Un Poco Sobre Programación Recursiva

Transcripción

1 Un Poco Sobre Programación Recursiva Tradicionalmente estamos acostumbrados a programar computadoras bajo el viejo (pero no por eso malo) esquema de arriba a abajo (top-down, dirían los de habla inglesa). Han surgido variantes que ayudan a mejorar el entendimiento y mantenimiento de programas so sólo aquellos hechos por otros, sino por uno mismo, como la programación estructurada y otros esquemas que rompen la linealidad en cuanto al seguimiento del flujo de programa, y hace que ese flujo dependa de eventos, como clics de ratón, pulsar una tecla, cumplimiento de un temporizador, etc., que se conoce como Programación Orientada a Objetos. En cualquiera de esos esquemas de programación puede insertarse en forma incidental la llamada Programación Recursiva, que consiste en sunciones que pueden invocarse a si mismas hasta alcanzar un criterio de parada. El ejemplo clásico de este tipo de programas lo constituye sin dudas, el cálculo del factorial de un número entero mayor o igual a cero (es decir, perteneciente al conjunto Z, que incluye a los positivos más el cero), ya que: n! = n *( n 1)! 0! = 1 Teniendo por criterio de parada la convención de que 0! = 1. En programación tradicional, resolvemos fácilmente el problema de la siguiente manera: #Leer n F = n Repita para i = 1,n-1 F = F*(n-i) Fin RP. Imprimir F Figura 1. Versión procedimental para el cálculo de factorial Pero, utilizando el hecho de que El factorial de n depende del factorial de sus predecesores (recursividad), en el orden natural de los números enteros, podemos utilizar (si el lenguaje de programación que estamos utilizando lo permite, como ocurre con C/C++) un esquema más elegante como el que aparece a continuación: #include <iostream> using namespace std; int fr(int x) if (x == 0) return(1); else return (x*fr(x-1)); int main () Cosme Rafael Marcano Gamero. 1

2 int n; cout << "Introduzca valor de n: " ; cin >> n; cout << fr(n) << endl; Figura 3. Versión recursiva para el cálculo de factorial Nótese que lo primero que chequea el código reentrante de la función fr() es el criterio de parada, es decir, si el argumento es igual a cero, en cuyo caso retorna 1, de acuerdo a lo establecido en la definición del factorial. De lo contrario, procede a invocarse a sí misma con el valor del argumento decrementando en uno. El proceso se repite hasta que el argumento se haga igual a cero, en cuyo caso fr() retornará 1 y el programa podrá realizar en forma inversa los cálculos necesarios para resolver el factorial del número originalmente pasado como argumento. Muchos métodos de cálculo de raíces de funciones algebraicas, así como de búsqueda de datos dentro de bases de datos muy extensas se pueden resolver utilizando la recursividad. Así, por ejemplo, el método numérico de cálculo aproximado de una raíz de una función real de una sola variable real, como es el conocido Método de Bisección, es susceptible de ser codificado en forma recursiva. A continuación se muestran dos implementaciones de ese método de cálculo de raíces: uno en forma tradicional y el otro en forma recursiva. #include <stdio.h> float x2,y2; float f(float x) return (x*x-2); float biseccion(float a, float b, float error) float x1, x2, y0, y1; y0 = f(a); y1 = f(b); while (fabs(y2) > error) if (y0*y2<0) b = x2; y1 = y2; else a = x2; y0 = y2; Cosme Rafael Marcano Gamero. 2

3 return (x2); int main() float x0,x1,y0,y1,x0o,x1o,xi; printf("introduzca valor de x0: "); scanf("%f",&x0); y0 = f(x0); printf("introduzca valor de x1: "); scanf("%f",&x1); y1 = f(x1); X0o = x0; // para preservar el valor original default:x0 X1o = x1; // para preservar el valor original default:x1 printf("introduzca valor de Xi (error permitido): "); scanf("%f",&xi); if (y0*y1 > 0) printf("\naparentemente no hay ra\241ces en el intervalo [%f, %f]", x0, x1 ); else x2 = biseccion(x0,x1,xi); printf("\n\nvalor aproximado de la ra\241z dentro de [%7.3f, %7.3f] = %7.3f, +/- %7.3f",X0o,X1o,x2,Xi); Figura 3. Versión procedimental para el Método de Bisección. (bisec.cpp) #include <stdio.h> float x2,y2; float f(float x) return (x*x-2); float biseccion(float a, float b, float error) float x1, x2, y0, y1; // x0 = a; y0 = f(a); y1 = f(b); if (y0*y2<0) b = x2; y1 = y2; else a = x2; y0 = y2; if (fabs(y2) < error) return (x2); // se alcanzó la precisión deseada else return(biseccion(a, b, error)); Cosme Rafael Marcano Gamero. 3

4 int main() float x0,x1,y0,y1,x0o,x1o,xi; printf("introduzca valor de x0: "); scanf("%f",&x0); y0 = f(x0); printf("introduzca valor de x1: "); scanf("%f",&x1); y1 = f(x1); X0o = x0; // para preservar el valor original default:x0 X1o = x1; // para preservar el valor original default:x1 printf("introduzca valor de Xi (error permitido): "); scanf("%f",&xi); if (y0*y1 > 0) printf("\naparentemente no hay ra\241ces en el intervalo [%f, %f]", x0, x1 ); else x2 = biseccion(x0,x1,xi); printf("\n\nvalor aproximado de la ra\241z dentro de [%6.3f, %6.3f] = %8.5f, +/- %8.5f",X0o,X1o,x2,Xi); Figura 4. Versión recursiva para el Método de Bisección. (biserec.cpp) Obviamente, hay una serie de condiciones que debe cumplir la función sometida a este método, en este caso f ( x) = x 2 2. La función devbe ser continua en todo el intervalo [ x, x 0 1], el cual debe contener una y sólo una raíz. En caso de raíces múltiples de la función dentro de ese intervalo, el método dirá, o bien que no hay ninguna, en caso de raíces pares (ya que y 0 * y 1 ] > 0), o bien dará resultados impredecibles, dependiendo de los extremos del intervalo, en caso de raíces múltiples impares. En este caso, la función es una parábola que abre hacia arriba y corta al eje vertical en y = 2 y tiene dos raíces en x = ± 2 = Además cumple 1,2 ± perfectamente con las condiciones exigidas por el método. Otros métodos numéricos son susceptibles de ser implementados en forma recursiva. Por ejemplo, como ejercicio se puede codificar el método de la secante. La Figura 5 muestra la gráfica de f(x). Figura5 Gráfica de f(x) Cosme Rafael Marcano Gamero. 4

5 A continuación se muestran los resultados que arrojan las dos versiones del método, los cuales coinciden perfectamente. Figura 6. Resultados arrojados por bisec.exe y biserec.exe Por analogía inmediata, el método de bisección (casi continuo) se asemeja al de Búsqueda Binaria (caso discreto), que se utiliza para buscar un elemento de un arreglos de datos. Los datos dentro del arreglo deben estar ordenados (ascendente o descendentemente). La idea es dividir recursivamente el arreglo en dos partes, e ir desechando el segmento que contiene las claves mayores a la que se busca, y proseguir la búsqueda seccionado en dos partes, no necesariamente iguales en tamaño. La recursividad es particularmente útil en el manejo de Estructuras de Datos Dinámicas, desde pilas, hasta Árboles Binarios de Búsqueda (ABB). Esto se debe a la propia definición recursiva de estas estructuras de datos, lo cual será tratado en otro material de estudio. Notas: 1. Los segmentos de código que se muestran aquí están compilados utilizando el compilador g++ de Twilight Dragon Media (TDM), versión 4.4,1 el cual está disponible gratuitamente en Internet. Este compilador es compatible con aquellos pertenecientes a la familia de compiladores conocidos genéricamente como gcc, o Gnu C Compilers, del proyecto GNU, también de distribución gratuita a través de Internet. Sin embargo, pueden ser transportados a casi cualquier otra implementación de C++, como Borland C/C++ Builderversión 6.0 o Microsoft Visual Studio 10 Express. 2. La gráfica contenida en la Figura 5 se obtuvo utilizando la librería OpenCV (Open source Computer Vision), de Intel Corporation, la cual es una poderosa herramienta de distribución gratuita, que se puede utilizar para aplicaciones que manejan gráficos, imágenes y videos, por lo que es especialmente útil en proyectos de Visión por Computadora. Estas librerías serán introducidas en orto material, actualmente en preparación. Cosme Rafael Marcano Gamero. 5