TÉCNICAS DE PRECONDICIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS DE KRYLOV PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL PROBLEMA STOKES GENERALIZADO

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1 TÉCNICAS DE PRECONDICIONAMIENTO DE LOS MÉTODOS DE KRYLOV PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL PROBLEMA STOKES GENERALIZADO De Cecchis, Dany. Centro Multidisciplinario de Visualización y Cómputo Científico (CEMVICC). Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología. Universidad de Carabobo, Valencia-Venezuela. López, Hilda. hlopez@kuaimare.ciens.ucv.ve Molina, Brígida. bmolina@kuaimare.ciens.ucv.ve Centro de Cálculo Científico y Tecnológico (CCCT). Facultad de Ciencias. Universidad Central de Venezuela, Caracas-Venezuela. Resumen: En la simulación del flujo de un fluido bifásico en una tubería, utilizando el método ALE (Lagrangiano-Euleriano Arbitrario), se obtiene un problema de Stokes estacionario generalizado, con condiciones de frontera no estándar. En este trabajo, este problema se resuelve usando el método de los elementos finitos mixtos, del cual se obtiene un sistema lineal cuya matriz de coeficientes tiene una estructura en bloques de 2 2, conocida como matriz de punto de ensilladura (saddle point) o KKT. Esta matriz es simétrica indefinida de orden n + m, con el bloque (1, 1) simétrico definido positivo de orden n, elbloque(1, 2) es de rango completo de orden n m, elbloque(2, 1) es el transpuesto de (1, 2) y el bloque (2, 2) es una matriz nula de orden m. Este tipo de sistemas lineales se han resuelto clásicamente con métodos que descomponen el problema en sistemas más pequeños, como los métodos tipo Uzawa o gradientes conjugados para el complemento de Schur. En este trabajo se propone utilizar los métodos de Krylov flexibles en conjunto con técnicas de precondicionamiento algebraicas en bloques para resolver el sistema lineal completo. Los resultados obtenidos son alentadores, ya que se disminuye el número de iteraciones y las pruebas muestran que éstas no dependen de la discretización. Keywords: Métodos iterativos, precondicionamiento, problema saddle point, métodos de Krylov, problema de Stokes.

2 1. INTRODUCCIÓN Se considera el sistema de ecuaciones lineales, conocido como problema saddle point ( )( ) ( ) A B t u f = ; Ax = b; (1) B 0 p g donde A R n n es una matriz simétrica definida positiva, y B R m n de rango completo. La matriz A es invertible bajo estas hipótesis. En general, estos sistemas surgen del estudio de numerosos problemas, como los de optimización [1], y la solución de ecuaciones diferenciales [2]. En particular, en este trabajo se estudia el sistema (1) que se obtiene de la discretización espacial en elementos finitos mixtos, usando el mini-elemento [3], del problema de Stokes generalizado estacionario con condiciones de frontera no estándar. Este problema Stokes, surge a su vez, de aplicar el método ALE al problema Navier-Stokes en la simulación 3D del flujo de un fluido bifásico agua-petróleo en una tubería horizontal [4, 5]. Los valores n y m dependen del número de elementos en la discretización del problema. El precondicionamiento consiste en transformar el sistema (1) en otro equivalente con mejores propiedades espectrales, de manera que el método iterativo converja más rápido, esto es, básicamente en encontrar una matriz de precondicionamiento no singular M que aproxime a A en algún sentido y resolver el sistema lineal AM 1ˆx = b, ˆx = Mx. Esta técnica se conoce como precondicionamiento por la derecha, y existen otras estrategias similares denominadas técnica de precondicionamiento por la izquierda y técnica de precondicionamiento centrada. Debido al gran tamaño de los sistemas y a la esparsidad de la matriz de coeficientes A, no es conveniente el uso de métodos directos para resolver (1). En los últimos años ha habido mucho interés en el estudio de métodos iterativos eficientes para la solución de este tipo de problemas, así comoelusodetécnicas de precondicionamiento en estos métodos. Para la solución de estos sistemas, se han utilizado como métodos iterativos los de tipo segregado, que descomponen el problema para resolver separadamente las variables u y p. Losmás conocidos están basados en la descomposición por el complemento de Schur, como son el método Uzawa y sus variantes, Arrow-Hurwicz y el método de gradientes conjugados para el complemento de Schur. También se han utilizado métodos iterativos tipo Krylov, que consideran al sistema lineal completo, conocidos como acoplados (ver [6] y sus referencias para mayor información sobre los métodos para estos sistemas). En este trabajo se propone resolver el sistema lineal (1) utilizando precondicionadores, diagonal y triangular en bloques, aprovechando fuertemente la estructura de la matriz de coeficientes, junto con métodos de proyección en espacios de Krylov de tipo flexible, de manera de disminuir el costo de resolver el sistema asociado con el precondicionador en cada iteración. La organización del trabajo es como sigue: en la sección 2sepresentaelmétodo FGMRES (Flexible GMRES), como variante del método GMRES; luego en la sección 3 se explican brevemente los precondicionadores diagonal y triangular inferior en bloques para la matriz de saddle point; en la sección 4 se muestran algunos resultados numéricos para finalmente en la sección 5 mostrar las conclusiones y recomendaciones.

3 2. MÉTODO FGMRES Un método de Krylov es un método iterativo que busca una aproximación x k alasolución del problema (1) en el subespacio afín x 0 + K k (A,r 0 ), de dimensión k, donde K k (A,r 0 )= span{r 0, Ar 0,...,A k 1 r 0 }, r 0 = b Ax 0, y el vector x 0 es una aproximación inicial cualquiera. Esto se logra imponiendo las condiciones de ortogonalidad b Ax k L k, donde L k es un subespacio de dimensión k. Los subespacios K y L son conocidos como los subespacios de búsqueda y restricción, respectivamente. Entre los métodos más conocidos están: gradientes conjugados (CG) [7], donde L = K k, GMRES [8], con L = AK k, y MINRES [9] como una simplificación simétrica del GMRES. El método FGMRES, propuesto por Saad en [10], es una variante del GMRES precondicionado (PGMRES) donde se hace variar el precondicionador en cada iteración. En todos los métodos iterativos se supone que la matriz de precondicionamiento M es fija. Pero no siempre se tiene explícitamente esta matriz, sino la operación M 1 v j, sobre un vector v j dado, que proviene de algún cálculo, como por ejemplo el uso de otro método iterativo con una precisión particular. Por lo que el operador M podría variar en cada iteración. El algoritmo del método FGMRES se muestra en la figura 1. Se denota por, el producto interno euclídeo en R n+m. Dado x 0 R n+m r 0 = b Ax 0 ; β = r 0 2 ; v 1 2 = r 0 /β Se inicializa la matriz H k con elementos h ij =0 Para j =1,,k hacer Resolver p j = M 1 j w = Ap j Para i =1,,j hacer h ij = w, v i w = w h ij v i Fin Para h j+1,j = w 2 Si h j+1,j =0, entonces parar sino v j+1 = w/h j+1,j Fin Para Resolver z k =argmin z R k βe 1 H k z 2 Resolver x k = x 0 + P k z k, con P k =[p 1,...,p k ] v j Figura 1- Algoritmo del método FGMRES. Si la matriz de precondicionamiento es fija M j = M, entonces el FGMRES es equivalente al PGMRES. Una diferencia importante entre FGMRES con respecto al PGMRES, es que la operación AM 1 j en los vectores v j ya no pertenece al subespacio de Krylov generado por estos mismos vectores. Sin embargo en [10], se establece que el método FGMRES satisface una propiedad optimal, similar a la del GMRES, donde la aproximación x k = x 0 + P k z k reduce la norma del residual r k sobre el espacio afín x 0 +span{p k }. No obstante, debido a que la aproximación no pertenece a un subespacio de Krylov, el FGMRES no satisface los mismos resultados de convergencia que el GMRES.

4 3. PRECONDICIONADORES EN BLOQUES Existen varias formas para que una técnica de precondicionamiento aproveche la estructura en bloques de la matriz de coeficientes (ver [11] y sus referencias). Una muy utilizada, sobre todo en el área de mecánica de fluidos, es establecer la estructura en bloques de la matriz de precondicionamiento, y luego obtener o aproximar éstos de alguna forma. Estas técnicas están estrechamente relacionadas con el complemento de Schur, S = BA 1 B t,ya que aparece en alguno de sus bloques. El uso de estas técnicas suponen que existen métodos rápidos para resolver sistemas asociados con las matrices A y S. En este trabajo son considerados el precondicionador diagonal y el triangular inferior en bloques. 3.1 Precondicionador diagonal El precondicionador diagonal viene dado por la matriz simétrica definida positiva [ ] A O M d =. (2) O S El precondicionamiento de A por la derecha, viene dado por la matriz [ ] T d = AM 1 I B d = t S 1 BA 1, O con la matriz T d no singular. En [12] se establece que T d es diagonalizable y tiene solo tres autovalores diferentes 1, 1 2 (1 + 5) y 1 2 (1 5). Esto también es cierto para los casos de precondicionamiento por la izquierda y centrado. Al suponer que se tienen A 1 y S 1 de forma exacta, para cualquier residual inicial r 0, se cumple que dim K n+m (T d,r 0 ) 3. Esto implica que, si se usa un método de Krylov con una propiedad optimal (como el GMRES), este debe llegar a la solución en a lo sumo 3 iteraciones. En la práctica, se aproximan los bloques A 1 y S 1, y los autovalores pueden encontrarse en tres regiones, y su agrupamiento depende de la calidad de las aproximaciones dadas. 3.2 Precondicionador triangular inferior Se define el precondicionador triangular inferior en bloque como [ ] A O M t =. (3) B S Se puede demostrar que el espectro de la matriz precondicionada es ρ(am 1 t )={ 1, 1}. En [12], se establece además que al utilizar S en el bloque (2, 2), la matriz precondicionada tendría un único autovalor 1; pero la matriz no es diagonalizable y tiene un polinomio mínimo de grado 2. Por tanto, en ambos casos un método como el GMRES converge en a lo sumo 2 iteraciones, siempre que el precondicionador sea exacto. En la práctica, para el cálculo de la aproximación de la inversa de la matriz precondicionada M 1 t ][ ][ I O Â 1 O [ I O M 1 t = O Ŝ 1 B I O, se utiliza la factorización I ].

5 Tabla 1. Matrices de Prueba. Nombre n m nz Densidad matstk matstk matstk matstk matstk RESULTADOS NUMÉRICOS Se generaron diferentes matrices de prueba, para distintas discretizaciones del problema Stokes generalizado; las características se muestran en la tabla 1: los nombres de las matrices, los valores de n y m (las matrices son de orden n + m), la cantidad de elementos no nulos de las matrices (nz) y la densidad de llenado. El patrón de esparsidad de la matriz matstk1 se muestra en la figura 2. Los métodos iterativos fueron desarrollados bajo la librería para matrices sparse UCSparseLib [13]. Todas las pruebas fueron realizadas en un computador Sun Grid de 16 nodos duales AMD Opteron 64 bits modelo 248, con 2 GB de RAM y un disco de 73 GB para cada nodo, bajo el sistema operativo RedHat White Box de 64 bits. Como los métodos son secuenciales, las pruebas fueron realizadas en un solo nodo. Se tomó el vector cero como vector inicial; como condición de parada una reducción de al menos 8 órdenes de magnitud del residual relativo, r k 2 / b ycomomáximo número de iteraciones Debido a que los métodos internos no han sido optimizados, no se reporta el tiempo de procesamiento nz = Figura 2- Distribución de elementos no nulos de la matriz matstk1. Como la aplicación del algoritmo FGMRES con los precondicionadores dados por (2) y (3) queda reducida a conseguir aproximaciones a los bloques A 1 y S 1, en este trabajo se

6 utilizó para ello el método CG para sistemas asociados con la matriz A y CG para la matriz S que es el complemento de Schur (CGSC), con una precisión fijada. Esto como un esquema de iteraciones internas en el método FGMRES para definir la operación M 1 v j. Se realizaron pruebas utilizando los métodos sin precondicionar MINRES, GMRES(k) (con restart) y el CGSC; además se utilizó el precondicionador diagonal en bloque para una versión flexible del MINRES (FBDPMINRES), debido a que el precondicionador es simétrico definido positivo, y el precondicionador triangular inferior en bloques en la versión restart del FGMRES (FBTPGMRES(k)). Se realizaron también pruebas para todas las matrices con el método UZAWA, usando el parámetro óptimo, y como se esperaba, la convergencia es muy lenta, y no mejoran en ningún caso los resultados de los otros métodos, por lo que no son reportados. En la tabla 2 se muestran el número de iteraciones requeridas para cada método. Para los flexibles, se varió la tolerancia interna en la reducción del residual relativo para los métodos CG y CGSC en 10 2,10 3 y10 8 en cada uno. Es de hacer notar, que para el FBDP- MINRES con una tolerancia en los métodos internos de 10 1 no converge, mientras que el FBTPGMRES lo hace en poco más de veinte iteraciones. 5. CONCLUSIONES Aún cuando no se reporta el tiempo empleado, la utilidad de los métodos flexibles es reducir el trabajo total de los métodos externos, y así el tiempo total para la solución del sistema, al disminuir la precisión en los métodos internos. En la tabla 2 se puede observar que el número de iteraciones tiende a ser independiente del parámetro de refinamiento de la malla (valores de n y m), ya que el número de iteraciones prácticamente no varía, en la medida que el sistema crece. Por otra parte, se muestra que el precondicionador triangular inferior en bloques es más efectivo que el diagonal en bloques, ya que disminuye más el número de iteraciones a pesar que implica un mayor número de operaciones, tanto para la aplicación del precondicionador (un producto matriz vector adicional) como el método iterativo en sí mismo. Una fuerte ventaja de este tipo de precondicionamiento es que no depende fuertemente del uso de parámetros que el usuario debe poner a punto, salvo la precisión de los métodos internos, la cual según muestran los resultados, basta ajustarla para matrices pequeñas. Por último, se recomienda desarrollar métodos eficientes que aproximen la solución de los sistemas asociados con las matrices A y S, y una forma puede ser aprovechar la definición de los operadores del problema Stokes del cual provienen. Tabla 2. Número de iteraciones para los distintos métodos iterativos. MINRES GMRES(30) CGSC FBDPMINRES FBTPGMRES(30) Matrices matstk matstk matstk matstk4 962 > matstk >

7 Agradecimientos Este trabajo fue realizado con el auspicio del FONACIT bajo el Programa de Formación de Talentos, el proyecto ECOSNORD y del Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico (CDCH) de la Universidad de Carabobo (UC), Valencia Venezuela, con el número de proyecto CDCH REFERENCIAS [1]. D. P. BERTSEKAS. Nonlinear Programming. Athena Scientific, Nashua NH, 2th edition, [2]. F. BREZZI and M. FORTIN. Mixed and Hybrid Finite Element Methods, volume15 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, New York, [3]. V. GIRAULT and P. RAVIART. Finite Element Methods for the Navier-Stokes Equations. Theory and Algorithms. Springer-Verlag, Berlin, Germany, [4]. B. MAURY. Characteristics ALE method for the 3D Navier-Stokes equations with a free surface. Int. Journal of Comp. Fluid Dyn., 6: , [5]. V. GIRAULT, H. LÓPEZ, and B. MAURY. One time-step finite element discretization of the equation of motion of two-fluid flows. To appear in Numerical Methods for Partial Differential Equations, [6]. M. BENZI, G. H. GOLUB, and J. LIESEN. Numerical solution of saddle point problems. Acta Numerica, 14:1 137, [7]. M. R. HESTENES and E. L. STIEFEL. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. J. Res. Nat. Bur. Stand., 49: , [8]. Y. SAAD and M. H. SCHULTZ. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 7: , [9]. C. C. PAIGE and M. A. SAUNDER. Solution of sparse indefinite system of linear equations. SIAM J. Numer. Anal., 12: , [10]. Y. SAAD. A flexible inner-outer preconditioned gmres algorithm. SIAM J. Sci. Comput., 14(2): , [11]. M. BENZI. Preconditioning techniques for large linear system: a survey. J. Comput. Phys., 182: , [12]. M. F. MURPHY, G. H. GOLUB, and A. J. WATHEN. A note on preconditioning for indefinite linear systems. SIAM J. Sci. Comput., 21(6): , [13]. G. LARRAZÁBAL. UCSparseLib: A numerical library to solve sparse linear systems. In Numerical Simulation and Computational Modeling, pages TC19 TC25. SVMNI, 2004.