Sistemas Dinámicos. Matemáticas PROGRAMA DE ESTUDIO. Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Matemáticas Transversal Programa elaborado por: Sistemas Dinámicos Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1150 Tipo : Carácter de la asignatura Asignatura Optativa Dr. Gamaliel Blé González Dr. Víctor Castellanos Vargas Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura subsecuente F1150 Sistemas Dinámicos 1/7

2 Seriación implícita Conocimientos previos: Si Calculo vectorial y operaciones con números complejos Presentación Los sistemas dinámicos es una rama de las matemáticas que proporciona herramientas para entender procesos que cambian con el tiempo; tales procesos aparecen en todas las ramas de la ciencia, por ejemplo, el movimiento de las estrellas y de las galaxias es uno de los sistemas dinámicos que ha sido estudiado durante siglos por centenares de matemáticos, astrónomos y otros científicos. Otros ejemplos son: El crecimiento de una población en el tiempo, el cambio en el clima, el cambio en la bolsa de valores, el cambio que se produce durante una reacción química, el flujo en un río, el movimiento de un péndulo. Un científico se interesa en estudiar un sistema dinámico porque quiere predecir la evolución del sistema y tomar decisiones oportunas. Claramente, algunos sistemas dinámicos son predecibles y otros no. Uno de los descubrimientos importantes en el siglo XX por los matemáticos, es que sistemas dinámicos de una variable, muy simples, pueden generar comportamientos impredecibles o caóticos. El curso de sistemas dinámicos ofrece a los estudiantes de matemáticas una oportunidad para conocer ideas contemporáneas de investigación en matemáticas y estimula a los alumnos a profundizar sus conocimientos de análisis y de matemática en general, ya que con funciones muy sencillas, aparecen comportamientos complicados que hacen necesario desarrollar herramientas matemáticas que contribuyan a su comprensión Objetivo General Conocer los elementos básicos para entender un sistema dinámico generado por la iteración de una función en una variable real. F1150 Sistemas Dinámicos 2/7

3 Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Capacidad para determinar la convergencia de un sistema generado al iterar una función de una variable real. Habilidad para diferenciar un sistema ordenado y un sistema caótico. Actitud crítica y emprendedora. Perseverancia y responsabilidad. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución. Actitud crítica y emprendedora. Perseverancia y responsabilidad. Salón de clases, biblioteca y seminarios. Escenario de aprendizaje Perfil sugerido del docente Licenciado en Matemáticas, preferentemente con Posgrado en Matemáticas. F1150 Sistemas Dinámicos 3/7

4 Contenido Temático Unidad No. 1 Introducción Objetivo particular Conocer las propiedades generales de un sistema dinámico discreto Hrs. estimadas 20 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación 1.1. Definición 1.2. Ejemplos de sistemas dinámicos discretos 1.3. Ejemplos de sistemas dinámicos continuos Órbitas 1.5. Análisis gráfico de las órbitas 1.6. Tipos de órbitas 1.7. Clasificación de puntos periódicos 1.8. Propiedades de un punto periódico atractor 1.9. Propiedades de un punto periódico repulsor. Conocimiento de las propiedades generales de un sistema dinámico discreto. Capacidad para dar seguimiento geométrico a la órbita de un punto bajo las iteradas de una función de una variable real Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1150 Sistemas Dinámicos 4/7

5 Unidad No. 2 Funciones de Una Variable Objetivo particular Conocer los comportamientos típicos en los sistemas dinámicos generados por la iteración de una función de variable real. Hrs. Estimadas 30 Temas 2.1 Funciones afines por pedazos 2.1. Familia logística Caso 0<a< Caso a= Caso a> Doblamiento de periodo Transición al caos 2.2. Conjugación 2.3. Dinámica simbólica 2.4. Función desplazamiento 2.5. Cantor invariante en la familia logística Resultados del aprendizaje Conocimiento de los diferentes comportamientos que presenta la familia logística cuando se mueven los parámetros en los reales positivos. Capacidad para reconocer la complejidad que presentan los sistemas dinámicos cuadráticos. Determinación de los conjuntos invariantes de un sistema. Manejo de la conjugación como herramienta que facilita el análisis de muchos sistemas. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1150 Sistemas Dinámicos 5/7

6 habilidades Unidad No. 3 Bifurcación y Caos Objetivo particular Comprender proceso bifurcación en una familia a un parámetro y la aparición del caos Hrs. Estimadas 30 Temas 3.1. Tipos de bifurcación 3.2. Teorema de Sarkovskii 3.3. Papel de la órbita del punto crítico en la dinámica 3.4. Definición de caos 3.5. Relación entre caos y entropía topológica 3.6. Relación entre Exponente de Lyapunov y caos. Resultados del aprendizaje Capacidad para reconocer el fenómeno de bifurcación en una familia a un parámetro. Capacidad para determinar la presencia de caos en un sistema, usando herramientas como la conjugación, la entropía topológica o los exponentes de Lyapunov. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1150 Sistemas Dinámicos 6/7

7 Bibliografía básica 1. Devaney, R. L. (1992). A first course in chaotic dynamical systems. New York: Addison-Wesley. 2. Devaney, R. L. (1989). An introduction to chaotic dynamical systems. 2 nd ed. New York: Addison-Wesley. 3. De Melo, W., Van Strien, S. (1993). One dimensional dynamics. New York: Springer Verlag. 4. Hasselblatt, B., Katok, A. (2003). A first course in dynamics with a panorama of recents developments. Cambridge: University Press. 5. Robinson, C. (1998). Dynamical systems: Stability, symbolic dynamics, and chaos. 2 nd ed. Florida: CRC Press. Bibliografía complementaria 1. Hirsch, M. W., y Smale, S. (1974). Differential equation, dynamical systems and linear algebra. New York: Academic Press. 2. Katok, A., Hasselblatt, B., (1999). Modern theory of dynamical systems. Cambridge: University Press. 3. Ott, E. (2002). Chaos in dynamical systems. Cambridge: University Press. 4. Pesin Y. B. (1997). Dimension theory in dynamical systems. University of Chicago Press. F1150 Sistemas Dinámicos 7/7