2. 1. Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas Líneas de campo.
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- Josefina Maidana Fuentes
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1 Curso Campo electrostático. Electromagnetismo 2 o curso Licenciatura en Química I. El campo electrostático Introducción al electromagnetismo Ley de Coulomb. Principio de superposición Campo eléctrico Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss Líneas de campo. Bibliografía: Griffiths, Tipler, Serway. 2. Potencial electrostático Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas El campo eléctrostático como gradiente de un potencial Superficies equipotenciales Energía electrostática Condensadores Energía almacenada en un condensador. Bibliografía: Feynman, Griffiths. 4. El campo electrostático en medios materiales Polarización de un medio dieléctrico Cargas de polarización Desplazamiento eléctrico Medios lineales El condensador con dieléctrico Conductores en equilibrio electrostático. Bibliografía: Feynman, Griffiths, Tipler. 5. Campo magnético. II. El campo magnetostático Corriente eléctrica y ley de Ohm Introducción a la interacción magnética Fuerza de Lorentz. Campo magnético Ley de Biot-Savart Teorema de Ampère. Bibliografía: Griffiths, Tipler. 6. Desarrollo multipolar del campo magnético. Bibliografía: Feynman, Griffiths, Tipler. 3. Desarrollo multipolar del campo eléctrico. Dipolos Desarrollo multipolar del campo eléctrico Potencial y campo de un dipolo Acción de un campo eléctrico externo sobre un dipolo eléctrico Dipolo magnético Acción de un campo magnético externo sobre un dipolo magnético. Bibliografía: Griffiths, Feynman.
2 2 Electromagnetismo 7. El campo magnetostático en los medios materiales. BIBLIOGRAFÍA Imanación Paramagnetismo Diamagnetismo Ferromagnetismo Corrientes de magnetización. Campo excitación magnética Medios lineales. Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas. Bibliografía: Feynman, Griffiths, Tipler. III. Campos variables con el tiempo 8. Campos variables con el tiempo. Paul A. Tipler y G. Mosca, Física (vol. 2), Ed. Reverté, Barcelona, R.P. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands, Física, Addison Wesley Iberoamericana, D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, R.A. Serway y J.W. Jewett, Física, Thomson, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Ley de Faraday Fuerza electromotriz asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y Ley de Ampère generalizada. Bibliografía: Griffiths, Tipler, Serway. La evaluación se basará en un examen escrito con una puntuación máxima de 10 puntos. El examen constará de una serie de cuestiones cortas, de carácter teórico y numérico. Adicionalmente, a la nota del examen se le sumará la nota obtenida en la resolución de algunos de los problemas del boletín, ya sea en el aula o en casa. A lo largo de cada tema el profesor indicará los problemas que se pueden entregar, estableciendo un plazo máximo de entrega (en general de una semana). La puntuación máxima que se puede obtener resolviendo problemas es de 2.5 puntos. 9. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas Introducción Las ecuaciones de Maxwell en el vacío Ondas electromagnéticas Energía y momento de las ondas electromagnéticas. Bibliografía: Griffiths, Tipler, Feynman.
3 Lección 1. Campo electrostático Introducción al electromagnetismo. Tema 1. Campo electrostático 1.1. Introducción al electromagnetismo Ley de Coulomb. Principio de superposición Campo eléctrico Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss Líneas de campo. 1
4 Lección 1. Campo electrostático Introducción al electromagnetismo. - En la naturaleza existen cuatro tipos de interacciones: - La interacción electromagnética es responsable de: -Fuerte. - Electromagnética. -Débil. - Gravitatoria. - Enlace químico. - Luz. - Tecnología basada en la electricidad y electrónica. - Rozamiento... - Carga eléctrica - El origen de la interacción electromagnética está en las cargas. - Hay cargas positivas y negativas. - La carga eléctrica se conserva. - La carga eléctrica está cuantizada: q= ±ne n=0,1,2... e= C - La interacción electromagnética se describe en términos de los campos eléctrico y magnético. 2
5 Lección 1. Campo electrostático Ley de Coulomb Introducción al electromagnetismo Ley de Coulomb. Principio de superposición Campo eléctrico Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss Líneas de campo. 3
6 Lección 1. Campo electrostático Ley de Coulomb... Ley de Coulomb q 2 u r 12 - F r 12 + R r 12 F r 12 q Permitividad del espacio libre A veces de utiliza la constante k: 4
7 Lección 1. Campo electrostático Ley de Coulomb... Principio de superposición 5
8 Lección 1. Campo electrostático Campo eléctrico 1.1. Introducción al electromagnetismo Ley de Coulomb. Principio de superposición Campo eléctrico Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss Líneas de campo. 6
9 Lección 1. Campo electrostático Campo eléctrico Campo eléctrico: definición q E r F r q 7
10 Lección 1. Campo electrostático Campo eléctrico Ejemplo: Campo eléctrico de una carga puntual q R r q E r F r E r q 8
11 Lección 1. Campo electrostático Campo eléctrico Campo eléctrico de un conjunto de cargas puntuales z Notación: r r P r ' i R r i y x q i 9
12 Lección 1. Campo electrostático Campo eléctrico Campo eléctrico de una distribución de cargas: z r ' r r dq R r y x P 10
13 Lección 1. Campo electrostático. 1.3 Flujo del campo eléctrico Introducción al electromagnetismo Ley de Coulomb. Principio de superposición Campo eléctrico Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss Líneas de campo. 11
14 Lección 1. Campo electrostático. 1.3 Flujo del campo eléctrico... Flujo Agua A 1 v r r n ( Flujo de agua!) h 1 θ A 2 h 2 a n r θ v r da r n r v r 12
15 Lección 1. Campo electrostático. eléctrico. 1.3 Flujo del campo eléctrico... Flujo del campo eléctrico. Definición: d 13
16 Lección 1. Campo electrostático. 1.3 Flujo del campo eléctrico... Ejemplo : El flujo únicamente depende de la carga encerrada! 14
17 Lección 1. Campo electrostático. 1.3 Flujo del campo eléctrico... Teorema de Gauss. A Q Teorema de Gauss (en forma integral) 15
18 Lección 1. Campo electrostático. 1.3 Flujo del campo eléctrico... Ejemplo: E r Plano infinito cargado con densidad de carga superficial σ E r 2 E r 1 Primero hay que estudiar la simetría... dq 1 dq 2 σ E r...y deducir la dirección del campo eléctrico σ E r 16
19 Lección 1. Campo electrostático. 1.3 Flujo del campo eléctrico... E r n r A continuación se aplica el T. de Gauss, escogiendo una superficie apropiada. σ Campo de un plano cargado 17
20 Lección 1. Campo electrostático Líneas de campo 1.1. Introducción al electromagnetismo Ley de Coulomb. Principio de superposición Campo eléctrico Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss Líneas de campo. 18
21 Lección 1. Campo electrostático Líneas de campo Líneas de campo: E r q q Representación con vectores campo Representación con líneas de campo Las líneas de campo se dibujan tangentes al campo eléctrico. 19
22 Lección 1. Campo electrostático Líneas de campo El número de líneas de campo por unidad de superficie es proporcional al campo: q 2q q 2q 20
23 Lección 1. Campo electrostático Líneas de campo Las líneas de campo no pueden cruzarse... E r 1 E r 2... ya que en ese caso tendríamos dos valores del campo en un mismo punto Las líneas de campo no cumplen el principio de superposición + =? Hay que calcular el campo 21
24 Lección 1. Campo electrostático Líneas de campo + = + = 22
25 Lección 2. Potencial electrostático. 2.1 Potencial electrostático. Tema 2. Potencial electrostático 2.1. Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas El campo electrostático como gradiente de un potencial Superficies equipotenciales Energía electrostática Condensadores. 1
26 Lección 2. Potencial electrostático. 2.1 Potencial electrostático. - Trabajo a realizar para desplazar una carga en el seno de un campo electrostático: F r dl r f i dl r F r 2
27 Lección 2. Potencial electrostático. 2.1 Potencial electrostático. - El trabajo no depende del camino: 1. Escojo un camino particular: Q dl r C I E r II dl r f E r i Únicamente depende de las distancias radiales! 3
28 Lección 2. Potencial electrostático. 2.1 Potencial electrostático. 2. Generalizo para otros caminos: B B Q A El trabajo no depende del camino Q A Puedo definir una energía potencial Y una energía potencial por unidad de carga, el potencial V: 4
29 Lección 2. Potencial electrostático. 2.1 Potencial electrostático. - Unidades del potencial: Voltio Tan usado que hasta las unidades del campo se expresan en función del voltio o interviene en la definición de la unidad de energía: - El potencial y las líneas de campo V alto V bajo 5
30 Lección 2. Potencial electrostático Potencial de una distribución Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas El campo electrostático como gradiente de un potencial Superficies equipotenciales Energía electrostática Condensadores. 6
31 Lección 2. Potencial electrostático Potencial de una distribución... - Potencial de una carga puntual: Escojo un origen de potencial Q R P - Principio de superposición Q 2 Q 1 7
32 Lección 2. Potencial electrostático Potencial de una distribución... Potencial de un conjunto de cargas puntuales z r r P r ' i R r i y x q i 8
33 Lección 2. Potencial electrostático Potencial de una distribución... Potencial de una distribución de cargas z r ' r r dq R r y Sólo distribuciones finitas! x P 9
34 Lección 2. Potencial electrostático El campo electrostático como Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas El campo electrostático como gradiente de un potencial Superficies equipotenciales Energía electrostática Condensadores. 10
35 Lección 2. Potencial electrostático El campo electrostático como... - Cómo obtener el campo eléctrico a partir del potencial? Si i y f están muy próximos: 11
36 Lección 2. Potencial electrostático. V=1000 V E r - Ejemplo (condensador): Fuera de las placas 2.2. El campo electrostático como... V=0 V Entre las placas 1 mm x E r - Ejemplo: carga puntual en el origen q Nota: En general, en esféricas: 12
37 Lección 2. Potencial electrostático El campo electrostático como... - Cómo es posible obtener un vector de un escalar? B A Las componentes del campo no son independientes entre sí - Ejemplo: carga puntual en el origen Er dl r - Hemos encontrado la 2ª ec. de Maxwell en el vacío: 13
38 Lección 2. Potencial electrostático Superficies equipotenciales Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas El campo electrostático como gradiente de un potencial Superficies equipotenciales Energía electrostática Condensadores. 14
39 Lección 2. Potencial electrostático Superficies equipotenciales. - Superficie equipotencial: superficies donde el potencial es constante - Ejemplo: carga puntual en el origen E r dl r 15
40 Lección 2. Potencial electrostático. Ejemplo: campo uniforme dl r E r Ejemplo: cargas de distinto signo E r dl r -q q 16
41 Lección 2. Potencial electrostático Energía electrostática Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas El campo electrostático como gradiente de un potencial Superficies equipotenciales Energía electrostática Condensadores. 17
42 Lección 2. Potencial electrostático Energía electrostática. Cuánto trabajo es necesario para disponer un sistema de cargas puntuales? 1) 2) q 1 q 4 q 3 q 2 R 12 q 1 q 1 q 2 3) 4) q 1 q2 R 13 R 23 q 3 q 4 R q 14 1 R 34 R 24 q 2 q 3 18
43 Lección 2. Potencial electrostático Energía electrostática. - El trabajo se almacena en forma de energía electrostática: - Generalizando: (sumo todos los pares, sin repetir ninguno) (repito parejas, pero divido por dos) 19
44 Lección 2. Potencial electrostático Energía electrostática. - Energía electrostática de un sistema de cargas puntuales: - Y para una distribución continua: 20
45 Lección 2. Potencial electrostático Condensadores Potencial electrostático Potencial de una distribución finita de cargas El campo electrostático como gradiente de un potencial Superficies equipotenciales Energía electrostática Condensadores. 21
46 Lección 2. Potencial electrostático Condensadores. - Condensador: Q -Q - Unidades: 22
47 Lección 2. Potencial electrostático Condensadores. - Condensador plano: σ σ - Campo en su interior? σ σ σ σ σ σ 23
48 Lección 2. Potencial electrostático Condensadores. - Diferencia de potencial: σ σ x y - Ejemplo 24
49 Lección 2. Potencial electrostático Condensadores. - Unidades de la permitividad: Recordamos: Pero ahora también: Equivalencia: 25
50 Lección 2. Potencial electrostático Condensadores. - Energía almacenada en un condensador: Alternativamente: - Interpretación: energía del campo electrostático 26
51 Lección 3. Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar... Tema 3. Desarrollo multipolar del campo eléctrico. Dipolos Desarrollo multipolar del campo eléctrico Potencial y campo de un dipolo Acción de un campo eléctrico externo sobre un dipolo eléctrico. 1
52 Lección 3. Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar... - Término monopolar r ' dq θ R r r r P Si Y si Q=0? V=0?! Necesidad de mejorar la aproximación 2
53 Lección 3. Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar... - Término dipolar r ' dq θ R r r r P 3
54 Lección 3. Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar... - Ejemplo: CO O C -q q p r d y x - Ejemplo: H 2 O q p r 1-2q α / 2 α / 2 p r y p r 2 x q 4
55 Lección 3. Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar... - Ejemplo: CO 2 -q p r 2q -q 1 p r 2 O C O d d - Necesidad de otros términos:
56 Lección 3. Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar... - Dependencia del desarrollo multipolar respecto al origen de coordenadas: - Ejemplo: r r R P q r ' r r q r R P 6
57 Lección 3. Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar... - En particular, el momento dipolar depende del origen de coordenadas: r r ' 1 O 1 O 2 t r r ' 2 r ' 1 SALVO si la carga total es cero 7
58 Lección 3. Desarrollo multipolar Potencial y campo de un dipolo Desarrollo multipolar del campo eléctrico Potencial y campo de un dipolo Acción de un campo eléctrico externo sobre un dipolo eléctrico. 8
59 Lección 3. Desarrollo multipolar Potencial y campo de un dipolo. - Potencial: z d x p r θ q -q r r y p r r 1 r r 2 9
60 Lección 3. Desarrollo multipolar Potencial y campo de un dipolo. - Campo: r E = p r r r Eu r r E r r r r r r E r Er θ r E = r Eu θ - Superficies equipotenciales y campo: 10
61 Lección 3. Desarrollo multipolar Acción de un campo eléctrico Desarrollo multipolar del campo eléctrico Potencial y campo de un dipolo Acción de un campo eléctrico externo sobre un dipolo eléctrico. 11
62 Lección 3. Desarrollo multipolar Acción de un campo eléctrico... - Campo uniforme F r -q p r d r q F r + 12
63 Lección 3. Desarrollo multipolar Acción de un campo eléctrico... - Campo no uniforme F r + -q p r q F r + 13
64 4. El campo electrostático en medios materiales Polarización de un medio dieléctrico. Tema 4. El campo electrostático en medios materiales 4.1. Polarización de un medio dieléctrico Cargas de polarización Desplazamiento eléctrico Medios lineales El condensador con dieléctrico. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 1
65 4. El campo electrostático en medios materiales Polarización de un medio dieléctrico. - Materiales no polares: polarizabilidad α: Polarizabilidad 2
66 4. El campo electrostático en medios materiales Polarización de un medio dieléctrico. - Ejemplo: modelo para la polarizabilidad de un átomo. Condición de equilibrio sobre la carga positiva: 3
67 4. El campo electrostático en medios materiales Polarización de un medio dieléctrico. - Generalización: a) Molécula lineal. O C O E r E r b) En una molécula cualquiera la polarizabilidad es un tensor. - Densidad de momento dipolar: 4
68 4. El campo electrostático en medios materiales Polarización de un medio dieléctrico. - Materiales polares Idealmente: E r = 0 E r Teniendo en cuenta el efecto de la temperatura: 5
69 4. El campo electrostático en medios materiales Cargas de polarización Polarización de un medio dieléctrico Cargas de polarización Desplazamiento eléctrico Medios lineales El condensador con dieléctrico. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 6
70 4. El campo electrostático en medios materiales Cargas de polarización. - Ejemplo: dieléctrico en forma de hilo E r = 0 E r -q E r q No se ha desplazado ninguna carga! A la carga que aparece en los extremos se le denomina carga de polarización. 7
71 4. El campo electrostático en medios materiales Cargas de polarización. - Densidad superficial de cargas de polarización: E r = 0 E r -q q d -q q 8
72 4. El campo electrostático en medios materiales Cargas de polarización. - Densidad superficial de cargas de polarización (continuación): A A θ n r P r A A θ P r n r - Si la polarización no fuese uniforme habría también una densidad de carga de polarización en volumen. 9
73 4. El campo electrostático en medios materiales Desplazamiento eléctrico Polarización de un medio dieléctrico Cargas de polarización Desplazamiento eléctrico Medios lineales El condensador con dieléctrico. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 10
74 4. El campo electrostático en medios materiales Desplazamiento eléctrico. - Se define el vector desplazamiento eléctrico; - Se puede demostrar que el desplazamiento cumple una ecuación análoga al T. de Gauss: - En la ecuación anterior se hace una distinción (artificial) entre carga libre, Q l y cargas de polarización, Q p. En el cálculo del desplazamiento interviene sólo la carga libre. 11
75 4. El campo electrostático en medios materiales Desplazamiento eléctrico. - Ejemplo: hilo cargado rodeado de cilindro dieléctrico con radio a λ a da r r da r D r ε L Flujo: 12
76 4. El campo electrostático en medios materiales Desplazamiento eléctrico. λ a da r r da r D r ε L Carga encerrada: Aplicación T. Gauss: Campo eléctrico fuera del cilindro (r>a): Y dentro (r<a)? Aún no podemos dar la respuesta 13
77 4. El campo electrostático en medios materiales Medios lineales Polarización de un medio dieléctrico Cargas de polarización Desplazamiento eléctrico Medios lineales El condensador con dieléctrico. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 14
78 4. El campo electrostático en medios materiales Medios lineales. - En los dieléctricos lineales: χ ε es la susceptibilidad eléctrica. Es adimensional. - El desplazamiento resulta proporcional al campo: ε es la permitividad del medio. - Es frecuente trabajar con la constante dieléctrica ε r (adimensional) 15
79 4. El campo electrostático en medios materiales El condensador con dieléctrico Polarización de un medio dieléctrico Cargas de polarización Desplazamiento eléctrico Medios lineales El condensador con dieléctrico. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 16
80 4. El campo electrostático en medios materiales El condensador con dieléctrico. - Qué ocurre al introducir un dieléctrico en un condensador? σ P σ P y x σ σ σ σ - Esquema de cálculo: 17
81 4. El campo electrostático en medios materiales El condensador con dieléctrico. - Cálculo del vector desplazamiento: σ da r 1 2 σ da r E r 18
82 4. El campo electrostático en medios materiales El condensador con dieléctrico. - Cálculo del campo eléctrico: - La polarización: (menor que cuando no había dieléctrico: ) - Las cargas de polarización: n r 1 n r 2 (no hay cargas de volumen) P r 19
83 4. El campo electrostático en medios materiales El condensador con dieléctrico. - Son reales las cargas de polarización? y x σ σ P (σ σ P ) 20
84 4. El campo electrostático en medios materiales El condensador con dieléctrico. - Cómo varía la capacidad del condensador? σ P σ P σ σ 21
85 4. El campo electrostático en medios materiales. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático Polarización de un medio dieléctrico Cargas de polarización Desplazamiento eléctrico Medios lineales El condensador con dieléctrico. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 22
86 4. El campo electrostático en medios materiales. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. - Los conductores tienen cargas libres en su interior - Propiedades: 1. El campo eléctrico en su interior es nulo. a) b) E r = 0 E r ind E r = 0 En b): E r ext = 0 E r ext 2. La carga neta en un conductor está situada en su superficie. 23
87 4. El campo electrostático en medios materiales. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 3. El campo en la superficie de un conductor es perpendicular a la superficie E r E r E r (Si existiera una componente tangencial, como en la figura, las cargas se redistribuirían.) 4. Todos los puntos del conductor están al mismo potencial: 24
88 4. El campo electrostático en medios materiales. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 4. El campo en el exterior viene dado por la densidad superficial de carga E r 2 1 da r da r 25
89 4. El campo electrostático en medios materiales. 4.6 Conductores en equilibrio electrostático. 6. El campo es mayor en las zonas con menor radio de curvatura. Esfera de radio r, a potencial V: En un conductor de forma arbitraria: 26
90 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Corriente eléctrica y Ley de Ohm. Tema 5. El campo magnetostático en el vacío 5.1. Corriente eléctrica y Ley de Ohm Introducción a la interacción magnética Fuerza de Lorentz. Campo magnético Ley de Biot-Savart Teorema de Ampère. 1
91 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Corriente eléctrica y Ley de Ohm. Corriente eléctrica - Sentido de la corriente: el de las cargas positivas. I + v r + v r - 2
92 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Corriente eléctrica y Ley de Ohm. - Relación con los portadores de carga: - Vector densidad de corriente: 3
93 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Corriente eléctrica y Ley de Ohm. A J r n r n r θ J r A 1 A 2 da n r J r 4
94 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Corriente eléctrica y Ley de Ohm. Ley de Ohm - Ley de Ohm generalizada σ es la conductividad (no confundir con la densidad de carga superficial) - Unidades: Ω: Ohmios - Resistividad: (no confundir con la densidad de carga de volumen) 5
95 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Corriente eléctrica y Ley de Ohm. - Caída de potencial a lo largo de un conductor: 6
96 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Corriente eléctrica y Ley de Ohm. - Resistencia Óhmico No óhmico - Variación de la resistencia con la temperatura: - La resistencia en los circuitos: 7
97 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético Corriente eléctrica y Ley de Ohm Introducción a la interacción magnética Fuerza de Lorentz. Campo magnético Ley de Biot-Savart Teorema de Ampère. 8
98 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Introducción a la interacción magnética. - Cuestión fundamental: fuerza entre las cargas. q 2 Q F r q 1 q 3 - Interacción magnética básica: fuerza entre corrientes. I 9
99 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Introducción a la interacción magnética. - Una corriente crea un campo magnético y el campo magnético efectúa una fuerza sobre la otra corriente. I I I B r B r F r v v 10
100 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético Corriente eléctrica y Ley de Ohm Introducción a la interacción magnética Fuerza de Lorentz. Campo magnético Ley de Biot-Savart Teorema de Ampère. 11
101 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético. - Fuerza magnética, campo magnético: B r es el vector de inducción magnética, vector de densidad magnética o simplemente campo magnético - Dirección y sentido: θ - Módulo: 12
102 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético. - Ejemplos: B r B r B r q B r v r v r B r q - q B r v r B r F r r v B r ^ v r v r v r v r r v B r B r ^ F r B r F r r v B r ^ v r v r 13
103 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético. - El campo magnético no realiza trabajo sobre la carga: dl r q v r - Fuerza de Lorentz: F r 14
104 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético. - Ejemplo: movimiento ciclotrónico. - Si existe una componente de la velocidad en la dirección del campo: 15
105 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético. - Ejemplo: Efecto Hall. 16
106 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Fuerza de Lorentz. Campo magnético. - Fuerza sobre una distribución de corrientes r B F r v r - Fuerza sobre una corriente filiforme dl r dτ J r n r 17
107 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Ley de Biot-Savart Corriente eléctrica y Ley de Ohm Introducción a la interacción magnética Fuerza de Lorentz. Campo magnético Ley de Biot-Savart Teorema de Ampère. 18
108 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Ley de Biot-Savart. Ley de Biot-Savart: R r 19
109 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Ley de Biot-Savart. - Ejemplo: campo de una corriente rectilínea indefinida db r r P α R r θ I z dl r z 20
110 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Ley de Biot-Savart. - Conclusión: I B r - Fuerza entre dos cables: I 1 I 2 F r 12 dl r 2 B r 1 y x 21
111 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Teorema de Ampère Corriente eléctrica y Ley de Ohm Introducción a la interacción magnética Fuerza de Lorentz. Campo magnético Ley de Biot-Savart Teorema de Ampère. 22
112 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Teorema de Ampère. - Circulación del campo electrostático: Γ q - Circulación del campo magnetostático: I Γ B r Teorema de Ampère 23
113 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Teorema de Ampère. - Ejemplo: campo magnético de una bobina infinita. Γ I I I I I I dl r B r I I I I 24
114 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Teorema de Ampère. - Bobina real: 25
115 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Teorema de Ampère. - Flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada: - Flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada: da r B r da r B r I 26
116 Lección 5. El campo magnetostático en el vacío Teorema de Ampère. 27
117 Lección 6. Desarrollo multipolar del campo magnético Dipolo magnético. Tema 6. Desarrollo multipolar del campo magnético 6.1. Dipolo magnético Acción de un campo magnético externo sobre un dipolo magnético. 1
118 Lección 6. Desarrollo multipolar del campo magnético Dipolo magnético. - En el desarrollo multipolar del campo magnético nunca hay término monopolar. - Dipolo magnético: m r I I I I - El campo magnético del dipolo magnético es análogo eléctrico del dipolo eléctrico: r B = m r r r Bu r r B r r r r r r B r Br θ r B = r Bu θ 2
119 Lección 6. Desarrollo multipolar del campo magnético Dipolo magnético. - El campo magnético del dipolo magnético es análogo eléctrico del dipolo eléctrico: 3
120 Lección 6. Desarrollo multipolar del campo magnético Acción de B sobre Dipolo magnético Acción de un campo magnético externo sobre un dipolo magnético. 4
121 Lección 6. Desarrollo multipolar del campo magnético Acción de B sobre... - Campo uniforme. F r 4 I B r F r F r 3 1 x z I I θ I m r F r 2 y - La fuerza total es cero. -Ni F 1 ni F 3 contribuyen a hacer girar la espira ( ) - El momento de giro vale: F r 4 B r z a 2 θ m r θ F r y2 con: 5
122 Lección 6. Desarrollo multipolar del campo magnético Acción de B sobre... - El momento de la fuerza tiende a orientar el dipolo en la dirección del campo. Al hacer girar la espira el campo se realiza un trabajo: La energía de la espira asociada al giro disminuye: - Campo no uniforme. - Aparece una fuerza neta: 6
123 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Imanación. Tema 7. Desarrollo multipolar del campo magnético 7.1. Imanación Paramagnetismo Diamagnetismo Ferromagnetismo Corrientes de magnetización. Campo excitación magnética Medios lineales. Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas. 1
124 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Imanación. - Relación entre momento angular y momento magnético: L r - Momento magnético: -e v r m r - Momento angular: - Relación entre ambos: - Para el momento angular asociado al espín: Momento asociado al mov. orbital Momento asociado al espín 2
125 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Imanación. - En general: (g es el factor de Landé, adimensional) - Cuantización del momento magnético: magnetón de Bohr. - Vector imanación: 3
126 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Paramagnetismo Imanación Paramagnetismo Diamagnetismo Ferromagnetismo Corrientes de magnetización. Campo excitación magnética Medios lineales. Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas. 4
127 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Paramagnetismo. - Substancias paramagnéticas: - Existe momento magnético permanente. - La interacción entre los dipolos es débil. - Sin campo magnético m r - Con campo magnético, idealmente. 5
128 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Paramagnetismo. - Con campo magnético y efecto de la temperatura. - Energía de orientación de un dipolo: valores típicos: - Energía térmica (T ambiente): - En general: Los dipolos están desordenados a T ambiente! M S =Nm T baja M T alta mb/kt Ley de Curie 6
129 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Paramagnetismo. - Las substancias paramagnéticas son atraídas por los campos magnéticos: En una substancia paramagnética la imanación y el campo magnético son paralelos La fuerza sobre cada dipolo viene dada por: La fuerza tiene la dirección de aumento máximo del campo. Vertical Campo débil Péndulo Substancia paramagnética Campo intenso 7
130 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Diamagnetismo Imanación Paramagnetismo Diamagnetismo Ferromagnetismo Corrientes de magnetización. Campo excitación magnética Medios lineales. Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas. 8
131 Lección 7. El campo magnetostático en los medios... - Substancias diamagnéticas: - Origen del diamagnetismo: 7.3. Diamagnetismo. - No existe momento magnético permanente. - Presente en todas las substancias, pero sólo es apreciable en substancias que no son ni paramagnéticas ni ferromagnéticas. -NOTA:Estudiando el campo eléctrico inducido que aparece al crear el campo B, se demuestra que se comunica al electrón la energía cinética y el momento angular necesario para orbitar a la misma distancia radial con un pequeño cambio en la velocidad. En este tema estudiamos el fenómeno desde el punto de vista de las fuerzas. L r r c -e m r v r Sin campo: B r Con campo: F r v r 9
132 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Diamagnetismo. - Esta ec. es valida en la Méc. Cuántica interpretando el valor de r c como un valor medio - Las substancias diamagnéticas son repelidas por los campos magnéticos: - En una substancia paramagnética la imanación y el campo magnético son antiparalelos - La fuerza sobre cada dipolo viene dada por: Péndulo Substancia diamagnética Vertical - La fuerza tiene la dirección de disminución máxima del campo. Campo débil Campo intenso 10
133 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Ferromagnetismo Imanación Paramagnetismo Diamagnetismo Ferromagnetismo Corrientes de magnetización. Campo excitación magnética Medios lineales. Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas. 11
134 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Ferromagnetismo. - Substancias ferromagnéticas: materiales altamente no lineales en los que es posible que exista imanación aún cuando no hay campo magnético externo aplicado. - Origen del ferromagnetismo: - Asociado al espín de átomos con orbitales internos incompletos. - Fenómeno puramente cuántico, relacionado con el Ppo. de Exclusión de Pauli. -La interacción de intercambio hace que lo espines tengan tendencia a alinearse paralelamente. - La imanación se pierde a una temperatura crítica, llamada de temperatura de Curie. - Dominios: - Regiones microscópicas donde los momentos magnéticos están alineados. - La dirección de alineamiento varía de un dominio a otro para disminuir la energía total del sistema. 12
135 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Ferromagnetismo. - Curva de histéresis: M a),b) Imán permanente Saturación c) I a) b) Reversible I Irreversible c) Saturación El área encerrada por la curva de histéresis es proporcional a la energía disipada en forma de calor en el proceso de imanación. 13
136 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Ferromagnetismo. - Variedad de materiales ferromagnéticos: M M M r M r I I Material magnéticamente duro (Alnico, Nd 2 Fe 14 B, SmCo 5,...) Material magnéticamente blando (Permalloys) 14
137 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Corrientes de magnetización Imanación Paramagnetismo Diamagnetismo Ferromagnetismo Corrientes de magnetización. Campo excitación magnética Medios lineales. Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas. 15
138 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Corrientes de magnetización... - El campo creado por un cuerpo magnetizado puede ser descrito como debido a una corriente K m a lo largo de la superficie del material y una corriente J m de volumen Corriente superficial de magnetización Figura plana con magnetización M y espesor d: I I I MAd I A I d M r K r m n r 16
139 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Corrientes de magnetización... Campo excitación magnética - Definimos el campo excitación magnética como: - Resulta conveniente distinguir entre las corrientes de magnetización y el resto, que llamaremos libres. El campo excitación magnética cumple: 17
140 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Corrientes de magnetización... - Ejemplo: Cálculo de la excitación magnética generada por una corriente I circulando por una espira arrollada sobre un cilindro de material paramagnético. a) b) H r l I 18
141 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Medios lineales Imanación Paramagnetismo Diamagnetismo Ferromagnetismo Corrientes de magnetización. Campo excitación magnética Medios lineales. Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas. 19
142 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Medios lineales... - En medios lineales se define la susceptibilidad magnética χ m : χ m es adimensional - En un medio lineal la inducción y la excitación magnéticas son proporcionales: µ es la permeabilidad del material 20
143 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Medios lineales... - Ejemplo: Cálculo de B y H en el interior del cilindro del ejemplo anterior. Vimos que: I - Podemos calcular las corrientes de magnetización M r K r n r m I m 21
144 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Medios lineales... - Con fines didácticos, una vez conocidas todas las corrientes podemos recalcular el campo: B r l l + I I I I I I I K r m l I 22
145 Lección 7. El campo magnetostático en los medios Medios lineales... - Esquema del razonamiento seguido: +simetría - Comparación de la descripción de los campos eléctrico y magnético en los medios materiales: Accesible experim. a través de I Accesible experim. a través de V 23
146 Lección 8. Campos variables con el tiempo Ley de Faraday. T.8. Campos variables con el tiempo 8.1. Ley de Faraday F.e.m. asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y ley de Ampère generalizada. 1
147 Lección 8. Campos variables con el tiempo Ley de Faraday. - Introducción: I = 0 I I 0 0 V V Ley de Faraday. I 0 2
148 Lección 8. Campos variables con el tiempo Ley de Faraday. Ejemplo: generador de corriente alterna. Espira Anillos Eje externo Escobillas Circuito externo BAω T = 2π ω 3
149 Lección 8. Campos variables con el tiempo Ley de Faraday. - Ejemplo: transformador. I1 I2 - Aplicando la ley de Faraday: ε 1 ε 2 I 1 I2 N 1 espiras N 2 espiras - La conservación de la energía nos ayuda a deducir información sobre las intensidades: 4
150 Lección 8. Campos variables con el tiempo Ley de Faraday. - Interpretación del signo de la ley de Faraday: ley de Lenz. La f.e.m. y la corriente inducidas poseen un sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. a) b) 5
151 Lección 8. Campos variables con el tiempo F.e.m. asociada al movimiento Ley de Faraday F.e.m. asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y ley de Ampère generalizada. 6
152 Lección 8. Campos variables con el tiempo F.e.m. asociada al movimiento. - Variación del flujo de B asociada al movimiento de una parte del circuito. R l B r vr R x I I I I - Cálculo de la corriente inducida: R I ε=blv 7
153 Lección 8. Campos variables con el tiempo F.e.m. asociada al movimiento. - Pero, cuál es el origen de la f.e.m.? R l B r F r m θ w r θ v r v r e -La velocidad v e del electrón es la suma de la velocidad v de la varilla y la velocidad de arrastre w dentro de la varilla. -La componente vertical de F m es la responsable del arrastre de los electrones. x - La fuerza electromotriz es la integral de camino de la fuerza por unidad de carga (f) a lo largo del circuito. 8
154 Lección 8. Campos variables con el tiempo F.e.m. asociada al movimiento. - Y quién hace el trabajo? l R B r F r m θ θf r v r r e θ s - Si el electrón no se acelera hacia la izquierda es porque la varilla ejerce sobre él una fuerza F r hacia la derecha El trabajo realizado por la fuerza que mueve la varilla es la integral de F r a lo largo de la trayectoria del electrón (en oposición a a lo largo del circuito). El trabajo por unidad de carga es vbl. La fuerza que desplaza la varilla realiza el trabajo. 9
155 Lección 8. Campos variables con el tiempo Campos eléctricos inducidos Ley de Faraday F.e.m. asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y ley de Ampère generalizada. 10
156 Lección 8. Campos variables con el tiempo Campos eléctricos inducidos. - Aún estando el circuito en reposo se produce una f.e.m si el flujo de B varía: - Ejemplo: R I B r Quién impulsa las cargas en esta situación? - Hemos de admitir la existencia de un campo eléctrico inducido por el flujo variable. Vamos a verlo: Ley de Faraday 11
157 Lección 8. Campos variables con el tiempo Campos eléctricos inducidos. - El campo eléctrico inducido tiene propiedades muy diferentes del electrostático: - No es conservativo. - Sus fuentes son las variaciones de B, no las cargas. A diferencia del campo electrostático: 12
158 Lección 8. Campos variables con el tiempo Campos eléctricos inducidos. -Comparación: Campo electrostático Campo eléctrico inducido Campo magnetostático q E r B r (t) E r I B r 13
159 Lección 8. Campos variables con el tiempo Autoinducción Ley de Faraday F.e.m. asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y ley de Ampère generalizada. 14
160 Lección 8. Campos variables con el tiempo Autoinducción. Al conectar el circuito la propia corriente del circuito genera una variación de flujo magnético, y por tanto una fuerza (contra) electromotriz. - Para caracterizar el flujo autoinducido se define el coeficiente de autoinducción L: - Unidades: (Henrios) 15
161 Lección 8. Campos variables con el tiempo Autoinducción. - Ejemplo: Autoinducción de una bobina de N vueltas, radio a y longitud l. I La autoinducción depende de la geometría (tamaño y forma) del circuito. - Símbolo de una autoinducción en un circuito: 16
162 Lección 8. Campos variables con el tiempo Circuito RL Ley de Faraday F.e.m. asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y ley de Ampère generalizada. 17
163 Lección 8. Campos variables con el tiempo Circuito RL. - Vamos a estudiar la variación temporal de la corriente en un circuito típico: I R ε L I R ε ε auto = -LdI/dt 18
164 Lección 8. Campos variables con el tiempo Circuito RL. ε /R Corriente t c =L/R t c Tiempo 19
165 Lección 8. Campos variables con el tiempo Energía magnética Ley de Faraday F.e.m. asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y ley de Ampère generalizada. 20
166 Lección 8. Campos variables con el tiempo Energía magnética. - Estudiamos la energía necesaria para establecer una corriente en un circuito. Para ello hacemos un balance energético en el circuito que acabamos de estudiar: ε I R L Potencia consumida en R Potencia proporcionada por el generador Identificamos como energía por unidad de tiempo almacenada en la autoinducción 21
167 Lección 8. Campos variables con el tiempo Energía magnética. - Para una bobina esta expresión tiene la forma: I - Esta última expresión tiene carácter general. Energía magnética almacenada por unidad de volumen. - La expresión de la energía asociada al campo magnético es análoga a la asociada al campo eléctrico, según vimos al estudiar el condensador: 22
168 Lección 8. Campos variables con el tiempo Corriente de desplazamiento Ley de Faraday F.e.m. asociada al movimiento Campos eléctricos inducidos Autoinducción Circuito RL Energía magnética Corriente de desplazamiento y ley de Ampère generalizada. 23
169 Lección 8. Campos variables con el tiempo Corriente de desplazamiento... - En situaciones de alta simetría utilizábamos el T. de Ampère para deducir el campo magnético. - En su momento dijimos que sólo era válido para corrientes estacionarias. Vamos a demostrarlo con un ejemplo donde hay acumulación de carga (y por tanto corrientes no estacionarias). Placas del condensador Curva Γ S 1 S 2 I - Si escogemos S 1 : - Si escogemos S 2 : - Maxwell solucionó el problema introduciendo la corriente de desplazamiento:?? de modo que: 24
170 Lección 8. Campos variables con el tiempo Corriente de desplazamiento... - La introducción de la corriente de desplazamiento devuelve la coherencia: Placas del condensador Curva Γ S 1 S 2 - Si escogemos la superficie S 1 : - Si escogemos la superficie S 2 : Obtenemos el mismo resultado con las dos superficies. 25
171 Lección 8. Campos variables con el tiempo Corriente de desplazamiento... - Una consecuencia importante es que los campos eléctricos variables generan campos magnéticos: Campo magnético inducido E r (t) B r 26
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