar ninguna fuerza. Junio 2009 Solución. a) Falsa ; b) Verdadera. 19 Una partícula cargada penetra con velocidad v en una región en la que existe un campo magnético uniforme B. Determine la expresión de la fuerza ejercida sobre la partícula en los siguientes casos: a) La carga es negativa, la velocidad es: v = v 0 j y el campo magnético es: B = B 0 k. b) La carga es positiva, la velocidad es: v = v 0 ( j + k ) y el campo magnético es: B = B 0 j. Nota: Los vectores i, j y k son los vectores unitarios según los ejes X, Y y Z, respectivamente. Septiembre 2005 Solución. a) F = q v 0 B 0 i ; b) F = qv 0 B 0 i. Página 7

86 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 20 Una partícula de carga positiva q se mueve en la dirección del eje de las X con una velocidad constante: v = a i y entra en una región donde existe un campo magnético de dirección eje Y y módulo constante: B = b j. a) Determine la fuerza ejercida sobre la partícula en módulo, dirección y sentido. b) Razone qué trayectoria seguirá la partícula y efectúe un esquema gráfico. Septiembre 2003 Solución. a) F = qab k (N) b) Circunferencia en el plano XZ, en sentido horario visto desde el semieje +Y. 21 Indique el tipo de trayectoria descrita por una partícula cargada positivamente que posee inicialmente una velocidad: v = v i al penetrar en cada una de las siguientes regiones: a) Región con un campo magnético uniforme: B = B i. b) Región con un campo eléctrico uniforme: E = E i. c) Región con un campo magnético uniforme: B = B j. d) Región con un campo eléctrico uniforme: E = E j. Modelo 2007 Solución. a) La partícula sigue moviéndose a lo largo del eje X -hacia +X- con velocidad: v = v i constante. b) La partícula se mueve a lo largo del eje X -hacia +X- con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. c) La partícula describe un movimiento circular uniforme en el plano XZ, en sentido horario visto desde el semieje +Y. d) La partícula describe un movimiento parabólico en el plano XY, hacia los semiejes +X y +Y visto desde el semieje +Z. 22 Un electrón se mueve con velocidad v en una región del espacio donde coexisten un campo eléctrico y un campo magnético, ambos estacionarios. Razone si cada uno de estos campos realiza o no trabajo sobre la carga. Septiembre 2002 Solución. El campo eléctrico sí realiza trabajo, pero el campo magnético no. Página 8

87 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 23 Una partícula cargada se mueve en línea recta en una determinada región. a) Si la carga de la partícula es positiva, puede asegurarse que en esa región el campo magnético es nulo?. b) Cambiaría la respuesta si la carga fuese negativa en vez de ser positiva?. Modelo 2002 Solución. En ambos casos, no se puede asegurar. 24 En una región del espacio existe un campo magnético uniforme dirigido en el sentido negativo del eje Z. Indique mediante un esquema la dirección y el sentido de la fuerza que actúa sobre una carga, en los siguientes casos: a) la carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje Z; b) la carga es negativa y se mueve en el sentido positivo del eje X. Septiembre 2004 Solución. a) F = 0 b) F = qvb j. 25 Un protón que se mueve con una velocidad v entra en una región en la que existe un campo magnético B uniforme. Explique cómo es la trayectoria que seguirá el protón: a) si la velocidad del protón v es paralela a B ; b) si la velocidad del protón v es perpendicular a B. Septiembre 2006 Solución. a) Seguirá con movimiento rectilíneo uniforme por su trayectoria inicial. b) Describirá un movimiento circular uniforme dentro del campo magnético. 26 Un protón penetra en una región donde existe un campo magnético uniforme. a) Explique qué tipo de trayectoria describirá el protón si su velocidad es: a.1) paralela al campo; a.2) perpendicular al campo. b) Qué sucede si el protón se abandona en reposo en el campo magnético?. c) En qué cambiarían las anteriores respuestas si en lugar de un protón fuera un electrón?. Junio 2003 Solución. a.1) Línea recta con movimiento uniforme. a.2) Circunferencia con movimiento circular uniforme. b) Permanece en reposo. c) Respuestas idénticas a las anteriores. En el apartado a.2) la circunferencia es descrita en sentido contrario y con un radio casi veces menor que en el caso del protón. Página 9

88 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 27 Una carga puntual Q con velocidad: v = v x i entra en una región donde existe un campo magnético uniforme: B = B x i + B y j + B z k. Determine: a) la fuerza que se ejerce sobre la carga en el campo magnético; b) el campo eléctrico E que debería existir en la región para que la carga prosiguiese sin cambio del vector velocidad. Modelo 2010 Solución. a) F = Qv x B z j + Qv x B y k b) E = v x B z j v x B y k. 28 Una carga puntual Q con velocidad: v = v z k entra en una región donde existe un campo magnético uniforme: B = B x i + B y j + B z k. Determine: a) la fuerza que experimenta la carga Q en el campo magnético; b) la expresión del campo eléctrico E que debería existir en la región para que el vector velocidad de la carga Q permanezca constante. Modelo 2011 Solución. a) F = Qv z B y i + Qv z B x j (SI) -para carga positiva- F = Q v z B y i Q v z B x j (SI) -para carga negativa- b) E = v z B y i v z B x j (SI) -para carga positiva o negativa-. 29 a) Cuál es la velocidad de un electrón cuando se mueve en presencia de un campo eléctrico de módulo: 3, N/C y de un campo magnético de 2 T, ambos mutuamente perpendiculares y, a su vez, perpendiculares a la velocidad del electrón, para que éste no se desvíe?. b) Cuál es el radio de la órbita descrita por el electrón cuando se suprime el campo eléctrico?. Datos: Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Septiembre 2007 y Modelo 2010 Solución. a) v = 1, m s 1 b) R = 4, m. Página 10

89 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 30 a) Cuál es el módulo de la velocidad de un electrón cuando se mueve en presencia de un campo eléctrico de módulo: N/C y de un campo magnético de 2 T, ambos perpendiculares entre sí y, a su vez, perpendiculares a la velocidad del electrón, para que éste no se desvíe?. b) Cuál es el radio de la órbita descrita por el electrón cuando se suprime el campo eléctrico, si el módulo de su velocidad es el calculado en el apartado anterior?. Datos: Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Modelo 2011 Solución. a) v = m s 1 ; b) R = 5, m. 31 Un protón y un electrón se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme, con igual velocidad. Qué tipo de trayectoria realiza cada uno de ellos?; cómo es la trayectoria que realiza el protón en relación con la que realiza el electrón?. Razona la respuesta. Dato: Se considera que la masa del protón es igual, aproximadamente, a veces la masa del electrón. Junio 1996 Solución. Trayectorias circulares en sentidos opuestos, con radios: R e y R p = R e. 32 Un protón y un electrón se mueven en un campo magnético uniforme B bajo la acción del mismo. Si la velocidad del electrón es ocho veces mayor que la del protón y ambas son perpendiculares a las líneas del campo magnético, deduzca la relación numérica existente entre: a) los radios de las órbitas que describen; b) los períodos orbitales de las mismas. Dato: Se considera que la masa del protón es veces la masa del electrón. Junio 2010 (Fase Específica) Solución. a) R(p) R(e) = 229,5 ; b) T(p) T(e) = Un electrón que se mueve con una velocidad constante v penetra en un campo magnético uniforme B, de tal modo que describe una trayectoria circular de radio R. Si la intensidad del campo magnético disminuye a la mitad y la velocidad aumenta al doble, determine: a) el radio de la órbita; b) la velocidad angular. Septiembre 1998 Solución. a) R 2 = 4 R 1 ; b) ω 2 = ω 1. 2 Página 11

90 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 34 La figura representa una región en la que existe un campo magnético uniforme B, cuyas líneas de campo son perpendiculares al plano del papel y saliendo hacia fuera del mismo. Si entran sucesivamente tres partículas con la misma velocidad v y describe cada una de ellas la trayectoria que se muestra en la figura (cada partícula está numerada): a) Cuál es el signo de la carga de cada una de las partículas?. b) En cuál de ellas es mayor el valor absoluto de la relación carga-masa (q/m)?. Solución. a) q 1 : negativa ; q 2 = 0 ; q 3 : positiva v B Modelo 2006 b) q (carga q3 ): la mayor. m 35 Un electrón que se mueve con una velocidad de 10 6 m/s describe una órbita circular en el seno de un campo magnético uniforme de valor 0,1 T cuya dirección es perpendicular a la velocidad. Determine: a) el valor del radio de la órbita que realiza el electrón; b) el número de vueltas que da el electrón en 0,01 s. Datos: Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Junio 2001 Solución. a) R = 5, m b) n = 2, vueltas. 36 Una partícula de carga: q = 1, C se mueve en un campo magnético uniforme de valor: B = 0,2 T, describiendo una circunferencia en un plano perpendicular a la dirección del campo magnético con período de 3, s y velocidad de 3, m/s. Calcule: a) el radio de la circunferencia descrita; b) la masa de la partícula. Septiembre 2001 Solución. a) R = 0,2 m b) m = 1, kg -un protón-. Página 12

91 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 37 Un protón (carga eléctrica: +e) y una partícula alfa (carga eléctrica: +2e) se mueven en un campo magnético uniforme según circunferencias de igual radio. Compara los valores de: a) sus velocidades; b) sus energías cinéticas; c) sus momentos angulares. Se admite que la masa de la partícula alfa es igual a cuatro veces la masa del protón. Septiembre 1996 Solución. a) v(p) v(α) = 2 b) E c(p) E c(α) = 1 c) L(p) L(α) 1 = Dos partículas de idéntica carga describen órbitas circulares en el seno de un campo magnético uniforme bajo la acción del mismo. Ambas partículas poseen la misma energía cinética y la masa de una es el doble que la de la otra. Calcule la relación entre: a) los radios de las órbitas; b) los períodos de las órbitas. Junio 2010 (Fase General) Solución. m 1 = 2 m 2 R 1 a) R b) T T = 2 = a) Analice cómo es la fuerza que ejercen entre sí dos conductores rectilíneos e indefinidos, paralelos, separados una distancia d y recorridos por una corriente de intensidad I, según que los sentidos de las corrientes coincidan o sean opuestos. b) Explique si es posible que un electrón se mueva con velocidad v, paralelamente a estos conductores y equidistante entre ellos sin cambiar su trayectoria. Modelo 1999 Solución. a) Fuerza atractiva si las corrientes tienen el mismo sentido, y repulsiva si tienen sentidos opuestos. b) Si las corrientes tienen el mismo sentido el electrón no cambia su trayectoria; si las corrientes tienen sentidos opuestos el electrón se desvía de su trayectoria inicial. Página 13

92 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 40 Dos conductores rectilíneos, paralelos y de longitud infinita, separados una distancia: d = 30 cm, están recorridos por corrientes eléctricas de igual intensidad: I = 2 A. a) Determine la intensidad del campo magnético generado por los dos conductores en el punto medio de la línea que los une, en el caso de que las corrientes tengan sentidos contrarios. b) Determine el módulo de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen entre sí estos conductores. Dato: Permeabilidad magnética en el vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Septiembre 2011 Solución. a) B tot = 5, T Su dirección es perpendicular al plano que determinan los dos conductores. b) F = 2, N. 41 Dos conductores rectilíneos e indefinidos, paralelos, por los que circulan corrientes de igual intensidad: I, están separados una distancia de 0,12 m y se repelen con una fuerza por unidad de longitud de N m 1. a) Efectúe un esquema gráfico en el que se dibuje el campo magnético, la fuerza que actúa sobre cada conductor y el sentido de la corriente en cada uno de ellos. b) Determine el valor de la intensidad de corriente I que circula por cada conductor. Dato: Permeabilidad magnética en el vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. Las corrientes circulan en sentidos contrarios, las intensidades de los campos magnéticos van en el mismo sentido y las fuerzas son de repulsión -las tres son perpendiculares entre sí-. I = 0,06 A. 42 Una espira cuadrada de 10 cm de lado está recorrida por una corriente eléctrica constante de 30 ma. a) Determine el momento magnético de la espira. b) Si esta espira está inmersa en un campo magnético uniforme: B = 0,5 T paralelo a dos de sus lados, determine las fuerzas que actúan sobre cada uno de sus lados. Analice si la espira girará o no hasta alcanzar la posición de equilibrio en el campo. Modelo 2009 Solución. Momento magnético: vector perpendicular al plano de la espira, sentido según la regla de la mano derecha -en función del sentido de circulación de la corriente eléctrica- y módulo: M magnético = A m 2. Sobre cada uno de los lados de la espira paralelos a B la fuerza es 0. Sobre cada uno de los otros dos lados la fuerza tiene un módulo: 1, N. Estas últimas dos fuerzas constituyen un par de fuerzas que hace girar la espira hasta alcanzar su posición de equilibrio en el campo magnético. Página 14

93 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 43 a) Defina la magnitud flujo magnético. Cuál es su unidad en el S. I.?. b) Una espira conductora plana se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme de inducción magnética: B. Para qué orientación de la espira el flujo magnético a través de ella es máximo?. Para qué orientación es cero el flujo?. Razone la respuesta. Septiembre 2011 Solución. a) Flujo magnético a través de una superficie es el producto escalar del vector intensidad del campo magnético por el vector que representa a dicha superficie. La unidad I de flujo magnético es el weber: 1 Wb = 1 T m 2. b) El flujo es máximo cuando el plano de la espira es perpendicular a B. El flujo es nulo cuando el plano de la espira es paralelo a B. 44 a) Enuncie las Leyes de Faraday y de Lenz de la inducción electromagnética. b) La espira circular de la figura adjunta está situada en el seno de un campo magnético uniforme. Explique si existe fuerza electromotriz inducida en los siguientes casos: b.1) b.2) La espira se desplaza hacia la derecha. El valor del campo magnético aumenta linealmente con el tiempo. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x B x x x x x x x x x x Junio 2004 Solución. Ley de Faraday Henry: La fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional a la variación temporal del flujo del campo magnético a través del mismo. Ley de Lenz: La fuerza electromotriz inducida se opone a la variación de flujo del campo magnético a través del circuito que la ha generado. b.1) No existe (mientras la espira permanezca completamente dentro del campo magnético). b.2) Sí existe. Página 15

94 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 45 Una espira se coloca perpendicularmente a un campo magnético uniforme B. En qué caso será mayor la fuerza electromotriz inducida en la espira: a) si B disminuye linealmente de 300 mt a 0 en 1 ms, o b) si B aumenta linealmente de 1 T a 1,2 T en 1 ms?. Modelo 2001 Solución. ε a) > ε b). 46 Un campo magnético uniforme y constante de 0,01 T está dirigido a lo largo del eje Z. Una espira circular se encuentra situada en el plano XY, centrada en el origen, y tiene un radio que varía con el tiempo según la función: r = 0,1 10t (en unidades SI). Determine: a) La expresión del flujo magnético a través de la espira. b) En qué instante de tiempo la fuerza electromotriz inducida en la espira es 0,01 V?. Septiembre 2000 Solución. a) Φ(t) = π(t t ) Wb b) t = 8, s. 47 Explique cómo se puede producir en una espira de área S una corriente alterna mediante un campo magnético uniforme B. Septiembre 1999 Solución. Al girar la espira varía su orientación respecto al campo magnético, lo que provoca una variación del flujo y, por inducción electromagnética, la aparición de una tensión -y, en consecuencia, de una corriente- alternas en la espira. 48 Una espira metálica circular, de 1 cm de radio y resistencia 10 2 Ω, gira en torno a un eje diametral con una velocidad angular de 2π rad/s en una región donde hay un campo magnético uniforme de 0,5 T dirigido según el sentido positivo del eje Z. Si el eje de giro de la espira tiene la dirección del eje X y en el instante t = 0 la espira se encuentra situada en el plano XY, determine: a) la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo; b) el valor máximo de la intensidad de la corriente que recorre la espira. Junio 2005 Solución. a) ε(t) = 9, sen(6,28t) (V) b) I máx = 9, A. Página 16

95 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Interacción Electromagnética 49 Un solenoide de resistencia 3, Ω está formado por 100 espiras de hilo de cobre y se encuentra situado en un campo magnético de expresión: B = 0,01 cos(100πt) en unidades SI. El eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo magnético y la sección transversal del solenoide es de 25 cm 2. Determine: a) la expresión de la fuerza electromotriz inducida y su valor máximo; b) la expresión de la intensidad de la corriente que recorre el solenoide y su valor máximo. Modelo 2005 Solución. a) ε(t) = 0,25π sen(100πt) (V) ; ε máx = 0,25π V b) I(t) = 231 sen(100πt) (A) ; I máx = 231 A. 50 Una bobina de sección circular gira alrededor de uno de sus diámetros en un campo magnético uniforme de dirección perpendicular al eje de giro. Sabiendo que el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida es de 50 V cuando la frecuencia es de 60 Hz, determine el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida: a) si la frecuencia es 180 Hz en presencia del mismo campo magnético; b) si la frecuencia es 120 Hz y el valor del campo magnético se duplica. Junio 2002 Solución. a) ε máx = 150 V b) ε máx = 200 V. 51 a) Qué es un transformador?. Por qué son útiles para el transporte de la energía eléctrica?. b) Si el primario de un transformador tiene espiras y el secundario 100, qué tensión habrá que aplicar al primario para tener en la salida del secundario 6 V?. Junio 1999 Solución. Un transformador es un dispositivo que, mediante inducción electromagnética, modifica el valor de la tensión eléctrica. En el transporte de la energía eléctrica primero se emplean transformadores elevadores, y luego reductores; así se consiguen minimizar las pérdidas en la línea de transporte. b) V p = 72 V. Página 17

96 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones y Preguntas de Interacción Electromagnética 52 Para transformar el voltaje de 220 V de la red eléctrica a un voltaje de 12 V que necesita una lámpara halógena se utiliza un transformador. a) Qué tipo de transformador debemos utilizar?. Si la bobina del primario tiene espiras, cuántas espiras debe tener la bobina del secundario?. b) Si la lámpara funciona con una intensidad de corriente de 5 A, cuál es el valor de la intensidad de la corriente que debe circular por la bobina del primario?. Modelo 2003 Solución. a) Transformador reductor ; n s = 120 espiras b) I p = 0,27 A. Preguntas 53 El campo electrostático creado por una carga puntual q, situada en el origen de coordenadas, viene dado por la expresión: 9 E = u 2 r N C 1, donde r se expresa en m y u r r es un vector unitario dirigido en la dirección radial. Si el trabajo realizado para llevar una carga q desde un punto A a otro B, que distan del origen 5 y 10 m, respectivamente, es de J, determine: a) El valor de la carga puntual q que está situada en el origen de coordenadas. b) El valor de la carga q que se ha transportado desde A hasta B. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Modelo 2014 Solución. a) q = C b) q = 10 5 C -el trabajo de: J se realiza contra el campo eléctrico-. 54 Dos cargas puntuales: q 1 = 2 mc y q 2 = 4 mc están colocadas en el plano XY en las posiciones ( 1,0) y (3,0) m, respectivamente. a) Determine en qué punto de la línea que une las cargas el potencial eléctrico es cero. b) Es nulo el campo eléctrico creado por las cargas en ese punto?. Determine su valor si procede. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2012 Solución. a) (0,33, 0) (m) b) E = 1, i (N C 1 ) 0. Página 18

97 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Interacción Electromagnética 55 Dos partículas de idéntica carga: q, se encuentran situadas en los puntos de coordenadas: (0,3) cm y (0, 3) cm, respectivamente. El potencial eléctrico en el punto (1,0) cm es de 5 kv. Calcule: a) El valor de la carga q y el potencial en el punto (0,0). b) El vector campo eléctrico en el punto ( 1,0) cm. Dato: Constante de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2014 (Materias coincidentes) Solución. a) q = +8, C ; V(0,0) = 5, V b) E ( 1 cm, 0) = i (N C 1 ). 56 Dos cargas puntuales q 1 y q 2 están situadas en el eje X, separadas por una distancia de 20 cm, y se repelen con una fuerza de 2 N. Si la suma de las dos cargas es igual a 6 μc, calcule: a) El valor de las cargas q 1 y q 2. b) El vector intensidad del campo eléctrico en el punto medio de la recta que une ambas cargas. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2013 Solución. a) carga mayor = 3, C ; carga menor = 2, C b) E = N C 1 ; vector dirigido hacia la carga menor. 57 Dos cargas puntuales: q 1 = 2 μc y q 2 = 4 μc, se encuentran situadas en los puntos: P 1 (0,0) cm y P 2 (20,0) cm, respectivamente. Calcule: a) El vector intensidad del campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto medio del segmento que las une. b) El trabajo necesario para traer una carga de 0,01 mc desde el infinito y colocarla en el punto medio del segmento que une q 1 y q 2. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. a) E = 5, i (N C 1 ) b) W = 1,80 J -trabajo realizado por el campo eléctrico-. Página 19

98 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Interacción Electromagnética 58 Se disponen tres cargas eléctricas puntuales en los vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud L como indica la figura. (L = 1,2 m, q 1 = q 2 = 5 nc, q 3 = 5 nc). a) Calcule la fuerza total: F, ejercida por las cargas q 1 y q 2 sobre la carga q 3, y dibuje el diagrama de fuerzas de la carga q 3. b) Cuál sería el trabajo necesario para llevar la carga q 3 desde su posición actual al punto P de coordenadas: x = 1,2 m, y = 1,2 m?. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Modelo 2012 Solución. a) F = 5, i 2, j (N) b) W = Un electrón se propaga en el plano XY con velocidad v 0 constante de 100 m s 1 en el sentido negativo del eje X. Cuando el electrón cruza el plano x = 0 se adentra en Y una región del espacio donde existe un campo eléctrico E uniforme de N C 1 en el sentido negativo del eje X, tal y como se indica en la figura. a) Describa el tipo de movimiento que seguirá el electrón una vez se haya introducido en esa región del espacio. Discuta cuál será la velocidad final del electrón. b) Calcule la fuerza ejercida sobre el electrón, así como la aceleración que éste experimenta. Datos: Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. v 0 X Junio 2014 Solución. a) El electrón posee un movimiento rectilíneo uniformemente frenado, recorriendo 3,55 m hasta que se para. A continuación, se mueve en sentido contrario -hacia la derecha-, aumentando su rapidez con movimiento uniformemente acelerado hasta que vuelve a atravesar el eje Y, con una rapidez de 100 m s 1. Tras abandonar el campo eléctrico (semieje +X), el electrón avanza hacia la derecha con movimiento rectilíneo uniforme. b) F = 1, i (N) ; a = 1, i (m s 2 ). Página 20

99 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Interacción Electromagnética 60 Un electrón que se mueve con una velocidad: v = i m s 1 penetra en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme. Debido a la acción del campo, la velocidad del electrón se anula cuando ha recorrido 90 cm. Calcule, despreciando los efectos de la fuerza gravitatoria: a) El módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico existente en dicha región. b) El trabajo realizado por el campo eléctrico en el proceso de frenado del electrón. Datos: Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Junio 2012 Solución. a) E = 12,65 i (N C 1 ) b) W = 1, J. 61 Se tiene un plano infinito con una densidad de carga superficial positiva ζ. a) Deduzca, utilizando el Teorema de Gauss, el vector campo eléctrico generado por la distribución. b) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, en el mismo semiespacio, separados una distancia d en la dirección perpendicular al plano cargado. Justifique si cambiaría su respuesta si la dirección fuera paralela al plano cargado. Septiembre 2013 Solución. a) Intensidad del campo eléctrico: vector perpendicular al plano, sentido σ saliente, y de módulo: E = (ε: permitividad eléctrica del medio). 2ε b) Dirección perpendicular al plano: σ ΔV = d 2ε Dirección paralela al plano: ΔV = Una esfera maciza no conductora, de radio: R = 20 cm, está cargada uniformemente con una carga de: Q = C. a) Utilice el Teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico en el punto: r = 2 R y determine el potencial eléctrico en dicha posición. b) Si se envía una partícula de masa: m = kg, con la misma carga +Q y velocidad inicial: v 0 = m s 1, dirigida al centro de la esfera, desde una posición muy lejana, determine la distancia del centro de la esfera a la que se parará dicha partícula. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Modelo 2013 Solución. a) E = N C 1 -vector radial y saliente- ; V = V b) r = 0,60 m. Página 21

100 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Interacción Electromagnética 63 a) Determine la masa de un ión potasio: K +, si cuando penetra con una velocidad: v = i (m s 1 ) en un campo magnético uniforme de intensidad: B = 0,1 k (T) describe una trayectoria circular de 65 cm de diámetro. b) Determine el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico que hay que aplicar en esa región para que el ión no se desvíe. Dato: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Septiembre 2012 Solución. a) m = 6, kg = 39,15 u b) E = j (N C 1 ). 64 Dos partículas idénticas A y B, de cargas: 3, C y masas: 6, kg, se mueven en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor: 0 En un instante dado, la partícula A se mueve con velocidad: B = j 3 3 v A = 10 i 10 j i T. m s y la partícula B con velocidad: B 10 i 10 j m s 1. a) Calcule, en ese instante, la fuerza que actúa sobre cada partícula. b) Una de ellas realiza un movimiento circular; calcule el radio de la trayectoria que describe y la frecuencia angular del movimiento. Septiembre 2013 v = Solución. a) F A = 6, k (N) ; F B = 0 b) Partícula A: R = m ; ω = 7, rad s Dos partículas cargadas A y B, de idéntica masa, describen órbitas circulares en el seno de un campo magnético uniforme. El período del movimiento circular descrito por A es el doble que el descrito por B, y el módulo de la velocidad de ambas es de m s 1. Calcule: a) La carga de la partícula B, sabiendo que la carga de la partícula A es de 3, C. b) El radio de la circunferencia que describe la partícula B, si el radio de la trayectoria descrita por la partícula A es de 10 6 m. Junio 2014 (Materias coincidentes) Solución. a) q B = 6, C b) R B = m. Página 22

101 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Interacción Electromagnética 66 En una región del espacio hay un campo eléctrico: E = j N C 1 y otro magnético: B = 0,5 i T. Si un protón penetra en esa región con una velocidad perpendicular al campo magnético: a) Cuál debe ser la velocidad del protón para que al atravesar esa región no se desvíe?. Si se cancela el campo eléctrico y se mantiene el campo magnético: b) Con la velocidad calculada en el apartado a), qué tipo de trayectoria describe?; cuál es el radio de la trayectoria?. Determine el trabajo realizado por la fuerza que soporta el protón y la energía cinética con la que el protón describe esa trayectoria. Datos: Masa del protón: m p = 1, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Modelo 2014 Solución. a) v = k (m s 1 ) b) Movimiento circular uniforme, con radio: R = 1, m W = 0 ; E c = 5, J. 67 Considérese, tal y como se indica en la figura, una espira circular, contenida en el plano XY, con centro en el origen de coordenadas. Un imán se mueve a lo largo del eje Z, tal y como también se ilustra en la figura. Justifíquese razonadamente el sentido que llevará la corriente inducida en la espira si: a) el imán se acerca a la espira, como se indica en la parte a) de la figura; b) el imán se aleja de la espira, como se indica en la parte b) de la figura. Modelo 2013 Solución. a) Sentido antihorario -a izquierdas- (vista desde +Z) b) Sentido horario -a derechas- (vista desde +Z). 68 Una espira circular de 10 cm de radio, situada inicialmente en el plano XY, gira a 50 rpm en torno a uno de sus diámetros bajo la presencia de un campo magnético: B = 0,3 k T. Determine: a) El flujo magnético que atraviesa la espira en el instante: t = 2 s. b) La expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en la espira, en función del tiempo. Junio 2012 Solución. a) Φ(t = 2 s) = 0,0015 π Wb b) ε(t) = 0,049 sen(5,24 t) (unidades SI). Página 23

102 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Interacción Electromagnética 69 Una bobina circular de 20 cm de radio y 10 espiras se encuentra, en el instante inicial, en el interior de un campo magnético uniforme de 0,04 T, que es perpendicular al plano de su superficie. Si la bobina comienza a girar alrededor de uno de sus diámetros, determine: a) El flujo magnético máximo que atraviesa la bobina. b) La fuerza electromotriz inducida (fem) en la bobina en el instante: t = 0,1 s, si gira con una velocidad angular constante de 120 rpm. Junio 2013 Solución. a) Φ máx = 0,016 π Wb b) ε(t = 0,1 s) = 0,60 V. 70 Una espira circular de 2 cm de radio se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme: B = 3,6 T paralelo al eje Z. Inicialmente la espira se encuentra contenida en el plano XY. En el instante t = 0 la espira comienza a rotar en torno a un eje diametral con una velocidad angular constante: ω = 6 rad s 1. a) Si la resistencia total de la espira es de 3 Ω, determine la máxima corriente eléctrica inducida en la espira e indique para qué orientación de la espira se alcanza. b) Obtenga el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante t = 3 s. Junio 2014 Solución. a) I máx = 9, A, cuando la espira es coplanaria con el eje Z. b) ε(t = 3 s) = 2, V. 71 Una varilla conductora de longitud l se mueve sin fricción sobre dos raíles paralelos, como se muestra en la figura, en presencia de un campo magnético B uniforme y dirigido hacia dentro del papel, con una velocidad constante v, gracias a la aplicación de una fuerza externa. La resistencia total del circuito es R. Calcule: a) La intensidad de corriente que circula por el circuito, indicando su sentido. b) La fuerza externa que actúa sobre la varilla. x x x x x x x x x x x x x x x B x x x x x x x x v Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. a) Blv I = R La corriente circula en sentido antihorario -a izquierdas- (vista desde delante -semieje +X-) b) B l v F ext = R j -iguales dirección y sentido que la velocidad de la varilla-. Página 24

103 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas y Problemas de Interacción Electromagnética 72 Se tiene el circuito de la figura en forma de triángulo rectángulo, formado por una barra conductora vertical que se desliza horizontalmente hacia la derecha con una velocidad: v = 2,3 m/s sobre dos barras conductoras fijas que forman un ángulo: α = 45º. Perpendicular al plano del circuito hay un campo magnético uniforme y constante: B = 0,5 T cuyo sentido es entrante en el plano del papel. Si en el instante inicial: t = 0 la barra se encuentra en el vértice izquierdo del circuito: a) Calcule la fuerza electromotriz inducida en el circuito en el instante de tiempo: t = 15 s. b) Calcule la corriente eléctrica que circula por el circuito en el instante: t = 15 s, si la resistencia eléctrica total del circuito en ese instante es 5 Ω. Indique el sentido en el que circula la corriente eléctrica. Modelo 2012 Solución. a) ε(t = 15 s) = 39,675 V b) I(t = 15 s) = 7,935 A La corriente inducida circula en sentido antihorario -a izquierdas-. Problemas 73 Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X: q 1 = 0,2 μc está situada a la derecha del origen y dista de él 1 m; q 2 = +0,4 μc está a la izquierda del origen y dista de él 2 m. a) En qué puntos del eje X el potencial creado por las dos cargas es nulo?. b) Si se coloca en el origen una carga: q = +0,4 μc, determine la fuerza ejercida sobre ella por las cargas q 1 y q 2. Dato: Constante de la Ley de Coulomb en el vacío: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2001 Solución. a) V tot = 0 en x = 0 y x = 4 m b) F 13 = 7, i ; F 23 = 3, i ; F total = 1, i (N). 74 Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de 3 μc cada una, una positiva y la otra negativa, colocadas a una distancia de 20 cm. Calcular la intensidad del campo eléctrico y el potencial eléctrico en los siguientes puntos: a) en el punto medio del segmento que las une; b) en un punto equidistante 20 cm de ambas cargas. Dato: Medio: el vacío. Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 1996 Solución. a) E = 5, i (N C 1 ) ; V = 0 b) E = 6, i (N C 1 ) ; V = 0 Página 25

104 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 75 Dos cargas puntuales de 3 μc y +3 μc se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos ( 1,0) y (1,0) respectivamente. Determine el vector campo eléctrico: a) en el punto de coordenadas (10,0); b) en el punto de coordenadas (0,10). Todas las coordenadas están expresadas en metros. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2009 Solución. a) E (10,0) = 110,19 i (N C 1 ) b) E (0,10) = 53,20 i (N C 1 ). 76 Dos partículas con cargas de +1 μc y de 1 μc están situadas en los puntos del plano XY de coordenadas ( 1,0) y (1,0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule: a) el campo eléctrico en el punto (0,3); b) el potencial eléctrico en los puntos del eje Y; c) el campo eléctrico en el punto (3,0); d) el potencial eléctrico en el punto (3,0). Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2007 Solución. a) E (0,3) = 569,21 i (N C 1 ) b) V(0,y) = 0 c) E (3,0) = 1.687,50 i (N C 1 ) d) V(3,0) = V. 77 Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q 1 en la posición (1,0), y la otra de valor Q 2 en ( 1,0). Sabiendo que todas las distancias están expresadas en metros, determine en los dos casos siguientes: a) los valores de las cargas Q 1 y Q 2 para que el campo eléctrico en el punto (0,1) sea el vector: E = j (N/C), siendo j el vector unitario en el sentido positivo del eje Y; b) la relación entre las cargas Q 1 y Q 2 para que el potencial eléctrico en el punto (2,0) sea cero. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2007, Modelo 2010 y Modelo 2011 Solución. a) Q 1 = Q 2 = 3, C b) Q 1 1 =. Q 3 2 Página 26

105 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 78 Tres partículas cargadas: Q 1 = +2 μc, Q 2 = +2 μc y Q 3 de valor desconocido están situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son: Q 1 : (1,0); Q 2 : ( 1,0) y Q 3 : (0,2). Si todas están expresadas en metros: a) Qué valor debe tener Q 3 para que una carga situada en el punto (0,1) no experimente ninguna fuerza neta?. b) En el caso anterior, cuánto vale el potencial eléctrico resultante en el punto (0,1), debido a las cargas Q 1, Q 2 y Q 3?. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2005 Solución. a) Q 3 = +1, C b) V tot (0,1) = 3, V. 79 Dos cargas eléctricas positivas e iguales de valor C están situadas en los puntos A (0,2) y B (0, 2) del plano XY. Otras dos cargas iguales Q están localizadas en los puntos C (4,2) y D (4, 2). Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es: E = i N/C, siendo i el vector unitario en el sentido positivo del eje X, y que todas las coordenadas están expresadas en metros, determine: a) el valor numérico y el signo de las cargas Q; b) el potencial eléctrico en el origen de coordenadas debido a esta configuración de cargas. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2006 Solución. a) Q = 4, C b) V tot (0,0) = V. 80 Se tienen tres cargas situadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas (expresadas en cm) son: A (0,2) ; B ( 3, 1) ; C ( 3, 1). Sabiendo que las cargas situadas en los puntos B y C son idénticas e iguales a 2 μc y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas (centro del triángulo) es nulo, determine: a) el valor y el signo de la carga situada en el punto A; b) el potencial en el origen de coordenadas. Dato: Medio: el vacío. Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2002 Solución. a) q A = C b) V tot (0,0) = 2, V. Página 27

106 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 81 En dos de los vértices de un triángulo equilátero de lado a se encuentran dos cargas puntuales fijas de 1 nc. Calcule el valor de la carga que debe colocarse en el punto medio entre las dos primeras: a) para que en el tercer vértice del triángulo el campo eléctrico sea nulo; b) para que en el tercer vértice del triángulo el potencial eléctrico sea nulo. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2010 (Materias coincidentes) Solución. a) q 3 = 1, C ; b) q 3 = C. 82 En el punto de coordenadas (0,3) se encuentra situada una carga: q 1 = 7, C y en el punto de coordenadas (4,0) se encuentra situada otra carga: q 2 = 3, C. Las coordenadas están expresadas en metros. a) Calcule la expresión vectorial de la intensidad del campo eléctrico en el punto (4,3). b) Calcule el valor del potencial eléctrico en el punto (4,3). c) Indique el valor y el signo de la carga q 3 que hay que situar en el origen para que el potencial eléctrico en el punto (4,3) se anule. d) Indique el valor y el signo de la carga q 4 que hay que situar en el origen de coordenadas para que la intensidad del campo en el punto de coordenadas (4,3) sea 0. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Aclaración: No es necesario, pero si se desea que en el punto (4,3) el campo eléctrico en el apartado d) sea un cero exacto hay que considerar el valor de q 1 como un número periódico: q 1 = C. Solución. a) E (4,3) = 4 i + 3 j (N C 1 ) ; b) V (4,3) = 25 V 125 c) y d) q 3 = q 4 = 10 9 C. 9 Septiembre Tres cargas puntuales de valores: q 1 = +3 nc, q 2 = 5 nc y q 3 = +4 nc están situadas, respectivamente, en los puntos de coordenadas: (0,3), (4,3) y (4,0) del plano XY. Si las coordenadas están expresadas en metros, determine: a) La intensidad del campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas. b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas. c) La fuerza ejercida obre una carga: q = 1 nc que se sitúa en el origen de coordenadas. d) La energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas: q 1, q 2 y q 3. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2010 (Fase General) Solución. a) E (0,0) = 0,81 i 1,92 j (N C 1 ) b) V (0,0) = 9 V c) F = 8, i 1, j (N) d) Ep = 7, J. Página 28

107 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 84 Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Dos cargas iguales, positivas de 2 μc están en A y B. a) Cuál es el campo eléctrico en el punto C?. b) Cuál es el potencial en el punto C?. c) Cuánto trabajo se necesita para llevar un a carga positiva de 5 μc desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras dos cargas?. d) Responder al apartado anterior c) si la carga situada en B se sustituye por una carga de 2 μc. Dato: Permitividad del vacío: ε 0 = 8, N 1 m 2 C 2 Septiembre 2000 Solución. a) E tot C = 7, N C 1 (perpendicular al lado AB y alejándose de dicho lado) b) V C = 1, V c) W = 8, J -contra el campo eléctricod) W = Dos cargas eléctricas en reposo, de valores: q 1 = 2 μc y q 2 = 2 μc, están situadas en los puntos (0,2) y (0, 2) respectivamente, estando las distancias expresadas en metros. Determine: a) el campo eléctrico creado por esta distribución de cargas en el punto A, de coordenadas (3,0); b) el potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para llevar una carga de 3 μc desde dicho punto hasta el origen de coordenadas. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 2004 Solución. a) E (3,0) = 1, j (N C 1 ) b) V(3,0) = 0 ; W = Dos cargas eléctricas puntuales, de valor 2 μc y 2 μc, se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos (0,3) y (0, 3) respectivamente, estando las distancias expresadas en metros. a) Cuáles son los valores de la intensidad del campo en el punto (0,6) y en el punto (4,0)?. b) Cuál es el trabajo realizado por el campo sobre un protón cuando se desplaza desde el punto (0,6) hasta el punto (4,0)?. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Permitividad del vacío: ε 0 = 8, N 1 m 2 C 2 Solución. a) E (0,6) = 1, j (N C 1 ) ; E (4,0) = 8, j (N C 1 ) b) W = 6, J. Septiembre 1999 Página 29

108 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 87 Se tienen dos cargas eléctricas iguales y de signo opuesto, de valor absoluto: C, situadas en el plano XY, en los puntos ( 1,0) la carga positiva y (1,0) la carga negativa. Sabiendo que las distancias están dadas en metros, se pide: a) el potencial y el campo eléctrico en los puntos A (0,1) y B (0, 1); b) el trabajo necesario para llevar un electrón desde A hasta B, interpretando el resultado. Modelo 1999 Solución. a) E (0,1) = E (0, 1) = 6,36 i (N C 1 ) ; V(0,1) = V(0, 1) = 0 b) W = Dos cargas fijas Q 1 = +12,5 nc y Q 2 = 2,7 nc se encuentran situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (2,0) y ( 2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas están expresadas en metros, calcule: a) el potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A ( 2,3); b) el campo eléctrico creado por Q 1 y Q 2 en el punto A; c) el trabajo necesario para trasladar un ión de carga negativa igual a 2e del punto A al punto B, siendo B (2,3), indicando si es a favor o en contra del campo; d) la aceleración que experimenta el ión cuando se encuentra en el punto A. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2 Masa del ión: m = 3, kg. Junio 2008 Solución. a) V A = 14,4 V b) E tot A = 3,6 i (N C 1 ) c) W A B = 5, J -Trabajo desarrollado por el campo eléctrico- d) a = 3, i (m s 2 ). 89 Tres cargas positivas e iguales de valor q = 2 μc cada una se encuentran situadas en tres de los vértices de un cuadrado de lado 10 cm. Determine: a) El campo eléctrico en el centro del cuadrado, efectuando un esquema gráfico en su explicación. b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadrado que unen las cargas y el trabajo realizado al desplazarse la unidad de carga entre dichos puntos. q q q Dato: Constante de la Ley de Coulomb en el vacío: K 0 = N m 2 C 2. Junio 2001 Solución. a) E tot = E 2 = 3, N C 1 (dirigido hacia el vértice del cuadrado sin carga) b) V = 8, V -en los dos puntos- ; W = 0. Página 30

109 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 90 A una distancia r de una carga puntual Q, fija en un punto O, el potencial eléctrico es: V = 400 V y la intensidad del campo eléctrico es: E = 100 N/C. Si el medio considerado es el vacío, determinar: a) los valores de la carga Q y de la distancia r ; b) el trabajo realizado por la fuerza del campo al desplazarse una carga de 1 μc desde la posición que dista de O el valor r calculado hasta una posición que diste de O el doble de la distancia anterior. Dato: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2. Septiembre 1997 Solución. a) Q = +1, C ; r = 4 m b) W = 2, J (realizado por el campo eléctrico). 91 Un electrón, con velocidad inicial de m/s dirigida en el sentido positivo del eje X, penetra en una región donde existe un campo eléctrico uniforme y constante de valor N/C dirigido en el sentido positivo del eje Y. Determine: a) las componentes cartesianas de la fuerza experimentada por el electrón; b) la expresión de la velocidad del electrón en función del tiempo; c) la energía cinética del electrón 1 segundo después de penetrar en el campo; d) la variación de la energía potencial experimentada por el electrón al cabo de 1 segundo de penetrar en el campo. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Masa del electrón: m e = 9, kg. Junio 2004 Solución. a) F x = 0 ; F y = 9, N b) v (t) = i 1, t j (m s 1 ) c) E c (t = 1 s) = 5, J d) ΔE p = 5, J. 92 Un electrón es lanzado con una velocidad de m/s paralelamente a las líneas de un campo eléctrico uniforme de V/m. Determine: a) la distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0, m/s; b) la variación de la energía potencial que ha experimentado el electrón en ese recorrido. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Masa del electrón: m e = 9, kg. Modelo 2002 Solución. a) s = 2, m b) ΔE p = 1, J. Página 31

110 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 93 a) Qué diferencia de potencial debe existir entre dos puntos de un campo eléctrico uniforme para que un electrón que se mueva entre ellos, partiendo del reposo, adquiera una velocidad de 10 6 m s 1?. Cuál será el valor del campo eléctrico si la distancia entre estos dos puntos es 5 cm?. b) Qué energía cinética posee el electrón después de recorrer 3 cm, desde el reposo?. Datos: Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Septiembre 1998 Solución. a) ΔV = 2,85 V ; E = 56,94 N C 1 (dirigido de potenciales mayores a potenciales menores) b) E c = 2, J. 94 Una carga positiva de 2 μc se encuentra situada inmóvil en el origen de coordenadas. Un protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x = 10 m, lleva una velocidad de m/s. Calcule: a) el campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A; b) el potencial y la energía potencial del protón en el punto A; c) la energía cinética del protón en el punto A; d) el cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y, por efecto de la repulsión, vuelve al mismo punto A. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K 0 = N m 2 C 2 Masa del protón: m p = 1, kg Carga del protón: q p = 1, C. Modelo 2007 Solución. a) E (A) = 180 i (N C 1 ) b) V(A) = V ; E p (A) = 2, J c) E c (A) = 8, J d) Δ p = 3, i (kg m s 1 ). 95 Una carga de +10 nc se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos esferas concéntricas de radios: r 1 = 2 cm y r 2 = 4 cm. Utilizando el Teorema de Gauss, calcule: a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las esferas. b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las esferas. Dato: Permitividad eléctrica del vacío: ε 0 = 8, N 1 m 2 C 2. Septiembre 2008 Solución. a) E(r = 6 cm) = 2, N C 1 b) E(r = 1 cm) = 0. Página 32

111 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 96 Considérese un conductor esférico de radio: R = 10 cm, cargado con una carga: q = 5 nc. a) Calcule el campo electrostático creado en los puntos situados a una distancia del centro de la esfera de 5 y 15 cm. b) A qué potencial se encuentran los puntos situados a 10 cm del centro de la esfera?. c) Y los situados a 15 cm del centro de la esfera?. d) Qué trabajo es necesario realizar para traer una carga de 2 nc desde el infinito a una distancia de 10 cm del centro de la esfera?. Dato: Constante de Coulomb: 1 K 0 = 4πε 0 = N m 2 C 2. Junio 2011 Solución. a) E(r = 5 cm) = 0 ; E(r = 15 cm) = N C 1 b) V(r = 10 cm) = 450 V c) V(r = 15 cm) = 300 V d) W = J -contra el campo eléctrico-. 97 En el plano x = 0 existe una distribución superficial infinita de carga cuya densidad superficial de carga es: ζ 1 = C/m 2. a) Empleando el Teorema de Gauss determine el campo eléctrico generado por esta distribución de carga en los puntos del espacio de coordenadas: (1,0,0) y ( 1,0,0). Una segunda distribución superficial infinita de carga de densidad superficial ζ 2 se sitúa en el plano x = 3. b) Empleando el Teorema de Gauss determine el valor de ζ 2 para que el campo eléctrico resultante de ambas distribuciones superficiales de carga en el punto ( 2,0,0) sea: E = i (N/C). Nota: Todas las coordenadas están expresadas en unidades del SI. Dato: Permitividad eléctrica del vacío: ε 0 = 8, N 1 m 2 C 2. Solución. a) E (1,0,0) = 5, i ; E ( 1,0,0) = 5, i (N C 1 ) b) ζ 2 = 1, C m 2. Modelo 2009 Página 33

112 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 98 Un electrón se mueve en una región en la que están superpuestos un campo eléctrico: E = ( 2 i + 4 j ) (V/m) y un campo magnético: B = 0,4 k (T). Determinar para el instante en el que la velocidad del electrón es: v = 20 i (m/s): a) las fuerzas que actúan sobre el electrón debidas al campo eléctrico y al campo magnético, respectivamente; b) la aceleración que adquiere el electrón. Datos: Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Septiembre 1996 Solución. a) F el = 3, i 6, j ; F mag = 1, j (N) b) a = 3, i + 7, j (m s 2 ). 99 Una partícula de masa: m = kg y carga: q = 2, C, que se mueve según el sentido positivo del eje X con velocidad: 2, m/s, penetra en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme de valor: B = 0,9 T orientado según el sentido positivo del eje Y. Determine: a) la fuerza (módulo, dirección y sentido) que actúa sobre la carga; b) el radio de la trayectoria seguida por la carga dentro del campo magnético. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. a) F = 5, k (N) b) R = 0,35 m. 100 En un instante determinado un electrón que se mueve con una velocidad: v = i (m/s) penetra en una región en la que existe un campo magnético de valor: B = 0,8 j (T), siendo i y j los vectores unitarios en los sentidos positivos de los ejes X e Y respectivamente. Determine: a) El módulo, la dirección y el sentido de la aceleración adquirida por el electrón en ese instante, efectuando un esquema gráfico en la explicación. b) La energía cinética del electrón y el radio de la trayectoria que describiría el electrón al moverse en el campo, justificando la respuesta. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Masa del electrón: m e = 9, kg. Septiembre 2010 (Fase General) Solución. a) a = 5, k (m s 2 ) b) E c = 7, J ; R = 2, m. Página 34

113 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 101 Un electrón que se mueve con velocidad: v = m/s en el sentido positivo del eje X entra en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme: B = 10 2 T dirigido en el sentido positivo del eje Z. a) Calcule la fuerza F que actúa sobre el electrón. b) Determine el radio de la órbita circular que describirá el electrón. c) Cuál es la velocidad angular del electrón?. d) Determine la energía del electrón antes y después de penetrar en la región del campo magnético. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Masa del electrón: m e = 9, kg. Junio 2011 Solución. a) F = j (N) ; b) R = 2, m c) ω = 1, k (rad s 1 ) d) E c (fuera y dentro del campo magnético) = 1, J. 102 Dos isótopos, de masas: 19, kg y 21, kg, respectivamente, con la misma carga de ionización son acelerados hasta que adquieren una velocidad constante de 6, m/s. Se les hace atravesar una región de campo magnético uniforme de 0,85 T cuyas líneas de campo son perpendiculares a la velocidad de las partículas. a) Determine la relación entre los radios de las trayectorias que describe cada isótopo. b) Si han sido ionizados una sola vez, determine la separación entre los dos isótopos cuando han descrito una semicircunferencia. Dato: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Junio 1999 Solución. a) 27 R(m 21,59 10 kg) 27 R(m 19,92 10 kg) = 1,08 ; b) d = 1, m. 103 En una región del espacio existe un campo eléctrico de N C 1 en el sentido positivo del eje OZ y un campo magnético de 0,6 T en el sentido positivo del eje OX. a) Un protón se mueve en el sentido positivo del eje OY. Dibuje un esquema de las fuerzas que actúan sobre él y determine qué velocidad deberá tener para que no sea desviado de su trayectoria. b) Si en la misma región del espacio un electrón se moviera en el sentido positivo del eje OY con una velocidad de 10 3 m/s, en qué sentido sería desviado?. Dato: Valor absoluto de la carga del electrón y del protón: e = 1, C. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. a) Fuerza eléctrica (hacia el semieje +Z) y fuerza magnética iguales y contrarias. v = j (m s 1 ) b) Continúa moviéndose en el sentido positivo del eje Y pero se desvía en el sentido negativo del eje Z. Página 35

114 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 104 En una misma región del espacio existen un campo eléctrico uniforme de valor 0, V m 1 y un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo sus direcciones perpendiculares entre sí. a) Cuál deberá ser la velocidad de una partícula cargada que penetra en esa región en dirección perpendicular a ambos campos para que pase a través de la misma sin ser desviada?. b) Si la partícula es un protón, cuál deberá ser su energía cinética para no ser desviado?. Dato complementario: Masa del protón: m p = 1, kg. Junio 1997 Solución. a) v = 1, m s 1 b) E c = 2, J. 105 Una partícula cargada pasa sin ser desviada de su trayectoria rectilínea a través de dos campos, eléctrico y magnético, perpendiculares entre sí. El campo eléctrico está producido por dos placas metálicas paralelas (situadas a ambos lados de la trayectoria) separadas 1 cm y conectadas a una diferencia de potencial de 80 V. El campo magnético vale 0,002 T. A la salida de las placas el campo magnético sigue actuando perpendicularmente a la trayectoria de la partícula, de forma que ésta describe una trayectoria circular de 1,14 cm de radio. Determine: a) la velocidad de la partícula en la región entre las placas; masa b) la relación de la partícula. carga Solución. a) v = m s 1 b) m = 5, kg C 1. q Modelo Por un hilo conductor rectilíneo e infinitamente largo, situado sobre el eje X, circula una corriente eléctrica en el sentido positivo del eje X. El valor del campo magnético producido por dicha corriente es de T en el punto P (0, d P,0), y es de T en el punto Q (0,+d Q,0). Sabiendo que d P + d Q = 7 cm, determine: a) la intensidad que circula por el hilo conductor; b) el valor y la dirección del campo magnético producido por dicha corriente en el punto de coordenadas (0,6 cm,0). Datos: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2 Las cantidades d P y d Q son positivas. Septiembre 2001 Solución. a) I = 6 A b) B (0,6 cm,0) = k (T). Página 36

115 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 107 Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corriente de 12 A. El hilo está situado en el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrón se encuentra situado en el eje Y en el punto P de coordenadas: (0,20,0) expresadas en centímetros. Determine el vector aceleración instantánea del electrón en los siguientes casos: a) Se encuentra en reposo. b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y. c) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Z. d) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección negativa del eje X. Datos: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2 Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Junio 2010 (Fase Específica) Solución. a) y d) a = 0 b) a = 2, k (m s 2 ) c) a = 2, j (m s 2 ). 108 Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corriente de 12 A. El hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrón se encuentra situado en el eje Y a una distancia del hilo de 1 cm. Calcule el vector aceleración instantánea que experimenta dicho electrón si: a) Se encuentra en reposo. b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y. c) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Z. d) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección negativa del eje X. Datos: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2 Masa del electrón: m e = 9, kg Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Junio 2005 Solución. a) y d) a = 0 b) a = 4, k (m s 2 ) -electrón en (0,1 cm,0)- a = 4, k (m s 2 ) -electrón en (0, 1 cm,0)- c) a = 4, j (m s 2 ) -electrón en (0,1 cm,0)- a = 4, j (m s 2 ) -electrón en (0, 1 cm,0)-. Página 37

116 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 109 Un conductor rectilíneo indefinido transporta una corriente de 10 A en el sentido positivo del eje Z. Un protón, que se mueve a m/s, se encuentra a 50 cm del conductor. Calcule el módulo de la fuerza ejercida sobre el protón si su velocidad: a) es perpendicular al conductor y está dirigida hacia él; b) es paralela al conductor; c) es perpendicular a las direcciones definidas en los apartados a) y b). d) En qué casos, de los tres anteriores, el protón ve modificada su energía cinética?. Datos: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2 Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Junio 2004 Solución. a) y b) F = 1, N c) F = 0 d) En ningún caso. 110 Un electrón se mueve en las proximidades de un cable conductor rectilíneo e indefinido situado en el eje Y, por el que circula una corriente de 10 A en sentido positivo. Cuando el electrón se encuentra sobre el eje X a una distancia: x = +0,05 m del cable, se mueve con una velocidad: v = 10 5 i m/s. Determine: a) El vector intensidad de la inducción magnética: B en la posición del electrón. b) La fuerza magnética: F que actúa sobre el electrón. c) El radio de curvatura de la trayectoria que en ese instante inicia el electrón. d) En qué dirección se debe mover el electrón respecto del hilo para que no se desvíe de su trayectoria. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C Masa del electrón: m = 9, kg Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. a) B = k (T) b) F = 6, j (N) c) R = 1, m d) El electrón no se desvía si se mueve a lo largo del eje Z. Página 38

117 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 111 Dos hilos conductores de gran longitud, rectilíneos y paralelos, están separados una distancia de 50 cm, tal como se indica en la figura. Si por los hilos circulan corrientes iguales de 12 A de intensidad y sentidos opuestos, calcule P Q el campo magnético resultante en los puntos indicados en la figura: a) punto P equidistante de ambos conductores; 50 cm 50 cm b) punto Q situado a 50 cm de un conductor y a 100 cm del otro. Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Modelo 2005 Solución. a) B (P) = 1, i (T) b) B (Q) = 2, i (T). 112 Dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos, perpendiculares al plano XY, pasan Y por los puntos A (80,0) y B (0,60) según indica la figura, estando las coordenadas expresadas en centímetros. Las corrientes circulan por B I 2 ambos conductores en el mismo sentido, hacia fuera del plano del papel, siendo el valor de la corriente I 1 de 6 A. Sabiendo que I 2 > I 1 y que el valor del campo magnético en el punto P, P P I 1 punto medio de la recta que une ambos conductores, es de: B = X T, determine: a) el valor de la corriente I 2 ; O A b) el módulo, la dirección y el sentido del campo magnético en el origen de coordenadas O, utilizando el valor de I 2 obtenido anteriormente. Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Modelo 2006 Solución. a) I 2 = 9 A b) B (O) = i 1, j (T). Página 39

118 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 113 Un hilo conductor rectilíneo de longitud infinita está situado en el eje Z y transporta una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor, también infinitamente largo y paralelo al anterior, corta al eje X en el punto de coordenada: x = 10 cm. Determine: a) La intensidad y el sentido de la corriente en el segundo hilo, sabiendo que el campo magnético resultante en el punto del eje X de coordenada: x = 2 cm es nulo. b) La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor, explicando cuál es su dirección y sentido. Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Septiembre 2009 Solución. a) I 2 = 80 A -del mismo sentido que I 1 - b) Fuerzas atractivas de 3, N cada una. 114 Por dos hilos conductores, rectilíneos y paralelos, de gran longitud, separados una distancia de 10 cm, circulan dos corrientes de intensidades 2 A y 4 A respectivamente, en sentidos opuestos. En un punto P del plano que definen los conductores, equidistante de ambos, se introduce un electrón con una velocidad de m/s paralela y del mismo sentido que la corriente de 2 A. Determine: a) el campo magnético en la posición P del electrón; b) la fuerza magnética que se ejerce sobre el electrón situado en P. Datos: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2 Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1, C. Modelo 2004 Solución. a) B = 2, i (T) b) F = 1, j (N). (Los resultados anteriores corresponden a la corriente de 2 A en sentido +Z y a la de 4 A en sentido Z.) Página 40

119 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 115 Sea un conductor rectilíneo y de longitud infinita, por el que circula una intensidad de corriente: I = 5 A. Una espira cuadrada de lado: a = 10 cm está colocada con dos de sus lados paralelos al conductor rectilíneo, y con su lado más próximo a una distancia: d = 3 cm de dicho conductor. I Si la espira está recorrida por una intensidad de corriente I = 0,2 A en el sentido que se indica en la figura, determine: a) el módulo, la dirección y el sentido del campo d magnético creado por el conductor rectilíneo en cada uno de los lados de la espira paralelos a dicho conductor; b) el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza ejercida sobre cada uno de los lados de la espira paralelos al conductor rectilíneo. Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. a Modelo 2002 Solución. a) B izda = 3, i (T) ; B dcha = 7, i (T) b) F izda = 6, j (N) ; F dcha = 1, j (N). 116 Tres hilos conductores rectilíneos y paralelos, infinitamente largos, pasan por los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado, según se indica en la figura. Por cada uno de los conductores circula una corriente de 25 A en el mismo sentido, hacia fuera del plano del papel. Calcule: 10 cm a) El campo magnético resultante en un punto del conductor C 3 debido a los otros dos conductores. Especifique la dirección del vector campo magnético. C 1 b) La fuerza resultante por unidad de longitud ejercida sobre el conductor C 3. Especifique la dirección del vector fuerza. Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. C 3 10 cm 10 cm C 2 Modelo 2003 Solución. a) B = 8, i (T) b) F = 2, j (N). Página 41

120 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 117 En la figura se representan dos hilos conductores rectilíneos de gran longitud que son perpendiculares al plano del papel y llevan corrientes de intensidades I 1 e I 2 de sentidos hacia el lector. a) Determine la relación entre I 1 e I 2 para que el campo magnético B en el punto P sea paralelo a la recta que une los hilos indicada en la figura. b) Para la relación entre I 1 e I 2 obtenida anteriormente, determine la dirección del campo magnético B en el punto Q (simétrico del punto P respecto al plano perpendicular a la citada recta que une los hilos y equidistante de ambos). Nota: b y c son las distancias del punto P a los hilos conductores. I 1 I 2 b = 3 cm P 90º c = 4 cm Q Septiembre 2002 Solución. a) I 1 = I 2 b) B (Q) también es paralelo a la recta que une los dos hilos. 118 Tres hilos conductores rectilíneos, muy largos A y paralelos, se disponen como se muestra en la figura (perpendiculares al plano del papel pasando por los vértices de un triángulo rectángulo). La intensidad de corriente que circula por todos ellos es la misma: I = 25 A, aunque 10 cm el sentido de la corriente en el hilo C es opuesto P al de los otros dos hilos. Determine: a) el campo magnético en el punto P, punto medio del segmento AC; B C b) la fuerza que actúa sobre una carga positiva Q = 1, C si se encuentra 10 cm en el punto P moviéndose con una velocidad de 10 6 m/s perpendicular al plano del papel y con sentido hacia fuera. Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Septiembre 2007 Solución. a) B tot = i + 1, j ; B tot = 1, T b) F = 2, i j ; F = 2, N. Página 42

121 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 119 Tres hilos conductores infinitos y paralelos pasan por los vértices de un cuadrado de 50 cm de lado como se indica en la figura. Las tres corrientes: I 1, I 2 e I 3 circulan hacia dentro del papel. a) Si I 1 = I 2 = I 3 = 10 ma, determine el campo magnético en el vértice A del cuadrado. b) Si I 1 = 0, I 2 = 5 ma e I 3 = 10 ma, determine la fuerza por unidad de longitud entre los hilos recorridos por las corrientes. I 1 50 cm A I 2 I 3 Dato: Permeabilidad magnética del vacío: μ 0 = 4π 10 7 N A 2. Septiembre 2010 (Fase General) Solución. a) B total = i j (T) b) Fuerzas de atracción, cada una de N por unidad de longitud. 120 Una espira circular de 0,2 m de radio se sitúa en un campo magnético uniforme de 0,2 T con su eje paralelo a la dirección del campo. Determine la fuerza electromotriz inducida en la espira si en 0,1 s y de manera uniforme: a) se duplica el valor del campo; b) se reduce el valor del campo a cero; c) se invierte el sentido del campo; d) se gira la espira un ángulo de 90º en torno a un eje diametral perpendicular a la dirección del campo magnético. Septiembre 2005 Solución. a) ε = 0,25 V b) y d) ε = 0,25 V c) ε = 0,50 V. 121 Un solenoide de 200 vueltas y de sección circular de diámetro 8 cm está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,5 T cuya dirección forma un ángulo de 60º con el eje del solenoide. Si en un tiempo de 100 ms disminuye el valor del campo magnético uniformemente a cero, determine: a) el flujo magnético que atraviesa inicialmente el solenoide; b) la fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide. Junio 2001 Solución. a) Φ i = 0,25 Wb b) ε = 2,51 V. Página 43

122 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 122 Un solenoide de 20 Ω de resistencia está formado por 500 espiras circulares de 2,5 cm de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determine: a) el flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida; b) la intensidad recorrida por el solenoide y la carga transportada en ese intervalo de tiempo. Septiembre 2003 Solución. a) Φ i = 7, Wb ; ε = 7, V b) I = 3, A ; q = 3, C. 123 Sea un campo magnético uniforme B dirigido en el sentido positivo del eje Z. El campo solo es distinto de cero en una región cilíndrica de radio 10 cm cuyo eje es el eje Z y aumenta en los puntos de esta región a un ritmo de 10 3 T/s. Calcule la fuerza electromotriz inducida en una espira situada en el plano XY y efectúe un esquema gráfico indicando el sentido de la corriente inducida en los dos casos siguientes: a) Espira circular de 5 cm de radio centrada en el origen de coordenadas. b) Espira cuadrada de 30 cm de lado centrada en el origen de coordenadas. Junio 2009 Solución. a) ε = 7, V b) ε = π 10 5 V En ambos casos la corriente inducida circula en sentido horario -vista desde +Z Un campo magnético uniforme forma un ángulo de 30º con el eje de una bobina de 200 vueltas y radio 5 cm. Si el campo magnético aumenta a razón de 60 T/s, permaneciendo constante la dirección, determine: a) la variación del flujo magnético a través de la bobina por unidad de tiempo; b) la fuerza electromotriz inducida en la bobina; c) la intensidad de la corriente inducida, si la resistencia de la bobina es 150 Ω. d) Cuál será la fuerza electromotriz inducida en la bobina, si en las condiciones del enunciado el campo magnético disminuyera a razón de 60 T/s en lugar de aumentar?. Septiembre 2006 Solución. a) ΔΦ = 81,62 Wb s 1 b) ε = 81,62 V c) I = 0,54 A d) ε = 81,62 V. Página 44

123 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 125 Una bobina circular de 20 espiras y radio 5 cm se coloca en un campo magnético dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. El módulo del campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con la expresión: B = 0,02t + 0,08t 2 (t en segundos y B en teslas). Determinar: a) el flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo; b) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s. Septiembre 1997 Solución. a) Φ(t) = 3, t + 1, t 2 (Wb) b) ε(t = 5 s) = 1, V. 126 Una bobina circular de 30 vueltas y radio 4 cm se coloca en un campo magnético dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. El módulo del campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con la expresión: B = 0,01t + 0,04t 2, donde t está expresado en segundos y B en teslas. Calcule: a) el flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo; b) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s. Junio 2000 Solución. a) Φ(t) = 1, t + 6, t 2 (Wb) b) ε(t = 5 s) = 6, V. 127 Una espira cuadrada de 1,5 Ω de resistencia está inmersa en un campo magnético uniforme: B = 0,03 T dirigido según el sentido positivo del eje X. La espira tiene 2 cm de lado y forma un ángulo α variable con el plano YZ como se muestra en la figura. a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una frecuencia de rotación de 60 Hz, siendo α = π/2 en el instante t = 0, obtenga la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo. b) Cuál debe ser la velocidad angular de la espira para que la corriente máxima que circule por ella sea de 2 ma?. Z Y α B X Solución. a) ε = ε(t) = 4, π sen 120 πt (V) 2 b) ω = 250 rad s 1. Junio 2006 Página 45

124 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 128 Una espira circular de sección 40 cm 2 está situada en un campo magnético uniforme de módulo: B = 0,1 T, siendo el eje de la espira paralelo a las líneas del campo magnético. a) Si la espira gira alrededor de uno de sus diámetros con una frecuencia de 50 Hz, determine la fuerza electromotriz máxima inducida en la espira, así como el valor de la fuerza electromotriz 0,1 s después de comenzar a girar. b) Si la espira está inmóvil y el módulo del campo magnético disminuye de manera uniforme hasta hacerse nulo en 0,01 s, determine la fuerza electromotriz inducida en la espira en ese intervalo de tiempo. Modelo 2010 Solución. a) ε máx = 0,04π V ; ε(t = 0,1 s) = 0 b) ε = V. 129 Una espira conductora circular de 4 cm de radio y de 0,5 Ω de resistencia está situada inicialmente en el plano XY. La espira se encuentra sometida a la acción de un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano de la espira y en el sentido positivo del eje Z. a) Si el campo magnético aumenta a razón de 0,6 T/s, determine la fuerza electromotriz y la intensidad de la corriente inducida en la espira, indicando el sentido de la misma. b) Si el campo magnético se estabiliza en un valor constante de 0,8 T, y la espira gira alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante de 10π rad/s, determine en estas condiciones el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida. Septiembre 2004 Solución. a) ε = 3, V I = 6, A (la corriente circula en sentido horario -vista desde +Z-) b) ε máx = 0,13 V. 130 Una espira circular de radio r = 5 cm y resistencia 0,5 Ω se encuentra en reposo en una región del espacio con campo magnético B = B 0 k, siendo B 0 = 2 T y k el vector unitario en la dirección Z. El eje normal a la espira en su centro forma 0º con el eje Z. A partir de un instante t = 0 la espira comienza a girar con velocidad angular constante ω = π (rad/s) en torno a un eje diametral. Se pide: a) la expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo t, para t 0; b) la expresión de la corriente inducida en la espira en función de t. Junio 2008 Solución. a) Φ(t) = π cos(πt) (Wb) b) I(t) = 10 2 π 2 sen(πt) (A). Página 46

125 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 131 Se hace girar una espira conductora circular de 5 cm de radio respecto a uno de sus diámetros en una región con un campo magnético uniforme de módulo B y dirección perpendicular a dicho diámetro. La fuerza electromotriz inducida (ε) en la espira depende del tiempo (t) como se muestra en la figura. Teniendo en cuenta los datos de esta figura, determine: a) la frecuencia de giro de la espira y el valor de B; b) la expresión del flujo del campo magnético a través de la espira, en función del tiempo. Modelo 2011 Solución. a) ν = 50 s 1 ; B = 0,20 T b) Φ = Φ(t) = 1, cos(100πt) (Wb). 132 En el circuito de la figura la varilla MN se mueve con una velocidad constante de valor: v = 2 m/s en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de valor 0,4 T. Sabiendo que el valor de la resistencia R es de 60 Ω y que la longitud de la varilla es 1,2 m: a) Determine la fuerza electromotriz inducida y la intensidad de la corriente que circula en el circuito. b) Si a partir de un cierto instante (t = 0) la varilla se frena con aceleración constante hasta pararse en 2 s, determine la expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo, en el intervalo de 0 a 2 segundos. R M. B v N Modelo 2007 Solución. a) ε = 0,96 V ; I = 0,016 A b) ε = ε(t) = 0,48t 0,96 (V). Página 47

126 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 133 Sobre un hilo conductor de resistencia despreciable, que tiene la forma que se indica en la figura, se puede deslizar una varilla de resistencia: R = 10 Ω en presencia de un campo magnético Y M B uniforme B, de valor 50 mt, l = 2 cm perpendicular al plano del circuito. La varilla oscila en la dirección del eje X de acuerdo con la expresión: X x = x 0 + A sen ωt, siendo x 0 = 10 cm, x A = 5 cm y el período de oscilación 10 s. N a) Calcule y represente gráficamente, en función del tiempo, el flujo magnético que atraviesa el circuito. b) Calcule y represente gráficamente, en función del tiempo, la corriente en el circuito. Modelo 2001 Solución. Φ = Φ(t) = sen(0,2πt) (Wb) I = I(t) = 10 6 π cos(0,2πt) (A) Página 48

127 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 134 Una espira cuadrada de 5 cm de lado, situada en el plano XY, se desplaza con velocidad v = 2 i (cm s 1 ), penetrando en el instante t = 0 en una región en donde hay un campo magnético uniforme: B = 200 k (mt), según se indica en la figura. x x x x x a) Determine la fuerza electromotriz inducida y represéntela gráficamente en función del tiempo. X b) Calcule la intensidad de la corriente en la espira si su resistencia es de 10 Ω. Haga un esquema indicando el sentido de la corriente. Junio 1998 Solución. a) ε = ε(t) = V -solo entre 0 y 2,5 s, mientras está penetrando en el campo magnético- Y v x x x x x x x x x x x x x B x x x x x x x x x x x ε (V) ,5 t(s) b) I = A (la corriente circula en sentido antihorario -vista desde +Z-). Página 49

128 Ejercicios de acceso a la Universidad Problemas de Interacción Electromagnética 135 Una espira cuadrada de lado l = 5 cm situada en el plano XY se desplaza como se muestra en la figura. En el instante t = 0 la espira encuentra una región del espacio en donde hay un campo magnético uniforme B = 0,1 T, perpendicular al plano XY con sentido hacia dentro del papel (ver figura). x x x x x a) Sabiendo que al penetrar la espira en el campo se induce una corriente X eléctrica de A durante 2 segundos, calcule la velocidad v y la resistencia de la espira. b) Represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo desde el instante t = 0 e indique el sentido de la corriente inducida en la espira. Modelo 2008 Y l t = 0 x x x x x x x x x x x v x x B x x x x x x x x x x x x x x x x Solución. v = 2, m s 1 ; R = 2,5 Ω ε (V) 1, t(s) La corriente circula en sentido antihorario -vista desde +Z-. Página 50

129 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO ÓPTICA -GEOMÉTRICA- ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA I.E.S. EMILIO CASTELAR MADRID Inscrito en el Registro de la Propiedad Intelectual de la Comunidad de Madrid. Referencia: 16 / 2013 / 6357

130 FÍSICA de 2º de BACHILLERATO D.A.G.F. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS EN LA COMUNIDAD DE MADRID ( ) ÓPTICA -GEOMÉTRICA- Cuestiones 1 a) Enuncie las Leyes de la reflexión y de la refracción de la luz y efectúe los esquemas gráficos correspondientes. b) Defina el concepto de ángulo límite y explique el fenómeno de reflexión total. Junio 2010 (Fase General) Solución. REFLEXIÓN. Primera Ley: Los rayos incidente y reflejado y la normal son coplanarios. Segunda Ley: Los ángulos de incidencia y de son iguales. reflexión REFRACCIÓN. Primera Ley: Los rayos incidente y refractado y la normal son coplanarios. Segunda Ley: El producto del índice de refracción por el seno del ángulo que forma el rayo con la normal es el mismo en cada medio (Ley de Snell). Ángulo límite: Reflexión total: Es el mayor ángulo de incidencia posible para que se produzca refracción al pasar la luz de un medio a otro menos refringente. Se da cuando un rayo incide con un ángulo superior al ángulo límite desde un medio más refringente que el otro. La luz no se refracta, y tan sólo se refleja, no cambiando de medio de propagación. Página 2

131 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 2 Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción distintos n 1 y n 2. Un rayo de luz incide desde el medio de índice n 1. Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes: a) El ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión. b) Los ángulos de incidencia y de refracción son siempre iguales. c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado están en el mismo plano. d) Si n 1 > n 2 se produce reflexión total para cualquier ángulo de incidencia. Junio 2007 Solución. a) y d) Falso ; b) Falso, excepto en el caso de incidencia normal. c) Verdadero. 3 Una superficie de discontinuidad plana separa dos medios de índice de refracción n 1 y n 2. Si un rayo incide desde el medio de índice n 1, razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si n 1 > n 2 el ángulo de refracción es menor que el ángulo de incidencia. b) Si n 1 < n 2 a partir de un cierto ángulo de incidencia se produce el fenómeno de reflexión total. Septiembre 2002 Solución. Las dos afirmaciones son falsas. 4 a) Defina el concepto de ángulo límite y determine su expresión para el caso de dos medios de índices de refracción n 1 y n 2, si n 1 > n 2. b) Sabiendo que el ángulo límite definido entre un medio material y el aire es 60º, determine la velocidad de la luz en dicho medio. Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Septiembre 2004 Solución. Ángulo límite es el máximo ángulo con el que incide un rayo luminoso desde un medio con índice de refracción n 1 para que se produzca rayo refractado cuando la luz pasa a otro medio, con índice de refracción n 2, tal que n 1 > n 2. n 2 Ángulo límite = arc sen ; v = 2, m s 1. n1 5 a) Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre el agua de un estanque con un ángulo de 30º. Qué ángulo forman entre sí los rayos reflejado y refractado?. b) Si el rayo luminoso se propagase desde el agua hacia el aire, a partir de qué valor del ángulo de incidencia se presentará el fenómeno de reflexión total?. Dato: Índice de refracción del agua = 4/3. Junio 2000 Solución. a) γ 128º ; b) Ángulo límite = 48º Página 3

132 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 6 Un rayo de luz se propaga desde el aire al agua, de manera que el rayo incidente forma un ángulo de de 30º con la normal a la superficie de separación aire-agua, y el rayo refractado forma un ángulo de 128º con el rayo reflejado. a) Determine la velocidad de propagación de la luz en el agua. b) Si el rayo luminoso invierte el recorrido y se propaga desde el agua al aire, a partir de qué ángulo de incidencia se produce la reflexión total?. Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Septiembre 2010 (Fase Específica) Solución. a) v = 2, m s 1 ; b) Ángulo límite = 48º Un rayo de luz monocromática se propaga desde el agua hacia el aire. a) A partir de qué valor del ángulo de incidencia en la superficie de separación de ambos medios se presenta el fenómeno de reflexión total?. Cómo se denomina dicho ángulo?. b) Cuánto vale la velocidad de propagación del rayo de luz en el agua?. Datos: Índice de refracción del agua: n a = 3 4 Índice de refracción del aire: n = 1 Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Septiembre 2011 Solución. a) Ángulo límite = 48º ; b) v = 2, m s 1. 8 Un buceador enciende una linterna debajo del agua (índice de refracción: 1,33) y dirige el haz luminoso hacia arriba formando un ángulo de 40º con la vertical. a) Con qué ángulo emergerá la luz del agua?. b) Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual la luz no saldrá del agua?. Efectúe esquemas gráficos en la explicación de ambos apartados. Septiembre 2006 Solución. a) β = 58º ; b) Ángulo límite = 48º Un rayo de luz monocromática que se propaga en un medio de índice de refracción 1,58 penetra en otro medio de índice de refracción 1,23 formando un ángulo de incidencia de 15º (respecto a la normal) en la superficie de discontinuidad entre ambos medios. a) Determine el valor del ángulo de refracción correspondiente al ángulo de incidencia anterior. Haga un dibujo esquemático. b) Defina ángulo límite y calcule su valor para este par de medios. Junio 2001 Solución. a) β = 19º 25 7 ; b) Ángulo límite = 51º 7 18 Ángulo límite: el máximo ángulo de incidencia para el que existe rayo refractado. Página 4

133 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 10 Una lámina de vidrio (índice de refracción: n = 1,52) de caras planas y paralelas y espesor d se encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia Hz incide desde el agua en la lámina. Determine: a) las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio; b) el ángulo de incidencia en la primera cara de la lámina a partir del cual se produce reflexión total interna en la segunda cara. Datos. Índice de refracción del agua: n agua = 1,33 Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1. Junio 2008 Solución. a) λ agua = 4, m ; λ vidrio = 3, m b) α = 48º a) Qué diferencias existen entre una imagen real y una imagen virtual formadas por un sistema óptico centrado?. b) Realiza un ejemplo de construcción geométrica para cada una de ellas utilizando espejos esféricos. Explica qué tipo de espejo esférico puedes emplear en cada caso. Septiembre 1997 Solución. La imagen real se obtiene al cruzarse los rayos, y se puede recoger en una pantalla. Imagen real: con espejos cóncavos, estando el objeto más lejos que el foco. La imagen virtual se obtiene al cruzarse las prolongaciones de los rayos, y no se puede recoger en una pantalla. Imagen virtual: con espejos cóncavos (estando el objeto entre el foco y el centro óptico) y con espejos convexos (para cualquier posición del objeto). 12 a) En un sistema óptico centrado formado por espejos, qué características presentan las imágenes reales y las virtuales?. b) Ponga un ejemplo de cada una de ellas utilizando espejos esféricos. Explique el tipo de espejo esférico utilizado en cada caso. Septiembre 2011 Solución. La imagen real se obtiene al cruzarse los rayos, y se puede recoger en una pantalla. Imagen real: con espejos cóncavos, estando el objeto más lejos que el foco. La imagen virtual se obtiene al cruzarse las prolongaciones de los rayos, y no se puede recoger en una pantalla. Imagen virtual: con espejos cóncavos (estando el objeto entre el foco y el centro óptico) y con espejos convexos (para cualquier posición del objeto). Página 5

134 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 13 a) Puede un espejo cóncavo producir una imagen virtual, derecha y menor que el objeto?. b) Puede una lente convergente producir una imagen real, invertida y mayor que el objeto?. Justifique la respuesta en cada caso mediante un diagrama de rayos. Modelo 2008 Solución. a) No b) Sí. 14 Qué tipo de imagen se obtiene con un espejo esférico convexo?; y con una lente esférica divergente?. Efectúe las construcciones geométricas adecuadas para justificar las respuestas. El objeto se supone real en ambos casos. Modelo 2001 y Junio 2004 Solución. En ambos casos: imagen virtual, menor y derecha. 15 Se sitúa un objeto de 3,5 cm delante de la superficie cóncava de un espejo esférico de distancia focal 9,5 cm y se produce una imagen de 9,5 cm. a) Calcule la distancia a la que se encuentra el objeto de la superficie del espejo. b) Realice el trazado de rayos y determine si la imagen formada es real o virtual. Junio 2011 Solución. i) Para imagen virtual, mayor y derecha (y = 9,5 cm) s = 0,06 m ii) Para imagen real, mayor e invertida (y = 9,5 cm) s = 0,13 m. 16 a) Explique la posibilidad de obtener una imagen derecha y mayor que el objeto mediante un espejo cóncavo, realizando un esquema con el trazado de rayos. Indique si la imagen es real o virtual. b) Dónde habría que colocar un objeto frente a un espejo cóncavo de 30 cm de radio para que la imagen sea derecha y de doble tamaño que el objeto?. Junio 2009 Solución. a) Hay que colocar el objeto entre el foco y el centro óptico del espejo cóncavo. Imagen virtual. b) s = 0,075 m. Página 6

135 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 17 Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo esférico cóncavo. Efectúe la construcción geométrica de la imagen e indique su naturaleza si el objeto está situado a una distancia igual, en valor absoluto, a: a) la mitad de la distancia focal del espejo; b) el triple de la distancia focal del espejo. Junio 2002 Solución. a) Imagen virtual, mayor y derecha b) Imagen real, menor e invertida. 18 Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura R. Realice el diagrama de rayos para construir la imagen de un objeto situado delante del espejo a una distancia igual a: a) el doble del radio de curvatura; b) un cuarto del radio de curvatura. Indique en cada caso la naturaleza de la imagen formada. Septiembre 2010 (Fase General) Solución. a) Imagen real, menor e invertida b) Imagen virtual, mayor y derecha. 19 Calcule a qué distancia debe colocarse un objeto a la izquierda del vértice de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 12 cm para que su imagen sea tres veces mayor que el objeto. Interprete los posibles resultados y efectúe las construcciones geométricas correspondientes. Modelo 1999 Solución. s = 0,04 m (imagen derecha, triple y virtual) s = 0,08 m (imagen invertida, triple y real). 20 La distancia focal de un espejo esférico es de 20 cm en valor absoluto. Si se coloca un objeto delante del espejo a una distancia de 10 cm de él, determine la posición y la naturaleza de la imagen formada en los dos casos siguientes: a) el espejo es cóncavo; b) el espejo es convexo. Efectúe la construcción geométrica de la imagen en ambos casos. Septiembre 2009 Solución. Espejo cóncavo: s = 0,20 m (imagen virtual, mayor -doble- y derecha). Espejo convexo: s = 0,067 m (imagen virtual, menor y derecha). Página 7

136 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 21 Un espejo esférico convexo proporciona una imagen virtual de un objeto que se encuentra a 3 m del espejo con un tamaño 5 1 del de la imagen real. a) Realice el trazado de rayos y determine la distancia a la que se forma la imagen virtual del espejo. b) Determine el radio de curvatura del espejo. Septiembre 2011 (Materias coincidentes) Solución. s = 0,6 m ; r = 1,5 m. Imagen virtual, menor y derecha. 22 a) Si un objeto se sitúa a una distancia de 2 cm delante de una lente convergente o delante de un espejo cóncavo, ambos de distancia focal 5 cm en valor absoluto, cómo están relacionados los aumentos laterales y las posiciones de las imágenes que la lente y el espejo producen de dicho objeto?. b) Realice el trazado de rayos en ambos casos. Modelo 2009 Solución. s = 3, m (espejo) ; s = 3, m (lente) ; A = +1,67 (ambos). En ambos casos: imagen virtual, mayor y derecha. 23 Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1,5 y de 1 cm de espesor, situada en el vacío, incide un rayo luminoso formando un ángulo de 30º con la normal a la cara. Calcule: a) El ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina. Efectúe la construcción geométrica correspondiente. b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina. Junio 2005 Solución. θ = 30º ; l = 1, m. 24 Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2 cm y de índice de refracción n = 3/2, situada en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo θ i = 30º. a) Compruebe que el ángulo de emergencia es el mismo que el ángulo de incidencia. b) Determine la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral del rayo emergente. Septiembre 2000 Solución. Distancia recorrida: 2, m ; desplazamiento lateral: 3, m. Página 8

137 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 25 Se tiene un prisma óptico de índice de refracción 1,5 inmerso en el aire. La sección del prisma es un triángulo rectángulo isósceles como muestra la figura. B Un rayo luminoso incide perpendicularmente sobre la cara AB del prisma. a) Explique si se produce o no reflexión total en la cara BC del prisma. b) Haga un esquema gráfico de la trayectoria seguida por el rayo a través del prisma. Cuál es la dirección del rayo emergente?. A C Septiembre 2005 Solución. El rayo penetra en incidencia normal (no se refracta) en la cara AB, sufre reflexión total en la cara BC y sale en incidencia normal (no se refracta) por la cara AC. 26 Un rayo de luz monocromática incide en el centro de la cara lateral de un cubo de vidrio inmerso en un medio de índice de refracción: 1,3. a) Determine el ángulo de incidencia del rayo sabiendo que la luz emerge por el punto central de la cara superior, como muestra la figura. b) Halle el ángulo de incidencia máximo en la cara lateral para que se produzca reflexión total en la cara superior. Dato: Índice de refracción del vidrio: n v = 1,5. Solución. a) α 1 = 54º b) α 2 (máx) = 35º Junio 2010 (Materias coincidentes) Página 9

138 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 27 a) Explique qué son una lente convergente y una lente divergente. Cómo están situados los focos objeto e imagen en cada un a de ellas?. b) Qué es la potencia de una lente y en qué unidades se acostumbra a expresar?. Septiembre 2003 Solución. Una lente es un elemento óptico hecho de un material transparente y limitado por dos dioptrios, uno de los cuales, al menos, es curvo. Una lente convergente es la que acerca los rayos luminosos cuando éstos la atraviesan. Su foco objeto está a su izquierda y su foco imagen está a su derecha. Una lente divergente es la que separa los rayos luminosos cuando éstos la atraviesan. Su foco objeto está a su derecha y su foco imagen está a su izquierda. Potencia de una lente es el inverso de su distancia focal imagen. Se expresa en dioptrías (m 1 ). 28 a) Defina para una lente delgada los siguientes conceptos: foco objeto, foco imagen, distancia focal objeto y distancia focal imagen. b) Dibuje para los casos de lente convergente y de lente divergente la marcha de un rayo que pasa (él o su prolongación) por: b 1 ) el foco objeto; b 2 ) el foco imagen. Septiembre 2001 Solución. Foco objeto (F) de una lente es el punto del eje óptico tal que un rayo -para lente convergente, o su prolongación para lente divergente- que pase por él sale paralelo al eje óptico tras atravesar la lente. Foco imagen (F ) de una lente es el punto del eje óptico tal que un rayo que incida paralelo a dicho eje óptico y atraviese la lente pasa por él -para una lente convergente; en una lente divergente quien pasa por dicho foco imagen es la prolongación del rayo saliente-. Distancia focal objeto es la separación entre el foco objeto y el centro óptico. Distancia focal imagen es la separación entre el centro óptico y el foco imagen. Página 10

139 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 29 Explique mediante construcciones geométricas qué posiciones debe ocupar un objeto, delante de una lente delgada convergente, para obtener: a) una imagen real de tamaño menor, igual o mayor que el objeto; b) una imagen virtual. Cómo está orientada esta imagen y cuál es su tamaño en relación con el objeto?. Modelo 2002 Solución. a) Objeto entre y 2f: imagen real, menor e invertida. Objeto en 2f: imagen real, igual e invertida. Objeto entre 2f y f: imagen real, mayor e invertida. b) Objeto entre F y O: imagen virtual, mayor y derecha. 30 Delante de una lente convergente se coloca un objeto perpendicularmente a su eje óptico. a) A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de igual tamaño e invertida?. Cuál es la naturaleza de esta imagen?. b) A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de doble tamaño y derecha?. Cuál es la naturaleza de esta imagen?. Efectúe la construcción geométrica en ambos apartados. Modelo 2005 Solución. a) s = 2f (imagen real, igual e invertida) b) f s = 2 (imagen virtual, doble y derecha). 31 En qué posición debe colocarse un objeto delante de una lente esférica convergente para producir una imagen virtual?. Obtenga gráficamente la imagen. Septiembre 1998 Solución. Entre el foco y el centro óptico. 32 Un objeto de 1 mm de altura se coloca a una distancia de 1 cm delante de una lente convergente de 20 dioptrías. a) Calcule la posición y tamaño de la imagen formada, efectuando su construcción geométrica. b) Se podría recoger esta imagen en una pantalla?. Qué instrumento óptico constituye la lente convergente utilizada de esta forma?. Modelo 2006 Solución. s = 1, m ; y = 1, m La imagen no se puede recoger en una pantalla (es virtual). La lente es una lupa. Página 11

140 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 33 Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Determine la posición, naturaleza y aumento de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante de ella a las siguientes distancias: a) 50 cm; b) 15 cm. Realice el trazado de rayos en ambos casos. Septiembre 2007 y Modelo 2010 Solución. a) s = 0,33 m ; A = 0,67 Imagen real, menor e invertida. b) s = 0,60 m ; A = 4 Imagen virtual, mayor y derecha. 34 Se dispone de una lente convergente de distancia focal: 15 cm. Determine la posición y la naturaleza de la imagen formada por la lente si el objeto está situado delante de ella, a las siguientes distancias: a) 40 cm; b) 10 cm. Realice el trazado de rayos en ambos casos. Modelo 2011 Solución. a) s = 0,24 m Imagen real, menor e invertida. b) s = 0,30 m Imagen virtual, mayor -triple- y derecha. 35 Explique dónde debe estar situado un objeto respecto a una lente delgada para obtener una imagen virtual y derecha: a) si la lente es convergente; b) si la lente es divergente. Realice en ambos casos las construcciones geométricas e indique si la imagen es mayor o menor que el objeto. Junio 2006 Solución. Lente convergente: objeto entre el foco objeto y el centro óptico (imagen mayor). Lente divergente. objeto en cualquier posición (imagen menor). 36 Determine el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto delante de una lente divergente en los siguientes casos: a) el objeto se sitúa a una distancia igual al doble de la distancia focal; b) el objeto se sitúa a una distancia la mitad de la distancia focal de la lente. Efectúe la construcción geométrica en ambos casos. Modelo 2007 Solución. a) Aumento lateral = 3 1 ; b) Aumento lateral = 3 2 En cualquier caso la imagen es virtual, menor y derecha. Página 12

141 Ejercicios de acceso a la Universidad Cuestiones de Óptica -Geométrica- 37 Un microscopio consta de dos lentes convergentes (objetivo y ocular). a) Explique el papel que desempeña cada lente. b) Realice un diagrama de rayos que describa el funcionamiento del microscopio. Septiembre 2008 Solución. El objetivo -la lente más cercana al objeto observado- forma una imagen real, mayor e invertida delante del ocular -entre él y su foco objeto-, actuando este ocular como lupa y formando una imagen final virtual, muy aumentada e invertida con respecto al objeto original. 38 a) Qué combinación de lentes constituye un microscopio?. Explique mediante un esquema gráfico su disposición en el sistema. b) Dibuje la marcha de los rayos procedentes de un objeto a través del microscopio, de manera que la imagen final se forme en el infinito. Modelo 2004 Solución. Básicamente, un microscopio -compuesto- está integrado por dos lentes (o sistemas de lentes) convergentes: el objetivo -la más cercana al objeto observado- y el ocular, con una distancia focal imagen superior a la del objetivo y que actúa de lupa con respecto a la imagen formada por el objetivo. Al final se obtiene una imagen virtual, mayor e invertida. Para que al final no se obtenga imagen (se forme en el infinito) la imagen formada por el objetivo debe estar en el foco objeto del ocular. Página 13

142 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Óptica -Geométrica- Preguntas 39 a) Defina el índice de refracción de un medio, indicando qué valores puede tomar, así como su unidad correspondiente. b) Enuncie las Leyes de la reflexión y de la refracción. Realice un dibujo explicativo de ambos fenómenos. Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. Índice de refracción -absoluto- (n) de un medio: cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y la velocidad de la luz en dicho medio (v): n = v c. Es una magnitud adimensional -sin unidad- y cuyo número numérico es mayor que 1. REFLEXIÓN. Primera Ley: Los rayos incidente y reflejado y la normal son coplanarios. Segunda Ley: Los ángulos de incidencia y de son iguales. reflexión REFRACCIÓN. Primera Ley: Los rayos incidente y refractado y la normal son coplanarios. Segunda Ley: El producto del índice de refracción por el seno del ángulo que forma el rayo con la normal es el mismo en cada medio (Ley de Snell). 40 a) Cómo se define y dónde se encuentra el foco de un espejo cóncavo?. b) Si un objeto se coloca delante de un espejo cóncavo analice, mediante el trazado de rayos, las características de la imagen que se produce si está ubicado entre el foco y el espejo. Septiembre 2012 Solución. a) Foco de un espejo cóncavo es el punto donde se cruzan los rayos reflejados, procedentes de rayos incidentes paralelos al eje óptico. El foco de un espejo cóncavo está delante del mismo, a una distancia de su centro óptico -distancia focal- igual a la mitad de su radio de curvatura. b) Imagen virtual, mayor y derecha. Página 14

143 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Óptica -Geométrica- 41 Se sitúa un objeto delante de un espejo cóncavo, a una distancia de éste mayor que su radio de curvatura. a) Realice el diagrama de rayos correspondiente a la formación de la imagen. b) Indique la naturaleza de la imagen y si ésta es de mayor o menor tamaño que el objeto. Junio 2014 (Materias coincidentes) Solución. Imagen real, menor que el objeto e invertida. 42 A 10 cm de distancia del vértice de un espejo cóncavo de 30 cm de radio se sitúa un objeto de 5 cm de altura. a) Determine la altura y posición de la imagen. b) Construya la imagen gráficamente, indicando su naturaleza. Junio 2013 Solución. a) y = 0,15 m ; s = 0,30 m b) Imagen virtual, mayor (triple) y derecha. 43 Un objeto está situado a una distancia de 10 cm del vértice de un espejo cóncavo. Se forma una imagen real, invertida y tres veces mayor que el objeto. a) Calcule el radio de curvatura y la posición de la imagen. b) Construya el diagrama de rayos. Modelo 2014 Solución. r = 0,15 m ; s = 0,30 m. 44 Un objeto de 4 cm de altura se sitúa a 6 cm por delante de la superficie cóncava de un espejo esférico. Si la imagen obtenida tiene 10 cm de altura, es positiva y virtual: a) Cuál es la distancia focal del espejo?. b) Realice un diagrama de rayos del sistema descrito. Modelo 2012 Solución. f = 0,10 m. 45 Un objeto de 15 cm de altura se encuentra situado a 20 cm de un espejo convexo cuya distancia focal es de 40 cm. a) Calcule la posición y el tamaño de la imagen formada. b) Realice el trazado de rayos correspondiente. Junio 2012 Solución. s = 0,13 m ; y = 0,10 m. Página 15

144 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Óptica -Geométrica- 46 Un objeto se encuentra delante de un espejo plano, a 70 cm del mismo. a) Calcule la distancia al espejo a la que se forma la imagen y su aumento lateral. b) Realice el diagrama de rayos y explique si la imagen es real o virtual. Junio 2013 (Materias coincidentes) Solución. s = 0,70 m ; A = +1. Imagen virtual, igual que el objeto y derecha. 47 a) Explique el fenómeno de la reflexión total y las condiciones en las que se produce. b) Calcule el ángulo a partir del cual se produce reflexión total entre un medio material en el que la luz se propaga a una velocidad: v = 1, m s 1 y el aire. Tenga en cuenta que la luz en su propagación pasa del medio material al aire. Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = m s 1 Índice de refracción del aire: n = 1. Junio 2012 Solución. La reflexión total se da cuando la luz intenta pasar de un medio a otro menos refringente que el anterior, pero al ser el ángulo de incidencia superior al ángulo límite realmente no logra refractarse, y se refleja en la superficie de separación de ambos medios, no cambiando de medio de propagación. Ángulo límite = 30º. 48 Un rayo de luz cuya longitud de onda en el vacío es: λ = 5, m se propaga por el interior de una fibra óptica de índice de refracción: n i = 1,5. Si la fibra óptica tiene un recubrimiento exterior cuyo índice de refracción es: n e = 1,0, determine: a) La velocidad de propagación y la longitud de onda del rayo en el interior de la fibra óptica. b) El ángulo de incidencia mínimo en la pared interna de la fibra para que el rayo que incida sobre ella no salga a la capa externa. Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3, m s 1. Modelo 2012 Solución. a) v = 2, m s 1 ; λ = 3, m b) Ángulo límite = 41º Página 16

145 Ejercicios de acceso a la Universidad Preguntas de Óptica -Geométrica- 49 Se tiene un prisma rectangular de vidrio, de índice de refracción: 1,48. Del centro de su cara A se emite un rayo que forma un ángulo α con el eje vertical del prisma, como muestra la figura. La anchura del prisma es de 20 cm, y la altura de 30 cm. a) Si el medio exterior es el aire, cuál es el máximo valor de α para que el rayo no salga por la cara B?. Justifique la respuesta. b) Si el medio exterior es agua, cuál es el máximo valor de α para que el rayo no salga por la cara B?. Para este valor de α, cuál es el ángulo con el que emerge de la cara C?. Datos: Índice de refracción del aire: n aire = 1 Índice de refracción del agua: n agua = 1,33. Septiembre 2013 Solución. a) α máx 1 = 47º b) α máx 2 = 26º 1 8 ; δ = 29º a) Explique, ayudándose de un diagrama de rayos, la formación de imágenes por parte de una lente convergente. En concreto, detalle la naturaleza de la imagen en función de la posición del objeto. b) Explique cómo funciona una lupa: dónde se ha de colocar el objeto, qué tipo de lente se utiliza y qué tipo de imagen se forma. Modelo 2013 Solución. a) Objeto entre y 2f: imagen real, menor e invertida. Objeto en 2f: imagen real, igual e invertida. Objeto entre 2f y f: imagen real, mayor e invertida. Objeto en F: no se forma imagen. b) Objeto entre F y O: imagen virtual, mayor y derecha -lupa (lente convergente)-. 51 Determine, basándose en el trazado de rayos, dónde hay que ubicar un objeto con respecto a una lente convergente para que: a) La imagen formada sea real e invertida. b) La imagen formada sea virtual y derecha. Junio 2014 Solución. a) Objeto entre y 2f: imagen real, menor e invertida. Objeto en 2f: imagen real, igual e invertida. Objeto entre 2f y f: imagen real, mayor e invertida. b) Objeto entre F y O: imagen virtual, mayor y derecha. Página 17