Resolución de la ecuación de Ondas en 2-D y 3-D utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad.

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1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, 1-5 septiembre 009 (pp. 1 8) Resolución de la ecuación de Ondas en -D y 3-D utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad. Álvaro Casasús Acevedo 1, Juan José Benito Muñoz 1, Francisco Ureña Prieto, Luis Gavete Corvinos 3 1 Dpto. de Construcción y Fabricación, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid. pepcasasus@gmail.com, jbenito@ind.uned.es. Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. francisco.urena@uclm.es. 3 Dpto. de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Politécnica de Madrid. lu.gavete@upm.es. Palabras clave: diferencias finitas generalizadas, ecuación de ondas, método explícito, estrella. Resumen En esta comunicación se presenta la utilización del Método de Diferencias Finitas Generalizadas para la resolución de la ecuación de onda, para -D y 3-D. Para ambos casos se inicia la comunicación con la obtención de las expresiones explícitas en diferencias finitas generalizadas. a partir de estas expresiones se estudia el error de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia. En la comunicación se incluyen algunos resultados, de entre los numerosos casos analizados, como ejemplos representativos de la resolución de la ecuación de ondas, que pretenden ilustrar el buen comportamiento del método. 1. Introducción La aplicación de métodos numéricos en la resolución de problemas de Física e Ingeniería ha estado presente a lo largo de la historia de las matemáticas. Sin embargo, la incorporación de las computadoras les ha dado una importancia aún mayor. Uno de los métodos tradicionales en la resolución de problemas definidos por medio de ecuaciones diferenciales es el de diferencias finitas. Los trabajos de Benito, Gavete y Ureña [1, ]. Los artículos [3, 5] muestran la aplicación del método de diferencias finitas generalizadas a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo. En esta comunicación se obtienen, en primer lugar, las expresiones explícitas, utilizando 1

2 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 1: Estrella en D ; Estrella en 3D diferencias finitas generalizadas, de la ecuación de ondas. En la siguiente sección se estudia la consistencia y estabilidad, condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de la formulación explícita obtenida en la primera sección.. Diferencias finitas generalizadas y método explícito en -D Se considera la resolución numérica de la ecuación de ondas para la función U(x, y, t) U(x, y, t) t = c [ F (x, y, t) x + F (x, y, t) y ] t > 0, (x, y) Ω R (1) con las condiciones iniciales y la condición de contorno U(x, y, 0) = f 1 (x, y); U(x, y, 0) t = f (x, y) () au(x 0, y 0, t) + b U(x 0, y 0, t) n = g(t) in Γ (3) siendo f 1 (x, y), f (x, y) y g(t) dos funciones conocidas, c es una constante que representa la velocidad de propagación de la onda y Γ la frontera del dominio Ω. Para la obtención de las fórmulas explícitas en diferencias finitas de las derivadas espaciales, una vez discretizado el dominio Ω Γ, se define el nodo central con un conjunto de nodos a su alrededor, al conjunto de dichos nodos se le denomina estrella, estableciendo una relación entre una estrella y su nodo central (ver figura 1). Si U 0 es el valor de la función en el nodo central de la estrella y U j son los valores de las funciones en el resto de los nodos, con j = 1,, 8, entonces, de acuerdo con la serie de expansión de Taylor U 0 U j = U 0 + h j x + k U 0 j y + h j U0 x + k j U0 y + h U0 jk j x y + (4)

3 Resolución de la ecuación de ondas en -D y 3-D utilizando GFDM donde (x 0, y 0 ) son las coordenadas espaciales del nodo central, (x j, y j ) las coordenadas del nodo j en la estrella, h j = x j x 0, k j = y j y 0. Si en la ecuación 4 los términos de orden superior al segundo son eliminados, se obtiene la aproximación de segundo orden para U j. Si se representa este valor por u j. Entonces es posible definir B(u) = 8 j=1 [(u 0 u j + h j u 0 x + k j u 0 y + h j u 0 x + k j u 0 y + h u 0 jk j x y )w(h j, k j )] (5) donde w(h j, k j ) es la función de ponderación. Si la expresión 5 es minimizada con respecto a las derivadas parciales, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales A 5 D u5 = b 5 (6) Resolviendo el sistema 6 y teniendo en cuenta que h j = k j = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales U(x 0, y 0, n t) x + U(x 0, y 0, n t) y = 1 6h ( 0un 0 +4u n 1 +u n +4u n 3 +u n 4 +4u n 5 +u n 6 +4u n 7 +u n 8 ) (7) Aproximando la derivada segunda respecto del tiempo en el nodo central de la estrella por U (x 0, y 0, n t) t = un+1 0 u n 0 + un 1 0 ( t) (8) donde u n 0 y un+1 0 son los valores aproximados de la función U(x, y, t) en el nodo central de coordenadas espaciales (x 0, y 0 ) para los tiempos n t y (n + 1) t respectivamente. Sustituyendo las ecuaciones 7 y 8 en la ecuación 1, se obtiene la ecuación lineal u n+1 0 = u n 0 u n ( t) c 6h [ 0un 0 + 4u n 1 + u n + 4u n 3 + u n 4 + 4u n 5 + u n 6 + 4u n 7 + u n 8 ] 3. Convergencia en -D De acuerdo con el teorema de equivalencia de Lax [4], si la condición de consistencia es satisfecha, la estabilidad es necesaria y suficiente para la condición de convergencia. (9) 3.1. Error de truncamiento. Consistencia Si se designan por T E t y T E (x,y) los errores de truncamiento temporal y espacial, respectivamente, se tiene U(x 0, y 0, t) t = U(x 0, y 0, t + t) U(x 0, y 0, t) + U(x 0, y 0, t t) ( t) ( t) 1 4 U(x 0, y 0, t 1 ) t 4 + Θ(( t) 4 ), t < t 1 < t + t (10) 3

4 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, en la serie de expansion de Taylor se incluyen los términos hasta de cuarto orden. Si se designa por B5 (u) la expresión 5 en la cual se han incluido los nuevos términos, y minimizando dicha expresión respecto de las derivadas parciales de primer y segundo orden, se obtiene T E (x,y) = h 1 [c ( 4 U(x 1, y 1, t) x U(x 1, y 1, t) x y + 4 U(x 1, y 1, t) y 4 )] + Θ(h 4 ) (11) donde (x 1, y 1 ) es un punto del interior del dominio definido por la estrella. La expresión 11 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales. La suma de ambos errores de truncamiento nos da el error de truncamiento total. Por tanto, el método es consistente. 3.. Estabilidad Si se define u n 0 = ξ n e iνt x 0 ; u n j = ξ n e iνt x j (1) donde ν = (ν x, ν y ) T es el vector columna de los números de onda, x 0 = (x 0, y 0 ) es el vector de las coordenadas del nodo central de la estrella y x j = (x j, y j ) son las coordenadas del resto de los nodos de la estrella, con x j = x 0 + h j y ξ es denominado factor de amplificación. Si el módulo del factor de amplificación es mayor que la unidad, ( ξ > 1, el método es inestable. Sustituyendo 1 into 9, y operando, se tiene ξ ξ[1 ( t) c 1h [16 sen ( hλ ) + 4 sen ( y denominando h(λ + ν) ) + 16 sen ( hν ) + 4 sen ( b = 1 ( t) c 1h [16 sen ( hλ ) + 4 h(λ + ν) sen ( ) h(λ ν) )] + 1 = 0 (13) +16 sen ( hν ) + 4 h(λ ν) sen ( )] (14) la ecuación 14 se puede escribir ξ bξ + 1 = 0 ξ 1 = b + b 1; ξ 1 = b b 1 (15) Para que el algoritmo sea inestable ξ 1, y de acuerdo con 15 se tiene que b > 1 ξ 1 (16) Si b > 1se tiene que ξ es complejo, puesto que de acuerdo con 16 ξ 1 = b ± i 1 b ξ = 1 (17) 4

5 Resolución de la ecuación de ondas en -D y 3-D utilizando GFDM por tanto la condición de estabilidad viene dada por 1 b ( t) c 1h [16 sen ( hλ ) + 4 sen ( + 16 sen ( hν ) + 4 sen ( h(λ + ν) ) h(λ ν) )] 1 h(λ + ν) ) + 16 sen ( hν ) + 4 sen ( 0 ( t) c 1h [16 sen ( hλ ) + 4 sen ( La condición de estabilidad viene dada por h(λ ν) )] (18) 0 40 ( t) c 1h 0 < t 3h 5c (19) 4. Diferencias finitas generalizadas y método explícito en 3-D La ecuación de ondas, es U(x, y, z, t) t = c [ U(x, y, z, t) x + U(x, y, z, t) y + U(x, y, z, t) z ] (0) Obteniendo las ecuaciones 4 y 5 para tres dimensiones y minimizando respecto de las derivadas parciales, se obtiene el sistema para 3-D, similar al 6, A 9 D u9 = b 9 (1) Resolviendo el sistema 1 y teniendo en cuenta que h j = k j = l j = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales espaciales. Obteniéndose la expresión lineal en diferencias finitas para 3-D u n+1 0 = u n 0 u n 1 0 +( t) 1 88h [ 356un 0 +36u n 1 +9u n +36u n 3 +9u n 4 +36u n 5 +9u n 6 +36u n 7 +9u n u n 9 + 9u n u n u n 1 + 4u n u n u n u n u n u n u n u n 0 + 9u n 1 + 4u n + 9u n 3 + 4u n 4 + 9u n 5 + 4u n 6] () 5. Convergencia 5.1. Error de truncamiento. Consistencia. U(x 0, y 0, z 0, t) t = U(x 0, y 0, z 0, t + t) U(x 0, y 0, z 0, t) + U(x 0, y 0, z 0, t t) ( t) ( t) 1 4 U(x 0, y 0, z 0, t 1 ) t 4 + Θ(( t) 4 ), t < t 1 < t + t (3) 5

6 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete (T E t ) = ( t) 4 U(x 0, y 0, z 0, t 1 ) 1 t 4 + Θ(( t) 4 ), t < t 1 < t + t (4) Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, se sigue el mismo procedimiento que en -D, obteniéndose T E (x,y,z) = h 4 [c ( 4 U(x 1, y 1, z 1, t) x U(x 1, y 1, z 1, t) y U(x 1, y 1, z 1, t) U(x 1, y 1, z 1, t) x z z U(x 1, y 1, z 1, t) y z ) + Θ (h 4 ) (5) La expresión 5 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales, donde (x 1, y 1, z 1 ) es un punto interior del dominio definido por la estrella. La suma de ambos errores de truncamiento es el error de truncamiento total (TTE). Por tanto, el algoritmo es consistente. 5.. Estabilidad Al igual que para el caso en -D, se utiliza el análisis de von Neumann para establecer la condición de estabilidad. Para el caso tridimensional u n 0 = ξ n e i{λ,ν,ϕ}t {x 0,y 0,z 0 } ; u n j = ξ n e i{λ,ν,ϕ}t {x j,y j,z j } donde {λ, ν, ϕ} es el vector columna de los números de ondas, {x 0, y 0, z 0 } es el vector de las coordenadas del nodo central de la estrella y {x j, y j, z j } son las coordenadas del resto de los nodos de la estrella (ver figura), siendo: 4 U(x 1, y 1, z 1, t) x y (6) {x j, y j, z j } = {x 0, y 0, z 0 } + {h j, k j, l j } (7) Sustituyendo 8 y 9 en, y después de operar y teniendo en cuenta lo mostrado para el caso -D, la condición de estabilidad viene dada por 44h 0 < t 89c (8) 6. Resultados numéricos En esta sección se muestran dos ejemplos de resolución numérica de ecuación de onda en -D y 3-D. Las funciones de ponderación utilizadas han sido w(h j, k j ) = 1 (h j + k j )3 ; w(h j, k j, l j ) = 1 (h j + k j + l j )3 (9) y el criterio de selección de los nodos el del cuadrante. El error global ha sido calculado para cada paso de tiempo usando la siguiente norma NT j=1 (sol(j) exac(j)) NT Error global = 100 (30) exac max where sol(j) es el valor de la solución aproximada en el nodo j, exac(j) es la valor de la solución exacta en el nodo j, exac max es el máximo valor de la solución exacta en los nodos interiores de de la malla considerada y NT es el número de nodos del interior. 6

7 Resolución de la ecuación de ondas en -D y 3-D utilizando GFDM Figura : Error global versus n o nodos ; Error global versus t 6.1. Ejemplo -D U(x, y, t) t = U(x, y, t) x + U(x, y, t) y t > 0, 0 < x, y < 1 (31) con la condición inicial U(x, y, 0) = sen πx sen πy (3) y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta U(x, y, t) = cos π sen πx sen πy (33) En la figura se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo ( t = 0,0001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 441 nodos. 6.. Ejemplo 3-D U(x, y, z, t) t = U(x, y, z, t) x + U(x, y, z, t) y + U(x, y, z, t) z t > 0, 0 < x, y < 1 (34) U(x, y, z, 0) = sen πx sen πy sen πz (35) y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta U(x, y, z, t) = cos 3π sen πx sen πy sen πz (36) En la figura 3 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo ( t = 0,001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 3 se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 441 nodos. 7

8 A. Casasús, F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 3: Error global versus n o nodos ; Error global versus t 7. Conclusiones En esta comunicación se ha obtenido el error de truncamiento y, por tanto, la consistencia ha sido demostrada. Igualmente, se ha obtenido el criterio de estabilidad utilizando el análisis de von Neumann. Los ejemplos resueltos, de los numerosos a los que se ha aplicado el GFDM, muestran su buen comportamiento. Agradecimientos Los autores agradecen la ayuda recibida del Ministerio de Ciencia e Innovación de España en el proyecto TISMANCA, Ref.: CGL /CLI. Referencias [1] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Influence of several factors in the generalized finite difference method. Applied Mathematical Modelling,51, (001). [] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, R. Alvarez, An h-adaptive method in the generalized finite differences. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 19, (003). [3] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Solving parabolic and hyperbolic equations by Generalized Finite Difference Method. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol 09, Issue, 15 December 007, Pages [4] A.R. Mitchell, D.F. Griffiths, The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering (1980). [5] F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete, R. Alvarez, Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales dependientes del tiempo de segundo orden utilizando Diferencias Finitas Generalizadas. Revista Internacional de Métodos Numéricos para cálculo y diseño en ingeniería. Vol. 19, 3, (003). 8