Asignaturas antecedentes y subsecuentes Análisis Matemático I

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1 PROGRAMA DE ESTUDIOS TOPOLOGÍA GENERAL I Área a la que pertenece: ÁREA SUSTANTIVA PROFESIONAL Horas teóricas: 5 Horas prácticas: 0 Créditos: 10 Clave: F0064 Asignaturas antecedentes y subsecuentes Análisis Matemático I PRESENTACIÓN La topología es una de las ramas de la matemática moderna que se encarga del estudio de los espacios topológicos, concepto que surge del análisis de la continuidad y la convergencia en los espacios métricos. El principal objeto de investigación en topología es la continuidad. En la actualidad, a la topología se le considera, junto con la Geometría, el Álgebra y el Análisis Matemático, como un área fundamental para la formación de estudiantes de licenciatura en matemáticas y es base para futuros estudios en Análisis Funcional, Geometría y Topología Algebraica. El curso de Topología General I familiariza al alumno con las nociones básicas de la topología. Inicia con una breve introducción sobre la teoría de conjuntos y funciones desde un punto de vista demostrativo formal. La parte central del curso consiste en el estudio de espacios topológicos, funciones continuas y el concepto de homeomorfismo y sus Como parte final del mismo se estudian ampliamente dos de los invariantes topológicos más usados en la matemática actual: La conexidad y la compacidad. OBJETIVO GENERAL Comprender y utilizar los conceptos, métodos y resultados de la topología general. Resolver problemas relacionados con espacios e invariantes topológicos. CONTENIDO 1 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y FUNCIONES Comprender el concepto de una familia de conjuntos, sus operaciones y sus F0064_Topología General I 1/5

2 Aprender las nociones de producto cartesiano arbitrario y de cardinalidad. Entender las principales propiedades de imagen directa e imagen inversa de una función. Conocer la relación de orden diccionario e identificar conjuntos con el mismo tipo de orden. Entender la importancia del axioma de elección Familia de conjuntos y operaciones entre familias de conjuntos (Unión, intersección, diferencia y complemento) Propiedades de las operaciones entre familias de conjuntos (Leyes distributivas, leyes de De Morgan, etc.) Producto cartesiano arbitrario Cardinalidad Imagen directa e imagen inversa de una función y sus 1.6. Relación de orden. Orden diccionario Conjuntos con el mismo tipo de orden Propiedad de la mínima cota superior en conjuntos ordenados Axioma de elección. Comprensión de las familias de conjuntos y sus operaciones. Habilidad para obtener la cardinalidad de un conjunto. Comprensión de las propiedades de la imagen directa e inversa de una función de familias de conjuntos. Comprensión de las propiedades de los conjuntos ordenados. Habilidad para usar el axioma de elección. 2 ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y FUNCIONES CONTINUAS. Comprender los conceptos de espacio topológico, sub-espacio, bases y sub-bases de una topología. Comprender los conceptos de cerradura, interior, punto de acumulación de un conjunto y sus propiedades fundamentales. Comprender el concepto de función continua. Identificar espacios homeomorfos. Entender los conceptos de espacios producto y de cociente y sus F0064_Topología General I 2/5

3 2.1. Definición de espacio topológico y ejemplos (Espacios métricos, Espacio de Zarisky, ) Bases y subbases para una topología Topología para conjuntos ordenados Subespacios topológicos y sus 2.5. Cerradura e interior de un conjunto. Punto límite (punto de acumulación) Funciones continuas. Homeomorfismo Espacios producto y cociente. Comprensión de la definición de espacio topológico, de bases, subbases y subespacios. Habilidad para demostrar las propiedades de los conceptos anteriores. Comprensión de cerradura e interior de un conjunto y punto límite (punto de acumulación) y habilidad para demostrar sus Comprensión de la definición de función continua y habilidad para demostrar y utilizar sus caracterizaciones y Comprensión de los conceptos: homeomorfismo, espacios producto y espacios cociente. Habilidad para demostrar y utilizar sus 3 CONEXIDAD. Comprender los conceptos de espacio conexo, localmente conexo, componente conexa y arco conexa. Entender el invariante topológico conexidad. Comprender las propiedades de la conexidad y su relación con la continuidad Espacios conexos Caracterización de los conjuntos conexos en R Componente conexa y arco conexa Conexidad local 3.5. Conexidad como invariante topológico Aplicaciones de la conexidad (Teorema del punto fijo, teorema del valor intermedio, ). Comprensión de las definiciones de conexidad, conexidad local, componente conexa y arco conexa. Destreza en el manejo de las propiedades de los espacios conexos. Habilidad para relacionar la conexidad y la continuidad para demostrar algunos teoremas importantes. 4 COMPACIDAD. Comprender el concepto de espacio compacto y sus caracterizaciones así como el de espacio localmente compacto. F0064_Topología General I 3/5

4 Entender el invariante topológico compacidad. Comprender propiedades de la compacidad y su relación con la continuidad Espacios compactos Teorema de Heine-Borel Espacios numerablemente compactos 4.4. Compacidad local 4.5. Compacidad como invariante topológico 4.6. Aplicaciones de la compacidad (El teorema de los valores extremos, teorema de la continuidad uniforme, ) Comprensión de la definición de compacidad y habilidad en el manejo de sus propiedades y caracterizaciones. Habilidad para demostrar el Teorema de Heine-Borel. Destreza en el manejo de las propiedades de los espacios compactos, localmente compactos y numerablemente compactos. Habilidad para relacionar la compacidad y la continuidad en la demostración de algunos teoremas importantes. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Hacer una evaluación diagnóstica de conocimientos y habilidades. Trabajar con los alumnos en grupos pequeños e individualmente. Trabajar ejercicios en clase y extraclase. Resolver ejemplos y ejercicios suficientes en clase. Aclarar dudas de la clase anterior. Exhortar al alumno para resolver ejercicios en clase Relacionar los conceptos nuevos con los conocidos por el alumno. Identificar el axioma de elección en algunos resultados clásicos. Considerar la topología de los conjuntos ordenados y la de Zarisky. Enfatizar la importancia de las nociones de base y subbase. Relacionar el concepto de continuidad en espacios topológicos y en espacios métricos. Introducir el concepto de función continua mediante la noción de imagen inversa de un abierto. Demostrar las caracterizaciones de continuidad. Estrategias de evaluación del aprendizaje Preguntas escritas. Preguntas orales Exposiciones de alumnos. Ejercicios extraclase. Participación en clase F0064_Topología General I 4/5

5 Bibliografía Básica Bibliografía Complementaria 1. Kelley, J.L. General Topology, Springer Verlag, New York, Munkres, James R. Topología, Pearson Educación, S. A., Madrid, Salicrup, G. Introducción a la Topología, Aportaciones Matemáticas. Sociedad Matemática Mexicana Tkachuk, Vladimir. Curso Básico de Topología General, Universidad Autónoma Metropolitana, Armstrong, M.A Basic Topology, Ultima Edición. Springer-Verlag. 2. Kosniowski, Czes. A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press Massey. Algebraic Topology: An Introduction, Springer- Verlag, New York, Moise, E. Geometric Topology in Dimension 2 and 3, Springer-Verlag. Última edición. 5. Rotman, Joseph J. An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag. Última edición. 6. Rudin, W. Real and Compex Analysis, Tercera Edición. Mc Graw-Hill Book Company, New York, Steen, L.A and Seebach, J.A. Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart & Winston, Inc., New York, F0064_Topología General I 5/5